Massimizzazione del profitto Appunti - Bozza Indice 1 Premessa 1 2 Massimizzazione del profitto 1 2.1 Introduzione............................ 1 2.2 Il costo............................... 2 2.3 Il ricavo.............................. 4 2.4 Il profitto (o guadagno)...................... 7 2.4.1 Primo metodo....................... 8 2.4.2 Secondo metodo...................... 12 1 Premessa Gli appunti che seguono sono una bozza. Non vogliono sostituire il testo, ma solo raccogliere in maniera organica e compatta le principali formule e nozioni riguardanti le funzioni costo, ricavo e profitto, e le applicazioni delle derivate al calcolo della massimizzazione del profitto. In caso di (possibili) discordanze con uanto scritto sul libro di testo, ciò può essere dovuto ad errori di stampa (di uesti appunti); il riferimento fondamentale è il libro di testo! 2 Massimizzazione del profitto 2.1 Introduzione La uantità prodotta di un certo bene sarà indicata con (con 0). Il prezzo unitario di tale prodotto sarà indicato con p (con p 0). Esempio 1 Una pizzeria produce 500 pizze al giorno, e le vende a 3, 50 euro ciascuna. Pertanto: p = 3, 50 euro, = 500 pizze. 1
2.2 Il costo Un impresa produce una uantità di un certo bene. Essa deve sopportare dei costi di due tipi: costi che non dipendono dalla uantità di bene prodotto (per esempio: spese per gli stipendi dei dipendenti stabili, spese di affitto dei locali, uote di ammortamento degli impianti,...; sino ad un certo punto tali costi non aumentano ma uando è necessario introdurre un nuovo impianto o assumere un nuovo dipendente, o prendere in affitto un nuovo magazzino, i costi fissi aumentano di una uantità fissa presentando un tipico andamento a gradino); tali costi sono detti costi fissi, e li indicheremo con C f ; costi che aumentano con l aumentare della uantità di bene prodotto (per esempio: costo delle materie prime, consumo di corrente,...); tali costi sono detti costi variabili, e li indicheremo con C v ();. Definizione 1 Si chiama costo totale la somma dei costi fissi e dei costi variabili, e si indica con C(): C() = C f + C v () ; ovviamente, il costo totale, dipende dalla uantità. Definizione 2 Si chiama costo medio il rapporto tra costo totale C() e la uantità di prodotto, e si indica con C m (): C m () = C() il costo medio, dipende generalmente dalla uantità. Il costo medio rappresenta uindi il costo di una unità del bene prodotto. Inoltre, poiché C m () = C() = C f + C v () ; = C f + C v(), generalmente, all aumentare delle uantità prodotte, si abbattono (in media) costi fissi ( C f diminuisce all aumentare di ). Esempio 2 Sia C() = 2 + 1; in tal caso C f = 1 e C v () = 2. Se = 10 o = 100, si ottengono i seguenti valori: 2
10 100 C f 1 1 C v () 100 10000 C() 101 10001 C m () 101 10 = 10, 1 10001 100 = 100, 01 C f medio 1 10 = 0, 1 1 100 = 0, 01 Con l aumentare delle uantità prodotte da 10 a 100, si abbatte il costo fisso (in media) da 0, 1 a 0, 01. Dato un ualunue punto A del grafico della funzione che rappresenta il costo totale C(), il valore del costo medio è dato dal coefficiente angolare ella retta OA, dove O è l origine degli assi (ricordare la determinazione del coefficiente angolare di una retta 1 ). Inserire grafico Definizione 3 Si chiama costo marginale la derivata prima del costo totale C(), e si indica con C (): C () = D(C()) ; il costo marginale, dipende generalmente dalla uantità. Inoltre, poiché C () = D(C()) = D(C f + C v ()) = D(C f ) + D(C v ()) = D(C v ()), 1 uindi, il valore del costo medio è legato alla pendenza della retta OA. 3
il costo marginale non dipende dal costo fisso (poiché la derivata di una costante è nulla, allora D(C f ) = 0). Dato un ualunue punto A del grafico della funzione che rappresenta il costo marginale C (), il valore del costo marginale è dato dal coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto A (ricordare la determinazione del coefficiente angolare di una retta 2 ). Inserire grafico Il costo marginale C () rappresenta la variazione del costo totale C() che si verifica in seguito ad una variazione (infinitesima) della uantità prodotta. In termini più semplici, il costo marginale rappresenta l incremento del costo totale legato all incremento di una unità del bene prodotto, e fornisce informazioni su come aumenta il costo totale in conseguenza di un incremento unitario della uantità prodotta. 2.3 Il ricavo Un impresa produce una uantità di un certo bene, che vende ad un prezzo unitario p. Il prezzo unitario di vendita p può essere determinato da un opportuna combinazione di due condizioni di mercato: monopolio: il produttore ha un potere di mercato tale da consentirgli di determinare i prezzi in base alla propria produzione. In tal caso il prezzo di vendita p dipende dalla uantità di bene prodotto (per cui, in realtà, dobbiamo scrivere p() in luogo di p). concorrenza perfetta: il produttore non ha un potere di mercato, ed i prezzi sono determinati dalle leggi di mercato della domanda e dell offerta. In tal caso il prezzo di vendita p non dipende dalla uantità di bene prodotto. Definizione 4 Si chiama ricavo totale il prodotto tra il prezzo unitario di vendita p, e la uantità di bene venduto 3, e si indica con R(): in condizione di monopolio: R() = p() ; 2 uindi, il valore del costo marginale è legato alla pendenza della retta tangente in A. 3 supporremo che le uantità prodotte e le uantità vendute coincidano. 4
in condizione di concorrenza perfetta: R() = p ; ovviamente, il ricavo totale, dipende dalla uantità, in entrambi i casi. Esempio 3 Sempre la stessa pizzeria di cui si è già detto, che produce le 500 pizze al giorno, e le vende a 3, 50 euro ciascuna. Poiché p = 3, 50 euro, = 500, si avrà R = 1750 euro. Definizione 5 Si chiama ricavo medio il rapporto tra il ricavo totale R() e la uantità stessa di prodotto, e si indica con R m (): R m () = R() ; il ricavo medio, come vedremo, dipende dalla uantità solo in caso di monopolio. Inoltre, si ha: in condizione di monopolio: R m () = p() = p(), cioè R m () = p(); in condizione di concorrenza perfetta: R m () = p = p, cioè R m = p, uindi, in concorrenza perfetta, R m non dipende da. Il ricavo medio rappresenta il ricavo di una unità del bene venduto; in pratica, come si vede dalle formule, e come era facilmente intuibile, rappresennta il prezzo unitario di uel bene. Dato un ualunue punto A del grafico della funzione che rappresenta il ricavo totale R(), il valore del ricavo medio è dato dal coefficiente angolare 5
della retta OA, dove O è l origine degli assi (ricordare la determinazione del coefficiente angolare di una retta 4 ). Inserire grafico Definizione 6 Si chiama ricavo marginale la derivata prima del ricavo totale R(), e si indica con R (): R () = D(R()) ; il ricavo marginale, dipende dalla uantità, solo in caso di monopolio. Inoltre, in condizione di monopolio: R () = D(p() ) = D(p()) + p() D() = p () + p(), cioè 5 R () = p () + p(). in condizione di concorrenza perfetta: R () = D(p ) = D(p) + p D() = p, cioè R () = p. Dato un ualunue punto A del grafico della funzione che rappresenta il ricavo marginale R (), il valore del ricavo marginale è dato dal coefficiente angolare ella retta tangente alla funzione nel punto A (ricordare la determinazione del coefficiente angolare di una retta 6 ). Inserire grafico Il ricavo marginale R () rappresenta la variazione del ricavo totale R() che si verifica in seguito ad una variazione (infinitesima) della uantità venduta. In termini più semplici, il ricavo marginale rappresenta la variazione 4 uindi, il valore del ricavo medio è legato alla pendenza della retta OA. 5 Si noti che p () < 0, perché il prezzo unitario diminuisce con l aumentare della produzione; inoltre > 0, perché rappresenta uantità di beni prodotte. Pertanto: p () < 0. 6 uindi, il valore del ricavo marginale è legato alla pendenza della retta tangente in A. 6
del ricavo totale legato all incremento di una unità del bene venduto, e fornisce informazioni su come aumenta il ricavo totale in conseguenza di un incremento unitario della uantità venduta. In condizioni di concorrenza perfetta, la variazione del ricavo totale dovuta all incremento unitario di uantità venduta, è pari al prezzo unitario. Confrontando ricavi marginali e ricavi medi, si ha: in condizione di monopolio: R () = p () + p() < p() = R m (), (si rammenti che p () < 0), uindi: R () < R m (). in condizione di concorrenza perfetta: R () = p = R m (), uindi: R () = R m (). 2.4 Il profitto (o guadagno) Definizione 7 Si chiama profitto totale (o guadagno totale) la differenza tra il ricavo totale ed il costo totale, e si indica con Π(): Π() = R() C() ; ovviamente, il ricavo totale, dipende dalla uantità. Esempio 4... (nella prossima versione)... L obiettivo di ogni impresa non è uello di minimizzare i costi (si potrebbe tollerare un incremento dei costi, se compensato da un adeguato aumento dei ricavi), o di massimizzare i ricavi (che potrebbero essere dovuti ad un aumento non tollerabile di costi); l obiettivo di ogni impresa è di massimizzare i guadagni (profitti). Quindi vogliamo capire uali sono le condizioni che ci consentono di massimizzare la funzione profitto Π(). Per fare ciò, si può operare in due modi. 7
2.4.1 Primo metodo Le funzioni Π() che incontreremo, saranno generalmente dei polinomi, per cui ci soffermeremo su uel tipo di funzioni. I massimi della funzione Π() si trovano per uei valori della variabile che soddisfano alla condizione Π () = 0 (la retta tangente alla curva in uei punti (; Π()) è orizzontale, e uindi il coefficiente angolare di tale retta è pari a zero 7 ) e 8 Π () < 0. Ora, poiché Π () = R () C (), allora Π () = 0 implica inoltre, poiché allora Π () < 0 implica In particolare si ha: in condizione di monopolio 9 : R () = C () ; Π () = R () C (), R () < C (). R () = C () R () < C (). in condizione di concorrenza perfetta 10 : C () = p C () > 0. Il ricavo marginale ed il costo marginale rappresentano rispettivamente l incremento di ricavo e l incremento di di costo per l impresa per ogni unità nuova di prodotto; se il costo marginale ed il ricavo marginale si uguagliano, l aggravio di costi e l incremento di ricavi che genera un nuovo prodotto, si compensano e danno un incremento di profitto pari a zero. Quindi il massimo profitto si trova in corrispondenza di un incremento dei profitti nullo (il valore è massimo - o minimo - uando la variabile non può più aumentare - o diminuire -). 7 Richiamo al significato geometrico della derivata; in particolare, al legame tra derivata prima e crescita di una funzione. 8 Richiamo al legame tra derivata seconda e concavità di una funzione. 9 in realtà, ueste condizioni vanno bene anche per il caso di concorrenza perfetta. 10 ricordiamo che, in tal caso, R = p e R () = D(R ()) = D(p) = 0 8
Esercizio 1 Sia il prezzo unitario di un bene, e p() = 100 2 C() = 50 + 40 il costo totale. Nota: siccome p è funzione di, ci troviamo in condizione di monopolio. Nota: si osserva subito che C f = 50 e C v () = 40. Quale è la uantità che rende massimo il profitto? Siccome Π() = R() C(), dobbiamo innanzitutto ricavare R(). La funzione profitto è: R() = p() = (100 2) = 100 2 2. Π() = 100 2 2 (50 + 40) = 100 2 2 50 40 = 2 2 + 60 50 Dobbiamo valutare per uale valore di si possono avere dei massimi. Pertanto imponiamo: R () = C (), cioè, poiché e si ha: R () = D(100 2 2 ) = 100 4, C () = D(50 + 40) = 40, 100 4 = 40; uest ultima, è un euazione di primo grado in, ed ha per soluzione = 15. Ma non sappiamo se tale valore di rappresenti un massimo. A tal fine si deve verificare R () < C (); poiché e si ha: R () = D(R ()) = D(100 4) = 4, C () = D(C ()) = D(40) = 0, 4 < 0. 9
Poiché tale relazione è verificata, allora = 15 rappresenta il valore che massimizza la funzione profitto. Quanto vale il massimo di Π()? Basta valutare Π(15) : Π( max ) = Π(15) = 2(15) 2 + 60(15) 50 = 2(225) + 60(15) 50 = = 450 + 900 50 = 400 Esercizio 2 Sia il prezzo unitario di un bene, e p() = 132 3 C() = 2 3 51 2 + 300 + 540 il costo totale. Nota: siccome p è funzione di, ci troviamo in condizione di monopolio. Nota: si osserva subito che C f = 540 e C v () = 2 3 51 2 + 300. Quale è la uantità che rende massimo il profitto? Siccome Π() = R() C(), dobbiamo innanzitutto ricavare R(). La funzione profitto è: R() = p() = (132 3) = 132 3 2. Π() = 132 3 2 (2 3 51 2 + 300 + 540) = = 132 3 2 2 3 + 51 2 300 540 = 2 3 + 48 2 168 540. Dobbiamo valutare per uale valore di si possono avere dei massimi. Pertanto imponiamo: R () = C (), cioè, poiché e si ha: R () = D(132 3 2 ) = 132 6, C () = D(2 3 51 2 + 300 + 540) = 6 2 102 + 300, 132 6 = 6 2 102 + 300; uest ultima, è un euazione di secondo grado in, 6 2 96 + 168 = 0. 10
Le soluzioni sono: 1 = 2 e 2 = 14. Ma non sappiamo se tali valore di rappresentino massimi. A tal fine si deve verificare R () < C () per ciascuno dei due valori 1 e 2. Poiché R () = D(R ()) = D(132 6) = 6, e si ha: C () = D(C ()) = D(6 2 102 + 300) = 12 102, Verifichiamola per 1 = 2: 6 < 12 102. 6 < 12(2) 102. 6 < 74. Poiché tale relazione non è verificata, allora 1 = 2 rappresenta il valore che minimizza la funzione profitto. Verifichiamola per 2 = 14: 6 < 12(14) 102. 6 < 66. Poiché tale relazione è verificata, allora 2 = 14 rappresenta il valore che massimizza la funzione profitto. Quanto vale il massimo di Π()? Basta valutare Π(14) : Π( max ) = Π(14) = 2(14) 3 + 48(14) 2 168(14) 540 = = 5488 + 9408 2352 540 = 1028 11
2.4.2 Secondo metodo Il metodo, che introduciamo ui, più generale di uello già trattato. Per determinare il massimo della funzione Π(), si può studiare la positività della derivata prima. Si ha un massimo uando, in un punto in cui la funzione sia definita, si ha Π() crescente prima (a sinistra) di, decrescente dopo (a destra di). Pertanto, con lo studio del segno della derivata prima, si deve avere in un punto in cui la funzione sia definita, Π () > 0 prima (a sinistra) di, e Π () < 0 dopo (a destra di). Esercizio 3 Sia il prezzo unitario di un bene, e p() = 100 2 C() = 50 + 40 il costo totale. Nota: siccome p è funzione di, ci troviamo in condizione di monopolio. Nota: si osserva subito che C f = 50 e C v () = 40. Quale è la uantità che rende massimo il profitto? Siccome Π() = R() C(), dobbiamo innanzitutto ricavare R(). La funzione profitto è: R() = p() = (100 2) = 100 2 2. Π() = 100 2 2 (50 + 40) = 100 2 2 50 40 = 2 2 + 60 50. Dobbiamo vedere uando la funzione profitto cresce. Pertanto calcoliamone la derivata prima, e studiamone il segno. Π () = D( 2 2 + 60 50) = 4 + 60. Il profitto è crescente uando Π () > 0, cioè uando 4 + 60 > 0; uest ultima è una diseuazione di primo grado, che ha per soluzione cioè la funzione cresce se < 15. < 15; 12
Il profitto è decrescente uando Π () < 0, cioè uando 4 + 60 < 0; uest ultima è una diseuazione di primo grado, che ha per soluzione > 15; cioè la funzione decresce se > 15. Inserire grafico/tabella Siccome Π() cresce per < 15 e decresce per > 15, allora = 15 rapresenta un punto di massimo. Quindi = 15 rappresenta il valore che massimizza la funzione profitto. Quanto vale il massimo di Π()? Basta valutare Π(15) : Π( max ) = Π(15) = 2(15) 2 + 60(15) 50 = 2(225) + 60(15) 50 = = 450 + 900 50 = 400. Esercizio 4 Sia il prezzo unitario di un bene, e p() = 132 3 C() = 2 3 51 2 + 300 + 540 il costo totale. Nota: siccome p è funzione di, ci troviamo in condizione di monopolio. Nota: si osserva subito che C f = 540 e C v () = 2 3 51 2 + 300. Quale è la uantità che rende massimo il profitto? Siccome Π() = R() C(), dobbiamo innanzitutto ricavare R(). La funzione profitto è: R() = p() = (132 3) = 132 3 2. Π() = 132 3 2 (2 3 51 2 + 300 + 540) = = 132 3 2 2 3 + 51 2 300 540 = 2 3 + 48 2 168 540. Dobbiamo vedere uando la funzione profitto cresce. Pertanto calcoliamone la derivata prima, e studiamone il segno. Π () = D( 2 3 + 48 2 168 540) = 6 2 + 96 168. 13
Il profitto è crescente uando Π () > 0, cioè uando 6 2 + 96 168 > 0; uest ultima è una diseuazione di secondo grado, che ha per soluzione 2 < < 14; cioè la funzione cresce nell intervallo 2 < < 14. Il profitto è decrescente uando Π () < 0, cioè uando 6 2 + 96 168 > 0, che ha per soluzione < 2; > 14; cioè la funzione decresce se < 2; > 14. Inserire grafico/tabella Siccome Π() decresce per < 2 e cresce per 2 < < 14, allora = 2 rapresenta un punto di minimo. Quindi = 2 rappresenta un valore che minimizza la funzione profitto. Siccome Π() cresce per 2 < < 14 e decresce per > 14, allora = 14 rapresenta un punto di massimo. Quindi = 14 rappresenta un valore che massimizza la funzione profitto. Quanto vale il massimo di Π()? Basta valutare Π(14) : Π( max ) = Π(14) = 2(14) 3 + 48(14) 2 168(14) 540 = = 5488 + 9408 2352 540 = 1028 14