Istogrammi ad intrvalli Abbiamo visto com costruir un istogramma pr rapprsntar un insim di misur dlla stssa granda isica. S la snsibilità dllo strumnto di misura è alta, è probabil ch tra gli N valori trovati c n siano pochi distinti tra loro, allora è opportuno raggruppar valori vicini in intrvalli di rquna costruir un istogramma ad intrvalli. Dati N valori associati alla granda : { i} i, N dinisco sull ass M intrvalli con: ampia D (non ncssariamnt tutt uguali valor cntral { }, M n rquna assoluta associata al -simo intrvallo (numro di valori di ch cadono nll intrvallo F rquna rlativa: F = n / N dnsità di rquna rlativa: =F /D. Marta Calvi 00 Lion 4, pag.
M M n N F M M n N D somma dll rqun assolut N N M D F D somma dll rqun rlativ S pongo in ordinat la dnsità di rquna corrispondnt a ciascun intrvallo ottngo un istogramma di ara unitaria (normaliato: Ara M F Ara dll istogramma. Intrvallo -simo Valor cntral dll intrvallo D Ampia intrvallo D = F raion di misur ch cadono nll intrvallo di ampia D Marta Calvi 00 Lion 4, pag.
Funion dnsità di probabilità Supponiamo di avr a disposiion ininit misur, distribuit con continuità sull ass. In ogni intrvallo, la rquna rlativa dll misur F, pr N tnd alla probabilità p ch una misura cada in qull intrvallo. Al crscr di N posso prndr intrvalli smpr più piccoli, pr N di ampia ininitsima d. La dnsità di rquna tndrà allora alla dnsità di probabilità (= dp/d : N D 0 F = D F D p D dp = ( d dp d ( Dnsità di probabilità La raion di misur ch cadono nll intrvallo tra + d tnd alla probabilità dp di ottnr valori di nll intrvallo (, + d. Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 3
( Funion dnsità di probabilità ( d= dp probabilità di ottnr valori di nll intrvallo ininitsimo. S sommo su un intrvallo di ampia inita ottngo la probabilità di ottnr valori di nll intrvallo < < : Probabilità ( << = dp ( d ( È l ara sottsa dalla curva Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 4
La condiion di normaliaion pr una union dnsità di probabilità è: ( d La probabilità pr l intro insim di risultati val Sarà smpr vro anch ( > 0 (la dnsità di probabilità è una union positiva. N sgu ch la union dnsità di probabilità all ininito dv tndr a ro : ( 0 pr. Un insim di N misur mi dinisc una distribuion di rqun. Pr N si individua la union dnsità di probabilità ch dscriv l misur (o in gnral la granda. Vicvrsa s conosco la union dnsità di probabilità corrispondnt ad una variabil posso calcolar la probabilità di ottnr valori in un dato intrvallo. Posso calcolar anch la mdia la variana: Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 5
Mdia variana pr una variabil continua Data una union dnsità di probabilità (, dinisco: Mdia ( d Ricordo: M F Variana ( ( d Ricordo: M F ( Dviaion standard ( ( d Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 6
Esmpio: union dnsità di probabilità uniorm Considro la union dnsità di probabilità (, dinita da: (= 0 <a, >b c Normaliaion: b ( d a b b ( d cd c c( b a a a b a b a d ( b a ( b a ( ( d... b a c b a ( b a a b a b ( b a c=/(b-a a b Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 7
Funion di Gauss La union dnsità di probabilità ch dscriv misur att solo da rrori casuali dv avr carattristich bn prcis. Considriamo la union ch dscriv gli scarti dal valor vro ( -, ssa dv ssr: Simmtrica risptto il valor vro ( ugual probabilità di ottnr uno scarto positivo o ngativo Dcrsct al crscr dl valor assoluto dllo scarto ( è poco probabil ottnr scarti molto grandi Normaliata C.F.Gauss dimostrò ch tal union ha la sgunt orma analitica: ( ( union di Gauss o Gaussiana dnota il valor vro, è un paramtro di cui vdrmo il signiicato. Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 8
Proprità dlla union di Gauss Vriichiamo innanitutto i tr rquisiti prcdnti: Simmtrica risptto il valor vro : ( = ( Dcrsct al crscr dllo scarto: lim ( = 0 (>0 pr <, (<0 pr > Normaliata: ( d Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 9
Pr sguir i conti abbiamo bisogno di ar ririmnto all intgral di Gauss di cui riportiamo il risultato (si calcola passando al piano complsso: d da cui anch: d d d Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 0
Proprità dlla union di Gauss Vriichiamo la normaliaion: ( d ( d Facciamo un cambio di variabil: d ( d d d d Calcoliamo la drivata prima: ( ( ( Marta Calvi 00 Lion 4, pag.
Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 0 ( ( La drivata prima si annulla pr: Cioè pr: Prtanto la union ha un massimo pr =. Il valor dlla union in corrispondna dl punto di massimo è: d è: pr < mntr pr > 0 ( ( 0 ( ( ( ( La drivata sconda: ( ( 3 l ordinata di al ma. è invrsamnt proporional al paramtro 0 (
La drivata sconda si annulla pr: Cioè pr:, ( ( Prtanto la union ha du lssi pr = + pr = -. La distana tra i du punti di lsso è il paramtro è indicativo dlla largha dlla union. Il valor dlla union in corrispondna di lssi è circa il 60% dl valor nl punto di massimo: ( 0.6 0.6 ( Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 3
=, = =, = ( ( 0.399 ( 0.4 ( 0.99 ( 0. Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 4
( ( Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 5
Calcolo dlla mdia dlla union di Gauss Applichiamo la diniion di mdia data alla union dnsità di probabilità di Gauss: ( ( d d, ( d Facciamo il cambio di variabil:, d La mdia dlla union dnsità di probabilità di Gauss coincid con il paramtro ch compar nll sponnt dlla union ch rapprsnta il valor vro dlla granda. d d =0 d Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 6
Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 7 Variana dlla union di Gauss d d ( ( ( ( La variana dlla union dnsità di probabilità di Gauss coincid con il paramtro ch compar nll sponnt dlla union. Facciamo il cambio di variabil:, d d,... ( d d
Torma dl limit cntral Siano dat N variabili casuali, statisticamnt indipndnti tra loro y,y, y N ciascuna dll quali abbia dnsità di probabilità ignota, ma di cui sista inita la mdia, rispttivamnt,, N, la variana,, N. La variabil casual somma Y = y +y + +y N ha una union dnsità di probabilità ch, pr N è Gaussiana, con valor mdio variana dati da: Y N i i Y N i i Applicaion: S gli rrori casuali sono dovuti al concorrr simultano di numrosi tti, una misura atta da rrori casuali può considrarsi una variabil casual somma di tant variabili casuali. Prtanto una misura atta da rrori casuali ha union dnsità di probabilità Gaussiana. Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 8
Intrprtaion probabilistica dlla dviaion standard Abbiamo visto ch, s è nota la union dnsità di probabilità ( pr la granda, possiamo calcolar la probabilità di trovar valori di in un dato intrvallo inito com: Probabilità ( < < = dp Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 9 ( d Considriamo la union di Gauss l intrvallo di ampia attorno : Probabilità (- < < + = Misur att da rrori casuali hanno una probabilità dl 68% di cadr all intrno dll intrvallo di smi-ampia cntrato sul valor vro dlla granda misurata. ( d 0.687 Calcolo numrico Il livllo di conidna corrispondnt all intrvallo di smiampia cntrato sul valor vro dlla granda misurata è dl 68%. La dviaion standard è la smi-ampia dll intrvallo cntrato nl valor vro dlla granda, ch contin circa il 68% dll misur.
Funion di Gauss standardiata La union di Gauss con: = 0, = è dtta union di Gauss standardiata (distribuion dgli scarti normaliati: ( Qualunqu union di Gauss può ssr ricondotta ad ssa, pur di ttuar il cambio di variabili: Sappiamo ch: ( ( d d 0.687 Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 0
Ci domandiamo ora quanto valgono gli intgrali di ( in intrvalli di ampia t qualunqu. Considriamo cioè la union intgral: t t d t t ( d r ( t Funion dgli rrori r (t = Probabilità (- t < < t ( r(t.00 0.95 0.68 -t 0 t La union dgli rrori è la union intgral dlla Gaussiana standardiata. t Marta Calvi 00 Lion 4, pag.
Il valor dgli intgrali dlla union di Gauss si può anch lggr da apposit tabll Marta Calvi 00 Lion 5, pag.
Poiché la union è normaliata, simmtrica risptto = 0, dai valori in tablla si possono ricavar l probabilità in intrvalli di diniion qualunqu. Esmpi: Probabilità ( <a, >a = Probabilità (a < <a = r(a Probabilità ( <a = ( Probabilità (a < <a / = ( r(a / Probabilità ( <+a = 0.5 + Probabilità (a < < a /= 0.5 r(a/ Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 3
Esrciio: Si considri una granda la cui union dnsità di probabilità sia una Gaussiana con = 5 = 0.3. Qual è la probabilità ch sia minor di 4.6? ( t 4.6 5 0.3.33 ( 4.7 5 5.3 4.6 -.33 0 Probabilità ( <.33 = (Probabilità(-.33 < <.33 / =( r (.33 / ( 0.865/ = 0.0975 9.% Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 4
Esrciio Un artigiano taglia a mano 6 cubtti di lgno uguali. Li psa raccogli i risultati nlla sgunt tablla: Massa [g] 5 5 53 54 55 56 57 58 rquna 8 6 3 35 30 6 8 6 Rapprsntar la distribuion di valori dlla massa con un istogramma Calcolar la mdia aritmtica dlla massa di cubtti, la dviaion standard la dviaion standard dlla mdia. Scrivr la union dnsità di probabilità più adatta a dscrivr qusto insim di dati conrontarla graicamnt con l istogramma. Marta Calvi 00 Lion 4, pag. 5