Problemi di paragrafo

Problemi di paragrafo 1 No, la forza da applicare diminuisce ma la distanza aumenta, quindi il lavoro compiuto resta costante. 2 1 J 1 kg 1 m 1 s 10 g 10 cm 1 s 10 erg. 3 Quando la componente della forza parallelo allo spostamento ha verso opposto a esso. 4 W " F " s F + F + F + s F s + F s + F s + W + W + W + 5 W Fs 2,0 N 10 m 20 J 6 W Fs 3,4 10 N 7 W Fs cos α 1300 N 62 m 2,1 10 J 26 m cos 45 2,4 10 J 8 W Fs cos α cos α W Fs 320 J 0,76 α 40 12 m (35 N) 9 W F s mgh 21 70 kg 9,8 m/s 130 m 1,9 10 J 10 W " F l F l 564 N 7,2 m 652 N 5,1 m 7,4 10 11 Le due forze hanno uguale intensità e formano tra loro un angolo di 50, quindi la nave si sposta lungo la bisettrice dell angolo, formando un angolo di 25 con le funi: il lavoro di ciascun rimorchiatore è W Fs cos 25 6,2 10 N 18 m cos 25 1,0 10 J 12 Indicata con T la tensione incognita, il lavoro totale è W " T 10m + da cui T 50 N T + 70N 6m 860 J 1

13 L intensità della forza di attrito è uguale a quella della componente della forza-peso parallela al terreno; inoltre in un secondo lo sciatore percorre 10 m; il lavoro della forza d attrito è W F sin 30 s 70kg 9.8m/s 1 2 10m 3,4 10 J 14 Quando la forza è negativa il suo verso è opposto al moto del carrello, che viene così rallentato; il lavoro che compie è negativo. Il lavoro totale è W " 1 2 4,8m + 3,2m 12N 1 2 2,2m + 1,4m 6N 37 J 15 W F s 46 N 4,0 m 1,8 10 J W F s 0,29 15 kg 9,8 m/s 4,0 m 1,7 10 J W " W + W 184 J + 171 J 13 J 16 Per avere una buona accelerazione bisogna aumentare la forza, ma F P/v, dove P è la potenza e v la velocità, quindi v deve diminuire. Per questo motivo c è bisogno di un rapporto di trasmissione più basso e quindi di scalare la marcia. 17 P 1 W Δt 1 e P 2 W Δt 2 P 1 P 2 Δt 2 Δt 1 e P 1 P 2 Δt 2 Δt 1 Se Δt 1 > Δt 2, allora P 1 < P 2. 18 Nel grafico lavoro-tempo la pendenza della retta è uguale alla potenza, per cui la potenza erogata nel primo intervallo di tempo è maggiore. 19 La pendenza della retta tangente al grafico diminuisce, per cui la potenza erogata diminuisce col passare del tempo. 20 Dalla formula che definisce la potenza: t W P 9,6 10 J 64 10 W 2 1,5 10 s 2

21 P W t 6,30 10 J 27 60 s 389 W 22 La potenza impiegata per mantenere costante la velocità del furgone è P 80 kw 15 kw 65 kw e quindi la velocità è v P F 65 kw 4,0 10 N 16 m/s 23 Da W Fs e P W/t si ottiene F Pt s 21 KW 1800 s 50 km 7,6 10 N 24 Dalla definizione di potenza: P P P "#$% 25 50 kj 0 kj 5,0 60 s 60 kj 50 kj 4 60 s 60 kj 0 kj 9 60 s 2 1, 7 10 W 42 W 2 1,1 10 W A velocità costante la somma vettoriale delle forze è nulla: F "#"$% βv "# 0 P F "#"$% v "# F "#"$% 800,0 N β 400,0 kg/s 1600W 26 Poiché la velocità è costante, la forza sviluppata dal motore è pari alla componente della forza peso: P Fv mg senθ v 80,0 kg 9,8 m s 1 2 20 m s 7,8 10 W 27 K 1 2 M v 1 2 M 4v 2M v K 1 2 M v 1 2 2M v M v L automobile con maggiore energia cinetica, a parità di sistema frenante, impiega più tempo a frenare, quindi l automobile di massa M si ferma prima. 3

28 Solo la componente della forza in direzione dello spostamento compie lavoro. Perciò si può procedere con la stessa dimostrazione vista nel testo usando la componente,f F cos φ x al posto di F. 29 Quando l oggetto è fermo e rimane fermo oppure quando la forza è perpendicolare allo spostamento. 30 K 1 2 100 kg 1000 m 38 3600 s 5,6 10 J 31 Dal teorema dell energia cinetica: W 1 1000 m 1200 kg 80 2 3600 s W 1 1000 m 1200 kg 100 2 3600 s 60 1000 m 3600 s 80 1000 m 3600 s 1,3 10 J 1,7 10 J 32 Il lavoro compiuto dai freni del camion è: W Fd 3 10 Mgd Dal teorema dell energia cinetica si ricava la velocità finale del camion: v v + 2W M v 3 1000 m gd 90 5 3600 s 3 9,8 m/s 22 5 m 22,26 m s 80 km/h 33 Dal teorema dell energia cinetica si ricava il lavoro compiuto dal motore: W 1 2 Mv e quindi la potenza media è P W 1000 m 620 kg 100 t Mv 2 t 3600 s 2 1,8 s 1,4 10 W 34 Dall analisi del diagramma della forze si ricava l espressione della forza di attrito: f μ Mg F sin 30 e quindi il lavoro compiuto dalla forza orizzontale totale è W F f d F cos 30 f d Dal teorema dell energia cinetica si ricava v 2W M 2 F f d M 2 4 N cos 30 0,15 1,6 kg 9,8 m/s 4 N sin 30 1,8 m 1,6 kg 4 1,8 m/s

35 W F d 35 N 2,0 m 70 J W f d 30 N 2,0 m 60 J Utilizzando il teorema dell energia cinetica si ottiene la velocità del carrello: v 2W " M 2 W + W M 2 10 J 10 kg 1,4 m/s 36 Dal teorema dell energia cinetica: F W d K d 1 2 1000 1000 kg 54 3600 m/s 7,0 10 N 16 m 37 W ΔK K K Poiché l oggetto si ferma, W K, quindi W mv Il lavoro fatto dalla forza-peso e dalla forza F è W (mgsenθ + F)s Quindi mgsenθ + F s 1 2 mv s mv 2(mgsenθ + F) (1,0 kg)(4,0 m s ) 2 1,0 kg 9,8 m s 1 2 + (10,0 N) 0.13 m 38 Dalla relazione che definisce l energia potenziale si ricava U W F x F U x 39 In B e D la retta tangente ha pendenza nulla, quindi la forza è nulla; in A ed E la pendenza della retta tangente è negativa, quindi la forza è positiva (diretta verso destra), in C la pendenza della retta tangente è positiva, quindi la forza è negativa (diretta verso sinistra). 40 In un grafico U-x il coefficiente angolare della retta tangente al grafico nel punto di ascissa x è l opposto della forza esercitata sull oggetto in x ; lo si deduce dalla relazione F U x 5

41 W F s 9,6 kg 9,8 m s 10 m 9,4 10 J 42 In entrambi i casi: W F s 640 N 43 W F d 24 N W F d 24 N 8,0 m 5,1 10 J 8,2 m 2,0 10 J 7,6 m 1,8 10 J 44 Dalla definizione di energia potenziale: W U " U U U U W 380 J 530 J 150 J W U " U U U U W 150 J 420 J 270 J Se l energia potenziale in B è nulla, vuol dire che ne aumentiamo il valore di 150 J; quindi tutte le energie devono essere aumentate di 150 J: U 530 J, U 420 J 45 Indichiamo con M la massa incognita del carrello; il lavoro compiuto da Maurizio è opposto al lavoro della forza di attrito: W W F," d " + F," d " + F," d " μmgd " + μ M + M gd " + μ M + M + M gd " 0,22 9,8m/s M 6,0 m + M + 8,0 kg 17,0 m + M + 8,0 kg + 4,0 kg 11,0 m 1,2 10 J da cui 1 W M d " + d " + d " μg M d " + d " M d " 1 1200 J 34 m 0,22 9,8 m/s 8,0 kg 28,0 m 4,0 kg 11,0 m 8,5 kg 46 Con (M 13 kg) abbiamo che: W, Mgh 13 kg 9,8 m/s 2,6 m 3,3 10 J W, Mgh 13 kg 9,8 m/s 2,6 m 3,3 10 J W, 0 J Nel secondo caso (M 13 kg, m 0,60 kg): W, Mgh + M + m gh mgh 0,60 kg 9,8 m/s 2,6 m 15 J 6

47 W F d 3,2 N 2π 0,85 m 17 J Dal teorema dell energia cinetica W "#$%& K W 1 2 mv W 1 2 2,5 kg 0,92 m/s + 17 J 18 J La forza applicata dal bambino non è conservativa. 48 Il lavoro della forza-peso non dipende dalla presenza o meno dell attrito. Lungo il percorso AB il lavoro della forza-peso è W " F l sin 30 mgl sin 30 10 kg 9,8 m/s 2,0 m 0,5 98 J Lungo il percorso ABC il lavoro della forza-peso è W "# W " + W " 0 F h mgh 10 kg 9,8 m/s 1,0 m 98 J 49 L energia potenziale della forza-peso è direttamente proporzionale alla massa dell oggetto, per cui la retta maggiormente inclinata corrisponde a una massa maggiore. Pertanto la massa dell oggetto B è maggiore. 50 Il lavoro maggiore è compiuto sulla Terra. La forza-peso dell oggetto sulla Luna vale circa 1/6 di quella sulla Terra, quindi il lavoro necessario per sollevare di 1 m l oggetto sulla Luna è circa 1/6 del lavoro necessario sulla Terra. 51 ΔU mgh 1,0 kg 9,8 m/s 1,0 m 9,8 J ΔU mgh 30 kg 9,8 m/s 2,0 m 20 J ΔU mgh 30 kg 9,8 m/s 0 m 0 J 52 W U mgh 0,400 kg 9,8 m/s 2,50 m 9,8 J ΔU U 9,8 53 ΔU F Δh 6,4 10 N 4,0 m 2,6 10 J ΔU "#$%#& ΔU "#$%" 2,6 10 J ΔU " 0 J 7

54 U mgδh 30 kg 9,8 m/s 3,1 m 9,1 10 J U mgδh 30 kg 9,8 m/s 6,1 m 1,8 10 J ΔU mgδh 30 kg 9,8 m/s 3,0 m 8,8 10 J 55 W M " gh (8,0 h) 200 h 70 kg 9,8 m/s 500 m 5,5 10 J 56 La relazione tra l energia potenziale U e l altezza h è lineare: la pendenza della retta è m U h 395 J 0 J 5,0 m 1,7 m 395 3,3 3950 33 J m e l equazione della retta è U h m h 1,7 3950 33 J m h 1,7 m L energia potenziale al suolo è U 0 1,7 m 3950 J 33 m 2,0 10 J 57 Il grafico corretto è quello della figura A: una parabola con la concavità rivolta verso l alto. 58 U 1 2 kx U 1 2 k 3x 9U 59 Perché la forza non è costante, e dunque la relazione W F s non può essere utilizzata. 60 La variazione di energia potenziale è uguale per entrambe, perché non dipende dalla lunghezza a riposo, ma dall allungamento. 61 U 1 2 ks 1 2 180 N m 0,14 m 1,8 J 8

62 k 2U s 2W s 2 0,72 J 0,060 m 4,0 10 N m 63 Il lavoro e l energia potenziale elastica sono uguali a W U 1 2 ks 1 2 240 N m 0,10 m 1,2 J 64 U 1 2 ks k 2 0,10 J 0,022 m 4,1 102 N/m 65 L energia potenziale elastica della molla è direttamente proporzionale al quadrato della deformazione: U 4U 4 400 J 1600 J U 1200 J 66 La costante elastica della molla è k F s 5,0 N 1,0 10 m 5,0 10 N/m Il grafico F x è Il lavoro compiuto dalla forza elastica è W U U 1 2 k s s 1 2 500 N/m 1,0 10 m 1,5 10 m 3,1 10 J Lo stesso risultato si ottiene calcolando l area sotto il grafico F-x. 67 U 1 2 ks 1 2 k F k 1 F 2 k 1 2 mg 1 k 2 52 kg 9,8 m/s 1,2 10 N/m 1,1 10 J 9

68 La distanza della posizione iniziale dalla posizione di equilibrio è l ampiezza A dell oscillazione della lastra: dalla condizione di equilibrio ka mg ricaviamo la costante elastica della molla k mg A La massima energia potenziale elastica è raggiunta quando la lastra è al punto più basso: U "# 1 2 ka 1 mg 2 A A mga 2 1,6 kg 9,8 m/s 0,048 m 2 0,38 J 69 Le forze che ciascuna molla applica sull altra hanno uguale modulo, in virtù del terzo principio della dinamica, quindi i due allungamenti x e x soddisfano le relazioni k x k x x + x L l l da cui si ricavano le espressioni x L l l k k + k x L l l k k + k 0,40 m 120 N/m 220 N/m 0,40 m 100 N/m 220 N/m 0,22 m 0,18 m Le energie potenziali delle due molle sono U 1 2 k x 1 2 k L l l k 1 k + k 2 U 1 2 k x 1 2 k L l l k 1 k + k 2 70 Poiché l energia cinetica K è positiva o nulla, risulta E "## K + U U 0,40 m 120 N/m 100 N/m 220 N/m 0,40 m 100 N/m 120 N/m 220 N/m 2,4 J 2,0 J per cui la prima affermazione è vera, mentre la seconda è falsa (l energia potenziale può essere negativa). 71 Nessuno dei due: la velocità alla fine del piano si ricava dal teorema dell energia cinetica E E v 2gh per cui la velocità raggiunta dipende solo da h, che è la stessa per entrambi. 10

72 Per la conservazione dell energia meccanica, quando la molla è totalmente compressa o totalmente allungata, l energia meccanica è tutta potenziale. Quando la massa transita per la posizione di riposo della molla, l energia meccanica è puramente cinetica. In questo punto l energia cinetica raggiunge il suo massimo. 73 No: due grandezze sono inversamente proporzionali quando il loro prodotto è costante, mentre in un sistema conservativo è costante la somma di energia cinetica e potenziale. 74 A:cinetica, B potenziale, C meccanica totale. 75 Dopo metà del tempo totale (ossia il tempo necessario a percorrere i 10 m di altezza), la palla non si trova ancora a metà strada, quindi l energia potenziale della forza-peso sarà maggiore di quella cinetica. 76 77 K U mgh 0,32 kg 9,8 m/s 6,7 m 21 J 78 Per il principio di conservazione dell energia, l energia cinetica del sasso è pari all energia potenziale persa. Quindi K 405 J v 2K /m (810 J )(2,5 kg ) 18 m/s 79 U K mgh 1 2 mv h v 80 2g 6,2 m/s 2 9,8 m/s 2,0 m U K 1 2 ks 1 2 mv v s k m 0,12 m 390 N/m 2,9 kg 1,4 m/s 11

81 Dalla conservazione dell energia meccanica U K mgh 1 2 mv v 2gh 2 9,8 m/s 1,0 m 4,4 m/s 82 All imbocco della rampa K 1 2 mv 1 2 50,0 kg 3,90 m/s 380 J All uscita della rampa U mgh 50,0 kg 9,80 m/s 0,450 m 221 J Dalla conservazione dell energia: K 1 2 mv K U v 2 K U m 2 380,25 J 220,5 J 50,0 kg 2,53 m/s 83 L energia potenziale dei due blocchi è U, m gh 4,0 kg 9,8 m/s 2,0 m 78 J U, m gh 2,0 kg 9,8 m/s 2,0 m 39 J U, 0 J U, m g2h 2,0 kg 9,8 m/s 4,0 m 78 J Dalla conservazione dell energia meccanica U, + U, U, + U, + K, + K, si ottiene (le velocità dei due blocchi sono uguali) v 2 U, + U, U, U, m + m 2 78 J + 39 J 78 J 6,0 kg 3,6 m/s 84 Per la conservazione dell energia meccanica mgh 1 2 mv v 2gh 2(9,8 m/s )(2,0 m) 6,3 m/s F kδx; k F Δx K + U () K + U 1 2 mv 1 2 ks m ks v Fs 2ghΔx 10 N 0,20 m 2(9,8 m/s 0,10 kg )(2,0 m)(0,10 m) 12

85 Il modulo della forza elastica è F ks da cui k F s 250 N 3571,4 N/m 0.07 m L energia potenziale elastica del sistema formato dalla molla e dalla massa, prima che questa venga rilasciata, in assenza di attrito è pari all energia potenziale gravitazionale all istante in cui la massa si ferma sul piano inclinato, quindi 1 2 ks mgh h ks 3571,4 N/m 0.15 m 2mg 2(3 kg)(9,8 m/s 1,4 m ) 86 Da W Fs e K mv, per W K si ha v 2Fs m 2(50 N)(10 m) (2,0 kg) 22 m/s Da W Fs e U mgh, per W U si ha h Fs (50 N)(10 m) mg (2,0 kg)(9,8 m/s ) 25 m 87 Il sistema è conservativo. Inizialmente il sistema ha solo energia potenziale elastica, alla fine solo energia potenziale della forza-peso. Il bilancio energetico fornisce la soluzione: 1 2 ks mgh s 2mgh k 2 0.02 kg 9,8 m/s 0,01 m 9,8 N/m 2,0 cm 88 L energia cinetica del saltatore viene convertita, durante il salto, in parte in energia potenziale della forza-peso, in parte in energia elastica dell asta, la quale però viene restituita all atleta, nel punto più alto, quando l asta non è più piegata. Una parte dell energia cinetica dell atleta viene dispersa in forme di energia diversa da quella meccanica. 89 Mentre l oggetto si sposta la sua energia meccanica aumenta, quindi le forze non conservative compiono un lavoro positivo (da x 4,0 a x 6,0 è quasi 300 J). Sì; in questo caso l energia meccanica diminuisce e quindi le forze non conservative compiono lavoro negativo. 90 W " E E K + U K + U 32 J + 26 J 24 J 45 J 11 J 13

91 W " E E mgh mgh mg h h 92 0,32 kg 9,8 m/s 13,3 m 1,2 m 38 J E U W " + E W " + U h U mg W " + U W " mg mg + h 93 12 J + 1,4 m 8,2 m 0,18 kg 9,8 m/s W " E E K U 1 2 mv mgh 0,024 kg 1 2 5,2 m 9,8 m/s 23 m 5,1 J 94 W " E E K U 1 2 mv mgh 1,5 kg 1 2 6,3 m 9,8 m/s 3,2 m 17 J 95 L energia meccanica iniziale è E ka ; quella finale è E E + 0,50 J L ampiezza di oscillazione finale A è A 2E k 2E + 2 0,5 J k ka + 1,0 J k A + 1,0 J k 96 0,20 m + 1,0 J 20 N/m 0,30 m Il sistema non è conservativo, a causa del lavoro compiuto dal motore. Dal bilancio energetico ricaviamo W "#"$% E E 1 2 mv + mgh 1 2 mv m 1 2 v v + gh 2200 kg 1 2 6,0 m/s 10 m/s + 9,8 m/s 5,6 m/s 5,0 10 J 14

97 Dal grafico, l energia cinetica K dopo 7,5 s è K 250 mj, quindi v 2K m 0,500 J 0.06 kg 3 m/s Dal grafico si deduce che l energia potenziale è massima è U 600 mj a t 0 s, perciò h "# U mg 0,600 J 0,06 kg 9,8 m/s 1 m L energia meccanica all istante t 0 s è E 600 mj e all istante t 3 s è E 500 mj, quindi diminuisce di una quantità pari a E E 100 mj 98 h 1 2 gt Per la conservazione dell energia meccanica nel vuoto: U + K U + K U K quindi mgh K K mg gt m gt Nel secondo esperimento definiamo E " l energia dissipata dalla forza non conservativa (attrito con il gas): K + U + E " K + U U + E " K ma U U K m gt E " K K K 1 2 m gt 182,1 J 1 2 1,0 kg 9,8 m s 2,0 s 10 J 99 Dalla conservazione dell energia meccanica mgh "# mgh "# + 1 2 mv v 2g h "# h "# 2(9,8 m/s )(0,5 m) 3,1 m/s Il lavoro delle forze d attrito W ""#$"% E E 1 2 mv + mgh "# mgh "# 1 2 50 kg 2,0 m/s 50 kg 9,8 m/s 0,5 m 145 J 15

100 101 La componente della forza peso nella direzione dello spostamento è P mg cos 45 1,5 kg 9,8 m/s 0,707 10,4 N La lunghezza s del piano inclinato è pari a s 2 m 2 2,8 m, quindi il lavoro della forza peso relativo allo spostamento lungo tutto il piano inclinato è W P s 10,4 N 2,8 m 29 J Il modulo della forza di attrito è F μn, dove N è la reazione vincolare del piano inclinato N mg sin 45 1,5 kg 9,8 m/s 0,707 10,4 N F 0,10 10,4 N 1,04 N W F s 1,04 N 2,8 m 2,9 J L energia dissipata è pari al lavoro delle forze non-conservative W " K + U (K + U ) Per il teorema dell energia cinetica, detto W " il lavoro totale compiuto sul blocco di legno K K W " W + W 29 J 2,9 J 26 J e U U mgh 1,5 kg 9,8 m/s 2,0 m 29,4 J quindi W " 26 J 29,4 J 3,4 J Dato che K 0 K 26 J v Il modulo della forza d attrito è 2 26 J 1,5 kg 5,9 m/s F μn μmg 0,10 12 kg 9,8 m/s 11,76 N e compie sulla slitta un lavoro pari a W ""#$"% F x, dove x è la distanza percorsa dalla slitta. Per il teorema lavoro-energia: W ""#$"% K + U K + U da cui l equazione F x 1 2 mv x 1 mv 1 2 F 2 12 kg 2,1 m/s 2,3 m 11,76 N 16

Problemi generali 1 Dal bilancio energetico E E + W " mv + mgh mv + mgh + W " si ricava la velocità richiesta v v + 2g h h + 2W " m 50 10 m 3600 s + 2 9,8 m/s 3,1 m + 2 3,3 10 J 80 kg 7,0 m 2 3 Δh r ΔU mgδh mgr 30,0 kg 9,8 m/s 2,00 m 588 J Δh r 1 2 2 ΔU mgδh mgr 1 2 2 30,0 kg 9,8 m s 2,00 m 1 2 2 172 J Δh 0 m ΔU mgδh 0 J Nel moto di salita mgh Fh 1 2 mv Nella discesa: mgh Fh K Sottraendo membro a membro la seconda equazione dalla prima: 2mgh 1 2 mv K v 2 m (2mgh K ) Il modulo della forza è F mg K h 2,0 kg 9,8 m s 36,6 J 3,0 m 7,4 N 4 Il sistema è conservativo, quindi E E 1 2 mv + mgh 1 2 mv + mgh 2 2,0 kg 2 2,0 kg 9,8 m s 3,0 m (36,6 J) 9,0 m/s v v + 2gΔh 90,0 m 3,6 s + 2 9,8 m s (20,0 m 11,0 m) 28,3 m s 102 km/h 17

5 Il sistema è conservativo. Da un bilancio energetico si ricavano le due velocità richieste. Nel primo caso 1 2 mv + mgh mgh da cui v 2g h h 2gl 1 cos 37 2 9,8 m/s 30 m 1 cos 37 11 m/s Nel secondo caso da mv + mgh mv + mgh si ricava v 2g h h + v 2 9,8 m/s 30 m 1 cos 37 + 4,0 m/s 12 m/s 6 E mv + mgh 0,80 kg 1,1 m s + 0,80 kg 9,8 m s 0,5 m 4,4 J Se il carrellino arrivasse alla base, dal teorema lavoro-energia si avrebbe 1 2 mv mgh + 1 2 mv + W " dove W " è il lavoro fatto dalle forze non-conservative, in questo caso della forza d attrito quindi W ""#$"% 5 N 1,0 m 5 J v 2 m mgh + W " + v 2 0,80 kg 0,80 kg 9,8 m s 0,5 m 5 J + 1,1 m s 1,5 m s m v non può avere un valore negativo, quindi il carrello non arriva alla base. 7 Dal teorema lavoro-energia si ha mgh mgh + F s mg h h F s dove s è il percorso del nuotatore dentro l acqua. Prendendo la superficie dell acqua come riferimento per il calcolo delle quote: h h 5 m 10 m 15 m F mg h h s (60 kg)(9,8 m/s )( 15 m)/(5 m) 1800 N F ha la stessa direzione dello spostamento e verso opposto. 18

8 Dal teorema lavoro-energia si ha 1 2 mv W F s F s F μn μmg 0,70 80 kg s mv 2F 80 kg 4,0 m/s 1,2 m 2(549 N) Il lavoro compiuto dalle forze d attrito é 9,8 m/s 549 N W 1 2 mv 1 2 80 kg 4,0 m s 640 J 9 Il sistemo è conservativo. K + U K + U 1 2 mv 1 2 kx x mv k 10 Il sistemo è conservativo. K + U K + U 1,0 kg 1,5 m s (80 N m) 0,17 m mgh 1 2 kx x 2mgh k 2 4,0 kg (9,8 m s )(0,1 m) (300 N m) 16 cm 11 E 1 2 mv E mga + 1 k b a 2 1 2 mv mga + 1 k b a 2 k mv 2mga b a 1,0 kg 10 m s 2 1,0 kg (9,8 m s )(0,50 m) 1,5 m 0,50 m 90 N m 12 Il sistema non è conservativo: la forza di attrito compie un lavoro pari a W " FL 3,0 10 J Dal bilancio energetico tra la partenza dalla prima collinetta e l arrivo sulla seconda (entrambi a velocità nulla) E E + W " mgh mgh + W " ricaviamo l altezza raggiunta h h + W " mg h FL mg 10 m 30 N 10 m 70 kg 9,8 m/s 9,6 m 19

13 F ma da cui a F/m v v 0 + at con v 0 180,0 km/h 50,0 m/s 0 v 0 F m t F mv 0 t (1500 kg)(50,0 m/s) (50,0 s) 1,50 10 4 N da a v /t s x x v t + 1 0 0 2 at 2 v 0 t 1 v 0 2 t t 2 1 2 v t 1 (50,0 m/s)(50,0 s)1250,0 m 0 2 W Fs (1500 N)(1,25 10 3 m) 1,88 10 6 J 14 A velocità massima costante l accelerazione è nulla: F "#"$% βv "# mg sin θ 0 P v "# βv "# mg sin θ 0 Risolvendo l equazione di secondo grado: mg sin θ v "# + 2β mg sin θ 2β + P β 1200 kg 9,8 m s 1 2 2 40 kg s + 40 kw 40 kg s 6,5 m/s 15 Dalle leggi del moto: F cos 30 v v + a t v + m s v t + 1 2 a t F cos 30 v m v t 1 F cos 30 2 m F cos 30 t m t t + 1 F cos 30 t 2 m t v v t 20 m/s 3,0 s 1 2 2 3 N ( 3 2) 3,0 kg 3,0 s 56 m Usando la definizione, il lavoro risulta uguale a W F s Fs cos 30 F cos 30 v t 1 F cos 30 t 2 m 2 3 N 3 2 20 m 3,0 s 1 2 3 N 3 2 3,0 s 1,7 10 J s 2 3,0 kg Usando il teorema dell energia cinetica si ottiene, naturalmente, lo stesso risultato: W 1 2 m v v 1 2 m v v a t m v a t 1 2 a t ma t v 1 2 a t F cos 30 t v 1 F cos 30 2 m 2 3 N ( 3 2) 3,0 s 20 ( ), " t 3,0 s 1,7 10 J J 20

16 F μ F con F mg W μ mgs W K K K 1 2 mv μ v 2gs (100 m s ) 2(9,8 m s )(10 m) 0,51 F ma μ mg ma a μ g v v μ gt dove t è il tempo necessario affinché la velocità sia 1/8 di quella iniziale: v 8 v μ gt t 7v 8μ g 7(10 m s) 8 0,51(9,8 m s ) 1,8 s 17 A causa della forza di attrito il sistema non è conservativo. Il lavoro della forza di attrito F è y "# W " F sin 30 μ mg cos 30 y "# sin 30 Dal bilancio energetico E E + W " U K + W " mgy "# 1 2 mv μ mg cos 30 y "# sin 30 Semplificando si ricava 5,0 m/s v 2g 2 9,8 m/s y "# 0,75 m cos 30 cos 30 1 + μ sin 30 1 + 0,4 sin 30 18 1 2 kδx 1 2 mv v Δx k m Il moto è uniformemente accelerato lungo l asse y e rettilineo uniforme lungo l asse x del sistema di riferimento scelto: y h 1 2 gt x vt t 2h g x Δx k m 2h g Δx 2hk mg 2(1,0 m)(3,0 N m) 0,10 m (0,1 kg)(9,8 m s 25 cm ) 21

19 Il lavoro delle forze non conservative è dato dalla differenza tra l energia meccanica nel punto in cui l oggetto si trova e l energia meccanica iniziale (160 J). Il grafico è 20 Dal bilancio energetico si ottiene che la variazione dell eventuale energia potenziale U associata alla forza conservativa è U K + W " Dal momento che K e W " non sono uguali, U non è zero, per cui è presente una forza conservativa. La lunghezza dello scivolo è L R mgh F π 2 R 1 2 mv Nel caso v 0, mgh F π 2 R > 0 m > π F 2 g π 49 N m > 2(9,8 m s 7,9 kg ) 21 Il sistema è conservativo. mgh mgh + 1 2 mv mgl 1 2 2 1 2 mv v 2gl 1 2 2 9 m/s 22

22 Nelle ipotesi date, dalla conservazione dell energia si ricava la velocità v dell uovo nell istante in cui raggiunge il materassino. mgh 1 2 mv v 2gh Ipotizzando che la forza frenante esercitata dal materassino sull uovo sia costante, il moto è uniformemente accelerato a v t s 1 2 at 1 2 vt 1 2 2 9,8 m s (4,0 m) 2,0 10 m 23 Il sistema è non conservativo e dal teorema lavoro-energia: E E W " W ", è il lavoro fatto dalle forze non conservative, in questo la forza d attrito: W " μmg(cos 20 )s dove s lo spostamento del sistema scimmietta+carrello lungo il piano inclinato. Quindi: mgs (sin 20 ) 1 2 mv μmg(cos 20 )s v s 2g(sin 20 + μ cos 20 ) 3,0 m s 2(9,8 m s )(0,34 + 0,20 0,94) 0,87 m Quindi il carrello con la scimmietta si ferma a un altezza h pari a h s sin 20 30 cm 24 La forza di attrito dinamico F μ mg varia con la posizione, da un valore minimo F,"# μ,"# mg 0,1 1,0 kg 9,8 m/s 0,98 N a un valore massimo F,"# μ,"# mg 0,3 1,0 kg 9,8 m/s 2,9 N Il lavoro compiuto dalla forza di attrito è l area sotto il grafico (con il segno negativo): 2,9 N + 0,98 N 1,6 m W " 3,1 J 2 Dal bilancio energetico E E + W " 1 2 ks 1 2 mv + W " si ricava la massima compressione s della molla: s 2 k 1 2 mv + W " 2 160 N/m 1 2 1,0 kg 2,8 m/s + 3,1 J 0,10 m 23

25 Dalla conservazione dell energia: E E si ricava: U + 1 2 mv U + 1 2 mv da cui si ottiene la velocità in B: v 2 m U U + v 2 4,0 kg 20 J 40 J + 6,0 m/s 5,1 m/s Il sistema non è conservativo e l oggetto arriva in x 8,0 m con velocità nulla; il modulo di F si ricava da un bilancio energetico: E E + W " E F x x F E E U 1 + 2 mv U 20 J + 1 2 4,0 kg 6,0 m/s 40 J x x x x 4,0 m 13 N 26 Gli allungamenti iniziale e finale della molla sono s L L 12 cm e s L L 8 cm e le energie potenziali iniziale e finale sono U 1 2 ks, U 1 2 ks Dal bilancio energetico ricaviamo il lavoro della forza di attrito W " U U e da questo il modulo della forza di attrito F F W 1 " 2 ks 1 2 ks 1 s s s s 2 k s s 1 s s 2 k s + s 1 2 27 μ mg ma a μ g 0 v μ gδt μ v gδt W K K μ mgs 1 2 mv Sostituendo μ v /(gδt), si ha v 2s Δt 2(3,0 m) (1,0 s) 6,0 m s 120 N/m 0,04 m 2 10 N 24

28 L energia potenziale totale è la somma dell energia elastica e di quella della forza-peso: U " 1 2 ky + mgy Applicando la tecnica algebrica del completamento del quadrato si arriva all espressione richiesta: U " 1 2 ky + mgy 1 2 k y + 2 mg k y 1 2 k y + 2 mg mg y + k k mg k 1 mg k y + 2 k 1 m g 2 k L energia potenziale totale è rappresentata da una parabola. 25

Test 1 D 2 B 3 A 4 C 5 A 6 B 7 A 8 E 9 E 10 E 11 A 12 B 13 A 14 B 15 C 16 C 17 C 18 A e C 19 C 20 A 21 C 22 C 23 A 24 E 25 C 26 C 26