Percorsi logici Prima lezione: Gli insiemi A cura di Luigi Boscaino
Prima provocazione Alunno: Un giovane ha davanti a se sei maglie diverse per colore e modello ma tutte della sua taglia. Quante possibili scelte può fare il giovane con le sei maglie? (Considerare anche la possibilità che non ne acquisti) Risposta: Attività di laboratorio
Seconda provocazione Alunno: I soci di un club sportivo praticano almeno uno dei tre sport: basket, nuoto, tennis. 21 giocano a basket, 23 a tennis, 19 praticano nuoto. 9 praticano basket e tennis, 7 basket e nuoto, 8 tennis e nuoto. 3 di questi praticano tutti gli sport. Sapendo che ogni mese il club incassa 2730, qual è la quota mensile per ogni socio? Risposta: Attività di laboratorio
Logica matematica è il nome assegnato da Giuseppe Peano a quella che era nota anche come logica simbolica. In buona sostanza è ancora la logica formale di Aristotele, ma viene riconsiderata come branca dell'algebra astratta e della combinatoria. PEANO GIUSEPPE (1858-1932) filosofo greco (384-322 a.c.)
Le aree principali della logica matematica Includono: la teoria degli insiemi, la teoria dei modelli, la teoria della dimostrazione, la teoria della ricorsione.
Teoria egli insiemi possiede molte sovrapposizioni con l'informatica, fin dai lavori dei pionieri di questa disciplina, come George Boole e Alan Turing, i quali 2 nov 1815-8 dic 1864 erano matematici e logici. 23 giugno 1912-7 giugno 1954
Teoria ingenua degli insiemi (Cantor) Il concetto di insieme è alla base delle scienze (Logica matematica, Matematica, Informatica, Biologia, ecc.) Come definiresti un Insieme? Georg Cantor, 1845-1918
Strano ma vero! Tutto l'intero edificio della matematica si basa sul concetto di insieme. Cos'è un insieme? E' quasi incredibile, ma il concetto di insieme non è definibile. Tutta la matematica, e quindi la scienza, si basa su un concetto indefinibile!!! Ma non è così anche per la geometria euclidea?
Proviamo con dei sinonimi Il concetto di insieme è innato (primitivo), solamente intuibile ma non definibile. Al massimo possiamo definire dei sinonimi: aggregato, classe, collezione ecc. Un contenitore ideale di cui è ben definito il contenuto (Gigi Boscaino)
Prendiamo spunto dai testi Un insieme è una collezione distinguibile di oggetti, detti elementi dell'insieme. Un insieme è una collezione di oggetti ben definiti. Tali oggetti si chiamano elementi dell'insieme. Penseremo un insieme come una "collezione" di oggetti (in generale facente parte di un fissato universo di discorso) Intuitivamente con il termine insieme si indica una collezione di oggetti chiamati elementi dell'insieme. In molte esposizioni il concetto di insieme è considerato primitivo ed intuitivo. (Fonte: WikipediA).
Vediamo se è chiaro il concetto Quali, tra quelli elencati, sono insiemi? I fiumi italiani Le donne giovani Gli alunni della classe III A dell IC di Torrecuso I cani bassotti Gli attori italiani più bravi Gli stati d America
Modalità rappresentative Per elencazione A={0,1,2,3,4,5} Per caratteristica A={numeri naturali <6} V={a,e,i,o,u} V={vocali} Grafica A V 1 3 0 4 a u 5 2 o i e
Esempio Per elencazione A={p, a} Per caratteristica A={lettere della parola pappa } Grafica A a p
Sottoinsieme Se tutti gli elementi di un insieme A sono presenti in un altro insieme B allora A si dice sottoinsieme di B
Le operazioni insiemistiche Insieme delle parti Intersezione Unione Differenza Prodotto cartesiano Intersezione, unione e differenza le affrontiamo in classe!
Insieme delle parti L insieme delle parti risolve tutti i problemi di scelta binaria di tipo (si/no o vero/falso). Se ho un vassoio con tre dolci, in quanti modi posso scegliere quanti e quali dolci prendere?
Insieme delle parti Si spazia dalla volontà di non mangiare alcun dolce all ingordigia di mangiarli tutti. Potrei non desiderare alcun dolce (insieme vuoto)
Insieme delle parti Dunque tutte le scelte si possono esprimere mediante l insieme di tutti i possibili sottoinsiemi: {} { } { } { } { } { } { } { }
Problemi di distribuzione Problemi di distribuzione risolti con le rappresentazioni insiemistiche di Eulero-Venn
Soluzione del problema 1 proposto all inizio Tutti praticano uno sport 21 giocano a basket 23 giocano a tennis 19 praticano il nuoto 8 praticano nuoto e tennis 9 giocano a basket e tennis 7 basket e nuoto Solo 3 praticano tutti gli sport I soci del club sono 42. 2730/42 = 65 Modello matematico Basket Nuoto 8 4 7 6 3 5 9 Tennis
Ora tocca a voi. Un gruppo di 50 studenti del Liceo Scientifico di Foglianise viene intervistato in riferimento agli esami per il conseguimento della Patente Europea del computer alla fine del primo anno scolastico. Alle domande mirate cui gli intervistati vengono sottoposti si ottiene l esito seguente: 3 studenti hanno superato tutte le prove 13 hanno superato la seconda prova 5 studenti hanno superato la prima e la seconda 9 hanno superato la seconda e la terza ben 30 studenti sostengono di aver superato la prima e la terza 36 studenti sostengono di aver superato la terza prova infine 6 superano esclusivamente la prima. Si desidera conoscere il numero dei candidati che ha superato solo la terza prova e quanti studenti non hanno ancora superato prove d esame.
Soluzione 3 studenti hanno superato tutte le prove 13 hanno superato la seconda prova 5 studenti hanno superato la prima e la seconda 9 hanno superato la seconda e la terza ben 30 studenti sostengono di aver superato la prima e la terza 36 studenti sostengono di aver superato la terza prova infine 6 superano esclusivamente la prima. I 6 2 2 II 27 3 6 0 III Nessuna 4
Fine attività Grazie per l attenzione!