ELEMENTI DI ALGEBRA BOOLEANA CONCETTO DI LOGICA: elemento essenziale del pensiero umano. La logica permette all uomo di formulare ragionamenti e di elaborare informazioni. La logica è esprimibile con il linguaggio binario. Le frasi del linguaggio della logica prendono il nome di proposizioni logiche o, più semplicemente, proposizioni. In logica si chiama proposizione ogni frase per la quale ha senso dire che è vera, o è falsa. La logica delle proposizioni è anche detta logica bivalente proprio perché ogni proposizione può avere uno solo dei due valori: vero o falso.
Esempi Per esempio, le frasi: A) Potenza si trova in Basilicata; B) 5 è un numero dispari; C) Matera si trova in Puglia; sono proposizioni logiche, perché posiamo dire con certezza che le frasi A e B sono vere, mentre C è falsa. Ogni frase ha un valore di verità o falsità, nessuna ambiguità. Per esempio, la frase: D) che bella l Informatica; non è una proposizione logica perché non possiamo dire se è vera o falsa. Può essere una proposizione vera solo per chi ama l Informatica, ma non per tutti. La verità o la falsità della frase dipendono solo dalle emozioni soggettive.
Applicazioni dell algebra booleana L algebra delle proposizioni è detta anche ALGEBRA BOOLEANA (matematico inglese, George Boole, 854). In Informatica, l algebra di Boole trova applicazioni in diversi settori:. è la logica di cui si avvalgono i calcolatori per interpretare ed eseguire le istruzioni dei programmi; 2. è la logica usata nella progettazione e per il funzionamento dei circuiti elettronici; 3. è utilizzata nello studio dei sistemi elettronici digitali che fanno parte di un computer; 4. nei linguaggi di programmazione, per esprimere scelte in base a dei criteri di selezione, nella sequenza di esecuzione delle istruzioni di un programma; 5. rappresenta uno strumento matematico su cui si basano i sistemi digitali, che utilizzano variabili che possono avere solo uno di due valori: (ero) o (also).
INTRODUZIONE
INTRODUZIONE Operatore logico AND OR UTILIZZO DI AND E OR NELLE QUERY Descrizione Restringe il campo d azione della query Amplia il campo d azione della query, aumentando il numero di record che soddisfano le condizioni UTILIZZO DI AND Questo metodo serve per limitare l elenco dei record in base alle condizioni comprese tra due valori. Esempio: ogliamo creare una query di selezione per visualizzare tutti i libri prestati dopo il..22 e prima del 3.2.22.
INTRODUZIONE UTILIZZO DI AND e OR MULTIPLI Questo metodo serve per individuare gruppi diversi di record: una parte che implica la riduzione dei gruppi (con AND) e le altre parti che richiedono l ampliamento (con OR). - I criteri AND vanno tutti sulla stessa riga e vengono valutati assieme. - I criteri OR vanno su righe separate e ogni riga e valutata separatamente. ESEMPIO : isualizza tutti i libri che costano tra. e 5.. Per trovare questi libri si utilizza AND. ESEMPIO 2: isualizza tutti i libri che costano <=. OPPURE >=5.. Per trovare questi libri si utilizza OR. ESEMPIO 3: Se vogliamo solo i libri di una casa editrice MONDADORI, allora dobbiamo ripetere le informazioni della casa editrice su ogni riga OPPURE.
INTRODUZIONE MOTORE DI RICERCA USO DI AND, OR Con la modalità Avanzata: Si usa AND per unire due parole che devono essere entrambe necessariamente presenti nel risultato della ricerca. Si usa OR per unire due parole che devono essere presenti l una o l'altra nel risultato della ricerca. Esempio: automobili AND bmw AND mercedes Non è indispensabile scrivere in maiuscolo gli operatori AND e OR, ma può essere utile per distinguere le parole della ricerca dalle istruzioni date al motore. Si possono utilizzare delle parentesi per stabilire l ordine nel quale il motore di ricerca deve eseguire le operazioni. Esempio: (bmw OR mercedes) AND automobili
RETE LOGICA L ALGEBRA BOOLEANA trova applicazione nella progettazione di circuiti logici digitali. CALCOLATORE COME RETE LOGICA I componenti di un computer comunicano tra loro mediante segnali elettrici ai quali sono assegnati solo due stati diversi. L algebra booleana quindi diventa lo strumento più opportuno per descrivere il loro funzionamento. I segnali binari sono livelli di tensione. Il valore esatto della tensione del segnale non è significativo: conta l appartenenza ad un livello contrassegnato alto e ad un livello contrassegnato basso. In generale, il computer può essere considerato come una rete logica, cioè come un insieme di dispositivi chiamati porte logiche, opportunamente connessi. Le porte logiche sono dispositivi capaci di eseguire operazioni logiche su segnali binari. Questi segnali sono identificati tramite una coppia di simboli, per esempio: -; ero-also; Aperto-Chiuso; ecc. Allo stato attuale della tecnologia, è possibile integrare in un unico componente di pochi cm 2, diversi milioni di porte logiche (CPU, RAM, ecc.).
ESEMPI PROGETTAZIONE DI CIRCUITI LOGICI DIGITALI
Algebra booleana Gli elementi di un'algebra booleana possono essere astratti o concreti; ad esempio possono essere numeri, proposizioni, insiemi o reti elettriche. Di solito, gli elementi considerati sono proposizioni, o semplici dichiarazioni, aventi la caratteristica di poter essere o vere o false, con la completa esclusione di casi ambigui. La logica booleana consiste di tre operatori logici di base: OR AND NOT Una variabile logica (o booleana) è una variabile che può assumere solo uno di due valori (valori di verità): ERO - simboli alternativi: true,, ON, SI ALSO - simboli alternativi: false,, O, NO
Concetti engono definiti i seguenti concetti: variabili booleane operatori booleani porte logiche
ariabili booleane Una variabile booleana è una variabile binaria che può assumere esclusivamente due valori logici che saranno denotati con e, oppure e. Se x è una variabile booleana, vale quindi la seguente definizione: x = se x x = se x
Operatori booleani Si definiscono gli operatori booleani o logici fondamentali: NOT Negazione Logica, o COMPLEMENTAZIONE AND Prodotto Logico, o CONGIUNZIONE OR Somma Logica, o DISGIUNZIONE La verità o la falsità di una variabile booleana sono dette ALORI DI ERITA : una variabile può essere vera o falsa, ma non entrambe le cose. Le operazioni sono rappresentate da opportune tabelle di verità. Esempio di proposizione semplice: A: Potenza è una città; B: Basilicata è una regione. Esempio di proposizione composta: C: Potenza è una città AND Basilicata è una regione. Proposizione composta, ottenuta operando sulle proposizioni A e B per mezzo dell operatore AND. Il valore di verità di C dipende dai valori delle due proposizioni. L operazione binaria che da come risultato il valore di verità C si chiama congiunzione.
Tavola di verità Una espressione complessa ha bisogno di parentesi per indicare l'ordine di applicazione degli operatori. L'algebra booleana prevede delle priorità di applicazione: prima si applica l'operatore NOT, poi AND e infine OR. L espressione A OR NOT B AND C equivale all espressione A OR ((NOT B) AND C). L'espressione (A OR (NOT B)) AND C non rappresenta la stessa funzione della precedente. Come si può dimostrare questo fatto? Un metodo e quello di applicare l'induzione perfetta. Questa regola prevede che due formule sono equivalenti se hanno lo stesso valore di verità per qualsiasi valore di verità associato alle variabili che le costituiscono. Per verificare che due espressioni A e B sono equivalenti (A B) si devono quindi esaminare tutti i possibili valori di verità delle variabili costituenti A e B e controllare che i valori di verità delle proposizioni A e B coincidano in ogni circostanza. Questo viene fatto con le cosiddette tabelle di verità. Le tabelle di verità associano a ogni combinazione dei valori di verità delle variabili di una espressione, i valori di verità dell espressione stessa.
NOT Negazione o Complementazione Operazione unaria che restituisce il valore logico opposto a quello della variabile di ingresso. Per rappresentare il complemento di una variabile x vengono usate varie notazioni: not(x) x Rappresentazione dell operazione not(x) con la tavola della verità: x not(x) oppure x not(x) Proprietà: not(not(x)) = x Le tavole di verità sono tabelle matematiche utilizzate come principale rappresentazione di una funzione booleana, per determinare se, attribuiti i valori di verità alle proposizioni che la compongono, una determinata proposizione è ERA o ALSA.
AND Prodotto Logico (AND) L operazione di prodotto logico fra due (o più) variabili fornisce il valore logico se e solo se tutte le variabili assumono valore logico. Per rappresentare il prodotto logico di due variabili x e y si usa la notazione: x and y x. y Rappresentazione dell operazione x and y con la tavola della verità: x y x y x and y oppure x y x and y Proprietà: x. = x. = x x. x = x
OR Somma Logica (OR) L operazione di somma logica fra due (o più) variabili fornisce il valore logico se e solo se almeno una delle variabili assume valore logico. Per rappresentare la somma logica di due variabili x e y si usa la notazione: x or y x + y Rappresentazione dell operazione x or y con la tavola della verità: x y x or y oppure x y x or y Proprietà: x + = x x + = x + x = x
ELETTRONICA L'algebra di Boole trova numerose applicazioni nel campo dei computer e dell'elettronica. Esempio di applicazione alla teoria dei circuiti elettrici: Siano x e y due proposizioni. Associamo un interruttore a ognuna delle due proposizioni x e y: l interruttore si chiude se la proposizione è vera, e si apre se la proposizione è falsa. In questo caso, l'espressione x AND y si può associare a due interruttori collegati in serie: c è corrente nel circuito se e solo se entrambi gli interruttori sono chiusi, cioè se e solo se entrambe le proposizioni x e y sono vere. ) x AND y x y Corrente nel circuito x 2) x OR y Corrente nel circuito y Proposizioni più complicate danno luogo a circuiti interruttori più articolati.
Porte Logiche Le porte logiche sono dispositivi elettronici capaci di eseguire operazioni logiche su variabili booleane. A AND B A OR B NOT A
Alcune proprietà della porta AND Porta AND
Alcune proprietà della porta OR Porta OR
Rete combinatoria Una rete combinatoria è un circuito che usa porte logiche per realizzare funzioni booleane più complesse. U =X AND Y U 2 =X AND Y OR NOT Y X Y U =X*Y -Y U 2 =X*Y + -Y Tale comportamento è dato dalla tabella:
Rete combinatoria (X AND NOT Y) OR NOT (X OR Y)
Proprietà Proprietà degli operatori logici NOT, AND e OR IDEMPOTENZA x + x = x x. x = x ELEMENTO NULLO x + = x. = PROPRIETÀ COMMUTATIA x + y = y + x x. y = y. x PROPRIETÀ ASSOCIATIA x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z x. (y. z) = (x. y). z = x. y. z
Proposizioni In generale, l obiettivo della logica proposizionale è quello di associare ad una frase del nostro linguaggio una espressione booleana, che ne rappresenta un modello logico. Una proposizione è un qualunque asserto che può assumere solo il valore ero o also. Ad una proposizione è possibile associare una variabile booleana, detta in questo caso proposizionale, il cui valore ( per ero e per also) coincide con quello della proposizione stessa. Una frase del nostro ragionamento è considerata come un insieme di proposizioni elementari collegate tra loro mediante alcuni elementi del linguaggio, tra cui i più frequenti sono: o, e e non. Nel modello logico, a questi elementi dobbiamo sostituire gli operatori logici: o ( oppure ) alternativa (o disgiunzione) logica (OR) somma + e congiunzione logica (AND) prodotto non negazione logica (NOT) negazione -
Proposizioni Sostituendo nella frase:. alle proposizioni le variabili logiche; 2. agli elementi di collegamento gli operatori; si ottiene una espressione booleana che rappresenta il modello logico della frase stessa. Proposizioni: p, q, t,
Priorità Per calcolare una espressione booleana, si costruisce la corrispondente tabella di verità con le seguenti regole:. la tabella avrà tante righe quante sono le possibili combinazioni delle variabili: con 2 variabili, 4 righe; con 3 variabili, 8 righe; in generale, con n variabili, 2 n righe; 2. la tabella avrà tante colonne quante sono le operazioni indicate nell espresione; 3. la priorità delle operazioni è data dalle parentesi, procedendo da quelle più interne verso l esterno, oppure mediante l ordine di esecuzione degli operatori: not, and, or. Esempio: calcolare la seguente espressione: (p and q) or not p p q p and q not p (p and q) or not p
Esempio Consideriamo la frase: L auto può attraversare il casello autostradale se il conducente ha pagato e l operatore alza la sbarra oppure se il conducente possiede una tessera autostradale e l operatore alza la sbarra. Il modello logico associato alla frase può essere costruito individuando le seguenti proposizioni elementari: Proposizione se l auto attraversa il casello se l auto non può attraversare il casello se l operatore del casello alza la sbarra se il conducente ha pagato se il conducente possiede la tessera autostradale ariabile booleana associata y= (ero) y= (also) s= p= t= La variabile di uscita è in questo caso y, mentre s, p e t sono quelle di ingresso. Sostituendo nella frase agli elementi del linguaggio E e OPPURE i rispettivi operatori logici prodotto e somma, si ottiene l espressione booleana: p. s + t. s
Esempio (segue) L espressione booleana y = p. s + t. s ha la seguente tabella della verità: Nel modello logico del nostro esempio, la condizione per cui il conducente attraversa il casello (y=) si ha, per esempio, quando possiede la tessera (t=) e si alza la sbarra (s=).
y = p. s + t. s Circuito (segue)
Equivalenza logica Due espressioni si dicono equivalenti quando hanno la stessa tavola di verità. Esempio: verificare che le seguenti espressioni sono equivalenti: (p AND q) or (NOT p) (NOT p) OR q (NOT p) OR q NOT p q p NOT p (p AND q) OR (NOT p) p AND q q p
Esercizi Esercizio : calcolare la tavola di verità delle seguenti espressioni: p and not q or p not p or not q or t Esercizio 2: calcolare le seguenti espressioni per i valori assegnati: p or not q or p and not t per p = ero, q = also, t = ero Esercizio 3: calcolare le seguenti espressioni per i valori assegnati: not p and not q or t per p = also, q = also, t = also
Proprietà Proprietà degli operatori AND, OR, NOT: ) RILESSII: A AND B B AND A A OR B B OR A 2) ASSOCIATII: A AND B AND C (A AND B) AND C A AND (B AND C) A OR B OR C (A OR B) OR C A OR (B OR C) Esempio alla fine
Proprietà 3) DISTRIBUTII RECIPROCAMENTE: A AND (B OR C) (A AND B) OR (A AND C) A OR (B AND C) (A OR B) AND (A OR C) 4) NEGAZIONE: NOT NOT A A Esempio alla fine
Proprietà 5) Leggi di DE MORGAN: NOT (A AND B) (NOT A) OR (NOT B) NOT (A OR B) (NOT A) AND (NOT B) Esempio alla fine
OPERATORI SPECIALI Mediante gli operatori logici di somma, prodotto e negazione, possiamo definire gli operatori speciali descritti dalle seguenti tabelle. Somma negata o NOR logico (OR Negato) L operazione di NOR logico è l operazione negata dell operazione OR. Il simbolo NOR è una contrazione di NOT OR. Quindi l operazione di NOR logico fra due (o più) variabili fornisce il valore logico se nessuna delle variabili assume il valore logico. Tabella di verità A B y = A + B A B y = A + B Espressione logica: y = A + B oppure Simbolo della porta logica
OPERATORI SPECIALI Prodotto negato o NAND logico (AND Negato) L operazione di NAND logico è l operazione negata dell operazione AND. Il simbolo NAND è una contrazione di NOT AND. Quindi l operazione di NAND logico fra due (o più) variabili fornisce il valore logico se almeno una delle variabili assume il valore logico. Espressione logica: y = A. B Tabella di verità A B y = A. B oppure A B y = A. B Simbolo della porta logica
Proprietà di NAND L'operatore NAND ha una particolare importanza in quanto rende possibile realizzare tutte le funzioni logiche possibili con una circuiteria decisamente semplice. Si dimostra che, utilizzando solo l'operatore NAND e possibile ottenere le tabelle di verità degli operatori NOT, OR e AND:. A NAND A = NOT A A A NAND A A A NOT A 2. NOT(A NAND B) = A AND B A B A NAND B NOT(A NAND B) 3. (NOT A) NAND (NOT B) = A OR B
OPERATORI SPECIALI Comparatore di disuguaglianza o EX-OR logico (OR esclusivo) L operazione di or esclusivo EX-OR fra due (o più) variabili fornisce il valore logico se il numero delle variabili che assumono valore logico è dispari. Espressione logica: y = A + B Tabella di verità A B y = A + B oppure A B y = A + B Simbolo della porta logica
Consideriamo la frase: Esempio L auto si blocca perché suona l allarme E qualcuno sta forzando lo sportello, O perché manca la benzina E non suona l allarme. Modello logico associato alla frase: Proposizione l auto si blocca l auto non si blocca suona l allarme qualcuno sta forzando lo sportello manca la benzina ariabile booleana associata Y= (ero) Y= (also) A = S = B = La variabile di uscita è Y, mentre A, S, B sono quelle di ingresso. Sostituendo nella frase agli elementi del linguaggio E e O i rispettivi operatori logici prodotto e somma, si ottiene la seguente espressione booleana: Y = (A AND S) OR (B AND NOT A)
Esempio (segue) L espressione booleana Y = (A AND S) OR (B AND NOT A) ha la seguente tabella della verità: ASB A AND S NOT A B AND NOT A (A AND S) OR (B AND NOT A)
T E S T. Perché una operazione logica si dice binaria? E in quale caso si dice unaria? 2. Qual è la definizione di somma logica? 3. In quale caso l AND logico di due variabili può assumere il valore? 4. Quante sono le righe della tabella di verità che rappresenta una funzione con N variabili di ingresso? 5. Qual è la combinazione degli ingressi per cui l operatore NOR assume il valore di uscita? 6. Qual è il legame tra la porta NAND e quelle elementari OR, AND o NOT? 7. Quando due espressioni si dicono equivalenti? 8. Cosa si intende per rete combinatoria? 9. Quali sono le proprietà degli operatori logici OR, AND, NOT?. Sistema le parentesi relative alla priorità: NOT p AND q OR NOT p
T E S T (SEGUE) Dimostriamo, tramite la tabella di verità (induzione perfetta) che le espressioni: A OR ((NOT B) AND C) (A OR (NOT B)) AND C non sono equivalenti A OR ((NOT B) AND C)
(A OR (NOT B)) AND C T E S T (SEGUE)
T E S T (SEGUE) erificare tramite tavola di verità le proprietà degli operatori AND, OR, NOT ) RILESSII 2) ASSOCIATII 3) DISTRIBUTII RECIPROCAMENTE 4) NEGAZIONE 5) Leggi di DE MORGAN