Lezione 2 Analogico/Digitale Il sistema binario L aritmetica binaria La conoscenza del mondo Per poter parlare (ed elaborare) degli oggetti (nella visione scientifica) si deve poter assegnare a questi una descrizione la descrizione può essere: categorica ordinale numerale 1
Descrizione Categorica Lunedì/Martedì/../Domenica Antonio/Mario/ /Ugo Ordinale Disgustoso/Insipido/Saporito/Gustoso Banale/Comune/Originale Brutto/Bello Numerale 1,2,3,,99,100-0.1356, +1.34 E +12 Dat2 2cterine 2
Dati e interi non significa che tutte le operazioni che sono permesse con gli interi hanno adesso senso per i dati categorici o ordinali (la corrispondenza non è biunivoca) per i categorici ha senso solo l operazione di egualianza per gli ordinali ha senso solo l operazione di ordinamento (< o > o =) Continuo/Discreto Le grandezze numeriche possono essere continue o discrete continuo: la temperatura discreto: il numero di abitanti di una nazione Le grandezze continue si rappresentano con i numeri reali Le grandezze discrete con i numeri naturali 3
Continuo/Discreto Numeri razionali: A/B con A e B in N Si possono esprimere frazioni un terzo di una torta 2/3 di un giorno Possiamo pensare ad un numero razionale come ad una indicazione di quante sotto unità considerare 2/3 = prendere 2 sotto unità da 1/3 se disponiamo di un modo per indicare la sotto unità per rappresentare i razionali ci bastano i naturali Continuo/Discreto Si può approssimare un numero reale con un numero razionale in pratica significa che ci fermiamo dopo un certo numero di cifre decimali 2,34 significa: scegli come sotto unità 0,01 e prendine 234 si possono dare approssimazioni razionali arbitrariamente vicine ad un reale: 3,14 = 314 x 0.01 3,1415672343 = 31415672343 x 0.00000001 4
Analogico/Digitale Il predicato analogico è l equivalente di continuo, digitale di discreto dato un segnale analogico/continuo se ne può costruire una approssimazione digitale/discreta arbitrariamente vicina Esempio 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Digitale Analogico 5
Approssimazione 6
Digitale+informatica L informatica vuole trattare l informazione L informazione può essere di tipo categorico, ordinale, numerale Ogni tipo di informazione può essere elaborata come se stessimo elaborando informazione numerica (con opportune restrizioni sulle operazioni ammesse) il calcolatore tratta solo numeri I dati numerici La conoscenza di una proprietà di un oggetto è data dalla coppia (valore della misura, unità di misura) il valore della misura è espresso tramite un numero es: proprietà di interesse=il peso unità di misura=kg conoscenza: questo tavolo pesa (30 kg) 7
Dati numerici La manipolazione delle quantità numeriche prevede l introduzione del concetto di operazione op(num1, num2)=num3 es: somma(23,3)=26 potenza(2,3)=8 egualianza(4,5)=0, egualianza(5,5)=1 Rappresentazione dei numeri E possibile rappresentare i numeri in modi diversi a seconda di come si rappresentano i numeri cambia il modo di calcolare il risultato di una data operazione su di essi quale e il modo più semplice ed affidabile per rappresentare i numeri e fare operazioni? 8
Il sistema decimale Il sistema di numerazione comunemente impiegato è quello posizionale in base 10 o decimale il sistema decimale si basa su dieci simboli diversi detti cifre: 0123456789 un numero è rappresentato da una sequenza di cifre: 2876 è un numero (23A$12 no) Il sistema decimale Il termine posizionale indica che il valore assunto da ciascuna cifra dipende dalla sua posizione entro la sequenza in 392, la cifra 2 vale 2 unità ovvero 2, la cifra 9 vale 9 decine ovvero 9x10=90, la cifra 3 vale 3 centinaia ovvero 3x100=100 in sintesi: 8453=8x1000+4x100+5x10+3 ovvero: 8453=8*10 3 +4 *10 2 +5*10 1 +3*10 0 9
La base numerica I numeri si possono rappresentare anche con altri sistemi di numerazione posizionale si consideri un sistema in base 3 si hanno 3 simboli o cifre: 012 un numero è sempre rappresentato da una sequenza di cifre: 201122 è un numero (241765 no) Base numerica A quale numero in base 10 equivale il numero 2102 in base 3? Il valore associato ad ogni cifra dipende dalla posizione: 2102= 2*3 3 + 1*3 2 + 0*3 1 + 2*3 0 =2*27+9+2=65 10
Base numerica In generale dato un numero in base numerica B: c n c n-1 c 1 c 0 dove la cifra c i assume uno di B possibili valori il valore in base decimale è dato da c n *B n +c n-1 *B n-1 + c 1 *B 1 +c 0 *B 0 Binario Il sistema numerico più semplice possibile è quello binario le cifre sono: 01 le cifre sono chiamate bit una sequenza di cifre è un numero binario 00101010111110101 è un numero (120301 no) 11
Conversione binario decimale Quale numero in base 10 rappresenta il seguente numero in base 2? 11010 = 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 = 16+8+2=26 Ottale I calcolatori usano numeri in base 2,8 o 16 come si vedrà la conversione di numeri fra queste basi è molto semplice in base 8 si ha il sistema ottale le cifre ammesse sono: 01234567 172= 1*8 2 + 7*8 1 + 2*8 0 =64+56+2=122 12
Esadecimale Un sistema numerico in base 16 è detto esadecimale le cifre ammesse sono: 0123456789ABCDEF A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15 7C1= 7*16 2 + C(=12)*16 1 + 1*16 0 = 7*256+12*16+1=1985 Intervallo di rappresentazione Se il numero di cifre con cui rappresentare un numero è limitato allora anche l intervallo di numeri rappresentabile è limitato es. in base decimale con due cifre si possono rappresentare i numeri da 0 a 99 cioè 100 numeri con tre cifre da 0 a 999 cioè 1000 numeri 13
Le targhe Esercizio se una targa è così composta: 2 lettere 3 numeri 2 lettere, dove le lettere appartengono ad un alfabeto di 25 simboli, quante targhe distinte si possono ottenere? Intervallo di rappresentazione In generale in un sistema in base B con n cifre si rappresentano numeri nell intervallo [0,B n -1] ovvero B n numeri in base 2 pertanto con n cifre si rappresentano 2 n numeri 14
Esercizio Scrivere le potenze del 2 scrivere quanti bit sono necessari per rappresentare i seguenti numeri: 4,9,23,37,78,55,12,128,345,678,923,2567,4 234, Conversione decimale-binario Per convertire da decimale a binario si procede secondo il seguente algoritmo: si divide il numero decimale per 2 si considera il quoziente e il resto il resto può valere 0 o 1 e rappresenta la cifra binaria di peso minore si ripete il procedimento fino a quando il quoziente non è nullo la sequenza dei resti delle divisioni (presi in ordine inverso rispetto a come sono ottenuti) è il numero binario cercato 15
Esempio 173(10)=?(2) 173/2 86 resto 1 86/2 43 resto 0 43/2 21 resto 1 21/2 10 resto 1 10/2 5 resto 0 5/2 2 resto 1 2/2 1 resto 0 1/2 0 resto 1 10101101 Perché funziona l algoritmo? 173=86*2+1 ma 86=23*2+0 allora 173=(23*2+0)*2+1 ma 23=12*2+1 allora 173=((12*2+1)*2+0)*2+1 cioè 173=12*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 quindi stiamo proprio determinando i pesi da dare alle potenze del due ovvero le cifre in notazione binaria 16
La somma Come per numerazione decimale gli operandi sono incolonnati allineandoli a destra procedendo dai bit di peso inferiore a quelli di peso superiore si esegue la somma bit a bit secondo le seguenti regole: 0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=0 con riporto di 1 se la somma genera riporto al passo successivo si sommano 3 bit: i due bit degli operandi e il bit di riporto Overflow Se i numeri vengono rappresentati con un numero di cifre fissato n e la somma di due operando è un numero maggiore del massimo numero rappresentabile con n cifre si ha la condizione di overflow si genera overflow nella somma di due numeri di n cifre quando si ha un riporto oltre la cifra di peso n 17
La sottrazione L operando minore è incolonnato allineandolo a destra sotto quello maggiore si esegue la sottrazione bit a bit procedendo dal bit di peso minore verso quello di peso maggiore secondo le seguenti regole: 0-0=0 1-0=1 0-1=1 con prestito di 1 1-1=0 se la sottrazione genera un prestito al passo successivo si esegue la sottrazione tra i due operandi e successivamente si sottrae 1 Nota Non si può sottrarre un numero maggiore da uno minore verificare sempre prima il modulo dei due operandi 18
Shift o scalamento Si può shiftare di un numero n di bit a destra o a sinistra shiftare di n bit a sinistra significa aggiungere n bit in posizione meno significative a 0 shiftare di n bit a destra significa eliminare gli n bit meno significativi La moltiplicazione Algoritmo di somma e scorrimento si incolonna a destra e si riporta la moltiplicazione del moltiplicando per ogni bit del moltiplicatore su linee successive ogni numero risultante va scalato (shiftato) di un numero di posizioni verso sinistra pari alla posizione del bit moltiplicatore si sommano poi tutti i numeri risultanti Le regole base della moltiplicazione tra due bit sono: 0x0=0 0x1=1x0=0 1x1=1 19
Moltiplicazione II Dato che moltiplicare per 0 e poi sommare il risultato è equivalente a non eseguire alcuna operazione si può procedere a semplificare l operazione di moltiplicazione incolonnando opportunamente solo le repliche shiftate del moltiplicando Moltiplicazione III Moltiplicare per una potenza della base di numerazione è equivalente a shiftare il numero di un numero di posizioni pari alla potenza ex: moltiplicare per 4 in binario equivale a shiftare di 2 posizioni il moltiplicando 20
Esercizio Quanti bit sono necessari per rappresentare il prodotto tra due numeri di n e m bit? (2 n -1) * (2 m -1) = 2 n+m - 2 n - 2 m +1 pertanto sono necessari nel caso peggiore n+m bit se n=m si deve raddoppiare il numero di bit 21