I PARALLELOGRAMMI E I TRAPEZI 1. Il parallelogramma ESERCIZI 1 A Disegna un parallelogramma ABCD, la diagonale BD e i segmenti AK e CH, perpendicolari a BD. Dimostra che il quadrilatero AHCK è un parallelogramma. 1 B Disegna un parallelogramma ABCD e la diagonale AC. Su questa diagonale scegli due segmenti congruenti AE e CF. Dimostra che il quadrilatero EBFD è un parallelogramma. 2 A Disegna due rette parallele a e b e prendi su ciascuna un punto, rispettivamente A e B. Indica con M il punto medio del segmento AB. Traccia per M due rette r e s che incontrano la retta a rispettivamente nei punti P e Q e la retta b rispettivamente nei punti R e S. Dimostra che PQRS è un parallelogramma. 2 B Disegna un parallelogramma ABCD e traccia le diagonali indicando con O il loro punto di intersezione. Da O traccia una retta a che incontra i lati AB e CD del parallelogramma rispettivamente nei punti P e R. Sempre da O traccia una retta b che incontra i lati BC e DA del parallelogramma rispettivamente nei punti Q e S. Dimostra che PQRS è un parallelogramma. 3 A Disegna un parallelogramma ABCD con l angolo A acuto. Dai vertici A e C conduci le perpendicolari ai prolungamenti della diagonale BD che qui intercettano rispettivamente i punti H e K. Dimostra che DH BK. 3 B Disegna un parallelogramma ABCD con l angolo A acuto. Tracciata la diagonale AC, dai vertici B e D conduci le perpendicolari alla diagonale. Dimostra che essa viene divisa in tre segmenti di cui quelli esterni sono congruenti. 4 A Dimostra che in un parallelogramma la diagonale che congiunge i vertici degli angoli ottusi è minore dell altra diagonale. 4 B Dimostra che in un parallelogramma la diagonale che congiunge i vertici degli angoli acuti è maggiore dell altra diagonale.
Nella figura ABCD è un parallelogramma. Determina le ampiezze degli angoli α, β, γ e δ. 5 A 5 B [111 ; 69 ; 111 ; 42 ] [110 ; 70 ; 110 ; 40 ] 2. Il rettangolo 6 A Disegna un triangolo rettangolo ABC retto in A. Traccia la mediana AM relativa all ipotenusa BC e prolungala dalla parte di M di un segmento MP, congruente ad AM. Dimostra che il quadrilatero ABPC è un rettangolo. 6 B Disegna un triangolo isoscele ABC di base AB e altezza CH. Traccia, dalla parte di C, il segmento HP, parallelo e congruente al lato obliquo AC. Dimostra che il quadrilatero CHBP è un rettangolo. 7 A Nel rettangolo ABCD prolunga i lati AB e CD dei segmenti BQ e DS, entrambi congruenti a BC. Prolunga gli altri due lati BC e DA dei segmenti CR e AP, congruenti a CD. Dimostra che PQRS è un parallelogramma. Se BQ DS, ma entrambi sono diversi da BC, si può ancora dire che PQRS è un parallelogramma? 7 B Nel rettangolo ABCD prolunga i lati AD e BC dei segmenti DP e BQ, entrambi congruenti ad AB. Prolunga gli altri due lati AB e CD dei segmenti AR e CS, congruenti ad AD. Dimostra che PRQS è un parallelogramma. Se AR CS, ma entrambi sono diversi da AD, si può ancora dire che PRQS è un parallelogramma?
8 A Dato un rettangolo ABCD, per un punto di un lato traccia le parallele alle diagonali. Dimostra che esse, incontrandosi con le diagonali, formano un parallelogramma nel quale la somma dei lati è congruente a una delle diagonali. 8 B Dato un rettangolo ABCD, fissa sul lato AD un punto E, poi traccia per E le parallele alle diagonali AC e BD. Dimostra che esse, incontrandosi con le diagonali del rettangolo, formano un parallelogramma nel quale la somma dei lati è congruente a una delle diagonali del rettangolo. 3. Il rombo 9 A Disegna un triangolo isoscele ABC di base AB. Traccia l altezza CH e prolungala dalla parte di H di un segmento HP congruente a CH. Dimostra che APBC è un rombo. 9 B Disegna un triangolo rettangolo ABC con angolo retto in A. Prolunga dalla parte di A i cateti AB e AC di due segmenti AP e AQ tali che AP AB e AQ AC. Dimostra che BCPQ è un rombo. 10 A Nel rettangolo ABCD, congiungi i punti medi dei lati opposti. Dimostra che i segmenti ottenuti sono le diagonali di un rombo. 10 B Nel rettangolo ABCD, congiungi i punti medi dei lati. Dimostra che il quadrilatero ottenuto è un rombo. 11 A Dimostra che se da un punto qualunque della bisettrice di un angolo si tracciano le parallele ai lati si ottiene un rombo. 11 B Considera un angolo e traccia la bisettrice dell angolo ad esso adiacente. Preso un qualsiasi punto sulla bisettrice conduci le parallele ai lati dell angolo di partenza. Dimostra che si ottiene un rombo. 12 A Dimostra che, se su ciascuna diagonale di un rombo si prendono due punti equidistanti dagli estremi, unendo tali punti si ottiene un rombo. 12 B Considera un rombo e prolunga esternamente le diagonali di quattro segmenti congruenti. Congiungi i secondi estremi dei segmenti. Dimostra che la figura ottenuta è ancora un rombo. 4. Il quadrato 13 A Nel rettangolo ABCD traccia le bisettrici degli angoli retti. Queste, incontrandosi, formano il quadrilatero EFGH. Dimostra che EFGH è un quadrato.
13 B Nel rettangolo ABCD considera gli angoli esterni dei vertici. Traccia le rispettive bisettrici che incontrandosi formano il quadrilatero MNPQ. Dimostra che MNPQ è un quadrato. 14 A Dato un quadrato ABCD, fissa sul lato AD un punto E, poi traccia per E le parallele alle diagonali AC e BD. Dimostra che esse, incontrandosi con le diagonali del quadrato, formano un rettangolo nel quale la somma dei lati è congruente a una delle diagonali del quadrato. 14 B Dato un quadrato ABCD, fissa sui lati AD e AB i punti E e F equidistanti da A. Traccia da E e da F le parallele alla diagonale AC. Dimostra che esse, incontrandosi con la diagonale BD, formano un rettangolo nel quale la somma dei lati è congruente al doppio della diagonale del quadrato. 5. Il trapezio 15 A Nel trapezio ABCD le bisettrici degli angoli adiacenti alla base maggiore si incontrano in un punto E della base minore. Dimostra che la base minore è congruente alla somma dei lati obliqui. 15 B Nel trapezio ABCD le bisettrici degli angoli adiacenti alla base minore si incontrano in un punto E della base maggiore. Dimostra che la base maggiore è congruente alla somma dei due lati obliqui. 6. Le corrispondenze in un fascio di rette parallele 16 A È dato un trapezio ABCD. Congiungi i punti medi dei lati obliqui. Dimostra che tale segmento biseca le diagonali. 16 B È dato un trapezio ABCD di basi AB e DC. Indica con M il punto medio del lato obliquo AD e con N il punto medio della diagonale BD. Dimostra che la retta per M e N biseca il lato obliquo BC. 17 A Disegna un triangolo rettangolo isoscele ABC, con l angolo retto in A. Sull ipotenusa BC, esternamente al triangolo, disegna un secondo triangolo rettangolo isoscele, CBE, con l angolo retto in C. Prolunga i lati EC e BA finché si incontrano in F. Dimostra che: a) ABEC è un trapezio; b) il vertice C è il punto medio di EF, con esplicito riferimento alle corrispondenze in un fascio di rette parallele. 17 B Disegna un rombo PQRS e indica con A, B, C, D i punti medi dei lati. Dimostra che: a) ABCD è un rettangolo, con esplicito riferimento alle corrispondenze in un fascio di rette parallele; b) le diagonali del rettangolo e quelle del rombo si intersecano in uno stesso punto.
18 A Costruisci un trapezio, traccia le sue diagonali e congiungi con un segmento i punti medi delle diagonali stesse. Dimostra che la differenza delle basi del trapezio è congruente al doppio del segmento tracciato. 18 B Costruisci un trapezio, traccia le sue diagonali e congiungi con un segmento i punti medi delle diagonali stesse. Dimostra che tale segmento è congruente alla semidifferenza delle basi del trapezio.