Esercizi e complementi di Analisi Complessa - 2

Esercizi e complementi di Analisi Complessa - 2 Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it 16 maggio 2011 1 Varietà complesse Consideriamo uno spazio topologico X, che sia una varietà reale di dimensione 2, paracompatto e a base numerabile; sia {U n } n N un rivestimento di aperti che formi, con le funzioni {phi n : U n C} n N un atlante per la struttura di varietà. Se U nm = U n U m, possiamo definire la funzione f nm : φ n (U nm ) φ m (U nm ) tramite f nm = φ m φ 1 n Se f nm è olomorfa per ogni n, m tali che U nm, diciamo che {U n, φ n } n N è un atlante di varietà complessa per X e chiamiamo X varietà complessa (o, visto che ha dimensione reale 2, superficie di Riemann). Due atlanti {U n, φ n } n N e {V n, ψ n } n N si dicono compatibili se la loro unione è ancora un atlante di varietà complessa. Una famiglia massimale di atlanti compatibili si dice struttura di varietà complessa (o di superficie di Riemann). Esercizio 1 Un aperto di C è una varietà complessa. Esercizio 2 La sfera S 2 è una varietà complessa. Esercizio 3 L insieme {(z, w) C 2 : z 2 + w 2 = 1} è una varietà complessa. Esercizio 4 L insieme {(z, w) C 2 : p(z, w) = k} con p C[z, w] tale che il sistema p z (z, w) = 0 p w (z, w) = 0 p(z, w) = k non abbia soluzioni è una varietà complessa. Una funzione f : X C, con X superficie di Riemann, si dice olomorfa se, dato un atlante {U n, φ n } n N per la struttura di superficie di Riemann di X, si ha che f φ 1 n : φ n (U n ) C è olomorfa per ogni n. Esercizio 5 Questa definizione non dipende da quale atlante si prende all interno di una certa struttura di superficie di Riemann. Esercizio 6 Se f : X C è olomorfa, è anche continua. Esercizio 7 Le carte di un atlante per la struttura di superficie di Riemann sono funzioni olomorfe. 1

Una applicazione olomorfa tra due superfici di Riemann X e Y è una funzione f : X Y tale che, comunque presi {U n, φ n } e {V n, ψ n } atlanti per X e Y, si ha che ψ m f φ 1 n è olomorfa, fissato n, per ogni m tale che f(u n ) V m. Una funzione meromorfa su X è una applicazione olomorfa di X in P 1 (C) Esercizio 8 Una applicazione olomorfa è aperta, se non è costante. Esercizio 9 Una funzione olomorfa limitata è costante. Esercizio 10 L insieme delle funzioni olomorfe su una superficie di Riemann compatta si riduce alle costanti. Più in generale, le applicazioni olomorfe da una superficie di Riemann compatta ad una non compatta sono costanti. Esercizio 11 La definizione di funzione meromorfa coincide con quella usuale quando X C. Esercizio 12 Siano X una superficie di Riemann e Y un sottoinsieme di C n tali che esista un omeomorfismo i : X Y ; supponiamo che le funzioni Z k i : X C siano olomorfe, dove Z k : C n C è la funzione che restituisce la k esima coordinata del punto. Allora X non è compatta. 2 Mappe conformi e limitate Come è noto, una funzione f : U V, U e V aperti di R 2, si dice conforme se conserva gli angoli orientati tra curve regolari. Si può dimostrare che tale funzione deve essere olomorfa, se è in C 1 (R 2, R 2 ). Esercizio 13 Se f : D D è una funzione olomorfa tale che f(0) = f (1) (0) =... = f (m 1) (0) = 0 due curve che si intersecano in 0 con angolo α vengono mappate in due curve che si intersecano nell origine con angolo mα. Esercizio 14 Una funzione olomorfa è conforme se e solo se è iniettiva. Un dominio semplice D è un aperto connesso di C; un dominio a bordo regolare è un dominio semplice il cui bordo sia una curva regolare a tratti. Diamo per buono il teorema di Jordan per cui una curva semplice chiusa disconnette il piano in due parti sole, di cui una limitata. Questa verrà indicata come il dominio racchiuso dalla curva. Esercizio 15 Siano C e C due curve semplici chiuse regolari a tratti. Sia f una funzione olomorfa su C e sulla parte di piano da essa racchiusa. Se f mappa C su C di modo che, percorrendo il punto z la curva C in senso positivo, il punto f(z) percorra C in senso positivo ed esattamente una volta in ogni punto, allora f mappa il dominio racchiuso da C sul dominio racchiuso da C iniettivamente. Esercizio 16 Nelle ipotesi dell esercizio precedente, la lunghezza di C è data da L = f (z) dz C Esercizio 17 Sia f : D C olomorfa e iniettiva e sia A l area dell immagine di D. Dimostrare che A π f (0) 2. Esercizio 18 Una funzione olomorfa che mappa l interno di un cerchio nell interno di un altro cerchio in maniera iniettiva e surgettiva è una trasformazione lineare fratta. 2

Una funzione olomorfa su un dominio D e tale che f(z) leqm su D si dice (ovviamente) limitata su D; nel seguito supporremo che M = 1. Esercizio 19 Sia f : D D una funzione limitata su D; supponiamo che f(a 1 ) =... = f(a n ) = 0 con a i < 1. Allora n f(0) a i Esercizio 20 converge. Esercizio 21 Sia f : D D limitata con infiniti zeri a 1, a 2,... in D. Allora log a i Sia f : D C tale che Re(f) > 0 in D; allora se si ha f(z) = a n z n a n 2 n = 1, 2,... e tale limitazione è sharp. Esercizio 22 Sia f : D D limitata; allora f (z) 1 f(z) 2 1 z 2 Esercizio 23 Sia f : D D limitata; allora f(z 1 ) f(z 2 ) z 1 z 2 1 1 r 2 ogni volta che z 1, z 2 r con r < 1. Esercizio 24 Se f : D D è limitata, f(0) = 0 e f (0) = a, allora f è iniettiva nel cerchio di raggio a r 0 = 1 + 1 a 2 Esercizio 25 Sia f : D C olomorfa e sia ω n = exp(2iπ/n); se determinare lo sviluppo in serie di f(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 +... g n (z) = 1 n (f(ω nz) + f(ω 2 nz) +... + f(ω n nz)) dedurne che h(z) = g( n z) è olomorfa in D e che, se f è limitata, anche h lo è. Esercizio 26 Utilizzando l esercizio precedente, dimostrare che a n 1 a 0 2, per i coefficienti di una funzione limitata. 3

3 Trasformazione di domini semplicemente connessi Supposto valido il teorema di Jordan, non è difficile vedere che un dominio delimitato da una curva semplice chiusa è semplicemente connesso. Se abbiamo un biolomorfismo f : D D tra due domini semplicemente connessi, delimitati da curve semplici chiuse C e C (sempre regolari a tratti), è naturale chiedersi quando f si possa estendere alle chiusure di D e D e con che regolarità sia possibile farlo. Esercizio 27 Sia C una curva regolare a tratti, semplice e chiusa; allora per ogni suo punto z 0 esiste un raggio r per cui, se 0 < ρ < r, la circonferenza di raggio ρ e centro z 0 interseca C in due punti soli. Esercizio 28 Sia z 0 un punto di C e siano J 1 e J 2 due archi regolari a tratti che terminano in z 0. Dimostrare che esiste un raggio r per cui, se 0 < ρ < r, la circonferenza di raggio ρ e centro z 0 interseca J 1 e J 2 in un solo punto ciascuno. Esercizio 29 Sia f : D D un biolomorfismo, siano z 0, J 1, J 2 e ρ come sopra. Sia z i,ρ l intersezione di J i con la circonferenza di raggio ρ e centro z 0. Dimostrare che lim f(z 1,ρ) f(z 2,ρ ) = 0 ρ 0 Hint: Scrivere d(ρ) = f(z 1,ρ ) f(z 2,ρ ) θ2 θ 1 f (z) ρdθ dove l integrale è sull arco di circonferenza, ed applicare Cauchy-Schwarz. Esercizio 30 Sia J 1 un arco regolare a tratti che termina in z 0 C e siano z i punti su J 1 che tendono a z 0. Allora i punti limite della successione {f(z n )} stanno in C. Esercizio 31 Dimostrare che, se vi sono due punti limite a e b su C, allora esistono due archi A 1 e A 2 in D, regolari a tratti, che intersecano entrambi J 1 un numero infinito di volte e tali che le loro immagini tramite f hanno distanza sempre maggiore o uguale a M > 0, per qualche M. Esercizio 32 Dimostrare che f si estende a f : D C D C e che quest ultima è una funzione continua. Nel caso di bordi particolarmente regolari, è possibile estendere la funzione f in maniera analitica, come ad esempio mostra il principio di riflessione di Schwarz per l asse reale o la circonferenza. Tale risultato si può generalizzare ad archi analitici, ovvero archi t z(t) con t R e z(t) analitica reale. Esercizio 33 Supponiamo che f : D D sia un biolomorfismo e che un arco J del bordo di D sia portato in un arco J del bordo di D. Se sia J che J sono archi analitici, allora f si estende ad una funzione olomorfa da D J a D J. 3.1 Poligoni Supponiamo ora di voler studiare i biolomorfismi (se ne esistono 1 ) tra il disco unitario (o il semipiano superiore) e un poligono. 1 Il teorema di uniformizzazione di Riemann garantisce che due aperti semplicemente connessi sono biolomorfi. 4

Nel seguito, sia P un poligono (aperto) di n lati nel piano complesso, con angoli πα 1,..., πα n, con α i = n 2. Esercizio 34 Supponiamo che esista un biolomorfismo f : H P. Sia P l immagine di P tramite un omotetia di fattore ρ e centro l origine, o una rotazione di angolo θ e centro l origine, o una traslazione di un vettore w. Scrivere un biolomorfismo g : H P in ciascuno dei casi precedenti. Esercizio 35 Definiamo l operatore D dalle funzioni olomorfe in H alle funzioni meromorfe con la seguente formula: D(f) = f Dimostrare che D(f) = D(g) se e solo se f(z) = Ag(z) + B con A, B C. Esercizio 36 Se f : H P è un biolomorfismo, dimostrare che D(f) : H C si estende a g : C C, meromorfa. Determinare i poli di g e i termini negativi del suo sviluppo di Laurent in essi. Esercizio 37 Usando l esercizio precedente scrivere g(z) = h(z) + k f µ i (z a i ) ni dove h non ha poli. Dimostrare che h è costante e determinarne il valore. Esercizio 38 Determinare f, sapendo che la g(z) precedentemente trovata è l estensione di D(f). Esercizio 39 Determinare il biolomorfismo f : D P. Esercizio 40 Nel caso in cui P sia un triangolo, scegliere un biolomorfismo f : H P (fissando le costanti di integrazione) e determinare la lunghezza dei lati di f(h) (fissando le costanti, si sceglie un rappresentate di una classe di similitudine dei triangoli, quindi ha senso parlare di lunghezze). Esercizio 41 Svolgere l esercizio precedente nel caso in cui P sia un rettangolo (attenzione: a meno di mappe affini di C, possiamo cambiare a nostro piacimento al più due punti della retta reale; gli altri poli della mappa sono uno all infinito e uno in un punto non meglio identificato della retta reale). Determinare quindi una mappa che porta H in un quadrato. Esercizio 42 Determinare un biolomorfismo tra H e C \ P. 3.2 Poligoni curvilinei Negli esercizi precedenti abbiamo determinato un biolomorfismo tra H e un poligono. Ora accenniamo a come risolvere un problema un poco più generale: ammettiamo che i lati di P possano essere archi di circonferenza, ovvero che P sia un poligono curvilineo. Ovviamente, dovremo ora considerarlo a meno di similitudini e inversioni circolari, quindi a meno di mappe lineari fratte. Esercizio 43 Definiamo l operatore S sulle funzioni olomorfe da H in C: ( ) f S(f) = f 1 ( ) f 2 2 f Dimostrare che S(f) = 0 se e solo se f(z) = az + b cz + d 5

Esercizio 44 Esprimere S(f g) in termini di f, g, S(f), S(g). Esercizio 45 Dimostrare che S(f) = S(g), se f e g si ottengono l una dall altra con una trasformazione lineare fratta. Esercizio 46 Utilizzare l invarianza di S, per calcolare S(f) nel caso in cui f : H P sia un biolomorfismo con un poligono con lati curvilinei e angoli πα 1,..., πα n. Dimostrare che S(f) = 1 2 n 1 αi 2 n (z a i ) 2 + β i (z a i ) + γ dove gli a i sono i poli di f, e determinare, nell ipotesi in cui f sia regolare all infinito (cioè non abbia un polo), le relazioni che devono soddisfare γ e i β i. Esercizio 47 Nel caso in cui P sia un triangolo curvilineo, determinare una f che realizzi un biolomorfismo tra H e P. Nota delirante e probabilmente inutile: S si chiama derivata Schwarziana ed è un importante invariante nella geometria differenziale sul proiettivo, visto che ignora le mappe lineari fratte, che sono gli automorfismo di P 1 (C). In un qualche senso, S è l operatore più naturale quando si vuole lavorare a meno di proiettività; se si considera una famiglia di diffeomorfismi locali in p P 1 (C), dipendente dal tempo (ovvero, per ogni t R + si sceglie un applicazione olomorfa f t da un intorno di p in sè, di modo che la funzione (t, z) f t (z) sia anche C rispetto a t) allora si ha che, per ɛ abbastanza piccolo [g(z), g(f ɛ (z)), g(f 2ɛ (z)), g(f 3ɛ (z))] = [z, f ɛ (z), f 2ɛ (z), f 3ɛ (z)] 2ɛ 2 S(g) + O(ɛ 3 ) dove [a, b, c, d] è il birapporto tra quattro punti del proiettivo e g è un diffeomorfismo di P 1 (C). 6