MICROECONOMIA (cod. 6006)

MICROECONOMIA (cod. 6006) 2008-2009 CLEAM 2 PRIMA ESERCITAZIONE giovedì 26 febbraio 2009 Questa esercitazione è suddivisa in 3 sezioni: domande da svolgere ad esercitazione, domande in preparazione all esercitazione ed ulteriori esercizi e domande. La maggior parte delle domande e degli esercizi è tratta da vecchi esami di microeconomia. Domande da svolgere ad esercitazione Prima Parte Definizioni Si definiscano sinteticamente i seguenti termini anche con l ausilio, se necessario, di formule e/o grafici: a) Assioma di transitività Le preferenze del consumatore sono tali che, se il paniere x è giudicato preferibile al paniere y ed il paniere y è preferibile al paniere z, si può concludere che x è preferibile a z. b) Soluzione d angolo Paniere d equilibrio non comprendente qualcuno dei beni tra cui il consumatore si trova a scegliere. c) Funzione di utilità cardinale Una funzione di utilità che permette di stabilire esattamente in che misura certi panieri di beni sono preferibili, rispetto ad altri. Seconda Parte Vero, falso od incerto. Si stabilisca se i seguenti enunciati sono veri, falsi, o incerti (cioè veri solo sotto ipotesi restrittive non contenute nell enunciato). Si fornisca una spiegazione e si argomenti compiutamente la risposta. [NB: La spiegazione e l argomentazione sono più importanti della corretta classificazione] a) Considerando la scelta tra inquinamento (x) e posti di lavoro (y). Le curve di indifferenza hanno inclinazione negativa. Motivate la vostra risposta. 1

Falso, le curve di indifferenza hanno inclinazione positiva perché uno dei due beni è un male : se si aumenta la quantità di male il consumatore deve essere compensato con una maggiore quantità del bene perché la sua utilità rimanga invariata. b) Nel caso di beni perfetti complementi, il consumatore consuma sempre x e y in un rapporto fisso e quindi lungo la curva di indifferenza il saggio marginale di sostituzione è sempre costante. Falso. Nel caso di beni perfetti complementi, il saggio marginale di sostituzione non è definito nei punti rilevanti, mentre è uguale a 0 lungo la parte orizzontale della curva d indifferenza ed è infinito nella parte verticale della curva di indifferenza. c) Nel caso di due beni X ed Y siano perfettamente sostituti, il consumatore deciderà sempre di impiegare tutto il suo reddito nel consumo o solo di x o solo di y, e mai in una combinazione dei due beni. Falso. Nel caso di due beni perfetti sostituti si ha, qualora il vincolo di bilancio e le curve di indifferenza abbiano pendenza diversa, una soluzione d angolo, ovvero un paniere d equilibrio che comprende solo uno dei due beni. Tuttavia, nel caso in cui il vincolo di bilancio e le curve di indifferenza abbiano uguale pendenza (si sovrappongono) l equilibrio è dato da una qualsiasi combinazione dei due beni. Terza Parte Esercizi Esercizio 1 Loredana spende parte del suo reddito nell acquisto di scatolette di cibo per gatti, 4 destinate alla sua gattina Susy. La sua funzione di utilità è: U = xy, dove x indica la quantità di scatolette di cibo per gatti e y rappresenta il consumo in tutti gli altri beni. 1) Sapendo che il reddito mensile di Loredana è pari a 300 Euro e che p x = 0.4 Euro e p y = 1 Euro, scrivete il vincolo di bilancio di Loredana e rappresentatelo nel grafico sottostante indicando chiaramente le intercette e la pendenza. 2

300 750 Vincolo di bilancio: 0.4x + y = 300 Intercette: (x = 0, y = 300) e (x = 750, y = 0) Pendenza: -0.4 2) Ricavate l espressione del saggio marginale di sostituzione a partire dalla funzione di utilità di Loredana. MRS = y 4x 3) Quante scatolette di cibo per gatti acquisterà Loredana e quale sarà il suo consumo di altri beni? y = 0.4 x = 150 4x y = 240 0.4x + y = 300 4) Ricavate la funzione di domanda di x al variare di p x (continuate ad assumere che p y = 1 e I = 300). y = p x px x + y = 300 x 4 x = 60 p x 3

Esercizio 2 Valentina è un appassionata d arte e consuma tutto il suo reddito in cinema (C) e teatro (T). Valentina è sempre disposta a sostituire una serata a teatro con tre serate al cinema. Il biglietto del teatro costa 30 euro, mentre quello del cinema 8 euro. a) Indicate la funzione di utilità di Valentina e calcolate il saggio marginale di sostituzione. U ( T, C) = 3T + C U / T MRS = = 3 U / C b) Scrivete e rappresentate nel grafico sottostante il vincolo di bilancio di Valentina sapendo che il reddito di cui dispone è di 480 Euro. Indicate chiaramente le intercette e l inclinazione. 30 T + 8C = 480 30 C = 60 T 8 C 60 E* 16 T c) Derivate analiticamente la quantità ottima consumata dei due beni e fornite una rappresentazione dell equilibrio nel grafico precedente. 4

MRS<Pt/Pc 3<30/8 Soluzione d angolo sull asse verticale: E*=(0,60) d) L assessorato alla cultura di Milano vuole promuovere la cultura, offrendo un buono di 120 Euro da spendere al cinema o al teatro. Come varia la scelta ottima di Valentina in seguito all introduzione del buono? Valentina continuerà sempre a andare solo al cinema ma questa volta non 60 volte ma 600/8=75 volte. Esercizio 3 Teodora è un accanita frequentatrice di Mc Donald s e spende tutta la sua paghetta settimanale in hamburger (H) e patatine fritte (F). Hamburger e patatine fritte sono per Teodora dei beni perfettamente complementari. Teodora desidera consumare 3 confezioni di patatine per ogni hamburger. a) Scrivete e disegnate la sua funzione di utilità U = min 3H, F { } Il prezzo delle patatine fritte è p F =2, mentre il prezzo degli hamburger è p H =1,5. La paghetta settimanale di Teodora è di 45. b) Scrivete il vincolo di bilancio di Teodora e lo si rappresenti nel grafico, indicando il valore delle intercette e della pendenza. 5

Vincolo di Bilancio: p F F+p H H=I 2F+1,5H=45 Dove F=22,5-0,75H H=30-1,33F Quindi il vincolo di bilancio, sarà disegnato con intercetta verticale pari a 22,5, intercetta orizzontale pari a 30 e pendenza verticale paria 0,75 e pendenza orizzontale pari a 1,33. c) Si determini la quantità di hamburger e patatine fritte domandata da Teodora in equilibrio. Mettiamo a sistema il vincolo di bilancio con la condizione di proporzionalità: 2F + 1,5 H F = 3H = 45 Sostituiamo F=3H nella prima: 2(3H)+1,5H=45 H*=6 Sostituiamo H*=6 in F=3H e troviamo F*=18 6

Quindi il paniere ottimo è uguale a: H* = 6 F* = 18 d) Supponete che il prezzo degli hamburger si raddoppi. Qual è il consumo ottimale di hamburger e patatine coi nuovi prezzi? Il nuovo vincolo di bilancio è pari a: 2F+3H=45 Il punto di equilibrio è dato: 2F + 3H F = 3H = 45 Quindi, il consumo di entrambi i beni si è ridotto: H* = 5 F* = 15 e) I genitori di Teodora decidono di aumentarle la paghetta affinché lei possa consumare le stesse quantità che consumava precedentemente all aumento del prezzo delle patatine (equilibrio del punto c). Di quanto ammonta l aumento della paghetta settimanale? Il paniere iniziale contiene H=6 e F=18, per mantenere le stesse quantità ai nuovi prezzi, dobbiamo riscriver il vincolo di bilancio, mettendo la paghetta come incognita: 3*6+2*18=I I*=54 Quindi l aumento della paghetta sarà pari a (54-45) =9 7

Domande propedeutiche all esercitazione Prima Parte Definizioni Si definiscano sinteticamente i seguenti termini anche con l ausilio, se necessario, di formule e/o grafici: a) Saggio marginale di sostituzione Data una certa funzione di utilità ed un certo paniere di due beni, il saggio marginale di sostituzione (del secondo bene in termini del primo bene) in corrispondenza di tale paniere e la quantità aggiuntiva del secondo bene necessaria per mantenere il livello di utilità invariato, quando il consumo del primo bene diminuisce di un unita. b) Vincolo di bilancio del consumatore E l insieme di tutti i panieri per acquistare i quali il consumatore spende il suo intero reddito. c) Costo Opportunità di un bene Il valore del più prezioso tra i beni alternativi ai quali si rinuncia per aver il bene. d) Microeconomia La branca dell economia che studia il comportamento economico dei singoli operatori, come le famiglie, le imprese ed i risultati che le decisioni individuali producono complessivamente. e) Equilibrio Una situazione che perdura perché nessuno ha motivo di modificare il suo comportamento. Nel modello della domanda ed offerta, l equilibrio è rappresentato dall uguaglianza di quantità offerta e quantità domandata, in corrispondenza di un dato prezzo. f) Curva di Indifferenza L insieme di tutte le combinazioni considerate equivalenti dal consumatore. g) Utilità marginale La variazione dell utilità totale conseguente al consumo di un unità aggiuntiva di un bene. 8

Seconda Parte Vero, falso od incerto. Si stabilisca se i seguenti enunciati sono veri, falsi, o incerti (cioè veri solo sotto ipotesi restrittive non contenute nell enunciato). Si fornisca una spiegazione e si argomenti compiutamente la risposta. [NB: La spiegazione e l argomentazione sono più importanti della corretta classificazione]. a) Al fine di massimizzare l utilità un consumatore deve scegliere un paniere in corrispondenza del quale il saggio marginale di sostituzione e uguale al rapporto fra i prezzi dei due beni Dipende dalle preferenze del consumatore. Sostituti e complementi ne sono un contro esempio. b) Un individuo dispone di un reddito pari a I0 per l'acquisto di due beni i cui prezzi sono p1=10 e p2=20. In questa situazione iniziale il vincolo di bilancio dell individuo ha determinate intercette e inclinazione. Ora: 1) Se il reddito a disposizione dell individuo dimezzasse (I0/2) e i prezzi restassero costanti a p1=10 e p2=20, il vincolo di bilancio si sposterebbe verso sinistra parallelamente al vecchio vincolo di bilancio, e l insieme dei panieri ammissibili si ridurrebbe. 2) Se invece, fermo restando il reddito a I0, i prezzi di entrambi i beni raddoppiassero (p1=20 e p2=40), il vincolo di bilancio non si sposterebbe rispetto alla posizione iniziale (manterrebbe cioè le stesse intercette e inclinazione) e l insieme dei panieri ammissibili non si ridurrebbe. Vera la 1); Falsa la 2). Infatti: nella situazione iniziale l intercetta verticale sarebbe I/p2= I0/20, e l intercetta orizzontale I/p1 = I0/10. L inclinazione del vincolo di bilancio sarebbe pari a - p1/p2 = -1/2. Situazione a): Il reddito è ora I0/2, quindi l inclinazione del vincolo di bilancio non varia, mentre le intercette diventano rispettivamente I/2p2=I0/40 e I/2p1=I0/20. Il vincolo di bilancio, quindi, si sposta verso sinistra parallelamente al precedente. L insieme dei panieri ammissibili si riduce. Situazione b) L inclinazione del vincolo di bilancio non cambia perché i prezzi dei due beni sono variati nella stessa proporzione. Cambiano però le intercette esattamente come al punto a) quindi il vincolo di bilancio si sposta di nuovo verso sinistra parallelamente a quello iniziale e di nuovo l insieme dei panieri ammissibili si riduce. 9

c) Nel caso di beni perfetti sostituti, il saggio marginale di sostituzione è infinito. Falso. Nel caso di beni perfetti sostituti il consumatore è sempre disposto a sostituire x a y in un rapporto fisso e pertanto il saggio marginale di sostituzione è costante. d) Il MRS yx è costante nel caso dei beni perfetti sostituti. Vero o Falso? Motivate la risposta. L asserzione è VERA. Infatti la funzione di utilità di due generici beni perfetti sostituti è: U ( x, y) = ax + by Calcolando: U ( x, y) MU x = = a x U ( x, y) MU y = = b y MU x Sapendo che MRS yx = segue che: MU a MRS yx = b y Come è facile notare, il MRS non dipende in questo caso da y e x ma solo dai coefficienti a e b e dunque è costante. 10

Terza Parte Esercizi Cobb-Douglas Esercizio 1 Daniela consuma libri (X) e schede telefoniche (Y). Il prezzo unitario dei libri è pari a 8 euro, mentre quello delle schede telefoniche è pari a 10 euro. Inoltre le preferenze di Daniela per questi due beni possono essere rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U(X,Y)=X 0,4 Y 0,6 a) Qual è il saggio marginale di sostituzione fra le quantità di libri e schede telefoniche? 0,4 1 0,6 MU x 0,4* X Y 2 Y L'MRS è pari a MRS yx = = = 0.6 1 0,4 MU 0,6* Y X 3 X y b) Scrivete e rappresentate graficamente il vincolo di bilancio di Daniela, sapendo che il reddito di cui dispone è di 800 euro mensili. Indicate chiaramente le intercette e l inclinazione del vincolo di bilancio. Y 100 48 E -4/5 40 80 X Il vincolo di bilancio è dato da 8X+10Y=800. Le intercette verticale e orizzontale sono rispettivamente 80 e 100. La pendenza è -4/5. c) Quale sarà il paniere ottimo scelto da Daniela? Rappresentatelo nel grafico precedente. Mettendo a sistema la condizione di tangenza e il vincolo di bilancio abbiamo: 11

2 Y 4 = 3 X 5 8X + 10Y = 800 X Y * * = 40 = 48 d) Dopo un anno l inflazione ha portato il prezzo unitario dei libri da 8 a 12 ed il prezzo delle schede telefoniche da 10 a 15. Di quanto deve aumentare il reddito mensile di Daniela perché in equilibrio possa ora ottenere lo stesso livello di utilità dell anno precedente? Non occorre fare calcoli. Sia il prezzo dei libri che il prezzo delle schede telefoniche è aumentato del 50%. Di conseguenza, la pendenza del vincolo di bilancio non si è modificata, ma il vincolo di bilancio si è spostato parallelamente verso il basso. Perché ottenga la stessa utilità dell'anno precedente, e poichè i prezzi relativi non sono cambiati, Daniela dovrà ricevere un reddito aggiuntivo che le consenta di tornare esattamente nel vecchio equilibrio. Perciò, anche il reddito dovrà aumentare del 50%, ed essere pari a 1200 Euro. Esercizio 2 Giovanna consuma cioccolata (X) e fiori (Y). Il prezzo della cioccolata è pari 4 euro al Kg e quello dei fiori 7 euro al mazzo. Inoltre le preferenze di Giovanna per questi due beni possono essere rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U(X,Y)=X 0,3 Y 0,7 a) Quale è il saggio marginale di sostituzione fra le quantità di cioccolata e fiori? MRS Y,X =MU X /MU Y =3/7 (Y/X) b) Scrivete e rappresentate graficamente il vincolo di bilancio sapendo che il reddito di cui dispone Giovanna è di 280 euro settimanali, indicando chiaramente le intercette e l inclinazione. 12

Y F A 28 U 21 E X P x X+P Y Y=I 4X+7Y=280 Pendenza α= -4/7 E=280/4=70; F=280/7=40 c) Quale sarà il paniere ottimo scelto da Giovanna? Derivate analiticamente la quantità ottima consumata dei due beni e fornitene una rappresentazione nel grafico precedente. 3/7 * Y/X = 4/7 X = 21 A(21; 28) 4X + 7Y = 280 Y = 28 d) Giovanna riceve prima delle vacanze estive un aumento di stipendio, il suo nuovo reddito sarà pari a 320 euro. Come varierà la quantità di cioccolata e fiori che Giovanna vorrà acquistare? Calcolate il nuovo equilibrio e rappresentatelo graficamente. 13

Y F 1 32 B U 1 24 E 1 X 3/7 * Y/X = 4/7 X = 24 B(24; 32) 4X + 7Y = 320 Y = 32 F 1 =320/7=45,71 ; E 1 =320/4=80 Perfetti sostituti Esercizio 1 Considerate la seguente funzione di preferenze della signora Violante: U=X+Y Dove X sono scarpe mocassini ed Y sono scarpe col tacco. a) Di che tipo di preferenze si tratta? In questo caso i mocassini e le scarpe col tacco sono perfetti sostituti. b) Calcolate il saggio marginale di sostituzione. MRS yx MU = x MU y 1 = = 1 1 14

c) Se il prezzo dei mocassini è uguale a p x =10 e quello delle scarpe col tacco è p y =20. Scrivete il vincolo di bilancio nel caso in cui il reddito della signora è pari a 100. Il vincolo di bilancio sarà pari a: 100=10X+20Y Y=5-0,5X intercetta verticale=5 e pendenza=0,5. X=10-2Y intercetta orizzontale=10 d) Trovate la quantità di equilibrio di mocassini e scarpe col tacco. Nel caso di perfetti sostituti, la signora Violante acquisterà solo uno dei due beni, tranne nel caso in cui il MRS è il rapporto tra i prezzi è identico, allora in quel caso, l equilibrio è dato una qualsiasi combinazione dei due beni. Px Se MRS> (le curve di indifferenza sono più inclinate rispetto al vincolo di bilancio) Py solo il bene X è consumato Px Se MRS< (le curve di indifferenza sono meno inclinate rispetto al vincolo di bilancio) Py solo il bene Y è consumato In questo caso, 10 MRS=1> = 0, 5 = 20 Px Py la signora Violante acquisterà solo mocassini X*=10, Y*=0 15

Perfetti Complementi Esercizio 1 Alice adora mangiare 1 etto di fragole (F) con 1 pallina di gelato alla vaniglia (G). Nel periodo di preparazione all esame di microeconomia, Alice spende tutta la sua paghetta di 40 in fragole e gelato. Il prezzo di un etto di fragole (p F ) è pari a 2, il prezzo di una pallina di gelato (p G ) è pari a 0,5. a) Che tipo di relazione esiste tra le fragole ed il gelato? Come rappresentereste analiticamente e graficamente le sue preferenze? In questo caso le fragole ed il gelato sono perfetti complementi. La funzione di utilità è rappresentata da: U = min F, G { } 16

b) Calcolate il saggio marginale di sostituzione. Nel caso di beni perfetti complementi, il saggio marginale di sostituzione non è definito nei punti rilevanti, mentre è uguale a 0 lungo la parte orizzontale della curva d indifferenza ed è infinito nella parte verticale della curva di indifferenza. c) Scrivete il vincolo di bilancio e rappresentatelo in corrispondenza delle preferenze. Vincolo di Bilancio: I=p F F+p G G 40=2F+0,5G Da questo possiamo scrivere: G=80-4F L intercetta verticale del vincolo di bilancio è 80 e la sua pendenza è -4 Per trovare l intercetta orizzontale, poniamo: F=20-0,25G Quindi l intercetta orizzontale è 20 17

e) Disegnate la quantità consumata di ogni bene. La quantità ottima è data: G = F 40 = 2F + 0,5G F* = 16 G* = 16 Quindi Alice mangerà 16 etti di fragole con 16 palline di gelato! 18

Ulteriori esercizi e domande Definizioni a) Assioma di completezza Il consumatore, quando gli vengono proposti due panieri di beni qualsiasi, è sempre in grado di dire quale dei due preferisce o se li considera equivalenti. b) Assioma di non sazietà Di più è meglio c) Funzione di utilità ordinale Una funzione di utilità che consente di ordinare le varie combinazioni di beni in base alla loro utilità totale, ma non di misurare con esattezza la soddisfazione che ognuna di esse procura. d) Razionamento Caso in cui il vincolo di bilancio non è lineare. In questa situazione il consumatore dovrà consumare una certa quantità di un certo bene, determinata da un imposizione, ad esempio legislativa. In questo caso, l area dei panieri ammissibili è ridotta. 19

e) Soluzione interna Un paniere, corrispondente ad una situazione di equilibrio, che contiene una certa quantità di tutti i beni. Esercizi per la preparazione delle domande del vero, falso od incerto a) Lisa mangia sempre un panino con due fette di formaggio. A quale dei seguenti grafici corrisponde la sua mappa di curve di indifferenza? Formaggio Formaggio 2 1 1 Panini 2 Panini Formaggio Formaggio 2 1 1 Panini 2 Panini La relazione tra i due beni è quella di perfetta complementarità: Lisa vuole consumare Panini E Formaggio insieme. Questo ci porta a scartare come possibili risposte i due 20

grafici che raffigurano curve di indifferenza lineari: sappiamo che le curve di indifferenza dei beni perfetti complementi mostrano la peculiare forma a L. Tra le possibili risposte, vengono proposti due grafici con curve di indifferenza a L ; quale dei due rappresenta effettivamente le preferenze di Lisa? Nel testo dell esercizio viene precisato che, per ogni panino, Lisa vuole consumare due fette di formaggio: dunque ogni equilibrio del consumatore Lisa vedrà un consumo di formaggio doppio rispetto a quello di panini (2F, 1P; 4F,2P; ma anche 1F, 2 1 P.). Una serie di equilibri di questo tipo è compatibile solo col grafico seguente (retta delle proporzionalità con coefficiente angolare 2) che costituisce la risposta corretta. Dovreste altresì essere in grado di scrivere in forma analitica la funzione di utilità dei beni in oggetto: { F, P} U ( x, y) = Min 2 Formaggio 2 1 Panini 21

b) Considerate la seguente funzione di utilità: { 2x, y} U = min 5 a quale grafico corrisponde? Y Y 5 2 2 X 5 X Y Y 5 2 2 X 5 X Anche se l aspetto della funzione di utilità in oggetto può non essere dei più rassicuranti, dovreste essere ormai in grado di riconoscerla come la forma analitica dell utilità dei beni perfetti complementi. Perché questa funzione sia massimizzata (e dunque ci si trovi in equilibrio) occorre che 2x = 5y 22

Infatti: se 2x > 5y, l utilità conseguita potrebbe essere accresciuta scambiando x con y. se 2x < 5y, l utilità potrebbe essere accresciuta scambiando y con x. In entrambi i casi non ci troveremmo in equilibrio. Dalla condizione 2x = 5y segue che: 2 y = x (è una retta uscente dall origine) 5 che è l equazione della retta che rappresenta la proporzionalità tra i due beni nel grafico corretto. Y 2 5 X c) Il MRS yx, nel caso dei perfetti complementi è: Costanteٱ (infinito) sul tratto verticale delle curve di indifferenza, 0 sul ٱ tratto orizzontale, non definito nei punti angolosi Nessunaٱ delle precedenti Tutteٱ le precedenti Nel caso dei beni perfetti complementi, il MRS è infinito sul tratto verticale della curva di indifferenza, nullo su quello orizzontale e non definito nel punto angoloso. Se due beni sono percepiti come perfetti complementi, il soggetto trae utilità solo dal loro consumo in una certa proporzione fissa; panieri di beni che non siano caratterizzati da tale proporzionalità nel consumo non forniscono alcun incremento di utilità (il principio di non sazietà è violato). 23

Supponiamo, per semplicità, che il consumatore voglia consumare in ugual misura (rapporto 1:1) x e y e figuriamoci di partire da un punto di equilibrio dove dunque il * * * paniere sarà del tipo ( x *, y ) con x = y. A partire da questo punto, immaginiamo di incrementare la dotazione di y (saliamo lungo il tratto verticale della curva di indifferenza) senza però modificare la quantità di x: panieri del tipo (x, 2y); (x, 3y); (x, 4y), etc.. non accrescono l utilità del consumatore. Neppure un paniere (x, 1000000y) accrescerebbe l utilità del consumatore; invece, un paniere (2x, 2y) sarebbe situato su una più alta curva di indifferenza. Il consumatore, sul tratto verticale, sarebbe disposto a rinunciare a notevolissime quantità di y pur di avere un po più di x: questo implica che il MRS sia infinito. Un ragionamento speculare vale sul tratto orizzontale: lì è la quantità di x ad essere in eccesso e il consumatore sarebbe ben felice di poter rinunciare a una quota del suo consumo di x pur di avere in cambio una quantità (anche piccolissima) di y. Dunque quante unità di y sarebbe disposto a cedere per avere x in questa situazione? Ovviamente nessuna; quindi il MRS è nullo. Infine se ricordiamo che MRS = yx MU MU x y possiamo capire perché il MRS non è definito nel punto angoloso: nel punto angoloso la funzione non è derivabile, dunque non sarà possibile definire né MU x né MU y né, a maggior ragione, il loro rapporto che è proprio il MRS. Una dimostrazione ancor più intuitiva si ha ricordando che il MRS è l opposto della pendenza della curva di indifferenza. La pendenza della curva di indifferenza è - sul tratto verticale, 0 sul tratto orizzontale e non definibile sul punto angoloso; quindi segue che il MRS vale sul tratto verticale, 0 su quello orizzontale e non definito nel punto angoloso. 24

d) Lisa è indifferente tra tre bicchieri di acqua e due di aranciata. La sua mappa di curve di indifferenza corrisponde al grafico: Aranciata Aranciata 3 2 2 Acqua 3 Acqua Aranciata Aranciata 3 2 2 Acqua 3 Acqua Se Lisa è indifferente tra 3 bicchieri d acqua e 2 di aranciata significa che i due panieri: P 1 (3 Acqua; 0 Aranciata) e P 2 (0 Acqua; 2 Aranciata) giaceranno sulla medesima curva di indifferenza. Perciò il grafico che rappresenta le preferenze di Lisa non può che essere il seguente: 25

Aranciata 2 3 Acqua Per inciso, la funzione di utilità dei beni in oggetto è: U ( Ar, Ac) = 3Ar + 2Ac e) Il saggio marginale di sostituzione tra due beni (x e y) è definito come: Ilٱ rapporto tra le utilità marginali Ilٱ rapporto tra i prezzi Nessunaٱ delle precedenti p p x y MU MU x y Tutteٱ le precedenti Il saggio marginale di sostituzione è definito come il rapporto tra le utilità marginali MU x. MU y Questa relazione può essere ricavata analiticamente a partire dal fatto che, lungo una curva di indifferenza, il differenziale totale della funzione di utilità è nullo (cfr. Katz Rosen Appendice 3A pag. 90). px Sostenere che il MRS sia definito come rapporto tra i prezzi è ERRATO. p y Infatti, sebbene nella risoluzione degli esercizi, nel caso generale della Cobb-Douglas, siate abituati ad impostare il sistema scrivendo: MRS = yx p p x y 26

questa non è un identità ma una condizione (assicura la tangenza tra curva di indifferenza e vincolo di bilancio) che viene imposta per trovare il paniere ottimo. Non è un intrinseca proprietà del MRS essere uguale al rapporto tra i prezzi: ciò è vero solo nel punto di equilibrio, mentre è sempre vero che il MRS è pari al rapporto tra le utilità marginali. f) Considerate la seguente funzione di utilità: U ( x, y) = 3x + 7y A quale dei seguenti grafici corrisponde? Y Y 7 3 3 X 7 X Y Y 7 3 3 X 7 X 27

I beni in questione sono perfetti sostituti. L equazione di una generica curva di indifferenza è: U = 3 x + 7y da cui 7y = U 3x e ancora 3 1 y = x + U 7 7 La pendenza della curva di indifferenza è, in valore assoluto, 7 3 < 1 (che sarebbe il valore assoluto della pendenza della retta inclinata a 45 ). Dei grafici proposti, solo uno ha curve di indifferenza rettilinee più piatte della retta inclinata a 45. Il seguente: Y Retta inclinata a 45 3 7 X Ulteriori esercizi 1) Teresa ha un reddito di 120 Euro alla settimana ed è una accanita lettrice di romanzi. Le sue preferenze relative al consumo di romanzi (x) e di tutti gli altri beni (y) sono descritte dalla seguente funzione di utilità: U(x,y) = xy. 28

a) Sapendo che il prezzo di un romanzo è pari a 2 Euro (p x = 2) e che il prezzo di tutti gli altri beni è pari ad 1 (p y = 1), si scriva il vincolo di bilancio di Teresa e lo si rappresenti graficamente indicando il valore delle intercette e dell inclinazione. Vincolo di bilancio: 2x + y = 120 Intercette: (0,120) e (60,0) Inclinazione: -2 y 120 60 30 60 x b) Calcolate il saggio marginale di sostituzione e commentatene il significato economico. y MRS yx = x c) Ricavate il paniere di equilibrio di Teresa e rappresentatelo graficamente. y = 2 x 2x+ y = 120 x = 30 y = 60 d) Supponete ora che i tempi di arrivo dei nuovi romanzi nella libreria da cui si serve Teresa siano tali che per Teresa è impossibile acquistare più di 40 nuovi romanzi a settimana. Come si modifica il vincolo di bilancio? Rappresentatelo graficamente. 29

y 120 40 x e) Quali effetti produce il razionamento sull utilità di Teresa? Nessuno, rimanendo la scelta invariata. Infatti quando panieri contenenti più di 40 romanzi erano disponibili non erano comunque stati scelti. Il razionamento non è per Teresa stringente. Il paniere a questi preferito è ancora disponibile e continuerà ad essere scelto. 2) Valerio è uno studente di dottorato. Il venerdì sera spende tutto il suo reddito tra bicchieri di birra e di vino. Valerio è sempre disposto a sostituire un bicchiere di birra (B) con due bicchieri di vino (V). Il prezzo di un bicchiere di birra è pari a 5 euro, mentre quello di un bicchiere di vino è pari a 4 euro. a) Che relazione sussiste fra i due beni nelle preferenze di Valerio? Scrivete la funzione di utilità. beni perfetti sostituti U=2B+V 30

b) Scrivete e rappresentate nel grafico sottostante il vincolo di bilancio di Valerio sapendo che il reddito di cui dispone è di 40 Euro alla settimana. Indicate chiaramente le intercette e l inclinazione. 5B+4V=40, inclinazione: -5/4 V 10 8 B c) Derivate analiticamente la quantità ottima consumata dei due beni e fornite una rappresentazione dell equilibrio nel grafico precedente. 5B+4V=40 5/4<2 (=sms) B*=40/5=8, V*=0 d) Valerio ha fatto colpo sulla barista e ottiene uno sconto del 50% su tutte le consumazioni. Che effetto avrà questo sconto sulla scelta ottima di Valerio? Valerio continuerà a consumare solo birra, tuttavia ne aumenterà la quantità consumata: B*=16 3) Il signore Bonaparte predilige fare colazione bevendo una tazza di cappuccino (C) e mangiando 2 croissant (B). Il reddito settimanale disponibile per la colazione è pari a 21, il prezzo di una tazza di cappuccino (p C ) è pari a 1,5 ed il prezzo di un croissant (p B) è pari a 1. a) Di che tipo di preferenze si tratta? Scrivete la formula analitica e datene una rappresentazione grafica. 31

Si tratta di bene che sono perfetti complementi, le preferenze sono descritte analiticamente: U = min B, 2C { } b) Quante volte alla settima il signor Bonaparte può fare colazione bevendo cappuccino e mangiando croissant? L equilibrio è dato: B = 2C B + 1,5C = 21 C*=6; B*=12 Il signore Bonaparte potrà mangiare croissant e bere cappuccino 6 giorni la settimana. c)se volesse fare colazione tutti i giorni della settimana mangiando croissant e bevendo cappuccino, quale dovrebbe esser il suo reddito? In questo caso il suo equilibrio sarebbe: C*=7; B*=14 Sostituendo questi valori nel vincolo di bilancio, mantenendo come incognita il reddito, abbiamo: I=14+1,5*7=24,5 Quindi il suo reddito settimanale destinato alla colazione dovrebbe essere pari a 24,5. 32

d) Oppure mantenendo sempre un reddito pari a 21, quale dovrebbe esser il prezzo di una tazza di cappuccino (se p B =1)? Quale potrebbe esser il prezzo dei croissant (se p C =1,5)? In questo caso poniamo come incognita prima il prezzo di una tazza di cappuccino e poi il prezzo dei croissant: Caso a): 21=14+p C 7 p c =1, quindi il prezzo del cappuccino dovrebbe esser pari ad 1 affinché con lo stesso reddito e lo stesso prezzo dei croissant sia possibile fare colazione 7 giorni su 7. Caso b): 21=p B 14+1,5*7 p B =0,75 quindi il prezzo dei croissant dovrebbe esser pari ad 0,75 affinché con lo stesso reddito e lo stesso prezzo del cappuccino sia possibile fare colazione 7 giorni su 7. Esercizi suggeriti dal Tangorra: Capitolo 1, fino all esercizio 11 33