Esercizi sul luogo delle radici

FA Esercizi 6, 1 Esercizi sul luogo delle radici Analisi di prestazioni a ciclo chiuso, progetto di regolatori facendo uso del luogo delle radici.

Analisi di prestazioni FA Esercizi 6, 2 Consideriamo il sistema dinamico a tempo continuo descritto dalla funzione di trasferimento T (s) = Inserito in un semplice ciclo a retroazione negativa: s +3 s (s 2 +2s + 2) T (s) Analizzare le prestazioni del sistema a ciclo chiuso al variare della costante di guadagno (positiva), facendo uso del luogo delle radici.

FA Esercizi 6, 3 Studio del luogo LD Zeri e poli: Centroide degli asintoti: 1. il luogo possiede 3 rami 2. un ramo esce da un polo e termina nello zero 3. gli altri 2 rami escono dagli altri poli e tendono all infinito Inclinazione degli asintoti:

FA Esercizi 6, 4 Prima bozza del luogo, con evidenziati i tratti del luogo LD sull asse reale, le posizioni di zero e poli, quella del centroide e gli asintoti I rami del luogo che hanno origine nei poli e sono quelli che poi si dirigono all infinito lungo gli asintoti: devono necessariamente intersecare l asse immaginario (ciascuno dei 2 rami almeno in un punto).

FA Esercizi 6, 5 Ricerca dei punti critici In realtà in base a quanto determinato prima, non c è alcuna evidenza che esistano dei punti critici sul luogo: da ciascuno dei 3 poli esce un ramo che arriva in uno zero, al finito oppure asintotico. La relazione che fornisce i punti critici porta all equazione Nessuno dei punti appartiene al luogo LD, come supposto in base all analisi precedente: nessuno dei punti trovati soddisfa l equazione caratteristica di ciclo chiuso per il luogo LD.

FA Esercizi 6, 6 Angoli d uscita dai poli Un generico punto del piano complesso appartiene al luogo LD se e solo se (cfr. Parte 9 del materiale del corso) Partendo da quella relazione, si può ricavare l angolo d uscita da ciascun polo (cfr. materiale di Parte 9 del corso) nel modo seguente: Lo potevo ricavare anche dal disegno parziale del luogo di slide 4.

FA Esercizi 6, 7 L altro polo è il complesso coniugato di quello appena analizzato; si può concludere quindi che Per lo zero, ragionando in maniera analoga, si può scrivere

FA Esercizi 6, 8 In definitiva: Intersezioni del luogo con l asse immaginario Come scritto in precedenza, ll luogo deve attraversare l asse immaginario in almeno 2 punti (uno per ciascuno dei rami che dalla coppia di poli complessi coniugati si dirigono verso gli zeri asintotici lungo gli asintoti). Per determinarli agevolmente si può far uso del criterio di Routh-Hurwitz: Polinomio caratteristico di ciclo chiuso Tabella di Routh

FA Esercizi 6, 9 Per avere stabilità asintotica Condizioni al limite della stabilità si ottengono annullando i coefficienti della riga 1 della tabella di Routh: per si ottengono due poli di ciclo chiuso posizionati in Ecco le intersezioni cercate; inoltre così si ha la certezza che sono le uniche intersezioni del luogo LD con l asse immaginario oltre all origine.

FA Esercizi 6, 10 In definitiva il luogo cercato è

FA Esercizi 6, 11 Analisi di prestazioni Consideriamo il sistema LTI a tempo continuo descritto dalla funzione di trasferimento chiuso in un semplice ciclo di retroazione Determinare il luogo delle radici al variare del parametro K, l intervallo di valori di K che corrispondono ad una risposta allo scalino unitario con sovra-elongazione, il valore massimo della sovra-elongazione.

Alcune considerazioni prima di iniziare l analisi: FA Esercizi 6, 12 se risulterà stabile a ciclo chiuso, sarà un sistema di tipo 1 errore a regime nullo nella risposta a ciclo chiuso allo scalino unitario; errore a regime finito nella risposta a regime a ciclo chiuso alla rampa a pendenza unitaria; a regime disturbi additivi a scalino unitario non hanno alcun effetto sull uscita a ciclo chiuso. Tracciamento preliminare del luogo: tratti sull asse reale un solo asintoto orizzontale

FA Esercizi 6, 13 I tratti dell asse reale che appartengono al luogo sono quelli evidenziati Ci dovranno essere 2 punti critici! Uno nel segmento tra i 2 poli, l altro a sinistra dello zero: Entrambi i punti appartengono al luogo, come ipotizzato in precedenza.

FA Esercizi 6, 14 Gli angoli di uscita dai poli e di arrivo allo zero possono essere facilmente determinati dal disegno del luogo, poiché sia lo zero che i poli sono reali. Il luogo cercato è formato dai tratti dell asse reale individuati in precedenza e da una circonferenza con centro nello zero e raggio pari alla distanza dello zero dai punti critici (cfr. Parte 9 del materiale del corso) Luogo al variare di K: in colore diverso i due distinti rami che formano il luogo LD (dai poli verso gli zeri)

FA Esercizi 6, 15 Risposta allo scalino unitario con sovraelongazione sulla base del tracciamento del luogo, si può affermare che per avere sovraelongazione nella risposta allo scalino unitario a ciclo chiuso bisogna imporre che i poli di ciclo chiuso appartengano alla parte del luogo che permette di avere poli complessi coniugati. In definitiva, si tratta di determinare per quali valori di K si avrà una coppia di poli coincidenti nei 2 punti critici corrispondenti ai punti di diramazione del luogo (i punti da cui rispettivamente partono/a cui arrivano i rami del logo nel piano complesso).

FA Esercizi 6, 16 Infatti, analizzando il luogo si può affermare che Il sistema risulta asintoticamente stabile per K positivo, dato che il luogo LD è confinato nel semipiano sinistro; Per valori di K che corrispondono a poli a ciclo chiuso posizionati nelle parti del luogo sull asse reale (nel piano complesso) si hanno poli reali distinti [dovunque tranne che in corrispondenza dei punti critici], quindi la risposta allo scalino non può presentare sovraelongazione (come affermato in precedenza). Per determinare i valori del parametro che corrispondono a poli coincidenti con i punti critici è sufficiente utilizzare l equazione caratteristica di ciclo chiuso

FA Esercizi 6, 17 In definitiva Poli a c.c. reali distinti Poli a c.c. reali distinti Poli a c.c. reali coincidenti poli a c.c. reali coincidenti Poli a c.c. complessi coniugati

FA Esercizi 6, 18 Sovraelongazione massima In generale il problema non ha semplice soluzione! In questo caso per la configurazione geometrica del luogo oggetto di studio esiste una soluzione facilmente determinabile: il luogo infatti è costituito da tratti dell asse reale e da una circonferenza, centrata nello zero e con raggio pari alla distanza dei punti critici dallo zero La semiretta tangente alla circonferenza con origine nell origine degli assi (come in figura) identifica la condizione di massimo smorzamento, cioè la massima sovraelongazione.

FA Esercizi 6, 19 Determinato lo smorzamento massimo, basta applicare la formula

FA Esercizi 6, 20 Ulteriore analisi: vincoli sulla base del tempo di assestamento nella risposta allo scalino unitario a ciclo chiuso. È possibile garantire, scegliendo opportunamente la costante di guadagno, che il tempo di assestamento nella risposta allo scalino unitario a ciclo chiuso sia approssimativamente pari ad 1s? Prima di analizzare la situazione al variare del parametro K, si noti che il sistema a ciclo chiuso possiederà una funzione di trasferimento con uno zero e due poli (reali oppure complessi coniugati). Ciò significa che le formule introdotte in Parte 7 del materiale del corso per determinare la durata del tempo di assestamento nella risposta allo scalino unitario forniranno risultati approssimativi.

FA Esercizi 6, 21 Analizzando la posizione dei poli al variare della costante di guadagno K si nota che: per 0<K<1 i poli (reali distinti) hanno costanti di tempo troppo elevate, quindi il tempo di assestamento risulterà troppo elevato (ben maggiore di quanto richiesto: lo si verifichi per esercizio); per K = 1 il sistema a ciclo chiuso presenta un doppio polo reale, con costante di tempo elevata: anche stavolta il tempo di assestamento risulta troppo elevato (lo si verifichi); nel caso in cui la costante di guadagno assuma valori nell intervallo ] -, -9] si hanno ancora 2 poli reali, ma stavolta le costanti di tempo associate ai poli hanno valori sufficientemente piccoli da garantire il rispetto della specifica sul tempo di assestamento; Che cosa si può dire nel caso in cui i poli di ciclo chiuso siano complessi coniugati, cioè per K con valori in ]-9, -1[?

FA Esercizi 6, 22 In base alla formula che lega la durata del tempo di assestamento alla posizione dei poli (complessi coniugati) si ha t a 1% 5 ξω n 5 t a 1% =1 {poli c.c.} = 5 I punti in cui la retta, che rappresenta il luogo dei punti a parte reale -5, interseca la circonferenza che appartiene al luogo LD studiato sono i poli di ciclo chiuso per i quali il tempo di assestamento nella risposta allo scalino unitario vale 1s.

FA Esercizi 6, 23 È possibile determinare in modo agevole quei punti di intersezione sfruttando una opportuna traslazione di variabile ŝ = s +5 in modo da far coincidere la nuova origine degli assi col punto di ascissa -5 nel vecchio sistema di coordinate. Per sostituzione nell espressione dell equazione caratteristica dei poli di ciclo chiuso per il sistema oggetto di studio si arriva all espressione s +4 s (s +3) = ŝ 1 (ŝ 5) (ŝ 2) Il luogo LD per la nuova FdT ha la medesima forma di quello già visto, solo che è cambiata la sua posizione rispetto agli assi.

FA Esercizi 6, 24 I punti che prima (in slide #22) avevano parte reale pari a -5 adesso si trovano sull asse immaginario in questo nuovo sistema di riferimento: è possibile ancora una volta determinarli sfruttando la tabella di Routh, applicata all equazione caratteristica scritta utilizzando la nuova variabile ŝ 2 +(K 7) ŝ +(10 K) =0

FA Esercizi 6, 25 La tabella di Routh fornisce ŝ 2 +(K 7) ŝ +(10 K) =0 2 1 (10 K) 1 (K 7) 0 (10 K) K =7 ˆp 1, 2 = ±j 3 ŝ = s +5 K =7 p 1, 2 = 5 ± j 3 Per K=7 il valore effettivo del tempo di assestamento per la risposta a ciclo chiuso allo scalino unitario è pari a t a % 0.966 s