Esercizi sui moti relativi Trascinamento uniforme. 1)La corrente di un fiume ha velocità 50cm/s. Una persona nuota contro corrente per 1km, quindi torna al punto di partenza; la sua velocità, misurata rispetto alla corrente, è di 1,2m/s. Quanto tempo ci vuole per compiere l intero percorso? [33 37 ] Quanto tempo si impiegherebbe in assenza di corrente? R:[27 47 ] 2)Sul ponte di una nave, che viaggia verso sud alla velocità di 2,0 m/s, si muovono due signore che indichiamo con A e B. A si muove verso nord alla velocità di 1,0 m/s rispetto alla nave. B si dirige verso est alla velocità do 0,5 m/s rispetto ad A. Calcola: 1.La velocità di A rispetto alla terraferma. 2.La velocità di B rispetto alla nave. 3.La velocità di B rispetto alla terraferma (E stato svolto in classe) 3. Una barca deve attraversare un fiume, la cui corrente ha velocità pari a 0.8 m/s. La velocità della barca, misurata rispetto alla corrente, è di 1.2m/s. Come si deve orientare la prua per andare direttamente verso il punto opposto sull'altra riva? Se il fiume è largo 40m, quanto ci vuole per attraversarlo? R:[41.8, 45s] 4. Un aereo deve volare in direzione E con il vento che soffia a 50km/h in direzione N. Se la velocità dell aereo rispetto all'aria è di 200km/h, in che direzione dovrà puntare? [14.5 SE] Quale sarà la velocità effettiva del velivolo rispetto al suolo? R:[194km/h] 5. Un corpo, inizialmente in quiete, cade da un altezza di 5m. Descrivere il moto di caduta visto da un osservatore in moto uniforme, orizzontale, con velocità 8m/s. 6. Un cannone spara con alzo 30 ed il proiettile ha velocità iniziale 300m/s. Un automobilista viaggia a 153km/h nel verso del lancio. Calcolare la gittata per un osservatore in quiete e per quello in moto. [7950m e 6650m ]. Calcolare velocità iniziale e angolo di tiro per l'osservatore in moto. R: [264m/s, 34.6 ] 1
7)Il nastro di un tapis roulant lungo 125 metri si muove alla velocità costante di 1.20 m/s. Una persona che cammina speditamente ha rispetto al suolo una velocità di circa 2.00 m/s. In queste ipotesi quanto impiega la persona ad arrivare in fondo al percorso coperto dal tapis roulant e tornare indietro? R: [195s] Problema svolto 8)La corrente di un fiume largo d = 60 m scorre a una velocità di 1.5 m/s. Un nuotatore olimpionico punta in direzione perpendicolare alla riva e nuota con una velocità (rispetto all acqua) diretta perpendicolarmente alla riva e pari a 1.2 m/s. a) Quanto tempo impiega il nuotatore per fare andata e ritorno? b) A quale distanza dal punto di partenza arriverà? Soluzione. a) La velocità del nuotatore rispetto alla riva è data dalla somma vettoriale della sua velocità rispetto all acqua v n e la velocità dell acqua rispetto alla riva v a, che sono tra loro perpendicolari. Poniamo per comodità l asse delle x parallelo alla riva del fiume e l asse y perpendicolare alla riva. Abbiamo che v n ha solo componente y, mentre v a ha solo componente x. Dunque v n = (0, v n ); v a = (v a, 0); v = v n + v a = (v a, v n ). y d (larghezza del fiume) v n v traiettoria del nuotatore v a x x Il tempo impiegato ad attraversare il fiume all andata è quello tale che y = d. Ma y = v y t e v y = v n. Quindi d = v n t cioè t = d / v n = 50 s. b) Durante il tempo t il nuotatore si sposta lungo x di x = v x t = v a d / v n. Al ritorno la situazione è esattamente identica ma simmetrica, il tempo impiegato sarà lo stesso e uguale sarà la distanza percorsa in x. Dunque alla fine della doppia traversata il nuotatore si troverà spostato del doppio: 2
x AR = 2 x = 2 d v a / v n = 150m. (Allo stesso risultato si poteva arrivare notando che, poichè il moto del nuotatore è a velocità costante, la sua traiettoria è un segmento di retta parallelo al vettore velocità. Si vede quindi «geometricamente» che, considerando il tragitto di andata, deve essere x/d = v a / v n.) 9)Una barca, la cui velocità rispetto all acqua di un fiume è di 22 km/h, si sta muovendo in una direzione che forma un angolo di 25 controcorrente su un fiume che scorre a una velocità di 5 km/h. a) qual è la velocità della barca rispetto alla riva? b) Secondo quale angolo si deve puntare la barca se si vuole attraversare il fiume perpendicolarmente, supponendo che la velocità della barca rispetto all acqua rimanga la stessa? R: a) 5,6m/s con un angolo di circa 12 ; b)circa 13 3
Trascinamento uniformemente accelerato. 10)Durante la frenata di un vagone ferroviario che decelera con a=1,5m/s 2, viene lanciato verso l alto un oggetto alla velocità iniziale di v0=3m/s verticalmente verso l alto. Rispetto ad un osservatore a terra in quale punto del vagone ricadrà l oggetto? R: 0,28m dal punto di lancio. 11)Un punto all equatore, a causa della rotazione della Terra attorno al proprio asse, è soggetto a un accelerazione centripeta di 0,0337 m/s 2, mentre un punto ai poli non è soggetto all accelerazione centripeta. a) Mostrare che all equatore la forza gravitazionale che agisce su un oggetto (il peso vero) deve superare il peso apparente dell oggetto b) Qual è il peso apparente, all equatore e ai poli, di una persona che ha una massa di 75 kg? Soluzione Il peso vero di un oggetto è mg mentre il peso apparente è la forza esercitata sull oggetto da una bilancia. L accelerazione centripeta diretta verso il centro della Terra è: a c 2 v = R Assumendo il verso positivo verso il centro della Terra si ottiene: N mac = mg N N = m( g ac) mg g= 9,8 kg ( ) all' Equatore: N = m g a = 732N ai Poli: N = mg = 735N Una formica cammina in direzione radiale verso l esterno con velocità relativa v= 1 cm/s su un vecchio giradischi rotante alla velocità angolare di 4,7 rad/s. Se il coefficiente di attrito statico è µ s = 0,08, a quale distanza dal centro del giradischi l insetto inizierà a slittare? SOL. Nel sistema di riferimento rotante col disco oltre alla forza peso e alla reazione del vincolo agiranno una forza centrifuga e una forza di Coriolis la cui risultante deve essere c Forizz = ω r + 4m ω v mgµ r = 3,5cm 2 4 2 2 2 2 m ω s max 4
12)Un massa di 3 kg appesaa a un estremità di una corda è vincolata al supporto di un vagone ferroviario. Quando il vagone accelera verso destra, la corda forma un angolo di 4 con la verticale. Determinare l accelerazione del vagone. R: a=0,685m/s 2 13. Un filo ideale è sospeso al soffitto di un vagone ferroviario in moto accelerato e sostiene una massa puntiforme m. In fase di accelerazione (supposta costante) si osserva che il filo assume una posizione di equilibrio (rispetto al treno) inclinataa di 15 rispetto alla verticale. Calcolare l accelerazione del treno. [2.6m/s2] 14. Una persona si pesa su un ascensore. Nota che quando questo è fermo la lettura è di 60kg, mentre quando si mettee in moto questa sale a 68kg. Determinaree l accelerazione dell ascensore. Sta salendo o scendendo? [1.3m/s2] 15. Un carrello liscio è trascinato, su un piano orizzontale, con accelerazione costante pari a 3m/s 2. Un corpoo di 7kg è legato ad una parte del carrello da un filo ideale. Determinare la tensione del filo.r: [21N] 16. Un autocarro viaggia ad una velocità di 60 km/h. Sul pianale di carico è appoggiata una cassa, libera di muoversi, con un coefficiente di attrito statico fra pianale e cassa pari a 0.3. Qual è la distanza minima richiesta per fermarsi senza che la cassa scivoli? [47m] 17. Un carrello scivola su un piano liscio, inclinato di 30. Una massa di 2kg è vincolata all estremo di una molla di costante k=100n/m, come in figura. Determinare la deformazione di equilibrio della molla, sapendo che non c'è attrito con il piano del carrello. Cambiaa la risposta a seconda che il carrello scenda o salga? [0m] 5
Esempi spiegati e commentati: 6
Problema svolto 18)Un ascensore è soggetto ad una accelerazione a0= di 1,3 m/s 2. Nel momento in cui la velocità verso l'alto è di v0=2,6m/s cade dal soffitto un bullone. Il soffitto è alto 2.8m (s) Calcolare il tempo di caduta del bullone e la distanza percorsa rispetto a terra. Soluzione: Definizioni utili: 1) Principio di composizione delle accelerazioni: Con a' accelerazione del bullone nel sistema primato, a accelerazione del bullone nel sistema di terra e a0 accelerazione del sistema primato. 2) Spazio percorso (s) in moto accelerato: Soluzione: Con V0 velocità iniziale e a accelerazione e t intervallo di tempo Mettiamoci nel sistema primato. In questo sistema orientando l'asse positivo delle z verso il basso ( dal soffitto al pavimento) avremo: 7
dove l'accelerazione del bullone dal sistema di terra è g mentre a0 è negativa essendo diretta verso l'alto. Nel sistema primato il bullone cade con velocità nulla. Quindi applicando la 2) si ottiene: Siamo in meccanica classica. Quindi il tempo che il bullone impiega a cadere dal soffitto al pavimento è il medesimo nei due sistemi. Nel sistema di terra quindi la distanza percorsa (Sterra) dal bullone si otterrà sottraendo a s l'avanzamento del pavimento dell'ascensore rispetto al bullone dall'istante di caduta. con s distanza soffitto ascensore mentre i due termini col - rappresentano l'avanzamento del pavimento verso il bullone nel sistema di terra. Tale avanzamento è dato dalla definizione 2) ( dal sistema di terra l'ascensore sta accelerando con accelerazione a0 a partire dalla velocità iniziale V0) 19) Un corpo puntiforme di massa m A = 2kg `e posto su un carrello che scorre su un piano orizzontale. Inizialmente il corpo `e fermo ed `e ad una distanza di d=1 m dal bordo del carrello, la cui massa `e m B = 8 kg. Tra carrello e corpo il coefficiente di attrito dinamico `e μd = 0.2. Il carrello viene mosso da una forza F=30 N e anche il corpo A inizia a scivolare sul carrello. Quanto tempo occorre ad A per raggiungere il bordo? R: 1,24s 20)Un pendolo semplice di lunghezza l=0.4 m `e appeso ad un supporto che avanza con accelerazione a=5 m/s2 (orizzontale). Calcolare l angolo di equilibrio rispetto la verticale e il periodo delle piccole oscillazioni rispetto la posizione di equilibrio. R: [27 ; 1,25s] 21 L ascensore di un grande grattacielo raggiunge la velocità di 6.0 m/s in 2.5 secondi. Supponendo che in questo intervallo la sua accelerazione sia costante, quale peso segna una bilancia pesapersone su cui è appoggiato un signore che normalmente pesa 80 kg? R: [100Kg] Forza centrifuga: 22)Un auto sta percorrendo un tratto rettilineo di strada a velocità v. La strada curva di 90 tracciando un arco di circonferenza di raggio R Se il coefficiente di attrito statico, a causa della presenza di ghiaccio, vale μ = 0.05 qual è la velocità massima con cui l auto può affrontare la curva senza slittare? 8
R: vmax2 = μgr ( calcolare) 23)Calcolare la forza centrifuga (in N) agente su un ciclista che percorre una pista circolare del raggio di 100 m alla velocità di 40 km/h, sapendo che la massa del ciclista e della macchina è di 80 kg. R: 98,6N 24) Quale velocità deve avere un corpo affinché ruotando su una circonferenza di raggio r il suo peso risulti uguale alla forza centrifuga su esso agente? 25)Quale velocità angolare deve avere un corpo rotante su una circonferenza di raggio unitario affinché la forza centrifuga che ne risulta equilibri il suo peso? Trascinamento rotatorio uniforme. 26 Una piattaforma circolare, orizzontale, di raggio R=1m ruota intorno al proprio asse verticale. Un corpo di 2kg è appoggiato sul bordo della piattaforma, che presenta un coefficiente di attrito statico μs=0.4. Qual è la velocità angolare massima della piattaforma per cui il corpo non scivola via? [1.98 rad/s] 27. Una massa m=0.2kg è appesa ad un filo ideale lungo 80cm. Il filo descrive nel suo moto un cono di semiampiezza 18. Determinare il periodo di rotazione. [1.75s] 28. Una delle obiezioni che si facevano all idea di rotazione terrestre era la seguente: se la terra ruotasse, i corpi sarebbero scagliati lontano. In realtà l effetto della rotazione è piccolo: calcolare la forza centrifuga che agisce su una persona di 65kg a Padova, dovuta al moto di rotazione terrestre. [1.56N] 29 Quale dovrebbe essere la durata del giorno affinché, all equatore, i corpi si trovino in condizioni di assenza di peso? [1h 24m] 30. Un proiettile è lanciato orizzontalmente, verso N, con velocità 400m/s. Determinare l accelerazione di Coriolis in modulo, direzione e verso, se ciò avviene alla latitudine di 45. [0.04m/s2 verso E] Problemi vari 1)Osserva il sistema in figura e disegna tutte le forze che agiscono sulle varie parti. Il sistema e composto da due corpi di massa M e m e dal filo di massa trascurabile. Il corpo di massa M e sottoposto all azione della forza peso che agisce sul corpo di massa M. La reazione a tale forza e applicata al centro della terra. Il corpo esercita una azione sul filo che reagisce con una forza uguale e contraria detta TENSIONE DEL FILO (T). La 9
tensione e responsabile dell azione che viene esercitata sul corpo di massa m. Sul corpo di massa m agisce la forza peso e la reazione vincolare. Tali forze si equivalgono e non producono alcun effetto. Se il corpo M si muove verso il basso calcoliamo l accelerazione dei due corpi e la tensione del filo. Sul corpo M la risultante delle forze e P 2 -T. Per il secondo principio di Newton si ha P2- T=Ma. Sul corpo di massa m la forza che provoca il moto e la sola tensione T e quindi si ha: T=ma. Si ha quindi: P 2 T = Ma. Si risolva il sistema rispetto alle incognite T e a. T = ma Si risolva numericamente il problema nell ipotesi che M=5Kg, m=2kg. Si ricavi l accelerazione a e la tensione del filo T. 2)In figura osservi un sistema composto di tre corpi: due masse e il filo. Disegna le forze che agiscono sul sistema e determina l accelerazione a e la tensione del filo T. Dalla figura supponiamo che il corpo di massa M sia sollecitato a muoversi verso il basso. Di conseguenza il corpo di massa m sale lungo il piano. Per il secondo principio di Newton si ha: P2 T = Ma T Px= ma soluzione trattandosi di una identita. mentre Py=R non offre alcun contributo alla 3) Risolvi il sistema supponendo che l angolo sia di 45, che M=10Kg e m=4kg. 4)Su un piano orizzontale e posto un corpo di massa m=200kg. Viene mosso verso destra da una forza di F=150N. L attrito e trascurabile. Calcola l accelerazione a cui e sottoposto il corpo. Disegna il piano orizzontale, il corpo e tutte le forze che su esso agiscono. Dai un nome a ciascuna forza e spiegane la natura. 5)Su un piano orizzontale striscia un corpo di massa m=200kg. Il coefficiente di attrito tra corpo e piano e µ =0,01. Calcola l accelerazione del corpo. Disegna il piano orizzontale, il corpo e tutte le forze che su esso agiscono. Dai un nome a ciascuna forza e spiegane la natura. 6)Su un piano inclinato di 20 e alto h=200m striscia un corpo di massa m=80kg. L attrito e trascurabile. Il corpo parte da fermo. Disegna il piano, il corpo e tutte le forze che su 10
esso agiscono. Calcola l accelerazione del corpo e scrivi le leggi del moto. Calcola la velocita al termine del piano e il tempo impiegato. 7)Risolvi il problema precedente supponendo che il coefficiente di attrito tra corpo e piano sia µ=0,01. 8)Disegna le forze del sistema e determina accelerazione e tensione del filo: Supponi che sul piano vi sia attrito tra copro e piano di coefficiente µ=0,1. Sia M=10Kg e m=2kg. 9)Risolvi il problema 1) supponendo che sul piano l attrito non sia trascurabile e abbia coeff. µ =0,1. 10)Sollevo 10 Kg da terra ad una altezza di 10m. Calcola il lavoro svolto. 11)Applico una forza di 10N inclinata di 20 e sposto un corpo di 100Kg di 300m. Calcola l energia spesa per compiere l azione. 12)Calcio un pallone esercitando una forza di 20N e lo sposto di 200m. La massa del pallone e 1,5Kg. Calcola la velocita acquistata dal pallone. Quale teorema applico? Lo sai dimostrare?. 13)Un automobile di massa 2.0 x 10 3 kg sta viaggiando a 50.0 km/h. Improvvisamente frena fino a fermarsi. Schematizzando la frenata come conseguenza dell applicazione di una forza costante, si determini: a) quanto vale questa forza se l auto impiega 2.0 secondi per fermarsi: b) quanto vale lo spazio di frenata, ossia la distanza percorsa da quando inizia la frenata a quando l automobile si ferma. c) Se la forza frenante rimane la stessa ma l automobile sta andando a 100 km/h anziché a 50 km/h, come cambiano il tempo e lo spazio di frenata? R: a)1.4 x 10 4 N; b)13,9m; c) 14)Un corpo di massa m scivola (senza attrito) lungo un piano inclinato di un angolo di 30 gradi rispetto all orizzontale, in presenza di gravità. Se parte da fermo, quale sarà la sua velocità dopo 2.0 secondi? R: 9,8m/s 15)Un blocco di massa 2.8 kg è appoggiato su un piano orizzontale in presenza di gravità. Se il coefficiente di attrito statico vale μ S = 0.85 e quello di attrito dinamico vale μ D = 0.67, 11
a) Quanto vale la forza orizzontale minima che si deve applicare per muovere l oggetto? b) Quanto vale la forza orizzontale che si sta applicando se l oggetto si muove sul piano a velocità costante? R: a)23n; b)18n 16)Nel caso dell esercizio precedente, si determini l angolo minimo a cui si può inclinare il piano su cui si trova il blocco senza che questo cominci a scivolare. R: tan -1 (0,85) 12