Appunti di Matematica 4 - I numeri complessi - I numeri complessi

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1 I umeri complessi Abbiamo visto come dall isieme N dei umeri aturali si passi all isieme Z dei umeri relativi per poter effettuare sempre la sottraioe e poi all isieme Q dei umeri raioali per poter effettuare sempre la divisioe aturalmete co divisore diverso da ero). Abbiamo ifie ampliato il ostro isieme umerico co i umeri irraioali cioè co i umeri decimali illimitati aperiodici (, π ecc.) otteedo così l isieme R dei umeri reali. Ma i matematici o si soo fermati ai umeri reali ed hao ampliato ache R defiedo l isieme C dei umeri complessi. Nel 55 il matematico italiao Girolamo Cardao aveva pubblicato ella sua opera Ars Maga la formula risolutiva delle equaioi di tero e quarto grado ( gli scopritori di tali formule erao stati altri matematici quali Scipioe Del Ferro, Tartaglia e Ferrari). Ma i certi casi la formula risolutiva delle equaioi di tero grado sembrava o fuioare Per esempio cosiderado l equaioe x 5x, si verifica facilmete che x è soluioe metre applicado la formula risolutiva si ottegoo radici quadrate di umeri egativi Fu il matematico Raffaele Bombelli a proporre di operare sulle radici quadrate di umeri egativi trattadole come quatità silvestri (letteralmete selvatiche ) svolgedo i calcoli co esse fio ad arrivare al risultato. Il termie di umeri immagiari fu coiato solo i seguito da Cartesio. Iiialmete ci fu molta diffidea verso questi uovi umeri e lo stesso Bombelli che li aveva itrodotti li cosiderava esseialmete artifici per risolvere alcui problemi. 8

2 Solo alla fie del Setteceto i umeri complessi, espressi dalla scrittura a + bi co a, b R e i cioè i, veero ricoosciuti come vero e proprio isieme umerico (coteete l isieme dei umeri reali) e fu il matematico Eulero, el 777, a idicare co il simbolo i. Il matematico Gauss ideò la rappresetaioe geometrica dei umeri complessi associado al umero complesso a + bi il puto ( a, b) del piao (fissato u sistema di riferimeto cartesiao ortogoale). Alla fie dell Ottoceto ci fu la prima applicaioe dei umeri complessi alla realtà: i umeri complessi furoo utiliati per sviluppare la teoria delle correti alterate. Ma ripartiamo dalla defiiioe. Defiiioe di umero complesso (espresso i forma algebrica) Chiamiamo umero complesso, espresso i forma algebrica, l espressioe a + bi co a, b R e i a viee detta parte reale bi viee detta parte immagiaria (b è chiamato coefficiete della parte immagiaria). Osservaioe Se a abbiamo quello che viee chiamato umero immagiario ; se b abbiamo u umero reale. Quidi i umeri reali soo umeri complessi aveti coefficiete ullo della parte immagiaria e diciamo quidi che l isieme C è u estesioe di R. Defiiioe Due umeri complessi del tipo a + bi e a bi aveti cioè la stessa parte reale e parti immagiarie opposte si dicoo umeri complessi coiugati. Se per esempio cosideriamo le soluioi i campo complesso dell equaioe x + x + abbiamo due soluioi complesse coiugate:, ± ± ± i 9

3 Operaioi tra umeri complessi Vediamo come soo defiite le operaioi tra umeri complessi: addiioe: ( a + bi) + ( c + di) ( a + c) + ( b + d )i sottraioe: ( a + bi) ( c + di) ( a c) + ( b d )i moltiplicaioe: ( a + bi) ( c + di) ( ac bd ) + ( ad + bc)i Ifatti sviluppado co le usuali regole di calcolo avremmo: a + bi c + di ac + adi + bci bd ac bd + ad + bc ( ) ( ) ( ) ( )i divisioe: a + bi c + di ( a + bi) ( c di) ( c + di) ( c di) ac + bd + c + d ( bc ad ) i ac + bd c + d bc ad + c + d i Esempi ) ( + i) + ( i) 5 i ) ( + i) ( i) + 5i ) ( + i) ( i) 6 8i + i + 5i ) + i ( + i) ( + i) + i i ( i) ( + i) 5 Osservaioe Se cosideriamo u umero complesso osserviamo che: a + bi e il suo complesso coiugato a bi + a, bi, a + b 5

4 Esercii Sviluppa:. ( i) + ( i) + [ 5 i. ( i ) ( + i) [ i. ( + i) ( i) 5 [ i. ( i ) ( + i) [5 5. ( + i) i [ + i i + i 5 i 5 + i [ [ i ( + i) [ i 9. ( i) + [ + i. i + + i i [ i. ( i) ( i) + i + [ + i. ( i) ( i ) ( + i) [ 8 i + i i. + i ( i) [ + i. ( ) ( i + ) i [ 9 5i 5. ( 5 i ) ( + i ) i [ + 5i 5

5 Rappresetaioe geometrica di u umero complesso Fissato u sistema di riferimeto cartesiao ortogoale (O,x,y) si può associare ad ogi umero complesso a + bi u puto P ( a, b) del piao e viceversa. Il piao i cui si rappreseta l isieme C dei umeri complessi viee chiamato piao complesso (o piao di Gauss). ( a b) a + bi P, Quidi i puti dell asse x soo associati ai umeri reali (l asse x è detto asse reale) e i puti dell asse y soo associati ai umeri immagiari (l asse y è detto asse immagiario). Possiamo ache associare al umero complesso a + bi il vettore P a, b : ci accorgiamo che la somma tra umeri complessi e corrispode alla somma tra i vettori corrispodeti co la regola del parallelogramma e la differea alla differea tra vettori. OP co ( ) 5

6 Forma trigoometrica di u umero complesso Dato il umero complesso a + bi se esprimiamo il suo puto associato el piao complesso P a, b i coordiate polari abbiamo: ( ) ρ tgθ a b a + b a ρ cosϑ b ρ seϑ Il umero complesso può quidi ache essere scritto ella forma (detta trigoometrica): ( ϑ iseϑ ) ρ cos + Nota: ρ viee detto modulo di e ϑ viee detto argometo di ( θ < π ). Esempio Cosideriamo il umero complesso (espresso i forma algebrica) Come possiamo esprimerlo i forma trigoometrica? + i. Cosiderado il puto associato el piao complesso P (,) i questo caso abbiamo: ρ e cosϑ seϑ π ϑ e quidi 6 π π cos + ise 6 6 5

7 Esercii Passa dalla forma algebrica alla forma trigoometrica rappresetado il umero complesso el piao di Gauss:. + i π π [ cos + ise. i 7 7 [ cos π + ise π. i [ cos π + ise π. [ ( cosπ + iseπ ) π π 5. + i [ cos + ise i [ cos π + ise π i [ cos π + ise π 6 6 π π 8. + i [ cos + ise π π 9. + i [ cos + ise 6 6 π π. i [ cos + ise 5

8 Prodotto e quoiete tra umeri complessi utiliado la forma trigoometrica Utiliado la forma trigoometrica le operaioi di moltiplicaioe e divisioe tra umeri complessi vegoo espresse i modo molto più semplice e sigificativo. Ifatti sviluppado abbiamo: ρ ρ ρ ρ ρ ( cosα + iseα ) ρ ( cos β + iseβ ) [ cosα cos β seα seβ + i( cosα seβ + seα cos β ) [ cos( α + β ) + ise( α + β ) Quidi il prodotto di due umeri complessi risulti u umero complesso avete per modulo il prodotto dei moduli e per argometo la somma degli argometi dei due umeri. ρ ρ ( cosα + iseα ) ( cos β + iseβ ) ρ ρ ρ cosα cos β + seα se ρ cos β + se β ρ [ cos( α β ) + ise( α β ) ρ ( cosα + iseα ) ( cos β iseβ ) ( cos β + iseβ ) ( cos β iseβ ) β + i( seα cos β cosαseβ ) Quidi il quoiete di due umeri complessi risulta u umero complesso avete per modulo il rapporto tra i moduli e per argometo la differea degli argometi dei due umeri. Nota Da u puto di vista geometrico le operaioi di prodotto e quoiete tra umeri complessi possoo quidi essere viste come l applicaioe di ua rotaioe composta co u omotetia: ifatti se il umero ha modulo ρ e agolo associato β, il prodotto si trova ruotado dell agolo β e poi applicado l omotetia ω( O ; ρ ) metre il quoiete si trova ruotado dell agolo β e poi applicado l omotetia ω O ;. ρ 55

9 Per esempio moltiplicare u umero complesso per u umero complesso di modulo e argometo β equivale a ruotare di β, metre dividerlo per u umero complesso di modulo e argometo β equivale a ruotare di β. Quidi come caso acora più particolare moltiplicare u umero complesso per i equivale a ruotarlo di 9. 56

10 Esercii ) Calcola il prodotto dei segueti umeri complessi e scrivi il risultato i forma algebrica: 5 5. cos π + ise π cos π + ise π [ i 6 6 π π π π. cos + ise cos + ise [ i π π. cos π + ise π cos + ise [ i 6 6. cos π + ise π cos π + ise π [ i π π 5. cos π + ise π cos + ise [ ) Calcola il quoiete tra i segueti umeri complessi e scrivi il risultato i forma algebrica: 7 7 π π. 6 cos π + ise π cos + ise [ i 7 7. cos π + ise π cos π + ise π [ cos π + ise π cos π + ise π [ + i π π. cos + ise cos + ise [ i cos + ise π π cos + ise [ i 57

11 Potea di u umero complesso Utiliado la forma trigoometrica si può calcolare facilmete la potea di u umero complesso poiché se ρ(cosϑ + iseϑ) abbiamo, proprio per quato osservato per il prodotto ρ (cos( ϑ) + ise( ϑ)) Radici -esime di u umero i campo complesso a) Radici -esime dell uità Quali soo le soluioi, i campo complesso, di? I campo reale se cosideriamo x abbiamo soluioi ± se è pari e soltato se è dispari. Esempi: x x ± ; x x, Ma i campo complesso? Scrivedo i forma trigoometrica abbiamo: ρ ( cosθ + iseθ ) ρ ( cos( θ ) + ise( θ )) Quidi se vogliamo che, essedo ( cos + ise) dobbiamo avere ρ ρ e θ kπ θ k θ π k θ kπ... k θ ( ) π Quidi poedo k,,..., otterrò soluioi distite. 58

12 Esempio : Risolviamo. Abbiamo ρ e π π θ k θ, θ, θ π e quidi π π π π, cos + ise, cos + ise Possiamo rappresetare le tre soluioi el piao complesso ed osservare che risultao i vertici di u triagolo equilatero iscritto ella circoferea di cetro l origie e raggio. Esempio : risolviamo Abbiamo ρ, kπ θ θ π, θ,, i,, θ π, θ π e quidi abbiamo: i 59

13 b) Radici -esime di u umero complesso Cosideriamo l equaioe dove è u geerico umero complesso. Scriviamo sia che i forma trigoometrica: ρ cosθ + iseθ, ρ cosθ + iseθ ρ cos θ + ( ) ( ) ( ( ) ise( θ )) Quidi perché sia i questo caso dovrà essere: ρ ρ ρ θ + kπ θ θ + kπ θ ρ co k,,... Esempio Risolviamo 8i. π + kπ π I questo caso ρ 8, θ e avremo quidi ρ, θ, co k,, π π 5 5 cos + ise, cos π + ise π, cos π + ise π Esempio Risolviamo + i π I questo caso ρ, θ e avremo quidi π + kπ, π π ρ θ + k, co k,,, 6 6

14 Esercii ) Calcola le potee dei segueti umeri complessi dopo averli trasformati i forma trigoometrica e rappresetale el piao di Gauss: a) + i...,..., [ + i ; ; i ; i ; 6 b) + i...,..., [ i ; + i ; 5 6 ; 6 6 i ; 6 6i ; i ) Risolvi i campo complesso le segueti equaioi,rappreseta le soluioi el piao complesso ed esprimile ache i forma algebrica: a) i [ + i, i b) i [ + i, i c) 8i [ + i, + i, i d) + i [, i,, i e) 5 kπ kπ [ cos + ise, k,,,, f) i π π [ cos + kπ + ise + kπ, k,,,, 5 5 6