PROBLEMA alcolare l nclnazone β, rspetto al pano stradale, che deve avere un motocclsta per percorrere, alla veloctà v = 50 km/h, una curva pana d raggo r = 4 m ( Fg. ). Fg. Schema delle condzon d equlbro n curva d un vecolo a due ruote. Soluzone Nel caso d vecol a due ruote, per potere arontare una curva pana, occorre che ess assumano una poszone nclnata rspetto al pano della strada ( Fg. ). La condzone d equlbro s esprme, come per vecol a quattro ruote, uguaglando n ogn stante l momento della orza peso con quello della orza centruga rspetto al punto d contatto A ra ruota e suolo. Ne consegue che l espressone della veloctà v è: gr v= tg β da cu s rcava: tg β = gr v In questo modo, sosttuendo con dat numerc ed esprmendo la veloctà n m/s, s ottene: e: 50 v= 36 3,, 9 m s 9, 8 4 tg β = =, 3 3, 9 pertanto l angolo d nclnazone vale: β = 64 5'
PROBLEMA Un convoglo errovaro, d peso complessvo p = 5000 kn, percorre un tratto d lnea errovara paneggante alla veloctà v = 54 km/h. Determnare la orza necessara ad arrestare l convoglo nel tempo t = 3 mn. Soluzone R Le legg delle veloctà e degl spaz del moto rettlneo unormemente rtardato sono: v = v at s= v t at t S osserv che le legg del moto unormemente rtardato s rcavano da quelle del moto unormemente accelerato, sosttuendo al valore dell accelerazone a l valore della decelerazone a, pertanto nell applcare le equazon del moto unormemente rtardato basta sostture n esse l valore assoluto della decelerazone, n quanto del segno negatvo s è gà tenuto conto. L energa cnetca posseduta dal convoglo errovaro n moto vale: E = mv = 5 000 000 = 6 5 57, 34 0 J c 98, e deve essere spesa, sotto orma d lavoro, per arrestarne l moto, ossa: E = L = F s c onsderando le relazon del moto rettlneo unormemente rtardato: e: v v at s= v t at 0 dalla prma ormula s rcava l valore della decelerazone a: a = v v 0 0 = 5 = 008, t 80 mentre dalla seconda ormula s rcava l valore dello spazo s percorso: = s = 5 80 0, 08 80 = 96 m Pertanto la orza necessara per arrestare l convoglo nel tempo t = 80 s, assume l seguente valore: 0 m s F L Ec 57, 34 0 = = = s s 96 6 = 44 44 N 444 dan
Applcazone del teorema della quanttà d moto per la soluzone de problem d Per la soluzone de problem d, acendo rermento alla durata della orza che agsce su un corpo e ndvduando una relazone ra la sua massa e la veloctà, ossa ntroducendo le grandezze cnematche d tempo e veloctà, è possble applcare la seconda legge della : F= ma n una orma dversa, ovvero nella orma che costtusce l espressone analtca del teorema della quanttà d moto: ( nale nzale ) Ft= m v v n cu la grandezza vettorale Ft, data dal prodotto della orza per l tempo d applcazone della stessa, è detta mpulso della orza ; mentre l prodotto della massa per la veloctà stantanea del corpo mv costtusce la grandezza vettorale detta quanttà d moto. Pochè l prodotto m (v nale v nzale ) rappresenta la varazone della quanttà d moto, l teorema della quanttà d moto aerma che: l mpulso Ftd una orza agente su un punto materale per un ntervallo d tempo t è uguale alla varazone della quanttà d moto del punto materale nello stesso ntervallo d tempo.
PROBLEMA 4 alcolare l momento d nerza d massa, rspetto all asse geometrco, della pulegga n accao ( Fg. 4), le cu caratterstche sono: dametro nterno della corona () d = 440 mm; dametro esterno della corona () d e = 500 mm; dametro nterno del mozzo (3) d 3 = 50 mm; dametro esterno del mozzo (3) d e3 = 00 mm; spessore dell anello () s = 0 mm; larghezza della pulegga l = 75 mm; massa volumca dell accao ρ = 7850 kg/m 3. Fg. 4 Sezone longtudnale d una pulegga n accao. Soluzone S consder la pulegga n tre part, ormata coè da tre clndr cav d grande spessore, d cu sono note le relazon per calcolare rspettv moment d nerza ( Tab..), pertanto s ottene quanto segue. orona: J = m( r + e r ) n cu: qund s ha: e ( ) = ( ) = m = ρ V = ρπ r r l 7850 π 0, 5 0, 0, 075 6 kg ( ) = J = 6 0, 5 + 0,, 44 kgm Dsco: ( ) J = m r + e r
dove: dunque s ha: Mozzo: essendo: s ottene: e 3 e3 ( ) = ( ) = m = ρ V = ρπ r r s 7850 π 0, 0, 05 0, 0,3 kg J =, 3 0, + 0, 05 0, 9 kgm ( 3) = ( ) = m = ρ V = ρπ r r l 7850 π 0, 05 0, 05 0, 075 3,47 kg ( ) = ( 3) J = m r + r 3 3 e3 ( ) = J = 3 3, 47 0, 05 + 0, 05 0, 0054 kgm Il momento d nerza totale della pulegga è dato dalla somma de moment d nerza delle tre part che la costtuscono, calcolat tutt rspetto al medesmo asse: J = J + J + J =, 44 + 0, 9+ 0, 0054 =, 735 kgm 3 onrontando moment d nerza delle tre part costtuent la pulegga con l momento d nerza totale, s nota che l apporto al momento d nerza delle part vcne all asse d rotazone è modesto, mentre è preponderante quello della parte pù dstante dall asse, ossa della corona esterna, l cu momento d nerza rappresenta l 83% del totale.
PROBLEMA 5 Un motore svluppa una potenza d 0 kw alla requenza d rotazone n = 3500 gr/mn. Sapendo che l momento d nerza d massa del volano, collegato all albero motore, è J =,8 kg m e che l momento della coppa renante vale M = 37,3 N m, determnare l tempo che mpega l motore a raggungere la requenza d rotazone n = 400 gr/mn. R Il volano è un organo meccanco, a orma d dsco o d pulegga a razze con corona d grande spessore, calettato sull albero motore d una macchna; esso serve a mantenere entro determnat lmt le varazon contnue d veloctà angolare causate dalle varazon della coppa motrce applcata all albero, rducendo così lo scarto ra l valore massmo e quello mnmo della veloctà angolare e unormando l moto dell albero. Soluzone La varazone dell energa cnetca del volano è dovuta alla varazone del regme d rotazone del motore; questa energa vene spesa dal volano per trascnare n rotazone gl organ del motore a cu esso è collegato. Il lavoro computo a spese dell energa cnetca del volano s rcava dall espressone del teorema delle orze vve: ma l lavoro s esprme anche medante la seguente relazone: n cu M ndca l momento della coppa renante e ϑ è l angolo d rotazone, espresso n rad, dell albero motore per passare da 3500 gr/mn a 400 gr/mn. Pertanto s ha: M ϑ J ω J ω = da cu s rcava, sosttuendo valor numerc not, l angolo ϑ: che, se s consdera l valore assoluto, equvale a: R D seguto sono elencate le legg del moto crcolare unormemente rtardato. Decelerazone angolare (accelerazone angolare negatva): Spazo angolare percorso: ( ), 8 = ( 4, 9 366, 5 ) J ω ω ϑ = M L= Jω Jω L= Mϑ 37, 3 0 969 n = = 3337 gr π ω ω ε = t ϑ = ω t ε t dove lo spazo nzale ϑ è consderato nullo e la veloctà angolare nzale ω è maggore d quella nale ω. = 0 969 rad
Dalle legg del moto crcolare unormemente rtardato, s rcava l valore del tempo mpegato dal motore per arrvare a 400 gr/mn. Mettendo a sstema le seguent relazon: ϑ = ω t ε t s ottene: ω ω ε = t ϑ t = ω + ω nne, sosttuendo con valor not, s rcava: 0 969 t = 366, 5+ 4, 8 03 s