FATTALI E CAOS IL CAOS DA UN ALTRA PROSPETTIVA. Cosa si intende comunemente per caos, casualità, probabilità? Possiamo partire da questa domanda. La risposta comune è che è casualità tutto ciò che non è legato da una precisa legge causa effetto, li cui valori non scaturiscono da precise relazioni matematiche ma seguono regola proprie. Nell antichità si attribuiva agli dei tutto ciò che non si riusciva a spiegare. Proviamo a seguire lo stesso principio. Noi attribuiamo al dio Caos tutto ciò che non riusciamo a spiegare in termini di logica e di matematica. Ma ciò che gli antichi attribuivano a cause sovrannaturali, con il progredire della scienza e della conoscenza, con l elaborazione di modelli sempre più complessi hanno trovato una propria spiegazione. Perché quindi non ammettere per un attimo che ciò che si attribuisce al Caos in realtà abbia sue leggi precise, ma troppo complicate da comprendere. Vi sono due possibili cause che possono ostacolare questa comprensione, il fatto che il modello di riferimento sia errato ed il fatto che la matematica che si usa non sia adatta alla descrizione del fenomeno. La casualità è connessa con la statistica e la statistica con la probabilità. Ma cosa intendiamo esattamente per probabilità? E quali sono le sue proprietà? L accezione più comune di probabilità è una sorta di speranza che un dato evento si verifichi. Si tratta di un numero compreso tra zero ed 1, che normalmente si esprime in percentuale. Ma come è definito e quali sono le sue proprietà? Di una cosa ci si rende conto. Ciò che chiamiamo probabilità ha molto in comune con la geometria ed in particolare con le aree delle superfici. Supponiamo di avere un quadrato e che su esso, solamente su esso, cada una goccia di pioggia. Poiché è certo che la goccia di pioggia cade nel quadrato diciamo che quest evento è certo e quindi identifichiamo il quadrato come l evento certo avente area unitaria. Se adesso consideriamo delle altre figure geometriche dentro al quadrato, abbiamo altri eventi la cui probabilità di compresa tra zero ed 1 è identificata dalla loro area.
In figura abbiamo l evento certo rappresentato in giallo. L area di tale quadrato è unitaria, cioè è la nostra unità di misura delle aree. I due eventi E 1 e E 1 hanno la stessa area pari a 1/2 che coincide con la probabilità che la goccia di pioggia cada nella loro area. Considerazioni di tipo geometrico sono alla base di tutta la teoria della probabilità. L evento impossibile, quello a probabilità zero, coincide con una figura nel quadrato avente area zero cioè con un suo singolo punto. La probabilità che sue eventi accadano contemporaneamente coincide con l area della parte che essi hanno in comune. In figura abbiamo che la probabilità che accadano contemporaneamente i sue eventi rappresentati dai 2 rettangoli è data dall area del quadrato arancione. Se due eventi non hanno parti in comune si dice che sono disgiunti e la probabilità che la nostra goccia di pioggia cada su entrambi è pari a zero. Più complesso è il calcolo della probabilità di quella che viene chiamata unione dei due eventi, ovvero che accada un evento, oppure l altro oppure entrambi contemporaneamente. Se i due eventi sono disgiunti tale probabilità è dalla somma delle loro aree ovviamente. Se i due eventi non sono disgiunti, come nel caso precedente, per calcolare l area della figura geometrica che viene fuori dall unione dei due rettangoli non possiamo sommare le loro aree dato che in questo modo conteremmo due volte il quadrato arancione. La probabilità dell unione di due eventi disgiunti è data dalla somma delle loro probabilità cui va sottratta la probabilità che essi accadano in contemporanea. Infine vediamo un ultimo aspetto della teoria della probabilità che è quello relativo alla probabilità condizionata. Ho probabilità condizionata quando io so per certo che un dato evento è accaduto e voglio trovare la probabilità che accadano altri eventi sotto questa condizione.
Nell esempio supponiamo di sapere che la nostra goccia di pioggia cade forzatamente nel quadrato blu. Allora per noi il quadrato blu diviene l evento certo e possiamo ridefinire il tutto prendendo l area blu come area unitaria. Quindi la goccia cade nell evento giallo solo se essa cade nel quadratino arancione, con l area misurata nella nuova unità di misura. Invece l evento verde, sotto la condizione data, non può mai accadere. In teoria della probabilità si dice infatti che la probabilità di una evento A sotto la condizione che sia avvenuto un evento B, è data dalla probabilità che essi avvengano contemporaneamente divisa per la probabilità dell evento B dove questa divisione serve a fare in modo che la probabilità dell evento condizionante B (l area blu) sia uguale ad uno. Quindi la geometria classica è intrinsecamente legata alla teoria della probabilità. Ma siamo sicuri che tale geometria sia l unica possibile e soprattutto sia quella più adatta a descrivere la realtà che ci circonda? Supponiamo, in luogo dei rettangoli visti sopra di avere una figura reale, un isola ad esempio dalle coste frastagliate. Sappiamo che un meteorite cadrà per certo in una quadrato che contiene l isola. Come facciamo a calcolare la probabilità che l isola venga colpita? Esiste un modello in termini di geometria tradizionale, quadrati, triangoli ecc. che mi descrive esattamente una figura di questo tipo? La geometria nella quale siamo immersi ogni giorno è euclidea? Il nostro tavolo è perfettamente rettangolare ed il nostro muro è perfettamente assimilabile ad una superficie piana? STATISTICA E STRANE CONGETTURE. Discutiamo innanzi tutto le teorie ed i capisaldi della statistica tradizionale.
La figura mostrata rappresenta una quantità che varia in maniera casuale. In statistica viene denominata processo aleatorio ove aleatorio sta per casuale. L etimologia del termine aleatorio è interessante essendo riconducibile al termine latino alea, dado, da cui la famose frase di Giulio Cesare una volta varcato il Rubicone, alea iacta est (il dado è tratto). Nella fattispecie ho rappresentato una grandezza i cui valori variano tra zero ed 1. Abbiamo due tipi di processi aleatori, quelli continui e quelli discreti. I processi aleatori continui rappresentano delle grandezze che variano in maniera continua (tipo segnali radio o velocità di un veicolo ). In questo tipo di grandezze i processi aleatori rappresentano tipicamente dei disturbi che per loro stessa natura si presentano in maniera casuale. Il processo rappresentato sopra ad esempio potrebbe rappresentare il disturbo che si somma ad una trasmissione televisiva o radiofonica. Tanto più il disturbo è consistente rispetto al segnale tanto più sarà cattiva la ricezione. Per poter rappresentare il processo aleatorio continuo ho dovuto eseguire quello che si dice un campionamento, cioè prendere i valori del processo in un numero finito di punti, nella fattispecie 500, presi ad intervalli regolari. I processi aleatori discreti, più familiari nella pratica comune, sono dei processi in cui si considerano le variazioni della grandezza in esame solo in determinati intervalli di tempo. Esempi di processi aleatori discreti sono l apertura e la chiusura di un indice di borsa, la temperatura misurata ogni ora in una dato luogo o cose di questo genere. In questo tipo di processi il valore della grandezza può essere qualsiasi, preso in un determinato intervallo. Ancora più familiari risultano essere i processi aleatori discreti nei quali anche il valore della grandezza può assumere unicamente valori discreti, tipicamente numeri interi. Tali processi modella ad esempio una sequenza di lanci di una moneta (testa o croce), di un dado, di numeri della roulette od anche i numeri estratti al lotto, superenalotto, win fo life ecc.
In figura ho rappresentato con i punti rossi 200 lanci di un dado. EQUIPROBABILITA Nei due processi che ho rappresentato le grandezze sono equiprobabili. La definizione di equiprobabilità per un processo discreto a valori discreti, tipo il lancio del dado rappresentato sopra è piuttosto immediata. Significa semplicemente che il dado non è truccato e cioè che tutti i numeri escono con la stessa probabilità pari ad 1/6. La definizione di equiprobabilità per processi aleatori continui prende il nome di equidistribuzione ed è un po più complessa. Significa che la grandezza in questione assume con la stessa probabilità valori che cadono in un intervallo di ugualeampiezza. Nell esempio riportato all inizio significa ad esempio che i valori cadono con la stessa probabilità sia nell intercallo (0,0.1) che ad esempio nell intervallo (2.4,3.4) essendo la lunghezza di entrambi pari a 0.1. La probabilità che il valore della grandezza cada in uno singolo di questi intervalli è pari ad 1 decimo. Riportata su due dimensioni l equidistribuzione rappresenta ad esempio la caduta della pioggia su di una superficie piana, ove in due zone aventi la medesima area cadono approssimativamente lo stesso numero di gocce. Ne deriva un metodo abbastanza divertente per calcolare approssimativamente l area di superfici geometriche complesse, noto come metodo Montecarlo. Supponiamo ad esempio di avere un isola, tipo la Sardegna ed intendiamo calcolarne le superficie. Potremmo ragionare come segue. Mettiamo l isola in una quadrato del quale conosciamo le dimensioni e facciamo piovere nel quadrato un certo numero di meteoriti uniformemente distribuite. Contiamo quante di queste colpiscono l isola e successivamente ne calcoliamo la superficie con una semplice proporzione.
In questo caso l isola è stata inserita in un quadrato di superficie approssimativa di 106260 Kmq. Su di esso è stata fatta cadere una pioggia aleatoria di 100 punti uniformante distribuiti. I punti caduti all interno dell isola sono 23. A questo possiamo dire che la superficie dell isola è all incirca il 23% della superficie del quadrato e cioè 24440 Kmq. La superficie vera è do 24090 Kmq. Come si vede l approssimazione è piuttosto grossolana in ragione del ridotto numero di puntini neri utilizzati. La procedura illustrata ha l unico scopo di chiarire un po meglio cosa si intenda per equidistribuzione. La medesimo risultato si sarebbe pervenuti in maniera meno cervellotica, senza scomodare processi aleatori, semplicemente disegnando nel quadrato una griglia di punti 10 per 10. Sappiamo così che misurare approssimativamente la superficie dell isola è cosa abbastanza semplice. E se invece dovessimo misurare la lunghezza della sua linea di costa? INDIPENDENZA. Nei processi aleatori si parla di valori indipendenti quando ogni singolo valore non ha alcuna influenza sul successivo. Un altro modo di esprimere il medesimo concetto è dire che il singolo avvenimento del processo (lancio del dado, testa o croce ecc) non ha memoria. Nel caso del dado ad esempio significa che tutti i numeri hanno probabilità 1/6 indipendentemente da cosa sia avvenuto nei lanci precedenti. Indipendenza è sinonimo di incorrelazione mentre il contrario di tale concetto è correlazione. Due eventi sono correlati quando il verificarsi di uno influenza il verificarsi dell altro. Ad esempio supponiamo di lanciare un singolo dado rosso, tenere fisso quel punteggio e successivamente eseguire una sequenza di lanci di un dado verde e considerare la somma dei punti. E evidente come il valore assunto dal lancio del dado rosso influenzi tutti i successivi valori della somma dei due dadi. Se ad esempio il dado rosso ha sortito un punteggio pari ad uno, la somma dei due dadi potrà assumere tutti i valori compresi tra 2 e 7 con probabilità 1/6. Se invece il dado rosso avesse un punteggio pari a 5 la somma potrebbe assumere unicamente i valori da 6 a 11 con probabilità 1/6.
Il concetto di indipendenza suscita diverse discussioni. Da un lato vi sono quelli che potremmo chiamare indipendentisti convinti. Sono quelli che sostengono che i vari giochi tipo ad esempio il lotto seguano il modello del processo a variabili indipendenti e che quindi statistiche sui numeri del lotto, ritardi, frequenze dei vari estratti non servano a niente dato che in buona sostanza i numeri fanno sempre quello che vogliono. Ad essi si contrappongono quelli che potremmo chiamare i grandinumeristi. Questi sostengono che ad esempio nel lotto il fatto che un dato numero compaia per 5 estrazioni di seguito è praticamente impossibile e che quindi in ogni singola estrazione la ruota ha per così dire una memoria di quanto accaduto precedentemente. Un loro dogma è seguire i numeri ritardatari dato che è certo che più aumenta il ritardo più è probabile che essi vengano estratti. I grandinumeristi cadono in due tipi di errori tra loro legati. In primo luogo confondono le probabilità a priori con quelle a posteriori. Per semplicità mi riferisco al lancio di una moneta. Supponiamo di voler eseguire una sequenza di 10 lanci di una moneta. Facciamo un conto della probabilità a priori, cioè prima di eseguire la serie di lanci, che nei 10 lanci esca sempre testa. In totale, considerando i dieci lanci, abbiamo un numero di successioni di valori testa/ croce pari a 2 elevato alla decima potenza cioè 1024. Di queste successioni di lanci ne abbiamo una sola nella quale esce sempre testa. Quindi la probabilità che questa condizione si verifichi è 1/1024 ovvero circa 0.001. Ora supponiamo per assurdo di essere in una situazione in cui il valore testa è uscito per 999 volte consecutive. Che probabilità c è che esca ancora il valore testa? Per il grandinumerista tale evento è pressoché impossibile. Per l indipendentista tale probabilità vale ugualmente 1/2 come logica impone. Il secondo errore dei grandinumeristi è di applicare in maniera distorta la legge dei grandi numeri. Tale legge dice in buona sostanza che facendo un numero molto grande di prove, la statistica di un dato evento tende alla sua probabilità. In pratica se lanciamo 10 volte una moneta, potremmo avere esiti tipo 6 teste e 4 croci, oppure 3 croci e 7 teste, ma facendo ad esempio 10000 lanci e facendo la statistica delle teste e delle croci avremmo valori molto prossimi al 50% e 50%. Questa legge viene molto spesso citata a sproposito in quanto applicata a numeri relativamente piccoli. Talvolta si sente dire che una data squadra ha perso tre partite di fila e che quindi per la legge dei grandi numeri la quarta la deve vincere. Oltre a ciò, al pari delle considerazioni sulle probabilità a priori di cui si è detto prima, la legge dei grandi numeri viene utilizzata per attribuire memoria ad eventi tipo le estrazioni. In pratica si ragiona nel seguente modo : dato che per la legge dei grandi numeri all aumentare delle estrazioni tutto deve tendere all equilibrio, in una data estrazione è più probabile che escano i numeri che hanno una statistica meno favorevole e meno probabile che escano numeri che sono usciti con maggior frequenza. Oltre alle categorie sopra citate ne identifico una terza che scavalca completamente tutti i discorsi fino ad ora fatti. Sono i così detti deterministi che traggono sostegno tra l altro nelle teorie di Albert Einstein. Per essi nulla in natura è lasciato al caso. DISTRIBUZIONI UNIFORMI E DISTRIBUZIONI GAUSSIANE Abbiamo visto precedentemente cosa si intende per equidistribuzione di valori casuali. Una statistica di variabili discrete uniformemente distribuite in una dato intervallo, per la legge dei grandi numeri porta ad un istogramma piatto, dove cioè tutte le singole colonne hanno uguale altezza.
In figura mostro la statistica di 1000 valori casuali equidistribuiti tra 1 e 10. Esistono anche altri tipi di distribuzione statistiche che fanno da modello per processi che avvengono nella realtà. La più importante di queste è la distribuzione gaussiana. La distribuzione gaussiana è caratterizzata dal fatto che esiste un valore centrale più probabile di altri mentre gli altri valori diminuiscono via via la loro probabilità allontanandosi dal valore centrale. L andamento di una distribuzione gaussiana è il seguente In figura ho considerato un processo aleatorio composto da 1000 valori gaussiani e l ho rappresentato su 100 intervalli. Appare l andamento a campana tipico della gaussiana. Mentre nel caso di equidistribuzione i valori cadono con certezza in un determinato intervallo, nel caso della distribuzione gaussiana essi possono cadere in teoria in un intervallo infinito a sinistra ed a desta del
valore centrale. Tuttavia come si vede man mano che ci si discosta, man mano le probabilità di avere un dato valore divengono piccole fino a divenire irrisorie. Una gaussiana è caratterizzata dallo scarto quadratico medio ovvero dalla media del quadrato della differenza tra i valori della gaussiana ed il valore medio centrale. Se la media della gaussiana è zero, lo scarto quadratico medio è semplicemente la somma dei quadrati dei valori ottenuti. Lo scarto quadratico medio caratterizza la gaussiana nel senso che più esso e piccolo, più la gaussiana sarà stretta attorno al valore centrale mentre se tale scarto è grande, la gaussiana sarà allargata sempre più simile ad un andamento uniforme all aumentare dello scarto. La radice quadrata dello scarto quadratico medio è detta in statistica deviazione standard. Per una distribuzione gaussiana, indicando con sdev la deviazione standard, si può dire che : I valori della gaussiana cadono in un intervallo pari a più o meno sdev attorno alla sua media con probabilità 0.68 Se consideriamo invece intervalli di ampiezza più o meno 2 sdev la probabilità diviene 0.954 La probabilità che i valori cadano fuori da un intervallo di ampiezza più o meno 3 sdev è minore del 3 per mille. La distribuzione gaussiana si presenta ogni volta che un singolo processo è dovuto alla concausa di svariati altri processi tutti tra loro incorrelati. Hanno distribuzione gaussiana ad esempio gli errori di misurazione o i disturbi che intervengono su un determinato processo quali le trasmissioni.- IL FRATTALE QUESTO SCONOSCIUTO Ben pochi, fermati per la strada, conoscono il significato del termine frattale e se si incomincia a dire loro che si tratta di un oggetto matematico con molta probabilità non lo vorranno nemmeno sapere. Sarebbe più opportuno fare presente loro due cose. Uno, che i frattali sono belli da vedere, due che nella vita di tutti i giorni siamo immersi nei frattali fino al collo, molto di più che nei triangoli o nelle altre figure geometriche che abbiamo studiato a scuola. Dare una definizione di frattale a parole può risultare arduo. Molto meglio partire subito con un esempio. Si consideri un segmento parallelo all asse delle x e di lunghezza unitaria. Ora dividiamo il segmento in 3 parti uguali, cancelliamo la parte centrale ed al suo posto mettiamo una punta in modo da formare unitamente alla parte cancellata un triangolo equilatero.
Questo è il passo 1 nella costruzione del frattale. Il passo successivo consiste nell applicare la medesima costruzione a 4 segmenti della linea spezzata ottenuta sopra. In figura lo ripropongo su scala ridotta. Ovviamente il processo può essere iterato all infinito Questo il passo 2 nella costruzione del frattale. passo 3
passo 4 Per mantenere i tempi di calcolo e lo sfruttamento della memoria entro limiti accettabili non mi spingo oltre il passo 6 Oltre ad essere interessante da osservare il frattale risulta esserci in qualche maniera famigliare. Rappresenta un tipo di configurazione che in natura richiama alcune foglie. Ad altri la cosa potrà apparire come una rappresentazione di un qualcosa di frastagliato tipo una linea di costa. Un frattale è in buona sostanza una figura geometrica caratterizzata dall autoripetitività. Il medesimo procedimento costruttivo viene rifatto su scala sempre più piccola. In altre parole nel frattale ideale, quello costruito con un numero infinito di iterazioni, se si prende una singola porzione di frattale e la si ingrandisce si ritrova la medesima struttura originale.
Il frattale costruito in precedenza prende il nome di frattale di Koch. Ciò che ne viene fuori dal punto di vista della classificazione geometrica classica è una via di mezzo tra una spezzata ed una linea curva. Se il segmento iniziale ha lunghezza pari ad uno quanto vale la lunghezza finale del frattale di Koch? Occorre considerare come evolve la lunghezza nelle singole iterazioni. Alla prima iterazione abbiamo 4 segmenti di lunghezza 1/3 e quindi la lunghezza della spezzata alla prima iterazione è di 4/3. Alla seconda il frattale si scompone in 16 elementi di lunghezza 1/9 e quindi la lunghezza è 16/9. Ne deriva la formula senguente: lunghezza frattale dopo n iterazioni = (4/3) n. All aumentare di n questo numero diviene sempre più grande. Possiamo dire che la lunghezza del frattale di Koch è infinita. La cosa appare sempre più strana. Il frattale di Koch si presta anche ad un altra interessante costruzione. Si consideri un triangolo equilatero e si costruisca su ogni suo lato un frattale di Koch rivolto verso l esterno. Alla prima iterazione si ottiene la stella di Davide. Procedendo si ottiene un figura di questo tipo. Si tratta di un modello del fiocco di neve.
DIMENSIONE DI UN FRATTALE Un altra caratteristica sorprendente dei frattali i hanno dimensione non intera. Tralasciando i ragionamenti che stanno a monte espongo unicamente la definizione. Chiamiamo N il numero di parti simili (cioè ripetute) in cui è diviso il segmento intero e K il rapporto tra la lunghezza del segmento e quella della sua parte sulla quale è operata la ripetizione. Nel caso del Frattale di Koch N e uguale a 4 dato che all iterazione 1 il segmento diviene una spezzata suddivisa in 4 segmenti, mentre K è pari a 3 dato che ogni singolo semento all iterazione 1 è 1/3 del semento iniziale. La formula dice : D=ln N/ln k ove con ln si intendono i logaritmi naturali. Per il frattale di Koch abbiamo una dimensione pari a ln 4 /ln 3 = 1.23. UN ALTRO SEMPLICE FRATTALE. Il triangolo di Sierpinski. Ad ogni iterazione da ciascuno dei triangoli blu viene ritagliato al suo interno un triangolo bianco di area pari ad un quarto del precedente. Quale è l area del triangolo di Sierpinski, intendendo con essa l area della superficie blu rimanente una volta iterato un numeri infinito di volte il procedimento? Supponiamo che il primo triangolo abbia area pari ad 1. Al passo 1 al triangolo viene sottratta 1/4 della sua superficie e dunque l area diviene 1-1/4 = 3/4. Al passo 2 abbiamo che ai 3 triangoli blu del passo 1, ciascuno dei quali ha area 1/4, viene sottratta un area pari ad 1/16. L area del triangolo al passo 2 risulta quindi 3 x (1/4 1/16)= 9/16. A questo punto sappiamo come procede la cosa. Al passo n l area del triangolo di Sierpinski sarà (3/4) n. In questo caso si ha che all aumentare di n questa quantità diviene sempre più piccola. L area del triangolo di Sierpinski è quindi pari a zero. Un altra proprietà dei frattali è quella di potere essere generati identici anche se come prima iterazione si prende un iterazione successiva del frattale. Consideriamo ad esempio il triangolo di Sierpinski e chiamiano la sequenza vista sopra sequenza base. Ora invece supponiamo di applicare al triangolo intero direttamente lo schema del passo 2 e successivamente reiterare questo schema ai 9 triangoli blu che sono rimasti. Otteniamo esattamente lo
stesso frattale dove al passo 1 della nuova sequenza avremo il passo 2 della sequenza base, al passo 2 della nuova sequenza il passo 4 della sequenza base ecc.. Abbiamo così che un frattale può essere generato da infiniti punti di partenza, intendendo come punto di partenza la trasformazione che avviene sulla figura base (iterazione 1). Il frattale più famoso è il Frattale di Mandelbrot ALTRI ESEMPI DI FRATTALI. L ingrandimento di una delle parti di contorno del frattale porta ad una struttura del tutto identica a quella mostrata. Altro esempio è il seguente
Per quanto sembri i dipinto di un lago questo frattale, al pari degli altri proposti, è ottenuto iterando delle formule matematiche elementari. I FRATTALI IN NATURA In natura numerosi sono gli esempi di oggetti che si rifanno alla teoria dei frattali. Possiamo tranquillamente dire che la geometria frattale è molto più adatta a descrivere la natura rispetto alla geometria tradizionale. Il tavolo della cucina, se osservato ingrandito a sufficienza, non è rettangolare, ma presenta irregolarità nel profilo di ogni lato al pari di tutti gli altri oggetti. Inoltre non esistono modelli di geometria tradizionale in grado di descrivere in maniera efficace figure complesse tipo linee di costa o profili di orizzonte. Abbiamo già citato il fiocco di neve. Vediamo altri esempi dove la struttura frattale evidente. LA FELCE
Nella felce, un singola sua parte presenta la medesima struttura della foglia nel suo complesso. L ALBERO Nell albero la struttura frattale si ha nei singoli rami. Tagliando un ramo di un albero si ottiene una struttura del tutto simile all albero originale. La struttura è simile a quella dell albero. I CAPILLARI
mostrato in figura. Un possibile modello dei capillari è quello FRATTALI E DESCRIZIONI DI OGGETTI COMPESSI Abbiamo già visto come una linea di costa possa essere rappresentata da un frattale tipo Koch o forse più efficacemente da un frattale tipo Mandelbrot. Occupiamoci ora della descrizione di una linea di orizzonte Esiste un modello geometrico in grado di descrivere la linea di orizzonte sullo sfondo? La linea d orizzonte ha struttura frattale dal momento che una volta presa una sua porzione ed ingrandita essa presenta i stessi tipi di irregolarità dell immagine originali. Per avere un modello frattale di una linea d orizzonte occorre complicare leggermente la costruzione del frattale. Data una figura iniziale, un triangolo, vi si applica una trasformazione affine. Il triangolo viene cioè traslato e cambiato di scala.
In questo caso sono state applicate due trasformazioni affini. Il triangolo iniziale, quello al centro, è stato traslato a destra ed a sinistra e cambiato di scala. Facendo 10 iterazioni otteniamo il seguente Il modello è relativamente semplice e grossolano. Modelli frattali più sofisticati rappresentano linee d orizzonte con maggior dettaglio. MODELLI CASUALI In questo paragrafo vediamo come generare in maniera automatica un processo aleatorio e come sia fondamentale in programmazione. Grazie a tali generatori si possono progettare i giochi ma anche
realizzare dei modelli che rappresentano un qualche fenomeno sul quale intervengono grandezze non prevedibili. Vediamo come realizzare un processo a valori casuali indipendenti ed equidistribuiti. Più propriamente si parla di valori pseudocasuali dato che i valori vengono ottenuti reiterando una semplice formula matematica. Quello che interessa è realizzare una sequenza di valori casuali indipendenti ed equidistribuiti compresi tra zero e 1. Per avere valori compresi in una altro intervallo basterà effettuare una traslazione ed un cambiamento di scala. Ad esempio se ciò che mi interessa è un valore casuale A compreso tra 3 e 5 basterà considerare il valore B generato tra zero e 1, ed applicare la formula A=3+2 B. Per avere una sequenza di variabili pseudocasuali comprese tra zero e 1 si usa una formula molto semplice X(n)= A X(n-1) +B dove con X(n) si intende, n-esima variabile della sequenza. A e B sono i due coefficienti che caratterizzano il generatore. Il valore iniziale della sequenza X(0) è detto seme e determina tutta la sequenza delle variabili. Il procedimento è il seguente 1) Fissa il valore del seme X(0) compreso tra zero ed 1 2) Per ogni valore di n maggiore di zero calcola Q= A X(n-1) +B 3) X(n)= parte decimale di Q 4) Torna al punto 2 Ad esempio se A=0.5, B=0.8 e con il seme X(0)=0.7 abbiamo Iterazione 1 Q=(0.5)( 0.7) +0.8 = 1.15 da cui X(1)=0.15 Iterazione 2 Q=(0.5)( 0.15) + 0.8 = 0.875 da cui X(2)=0.875 e cosi via Tenendo fissi A e B la sequenza dei valori casuali dipende dal valore del seme X(0). Due sequenze con lo stesso seme sono identiche. Per poter avere sequenze sempre diverse occorre che il seme X(0) sia sempre diverso. Ad esempio in un computer si potrebbe porre X(0) pari ai millesimi dell orologio interno nell istante in cui il generatore casuale viene invocato. Per avere valori pseudo casuali con più cifre decimali si possono scegliere i valori A e B irrazionali, cioè decimali e non periodici. Si può prendere ad esempio A pari a radice quadrata di 2 e B radice quadrata di 3. Il modello così costruito genera valori casuali equidistribuiti tra zero e 1. Ma si può dire che non esista correlazione tra un valore e quello successivo? In effetti no. Il valore all istante n contribuisce a determinare quello all istante n+1. SI può ridurre al massimo questo fenomeno scegliendo in maniera opportuna i coefficienti A e B ma un minimo di correlazione resta sempre. Il modello proposto approssima cioè un processo aleatorio a variabili indipendenti ed equidistribuite. Ora ci poniamo il problema seguente. Abbiamo una sequenza di numeri casuali, ad esempio una sequenza di numeri estratti, ottenuti al computer con un generatore come quello visto sopra. Dati i valori estratti fino all n-1 esimo, possiamo predire il valore n-esimo? Evidentemente sì se si conoscessero i valori A e B che caratterizzano il generatore. Il problema è che tali valori sono intrinsechi nel software del computer e
quindi noi dall esterno non li conosciamo. Si potrebbe procedere come segue. Creiamo un nostro modello di generatore pseudocasuale con coefficienti C e D. Osservando la sequenza dei valori X(n) determiniamo C e D, correggendoli a poco a poco,fino ad ottenere un modello il più possibile simile a quello originale. Un procedimento come questo ha però un punto debole. Se i coefficienti del generatore non sono esatti, ma approssimati, prima o dopo accade che i valori effettivi e predetti divergono inesorabilmente. In questo esempio consideriamo un generatore di nuemipseudocausali interno con A=radq(3) B=0.255 ed avente come seme x0=0.1. Supponiamo di essere riusciti ad approssimare tali valori osservando la sequenza di numeri generati ed avere ottenuto un nostro generatore con C=1.732, D=0.256 e seme 0.099. Nel grafico indichiamo in blu i valori che vengono da l generatore pseudocasuale interno ed in rosso i valori generati dal nostro generatore pseudocasuale che intende predirne i valori. Si vede come i valori sono predetti con una buona approssimazione fino all iterazione 13. A quel punto accade che prendendo solo la parte decimale dei valori il valore blu scende a 0.4 mentre il valore rosso resta sopra a 0.9. Da quel momento in poi le due sequenze divergono totalmente. Se si utilizza un metodo che ricerca i coefficienti del generatore casuale per approssimazioni successive si avrebbe che una volta che i due processi divergono dovrebbe ricominciare la ricerca praticamente da zero. Avremmo cioè un predittore che ben che vada ci dà con una buona approssimazione i valori del generatore interno solo per un numero ristretto di valori casuali consecutivi. Per avere un modello che predica i valori pseudo casuali ottenuti con un generatore occorre sfruttare la loro correlazione attraverso dei predittori lineari. Si tratta di algoritmi che predicono il valore n-esimo della sequenza X(n) con la formula X p (n)=a 1 x X(n-1) + A 2 x X(n-2) + A 3 X(n-3). I coefficienti A sono i coefficienti del predittore. In questo caso si il valore predetto all istante n dipende dai 3 valori precedenti e dunque si parla di predittore di ordine 3. Ora il problema diviene determinare i coefficienti A. Esistono vari metodi sia statistici, che sfruttano la correlazione tra i vari valori, sia iterativi, che cercano i coefficienti A per approssimazione.
In questo caso per predire la sequenza pseudocasuale è stato utilizzato un predittore lineare di ordine 10 (linea rossa). Si nota infatti come i primi 10 valori della sequenza di valori predetti è nulla dato che fino all 11esimo valore mancano gli X(n) necessari per effettuare il calcolo. La linea rossa segue la linea blu con un certo errore di predizione. L errore di predizione è inevitabile in questi modelli. Il problema è renderlo il più piccolo possibile. IMPRONTA DI ESTRAZIONE Se vogliamo un modello che predica una combinazione di numeri estratti occorre fare in modo che ogni estrazione sia rappresentata da un numero intero. In questo modo una sequenza di estrazioni, del lotto o del superenalotto ad esempio, genererebbe un processo aleatorio sul quale applicare le considerazioni fin qui viste. Data l imprecisione intrinseca nei modelli di predizione quello che potremmo ottenere non sarà una previsione esatta dell estrazione, ma la previsione di un insieme di possibili estrazioni che sono più probabili delle altre. All interno di queste potremmo andare a fare una statistica dei numeri più presenti ed e controllare se in essa vi sono delle ricorrenze (estratti, ambi, terni..) che hanno una frequenza maggiore di altre. Data una sequenza di estrazioni con una loro previsione ed un certo errore quali sono le estrazioni sulle quali elaborare la statistica? In pratica quanto deve essere largo l intervallo che prendo a sinistra e a destra della previsione data per avere i dati da prendere in considerazione? Gli errori di predizione hanno una statistica di tipo gaussiano. Sappiamo quindi che l intervallo in cui cade l estrazione sarà più o meno 3 volte la deviazione standard. Chiamo il numero associato ad ogni estrazione impronta di estrazione. La cosa più semplice che viene in mente di fare è, dopo avere in qualche maniera numerato tutte le singole possibili estrazioni, associare ad ognuna di esse il suo numero d ordine. Per il superenalotto abbiamo che le possibili estrazioni sono 622 614 630. Quindi rappresentando una sequenza di estrazioni avremo un processi aleatorio con valori compresi tra 1 e 622614630
In figura è mostrata l impronta di 100 estrazioni del superenalotto secondo i criteri descritti in precedenza. L andamento appare analogo a quello dei processi aleatori visti in precedenza. Il processo risulta solo debolmente correlato. L applicazione dei predittori lineari visti prima portano comportano degli errori di predizione molto grandi, dello stesso ordine di grandezza del processo. Significa in pratica che la predizione statistica non ci dà alcuna informazione. La deviazione standard dell errore di predizione su questo tipo di processo è di circa 200 000 000. Questo significa che data la combinazione predetta, la combinazione reale reale cade con probabilità del 64% in un intervallo di 200 milioni di combinazioni da essa. Anche tenendo buona questa approssimazione occorrerebbe fare la statistica su 400 milioni di combinazioni cosa improponibile. Vi è poi il problema degli effetti di bordo in quanto aggiungendo o togliendo i 200 milioni di combinazioni da quella predetta rischierei di finire fuori dall intervallo di tutte le possibili combinazioni (l intervallo da 1 a 622614630). Per ovviare a ciò si può utilizzare una tecnica circolare. Si dispongono cioè le 622 milioni di combinazioni su di una circonferenza e ad ogni estrazione si considera la differenza tra l estrazione corrente e l estrazione precedente intendendo con essa la lunghezza della via più breve per andare da una combinazione all altra sulla circonferenza. Potremmo per convenzione prendere come positivo il valore che si ha quando per andare dal punto precedente al punto corrente lungo la via più breve procedo in senso orario, e negativo all inverso. Per fare un esempio semplice consideriamo una sequenza casuali di numeri compresi tra 1 e 12 e li disponiamo su un quadrante d orologio
Supponiamo di avere la sequenza di valori 1 2 2 5 8 12 3 6 5 8 7 9 2 12 6 Se consideriamo i primi due valori abbiamo che la differenza tra il secondo ed il primo è pari ad 1, con il segno positivo dato che per andare dal primo al secondo ruoto in senso orario In questa maniera deriviamo la sequenza +1 0 +3 + 4 +3 +3 +3-1 +2 +5-2 +6 Nel calcolare l ultimo valore abbiamo utilizzato la convenzione che nel caso due valori siano su posizione opposte, cioè siano raggiungibili dal valore precedente muovendosi di 6 tacche in entrambi i sensi, si assume il valore positivo. Possiamo anche elaborare altre forme come complesse di impronte di estrazione. Ad esempio potremmo considerare la somma di tutti i numeri estratti. Osserviamo in primo luogo che la somma degli estratti non è uniformemente distribuita. Basti pensare al caso della somma di due dadi 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Nella prima riga e nella prima colonna sono indicati i valori che possono assumere i due dadi mentre all interno della tabella, in rosso, si ha la loro somma. Si vede che il risultato della somma più probabile è 7 che ha probabilità 7/36 mentre 2 e 12 sono i valori meno probabili con probabilità 1/36. Nel caso del superenalotto il minimo valore che può assumere la somma degli estratti è 1+2+3+4+5+6= 21 mentre il valore massimo è 85+86+87+88+89+90 = 525. Entrambi questi valori di somma hanno probabilità 1/ 622614630. Se consideriamo un totale pari a 22 ad esempio abbiamo che esso può avvenire solo se alla combinazione di estratti di prima si sostituisca il valore 7 valore 6 ottenendo la 1 2 3 4 5 7 e quindi la probabilità è uguale a quella di prima. Diverso è il caso per un totale pari a 23. In questo caso abbiamo la combinazione 1 2 3 4 5 8 ma anche la 1 2 3 4 6 7 e quindi le probabilità di questo risultato sono 2/622614630. Ovviamente limitazioni di calcolo impediscono di fare una statistica completa della somma di tutte e possibili combinazioni del gioco. Ciò che si può fare invece è simulare, tramite un
generatore di numeri casuali, una certa sequenza di estrazioni e su essa fare la statistica della somma degli estratti. In questo caso sono state simulate 10000 estrazioni. Come si vede la somma degli estratti ha un andamento gausssiano, in accordo con quanto detto in precedenza a proposito delle distribuzioni gaussiane, che hanno luogo quando un processo è dato dalla somma di cause tra loro indipendenti. Aumentando il numero delle prove si vede anche come il valore di somma più probabile sia 273, che è proprio la media tra i valori massimi e minimi che la somma può assumere. Calcolando lo scarto quadratico medio e quindi la deviazione standard possiamo ottenere la gaussiana che modella il processo, indicata in figura con la linea rossa. La deviazione standard risulta pari a 61.4. Per quanto la somma cade con probabilità del 64% nei valori compresi tra 150 e 395. Ovviamente la somma degli estratti non è l unica sistema dare un impronta all estrazione. Ci si può sbizzarrire come si vuole. Ad esempio si può considerare la somma degli estratti di posto dispari e sottrarre la somma degli estratti di posto pari. Vediamo quali sono i valori minimi e massimi di tale impronta. Facendo delle prove si scopre che il minimo di tale impronta è -86 mentre il valore massimo è -3, che si ha ovviamente quando per tre volte i numeri di posto dispari ed il successivo nella combinazione differiscono di 1.
In figura è mostrato l istogramma di quest impronta ottenuto su una simulazione di 20000 estrazioni. Il picco centrale si trova spostato verso destra rispetto al valore medio tra il massimo ed il minimo ottenibile, valore che corrisponde a -43.5. In questo caso quindi la guassianità della distribuzione viene meno. FILTRI COMBINATORI Supponiamo che in qualche maniera siamo riusciti a predire il valore delle due impronte precedenti con un certo margine di errore. Sappiamo ad esempio che la somma degli estratti è con tutta probabilità compresa tra 250 e 280, quindi con un intervallo spostato a sinistra rispetto alla media pari a 273, mentre la seconda impronta vista assuma con tutta probabilità i valori tra -50 e -30. Come possiamo sfruttare queste informazioni per avere previsioni sui singoli numeri estratti? Occorrerebbe considerare tutte le possibili combinazioni e, una volta filtrate quelle che soddisfano i criteri di cui sopra, fare una statistica dei singoli estratti. Ovviamente anche in questo caso occorre ricorrere ad una simulazione.
In questo caso sono stata utilizzata una simulazione basata su 100000 estrazioni. Di queste solo 8019 hanno superato le condizioni imposte e su tali combinazioni è stata fatta la statistica che viene rappresentata sull asse delle ordinate in termini di probabilità. Come si vede l equidistribuzione viene meno ed i valori centrali appaino più probabili, tutti sopra alla linea rossa che rappresenta la probabilità teorica che un dato numero sia estratto, probabilità pari a 6/90. In particolare appare più probabile degli altri il numero 47. Una rappresentazione di questo tipo non darebbe in grado di predire esattamente la combinazione vincente ma potrebbe essere utilizzata quale suggerimento per i numeri da giocare. Molto più utile un metodo di questo tipo risulta per il gioco del lotto. Date le combinazioni che superano i filtri imposti infatti, si potrebbero fare statistiche sui singoli estratti ma anche su altre combinazioni tipo ambi e terni. Proviamo ad applicare il metodo alla sequenza di 100 estrazioni reali del superenalotto viste all inizio del paragrafo. Ricaviamo le sequenze dell impronta somma estratti, e dell impronta che somma gli estratti dispari e sottrae quelli pari e vediamo di predirle con un predittore lienare. Nel caso della somma degli estratti abbiamo la situazione seguente
Al solito il processo somma è in blu e la predizione in rosso. Il valore di somma predetto alla fine, per l estrazione successiva, è di 291 con una deviazione standard di 63 che porta ad un margine di più o meno 189 rispetto al valore predetto e quindi una somma compresa tra 102 e 480. Per quanto riguarda la seconda impronta abbiamo l andamento seguente Come prima in blu abbiamo il segnale impronta ed in rosso la sua predizione. Il valore predetto finale sulla base dell andamento precedente è di -35.02 con una deviazione standard di 14.18. In pratica quindi l impronta risulta essere compresa in un intervallo di + o 126 unita rispetto al valore predetto comprendendo così tutte le combinazioni possibili. Questo filtro non è di alcun aiuto.
Ora quindi eseguiamo la simulazione utilizzando solo il primo filtro, imponendo cioè che la somma estratti sia tra 102 e 480. Il filtro è praticamente inefficace in quanto tale condizione è soddisfatta da oltre il 99% delle estrazioni. La statistica degli estratti risulta quindi equidistribuita. I metodi statistici visti dunque sono si scarsa se non nulla utilità nella predizione degli esiti di un processo aleatorio a variabili indipendenti. Occorre cioè riuscire a predire un valore casuale, sulla scorta dei precedenti, con maggior precisione. Conviene pensare a qualcosa di diverso superando questo tipo di approccio. FUNZIONI FRATTALI Se consideriamo che il nostro scopo è quello di modellare con i frattali i processi aleatori, allora i frattali visti in precedenza, quello di Koch e quello di Mandelbrot sono inutilizzabili. Quello di cui abbiamo bisogno infatti sono delle funzioni. Una funzione numerica è una regola che fa corrispondere ad un dato valore di una variabile numerica, che viene indicata con x, uno e un solo valore. In pratica una funzione, rappresentata sul piano cartesiano, deve procedere sempre in avanti all aumentare di x
In figura ho rappresentato un funzione propriamente detta, linea rossa, con il frattale di Koch. Come si vede nel caso del frattale ad ogni punto dell asse delle x corrispondono più punti sull asse dell y (nel caso del frattale di Koch il numero di valori y che corrisponde ad una data x è infinito). Per poter modellare delle funzioni quali i processi aleatori tramite dei frattali occorre inventare qualcosa di diverso. Servono cioè delle funzioni che abbiano intrinseco un andamento frattale ovvero che ristrette su di un intervallo ed ingrandite presentino un andamento sempre identico a sé stesse. SINUSOIDI FRATTALI Una possibile soluzione al problema posto sono delle funzioni a gradini che richiamino l andamento di un onda quadra.
Si potrà obbiettare che nei tratti verticali, ad esempio per x=0.25 si hanno in corrispondenza 2 valori differenti di y, y=0 e y=0.25 ma questo fatto può essere aggirato con la convenzione che in questi casi va sempre tenuto buono il valore di sinistra (in pratica cioè le linee verticali non fanno parte del grafico della funzione). La sinusoide frattale è caratterizzata dal rapporto tra l altezza del segmento verticale a e la lunghezza della sinusoide che in questo caso è unitaria. Alla sesta iterazione otteniamo la rappresentazione del frattale mostrata in figura. Interpretata come uno spartito può anche essere considerata come un primo esempio di musica frattale. Quella rappresentata è una sinusoide frattale del primo ordine. Per ottenere una sinusoide frattale del secondo ordine consideriamo un onda quadra doppia compresa tra zero ed 1 e quindi iteriamo il procedimento.
Alla seconda iterazione dell algoritmo otteniamo la seguente Utilizzando un onda quadra tripla alla seconda iterazione otteniamo la seguente
Nelle sinusoidi frattali di ordine superiore ad 1 è intrinseco il concetto di periodicità.un Funzione è periodica quando si ripete nei medesimi valori spostandosi lungo l asse delle ascisse di una quantità fissa detta periodo. Ne sono esempi le funzioni trigonometriche seno e coseno, che hanno un periodo pari a due volte pi greco e le onde quadre. Ad esempio la sinusoide frattale di ordine 3 di cui sopra, al passo uno, si presenta come un onda quadra di periodicità 1/3. La struttura periodica viene mantenuta anche nelle successive iterazioni. Ciò potrebbe essere utile nel tentare di determinare eventuali cicli e sottocili di valori intrinsechi nei processi aleatori. L idea di fondo è infatti quella di approssimare processi aleatori attraverso la somma di sinusoidi frattali. Ma quando la somma di sinusoidi frattali ha ancora una struttura frattale? Evidentemente quando la risultante al passo 2 è autoripetitiva di quella al passo 1. In tutta evidenza parliamo di sinusoidi frattali della stessa lunghezza. Ovviamente stiamo parlando di sinusoidi frattali definite nel medesimo intervallo.
Nell esempio ho rappresentato due sinusoidi frattali definite nell intervallo zero 1, una di ordine 6 ed una di ordine 4. Come faccio a rappresentare la risultante della somma? Di quali punti ho bisogno? Evidentemente i punti significativi sono tutti quelli in cui una delle due sinusoidi cambia andamento. La sinusoide frattale di ordine 4 è suddivisa in 16 segmenti orizzontali mentre quella di ordine 6 lo è in 24 (occorre ricordare che le linea centrale è divisa in 2 sementi anche se l andamento non cambia in essa). Quindi la prima sinusoide cambia andamento su intervalli lunghi 1 sedicesimo e la seconda su intervalli lunghi 1 ventiquattresimo. La risultante della somma va quindi presa su un numero di intervalli pari al minimo comune multiplo tra 16 e 24, cioè 48. Per eseguire la somma di sinusoidi frattali occorre quindi campionare una singola sinusoide cioè prendere dei suoi punti in posizioni intermedie rispetto a quelle dove la sinusoide cambia andamento. I punti devono essere presi ad una distanza che chiameremo p e che è detta passo di campionamento. Per poter ricostruire esattamente la sinusoide campionata il passo di campionamento deve essere un sottomultiplo intero della lunghezza di un singolo segmento orizzontale della sinusoide. Poiché tale lunghezza è data da L diviso 4 volte l ordine della sinusoide frattale ne deriva che la condizione per cui il campionamento sia effettuabile risulta H=L/(4*ordine*p) numero intero. Per chiarire osserviamo la seguente figura. L e due sinusoidi sono entrambe lunghe 1 e per quanto detto vanno entrambe campionate su 48 intervalli cioè su intervalli di ampiezza p=1/48.
Qui abbiamo la solita sinusoide del primo ordine, lunga 1. La lunghezza di ogni suo trattino orizzontale risulta quindi 1/4= 0.25. Viene campionata con un intervallo p pari a 0.125 e ciò va bene dato che H=0.25/0.125= 2 che è un numero intero. I punti rossi sono i punti dove la sinusoide è stata compionata. Ogni segmento orizzontale è stato campionato H+1 volte che in questo caso è uguale a 3. Poiché segmenti orizzontali di cui è composta una sinusoide fratta le sono 4 volte il suo ordine, ne deriva che i punti totali che si hanno in seguito ad un campionamento sono 4 x ordine x (H+1) (in questo caso 12). Ora siamo in grado di sommare le 2 sinusoidi frattali viste prima.
Sull asse delle ascisse siamo passati da una lunghezza unitaria ad una lunghezza di 48 unità (l ho fatto per evitare errori di calcolo dovuti al fatto che 1/48 è un numero periodico). Ciò ha avuto influenza anche sulle ampiezze delle sue sinusoidi che sono legate alla lunghezza dal fattore a.in questo caso,come si vede, la somma di due sinusoidi frattali porta ad una periodicizzazione. La risultante della somma infatti si ripete esattamente nell andamento con un periodo pari a 24 unità. La periodicizzazione deriva dal fatto che sono state sommate 2 funzioni periodiche, dato che cioè sia la sinusoide fratta le di ordine 4 che quella di ordine 6 tornano sui loro valori ogni 24 unità. Prima di affrontare lo studio dell autoripetititvità di una somma di sinusoidi frattali vediamo quanto può valere l ampiezza di una sinusoide frattale e di conseguenza l ampiezza di una somma di esse. In una sinusoide frattale del primo ordine abbiamo che al passo 1 essa è di un ampiezza pari ad a intendendo con ampiezza l ordinata massima che la sinusoide raggiunge. Alla seconda iterazione, sul segmento alto dell onda quadra, si eleva un altra onda quadra. La lunghezza di tale segmento alto è L/4 e dunque il segmento che si aggiunge è a x L/4. All iterazione successiva ragiono nella medesima maniera ed ho a x L/16 In definitiva l altezza della sinusoide risulta a xl x (1+1/4+1/16+ )= a x L x (4/3). In generale, per una sinusoide frattale di ordine n la lunghezza di ogni segmento orizzontale alla prima iterazione è L/(4 ord) ove ord sta per ordine appunto. L ampiezza della sinusoide fratta le risulta allora in generale a L(1 + 1/(4 ord) + 1/(4 ord) 2 + )=al /(1-1/(4 ord)) dunque ALTEZZA= 4 ord a L/(4 ord -1) Questa formula ci dice come dimensionare una sinusoide frattale quando vogliamo rappresentare un processo. Di norma si vuole rappresentare un processo su di una dato intervallo, che corrisponde ad L ed il processo ha una certa variazione da cui si può ricavare l altezza (occorre tenere conto che ad esempio per un processo simmetrico rispetto all asse delle x quella che abbiamo chiamato altezza è metà della sua variazione totale). Il rapporto altezza su ampiezza di intervallo lega tra loro il coefficiente a e l ordine della sinusoide. Ad esempio il processo aleatorio visto all inizio era presentato sull intervallo (0,500) con valori compresi tra 0 e 1. Con una traslazione dell asse delle ordine possiamo porre la variazione tra -0.5 e +0.5 e quindi quella che abbiamo chiamato altezza risulta 0.5 Dalla formula risulta a=(4 ord -1) ALTEZZA/(4 ord L).