Matematca elemetare art. d Ramodo Valer I questo artcolo voglamo provare che esste ua formula per calcolare l umero de dvsor d u dato umero aturale seza cooscere la scomposzoe fattor prm del umero stesso. Seguremo ua strada puramete aaltca e ua pù geometrca. I quest ultmo caso mostreremo che l problema d dvduare dvsor d u dato umero aturale è tmamete coesso co quello della determazoe d opportu put retcolar. Vedremo ache ua possble applcazoe della formula, oltre a quella ovva d determare l umero de dvsor d. La formula D ( ) Sao:, =parte tera d, D( ) = umero de dvsor d,,. Voglamo dmostrare che la formula:. D ( ) rappreseta l umero de dvsor d. Itroducamo alcu smbol che useremo el seguto:.. q, R= resto della dvsoe d per - q =, R resto della dvsoe d - per Per la dmostrazoe, possamo procedere due mod: Prmo metodo Iaztutto provamo che: Matematca elemetare art. d Ramodo Valer Vsta l sto dell autore: www.ramodovaler.t
Dm può assumere solo due valor: 0 oppure. Evdetemete valgoo le dsuguaglaze: 4. q. q Osservamo che la. mplca la 6. q Sommado membro a membro s ottee: 7. Osservamo che se =, dalla. (o dalla 7.) s deduce che. Per può assumere solo valor 0 e : ess soo gl uc umer ter che soddsfao la dsuguaglaza 7. Dm Dmostrazoe della :. D ( ) Se è u dvsore d allora Ifatt, questo caso: 8. =q 9. -=q*+r* Sottraedo membro a membro s ottee: 0. = R* Matematca elemetare art. d Ramodo Valer Vsta l sto dell autore: www.ramodovaler.t
Se fosse =0, R* sarebbe uguale a -, che è assurdo. Rcordado la Dm possamo cocludere che, questo caso, = Se = allora è u dvsore d Ifatt, questo caso:. =q+r. -=q*+r* Sottraedo membro a membro s ottee:. = +R-R* ovvero 4. R*=R+- Dovedo essere R*< s ha che R <. Questa dsuguaglaza è soddsfatta solo per R=0, ovvero solo se è u dvsore d. Secodo metodo Rcordamo che u puto (,y), el pao cartesao, s chama puto retcolare se etrambe le coordate soo umer ter. Dm Sa f u fuzoe o egatva l cu domo è l tervallo [a,b], co a e b ter e a<b. Sa S l seme de put (,y) soddsfacet le dsuguaglaze:. a b, 0 y f ( ) Il umero d put retcolar S è dato dalla somma: b 6. f( ) a I fgura è rappresetata ua geerca fuzoe, alcu put retcolar e l seme S. Matematca elemetare art. d Ramodo Valer Vsta l sto dell autore: www.ramodovaler.t
f() S Sao: a fg. fuzoe geerca e put retcolar b 7. R (, y), a b 8. A S R, S* seme de put retcolar d S 9. PS * umero elemet d S * 0. P umero elemet d A A A è, qud, l seme de put retcolar che appartegoo a S e alla retta = Osservamo che f ( ) P cu 0 A e qud che P f () A. Essedo, oltre, S b * A co A A se s ha che b a A che era cò che volevamo dmostrare. PS* P f () a b a Dm4..La regoe d pao cotee put retcolar. (, y), y,, o I fgura soo rappresetate le fuzo ( ) f e f( ) el caso partcolare =0 e 0. Matematca elemetare art. d Ramodo Valer Vsta l sto dell autore: www.ramodovaler.t 4
Y Y Grafco d y=0/x Grafco d y=9/x 0 9 8 7 6 0 9 8 7 6 4 0 7 9 X 4 0 fg. : grafc d ( ) f e d f( ), per =0. I questo caso, f( ) y f( ) è la regoe tra l grafco blu e quello rosso Cosderamo le fuzo:. f : f, ( ). f :, f( ), ( ) Se fosse y,, ( ) u puto retcolare apparteete alla regoe d pao, f( ) y f( ), rsulterebbe y ovvero y ma cò sarebbe assurdo perché tra e o possoo esserc umer ter. rappreseta, qud, l umero de put retcolar apparteet alla curva ( ) f, co Matematca elemetare art. d Ramodo Valer Vsta l sto dell autore: www.ramodovaler.t
Dm Il umero de put retcolar apparteet alla curva ( ) f, co, cocde co l umero de dvsor d. ( v è corrspodeza buvoca tra put retcolar apparteet alla curva ( ) f e dvsor d ) Sa y, u puto retcolare apparteete alla curva ( ) f. ( = y ) Al puto y, è assocato l uco puto,0 cu è u dvsore d. Sa u dvsore d. Allora al puto,0 è assocato l uco puto retcolare (, ) apparteete alla curva ( ) f. I coclusoe, qud, D ( ),, è l umero de dvsor d ( c.v.d. ) Applcazo della formula D ( ) La prma possble applcazoe della formula è, ovvamete, quella d determare l umero de dvsor d seza cooscere la scomposzoe fattor prm d stesso. Esempo Trovare l umero de dvsor d seza scomporre l umero fattor prm. Soluzoe D()=-+6-+4-+-+-+-+-+-+-+-+-+=6 I vertà esste ua formula pù pratca per questo tpo d calcolo per applcare la quale occorre, però, cooscere la scomposzoe fattor prm del umero: effett se. p p p p r è la scomposzoe fattor prm d, allora 4. r D ( ) ( )( )( ) ( r ) Usado le. e 4. s ottee, el caso =: Matematca elemetare art. d Ramodo Valer Vsta l sto dell autore: www.ramodovaler.t 6
D() 6 Sebbee teressate, la formula el caso appea cosderato. D ( ) è d scarsa utltà pratca Vedamo ora u caso cu la formula D ( ) ha, vece, a dffereza della 4., ua grade utltà pratca. Esempo Stmare l valore medo del umero de dvsor de atural compres tra e. Occorre calcolare, qud, la somma d tutt dvsor de umer atural compres tra e u dato e po dvdere tale somma per.. Dmostramo, aztutto, che la somma d tutt dvsor de umer atural compres tra e u dato umero, che chamamo S, è:. S Prmo metodo Per defzoe d S s ha: 6. S k D( k) k k k poedo Dk ( ) s ha: k k k k = k k k k k k k k k ' k' 0 k k ' = = Matematca elemetare art. d Ramodo Valer Vsta l sto dell autore: www.ramodovaler.t 7
Y Y k k ' k ' k ' k ' k ' k ' k ' k ' 0 k k ' k k ' = k k = k k ' k k k k ' = Secodo metodo I fgura soo rappresetate le fuzo: 4 f( ), f( ), f( ), f4( ), f( ), 4. 4... Grafco d y=/x Grafco d y=4/x Grafco d y=/x Grafco d y=/x Grafco d y=/x 4. 4... 0. 0 0 4 X 0. fg. : l seme S*, relatvo alla fuzoe quat so dvsor d,,,4, f( ),cotee, questo caso, tat elemet Sfruttado la dmostrazoe possamo terpretare geometrcamete la. come l umero de put retcolar dell seme S (, y), 0 y Matematca elemetare art. d Ramodo Valer Vsta l sto dell autore: www.ramodovaler.t 8
Abbamo dmostrato che la regoe (, y), y, o cotee put retcolar: put retcolar dell seme S possoo trovars, qud, solo sulle curve f ( ), f ( ), f ( ) f ( ). Usado la dmostrazoe possamo cocludere che S c.v.d. Verfca della. el caso partcolare d =6 6 6 S6 =6+++++=4 D()+D()+D()+ D(4)+ D()+ D(6)=+++++4=4 Per defzoe l umero medo de dvsor de atural compres tra e è dato da: S S può dmostrare che (*) 7. log, 0, cu logè l logartmo aturale d. Osservamo che: e qud: Sfruttado la 7. possamo scrvere: 8. log S log ovvero S 9. log S log da cu, essedo lm vale, per log grad la stma: 0. S log. (*) Tom Apostol: Calcolo, vol. prmo, aals, Borgher 98 Matematca elemetare art. d Ramodo Valer Vsta l sto dell autore: www.ramodovaler.t 9
La fuzoe logartmo è, come s vede, u eccellete stma d S. Vedremo, u artcolo successvo, come l mpossbltà d stmare co ua fuzoe elemetare D(), sa u problema coesso tmamete co la dffcoltà d trovare ua fuzoe semplce che stablsca se u umero è prmo. Matematca elemetare art. d Ramodo Valer Vsta l sto dell autore: www.ramodovaler.t 0