Capitolo 4. Grafi Planari

Capitolo 4 Grafi Planari Per facilitare la trattazione dei grafi planari iniziamo dal seguente problema: tre acerrimi nemici hanno tre case vicine ed hanno contemporaneamente la necessità di doversi allacciare le loro abitazioni alle forniture di energia elettrica, gas ed acqua. Per evitare qualsiasi discussione esigono che nessuna delle connessioni di ognuno di loro si intersechi in qualunque punto con quelle degli altri due. La situazione è rappresentata in Figura 4.1. Il problema posto può essere modellato mediante un grafo bipartito completo K 3,3 (vedi Figura 4.2) e quindi la domanda che ci vogliamo porre è la seguente: è possibile disegnare K 3,3 senza intersezioni tra gli archi? In questa sezione ci occuperemo della trattazione dei grafi che possono essere disegnati su di un piano senza intersezioni tra archi e dimostreremo che il problema dei tre nemici non ha soluzione. elettricità gas acqua Figura 4.1: Il problema dei tre nemici. 51

52 CAPITOLO 4. GRAFI PLANARI elettricità gas acqua Figura 4.2: Connessioni per il problema dei tre nemici. 4.1 Grafi sul piano I concetti che verranno esposti si basano sulla semplice osservazione che ogni curva chiusa disposta su di un piano divide il piano stesso in due regioni distinte, ovvero la regione interna alla curva e la regione esterna alla curva. Questa osservazione elementare ha senso se ci limitiamo ad una trattazione semplice della Teoria dei Grafi, mentre, se volessimo fornire maggiori dettagli, dovremmo introdurre concetti di topologia che esulano dagli scopi di queste note. Il lettore che volesse approfondire questi argomenti può trovare una trattazione più approfondita in [5] e [13]. Proposizione 4.1.1 K 5 e K 3,3 non possono essere disegnate sul piano senza intersezioni tra archi. Dimostrazione: Consideriamo un disegno di K 5 sul piano come in Figura 4.3 e consideriamo un ciclo ricoprente C. Se non ci sono intersezioni, allora C è disegnato come una curva chiusa e le corde di C possono essere disegnate fuori e dentro tale curva. Due corde sono in conflitto se i loro estremi in C sono alternati e se ciò accade è possibile disegnarne una internamente a C ed una esternamente a C. Se il ciclo è di lunghezza cinque, due corde possono essere tracciate internamente e due esternamente, ma dato che ci sono cinque corde se ne deduce che è impossibile completare il disegno.

4.1. GRAFI SUL PIANO 53 K 5 K 3,3 Figura 4.3: K 5 e K 3,3. Analogamente, nel disegno di K 3,3 della Figura 4.3 ci sono tre corde in mutuo conflitto nel ciclo esterno di lunghezza sei e quindi la corda rimanente rende impossibile il completamento del disegno. Definizione 4.1.1 Il disegno di un grafo G(V, E) è una funzione f definita su V E tale che f : v V f(v), e E f(e). Un punto f(e) f(e ) è chiamato intersezione. Quindi, per disegno di un grafo intendiamo una funzione che assegna ad ogni vertice v un punto f(v) del piano ed assegna ad ogni arco e di vertici u e v una curva f(e). Si può osservare che possiamo utilizzare G come nomenclatura sia per un grafo che per il suo disegno; questo perché le relazioni di adiacenza sono chiaramente rispettate e, quindi, un disegno del grafo G può essere visto come un membro della classe di isomorfismo contente G. Dato un disegno di un grafo G, possiamo pensare di spostare gli archi sul piano in modo da assicurarci che non esistano tre archi che abbiano un punto interno in comune, che un arco contiene solo i vertici che costituiscono i suoi estremi e che non ci sono archi tra di loro tangenti. Nel seguito considereremo solo disegni con tali proprietà. Definizione 4.1.2 Un grafo G si definisce planare se ha un disegno senza intersezioni. Tale disegno è un embedding planare di G. Un grafo piano è un particolare embedding planare di un grafo planare.

54 CAPITOLO 4. GRAFI PLANARI Il termine embedding 1 planare ribadisce il fatto che il disegno di un grafo G sul piano è composto da punti del piano stesso, definiti dalla funzione f. Di conseguenza, allo stesso grafo G possono corrispondere differenti funzioni che definiscono embedding diversi. Un embedding planare divide il piano in parti che saranno ora oggetto del nostro studio. Definizione 4.1.3 Un insieme aperto nel piano è un insieme A R 2 tale che p A, r : p r < ɛ, ɛ > 0, r A. Definizione 4.1.4 Una regione è un insieme aperto A che contiene una poligonale di estremi u e v, u, v A. Definizione 4.1.5 Le facce F i di un grafo planare sono le regioni massimali del piano che contengono punti del piano che non sono interessati dall embedding planare. Sulla base di questa definizione, un grafo planare partiziona il piano in un numero di regioni mutuamente disgiunte che sono quelle racchiuse all interno delle poligonali dell embedding, più la faccia esterna, ovvero la faccia illimitata costituita dalla restante parte di piano. F 1 F 2 F 3 F 4 Figura 4.4: La facce di un grafo planare. Per esempio, considerando l embedding planare di Figura 4.4, questo divide il piano in quattro regioni costituite dall insiemi aperti con frontiera gli archi di G e che definiscono le facce triangolari F 1 e F 2, la faccia quadrata F 3 ed infine la faccia esterna F 4. 4.2 Grafi duali Da ogni grafo planare G è possibile costruire un grafo planare duale G ad esso legato. 1 In inglese il termine embedding significa incastrato, incastonato.

4.2. GRAFI DUALI 55 Definizione 4.2.1 Il grafo duale G (V, E ) di un grafo piano G(V, E) è un grafo piano che ha i vertici corrispondenti con le facce di G, mentre i suoi archi corrispondono a quelli di G nel seguente modo: se e = (u, v) è un arco di G con facce X da un lato e Y dall altro, allora i vertici dell arco duale e E sono x ed y che rappresentano le facce X ed Y di G. Il grado del vertice x V è uguale al numero di archi frontiera della faccia X di G. x e u e v y Figura 4.5: Costruzione del duale. La Figura 4.5 schematizza questo processo, mostrando la costruzione degli archi nel grafo duale. Utilizzando questo metodo, si può costruire per esempio il duale di K 4 e si può notare come le sue quattro facce portino ad ottenere un duale che è ancora K 4. 4.2.1 Proprietà dei grafi planari e Formula di Eulero Nel processo di costruzione dei grafi duali può verificarsi la comparsa di loop ed archi multipli. Per esempio, la costruzione del duale (rappresentato con i vertici bianchi e archi tratteggiati) per l embedding in Figura 4.6 porta ad avere due vertici, uno per la faccia interna triangolare ed uno per la faccia esterna, ed archi corrispondenti alle frontiere tra le diverse facce. Figura 4.6: Un esempio di grafo G e del suo duale G.

56 CAPITOLO 4. GRAFI PLANARI È da notare che i loop si formano in corrispondenza di un bridge dato che le facce sui due lati sono le stesse, mentre archi multipli si hanno in corrispondenza di facce che hanno più di un arco frontiera in comune. Basandoci su ragionamenti simili possiamo provare che il duale del duale (G ) è isomorfo a G se e soltanto se G é connesso. Figura 4.7: Esempio di due embedding planari con duali non isomorfi. Definizione 4.2.2 La lunghezza l(f i ) di una faccia F i in un grafo G planare é pari alla lunghezza del walk chiuso che é frontiera della faccia. Per esempio nel grafo in alto nella Figura 4.7, le lunghezze delle facce sono rispettivamente 3, 6, 7, mentre nel grafo in basso le lunghezze sono 3, 4, 9. In entrambe i casi si può notare che la somma fa 16, cioè il doppio del numero degli archi. Questo suggerisce la seguente proposizione: Proposizione 4.2.1 Se l(f i ) denota la lunghezza della faccia F i del grafo piano G, allora 2m(G) = l(f i ). Dimostrazione: La lunghezza delle facce corrisponde al grado dei vertici duali relativi e, dato che m(g) = m(g ), la formula 2m(G) = l(f i ) altro non è che una diversa forma del Lemma 1.1.1 (lemma handshaking).

4.2. GRAFI DUALI 57 Questa proposizione evidenzia che le relazioni relative a grafi piani connessi diventano relazioni per il loro duale quando scambiamo il ruolo dei vertici e delle facce. Infatti, archi incidenti su vertici diventano archi frontiera di una faccia e viceversa; analoga cosa si verifica per il ruolo della lunghezza delle facce e grado dei vertici. Un ulteriore relazione si può presentare nella colorazione dei vertici di G in termini di G. Di fatto, gli archi di G rappresentano frontiere condivise tra facce di G, quindi il numero cromatico di G eguaglia il numero di colori necessari per colorare le facce di G. Dato però che il duale del duale di un grafo piano connesso è il grafo originale, allora 4 colori sono sufficienti per colorare correttamente le regioni di ogni grafo planare se e soltanto se ogni grafo planare ha numero cromatico al più 4. Continuando nella nostra caratterizzazione dei grafi planari, dimostriamo il seguente teorema. Teorema 4.2.2 Le seguenti affermazioni sono equivalenti per un grafo piano G: 1. G é bipartito; 2. ogni faccia di G ha lunghezza pari; 3. il duale G è euleriano. Dimostrazione: (1) (2) Se il grafo é bipartito, allora per il Teorema 3.3.6 non ho cicli dispari e quindi il contributo alla misura della lunghezza di una faccia è sempre pari. (2) (1) Consideriamo il ciclo C nel grafo G di Figura 4.8. Dato che non ho intersezioni tra archi, allora C é una curva chiusa che racchiude la regione F ed inoltre tutte le regioni di G o sono completamente all interno della regione F o completamente all esterno; se sommo la lunghezza delle regioni contenute in F ottengo un numero pari, per ipotesi. Questa somma contiene sia archi di C, che contano una sola volta, sia ogni arco contenuto in F, contati due volte (perché insistono su due facce). Sottraendo a tale somma i contributi degli archi contenuti in F deve rimanere ancora una quantità pari; quindi C ha lunghezza pari e da ciò consegue la bipartibilità di G.

58 CAPITOLO 4. GRAFI PLANARI C Figura 4.8: Il ciclo C evidenziato per la dimostrazione del teorema. (2) (3) Il grafo duale G è connesso ed il grado dei sui vertici corrisponde alla lunghezza delle facce che è pari. La tesi segue subito dal Teorema 3.5.1. Dimostriamo ora la Formula di Eulero che rappresenta uno dei più importanti risultati per i grafi planari e che mette in relazione vertici, archi e facce. Teorema 4.2.3 (Eulero, 1758) Se un grafo piano G connesso ha esattamente n vertici, m archi e f facce, allora n m + f = 2 (4.1) Dimostrazione: Dimostriamo il teorema per induzione. Per n = 1, se m = 0 allora la formula vale (1 0 + 1 = 2), mentre qualunque inserimento di un arco aggiunge un loop che porta ad avere un arco in più ed una faccia in più; dato che questi ultimi nella formula si elidono, questa vale qualunque sia il numero di archi. e Figura 4.9: Contrazione dell arco e. Per ipotesi induttiva, affermiamo che il teorema sia valido per m 1, G connesso. Allora, se il grafo è connesso, posso trovare un arco e che non è un loop. Se contraggo tale arco come in Figura 4.9 ottengo un nuovo grafo G con n = n 1 vertici, m = m 1 archi

4.3. ESERCIZI 59 e f = f facce. Per l ipotesi induttiva posso scrivere che: n m + f = (n 1) (m 1) + f = n m + f = 2 Il teorema di Eulero ha notevoli implicazioni nello studio dei grafi planari e ci porta a dire, per esempio, che tutti gli embedding planari di un grafo connesso G hanno lo stesso numero di facce o che, sebbene il duale dipenda dal particolare embedding scelto, il numero dei vertici del duale è invece indipendente. La formula di Eulero può essere generalizzata al caso di grafi k-connessi attraverso la formula n m + f = k + 1. 4.2.2 Caratterizzazione dei grafi planari Un problema molto importante è, dato un grafo G qualunque, capire se questo possiede un embedding in un piano, ovvero se è planare. Data l importanza pratica dei grafi planari, che compaiono in molte modellizzazioni nella produzione industriale e nella progettazione dei circuiti VLSI, occorre trovare un modo efficace per certificare la planarità. Un importante risultato che fornisce un test di planarità è il Teorema di Kuratowski, che in forma semplificata ha il seguente enunciato. Teorema 4.2.4 (Kuratowski, 1930) Un grafo è planare se e solo se non contiene K 5 o K 3,3. La dimostrazione di questo importante risultato esula dagli scopi di queste note. Il lettore interessato potrà trovare una completa trattazione su [5]. 4.3 Esercizi Es. 4.3.1 Dato K 2,4 dire se esiste un possibile embedding planare. Se si, disegnarlo e costruire il suo grafo duale.

60 CAPITOLO 4. GRAFI PLANARI Es. 4.3.2 Dato il grafo in figura, disegnare il suo grafo duale. Dire quante sono le facce e validarlo con la legge di Eulero. Es. 4.3.3 A partire dal grafo dell esercizio precedente, connettere il grafo con un singolo bridge e quindi costruire il duale. Dire quante sono le facce e applicare la legge di Eulero. Es. 4.3.4 Fornire un esempio di un grafo in grado di dimostrare che G è non isomorfo a G. Es. 4.3.5 E possibile disegnare un grafo planare semplice con 3 vertici e 4 facce? Perché? Se è possibile, disegnarlo. Es. 4.3.6 E possibile disegnare un grafo planare semplice con 4 vertici e 4 facce? Perché? Se è possibile, disegnarlo. Es. 4.3.7 E possibile disegnare un grafo planare semplice con 6 facce e 5 vertici? Se si, disegnarlo. Es. 4.3.8 E sempre possibile disegnare un grafo planare con n > 2 vertici e 3n 6 archi? Es. 4.3.9 Dato un grafo semplice e connesso, una condizione necessaria per la planarità è che sia m 3n 6. É possibile disegnare un grafo planare di 11 nodi in cui ogni nodo ha grado almeno pari a 5? Perché?