Lezioe 10 - Tesioi pricipali e direzioi pricipali ü [A.a. 2011-2012 : ultima revisioe 23 agosto 2011] I questa lezioe si studiera' cio' che avviee alla compoete ormale di tesioe s, al variare del piao su cui essa e' calcolata. Dopo aver espresso la tesioe ormale i fuzioe dei cosei direttori alla ormale al piao, la procedura stadard per la ricerca dei puti di estremo di ua fuzioe coduce ad u semplice risultato aalitico, secodo cui il vettore t della tesioe risulta diretto secodo la ormale. Cio' implica che sui piai dove la tesioe ormale assume u valore estremo, o agisce tesioe tageziale. Si deduce ifie i questa lezioe l'equazioe secolare per la ricerca delle tesioi pricipali, assieme alle corrispodeti direzioi pricipali. Tesioi ormali e tageziali, rivisitate Si riscriva ora il teorema di Cauchy-oisso, alla uova luce della simmetria della matrice delle tesioi, otteedo cosi' le compoeti del vettore tesioe t i forma defiitiva: = σ 11 1 + σ 12 2 +σ 13 t 2 = σ 12 1 + σ 22 2 +σ 23 (1) (2) t 3 = σ 13 1 + σ 23 2 + σ 33 La proiezioe t l di t secodo ua geerica retta l si ottiee moltiplicado scalarmete il vettore t per il vettore coteete i cosei direttori della retta l. Idicado co l = Hl 1, l 2, l 3 L i cosei direttori suddetti, si ha: (3) t l = t l = t i l i = σ ij l i j (4) Di particolare importaza e' il caso i cui l =, ossia il caso i cui si vuol cooscere la compoete di t secodo la ormale. Si ha: σ = t = t = t i i = σ ij i j = σ 11 2 1 +σ 22 2 2 +σ 33 2 3 + 2 σ 12 1 2 + 2 σ 13 1 + 2 σ 23 2 oppure, essedo: 2 1 + 2 2 + 2 3 = 1 2 3 = 1 2 2 1 2 σ = Hσ 11 σ 33 L 2 1 +Hσ 22 σ 33 L 2 2 + σ 33 + 2 σ 12 1 2 + 2 Hσ 13 1 +σ 23 2 L I1 2 1 2 2 M 1ê2 (5) (6) (7) Dovedo poi essere, (cfr. eq(10) della Lezioe 7): t 2 = σ 2 + τ 2 si puo' calcolare l'itesita' della tesioe tageziale: τ 2 = t 2 1 + t 2 2 + t 2 2 3 σ (8) (9)
70 Lezioe 10 - Tesioi pricipali e direzioi pricipali di tesioe.b La ricerca della massima e miima tesioe ormale La tesioe i u puto, come si e' visto, e' u isieme 8t < di ifiiti valori, fuzioe della ormale al piao passate per. Ha quidi seso chiedere qual'e' il piao per cui la tesioe ormale s assume il suo valore estremo, massimo o miimo. er rispodere a questa domada occorre imporre le codizioi di stazioarieta': σ 1 = 0; σ 2 = 0; σ = 0 Utilizzado la (7), si potra' scrivere: (10) σ 1 = 2 Hσ 11 σ 33 L 1 + 2 σ 12 2 + 2 σ 13 I1 1 2 2 2 M 1ê2 + 2 Hσ 13 1 +σ 23 2 L 1 2 I1 1 2 2 2 M 1ê2 H 2 1 L = 2 Hσ 11 σ 33 L 1 + 2 σ 12 2 + 2 σ 13 2 1 Hσ 13 1 +σ 23 2 L = 2 Hσ 11 1 + σ 12 2 +σ 13 L 2 1 Hσ 13 1 +σ 23 z 2 + σ 33 L = 0 e quidi, i base al teorema di Cauchy-oisso: (11) 1 = t 3 Del tutto aalogamete dovra' ache essere: (12) 1 = t 2 2 ; t 2 2 = t 3 e quidi, i defiitiva, potra' porsi: (13) 1 = t 2 2 = t 3 = σ (14) Dalla (4) sara' poi: σ = 1 + t 2 2 + t 3 = σ 2 1 + σ 2 2 +σ 2 3 e dalla (8) risulta immediato dedurre: τ = 0 I altri termii: = σ (15) (16) - u piao su cui la tesioe ormale e' massima, o miima, e' ache u piao su cui o agiscoo tesioi tageziali.
Lezioe 10 - Tesioi pricipali e direzioi pricipali di tesioe.b 71 Le tesioi pricipali Si voglioo ora idividuare i piai su cui la tesioe ormale raggiuge il suo valore massimo o miimo, o meglio, si voglioo calcolare i cosei direttori della ormale a tali piai. I base alla (16), cio' equivale ad idividuare i piai per cui le tesioi tageziali si aullao. I altri termii, quali soo i piai passati per il puto, per cui la tesioe t e' diretta proprio lugo la ormale, come illustrato i Figura 1? σ t =σ t τ Figura 1 - a) Il caso usuale, co la tesioe t e le sue compoeti ormale e tageziale. b) Il caso i cui la compoete tageziale si aulla, ed e' direzioe pricipale. Se t e' orietata secodo la ormale, allora si avra', come si osserva dalla Figura 2, e come cofermato dalla (14): = σ 1 ; t 2 = σ 2 ; t 3 = σ (17) X 2 t =σ t 2 X 1 Figura 2 - Le compoeti della tesioe pricipale t. D'altro cato, secodo il teorema di Cauchy-oisso:
72 Lezioe 10 - Tesioi pricipali e direzioi pricipali di tesioe.b = σ 11 1 + σ 12 2 + σ 13 t 2 = σ 12 1 + σ 22 2 + σ 23 t 3 = σ 13 1 + σ 23 2 + σ 33 e quidi dovra' essere: (18) Hσ 11 σl 1 + σ 12 2 + σ 13 = 0 σ 12 1 + Hσ 22 σl 2 + σ 23 = 0 σ 13 1 + σ 23 2 + Hσ 33 σl = 0 (19) E' questo u sistema di tre equazioi omogeee elle tre icogite 1, 2, la cui soluzioe baale 1 = 2 = = 0 o ha sigificato fisico. Ed ifatti le 1, 2 ed soo i cosei direttori della ormale al piao. Occorre allora calcolare le soluzioi o baali, e defiite a meo di costati, impoedo che sia ullo il determiate dei coefficieti del sistema (19): det σ 11 σ σ 12 σ 13 σ 12 σ 22 σ σ 23 σ 13 σ 23 σ 33 σ = 0 e svolgedo i calcoli si ha l'equazioe cubica i s: (20) co: σ 3 + I 1 σ 2 I 2 σ + I 3 = 0 I 1 = Traccia S = σ 11 + σ 22 + σ 33 I 2 = σ 11 σ 22 + σ 11 σ 33 + σ 22 σ 33 σ 2 12 σ 2 2 13 σ 23 (21) (22) (23) I 3 = Det S = det σ 11 σ 12 σ 13 σ 12 σ 22 σ 23 σ 13 σ 23 σ 33 (24) Nota - L'equazioe (21) si chiama equazioe secolare, metre le tre quatita' I 1, I 2 ed I 3 predoo il ome di ivariate lieare, quadratico e cubico di tesioe, ad idicare che il loro valore o cambia al ruotare del sistema di riferimeto adottato. Le direzioi pricipali di tesioe Si puo' dimostrare che l'equazioe cubica i s ammette tre radici reali s 1 s 2 s 3, dette tesioi pricipali. I corrispodeza di ciascuo di questi valori il sistema (19) diviee idetermiato, ed ammette ua ifiita' di soluzioi o ulle. Tuttavia questa idetermiazioe si puo' elimiare cosiderado che dovra' comuque essere: 1 2 + 2 2 + 2 = 1 (25) Sia 1 = H 11, 21, 1 L la soluzioe che si ottiee i corrispodeza di s = s 1, 2 = H 12, 22, 2 L la soluzioe che si ottiee i corrispodeza di s = s 2, ed ifie = H 13, 23, 3 L la soluzioe che si ottiee i corrispodeza di s = s 3. Si puo' dimostrare ache che queste tre direzioi 1, 2 e, dette direzioi pricipali di tesioe, soo tra loro ortogoali, sicche', ad esempio: 1 2 = 11 12 + 21 22 + 1 2 = 0 I piai idetificati dalle direzioi pricipali, detti piai pricipali, soo ach'essi mutuamete ortogoali, ed (26)
Lezioe 10 - Tesioi pricipali e direzioi pricipali di tesioe.b 73 u elemeto rettagolare, coteete il puto i studio, le cui facce vegao a coicidere coi piai pricipali, sara' sollecitato da sole tesioi ormali, pari alle tesioi pricipali. σ 3 X 3 H E σ 2 D C G X 2 O B σ 1 A X 1 Figura 3 - L'elemeto rettagolare orietato secodo gli assi pricipali, e quidi soggetto alle sole tesioi ormali Ne segue che se il sistema di riferimeto (0, X 1, X 2, X 3 ) viee ruotato fio a portarlo a coicidere col sistema pricipale (0,1,2,3), la matrice delle tesioi assumera' l'aspetto diagoale: S = σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3 ed i tre ivariati sarao foriti da: I 1 = Traccia S = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = σ 1 σ 2 + σ 1 σ 3 + σ 2 σ 3 I 3 = Det S = σ 1 σ 2 σ 3 (27) (28) (29) (30) Figure à Figura 1 - Vicoli sigoli à Figura 1 - Vicoli sigoli à Figura 1 - Vicoli sigoli