Obiettivi della lezione Lezione 18

Obiettivi della lezione Lezione 8 Teoria dei giochi PRTE II Descrivere e applicare diversi metodi di scelta strategica Spiegare e applicare il concetto di equilibrio di Nash Riconoscere minacce non credibili in giochi a più stadi Cos è la SOLUZIONE di un gioco? Se desideriamo prevedere l esito verosimile di una situazione di interazione strategica dobbiamo prevedere il comportamento dei giocatori, cioè dobbiamo individuare la SOLUZIONE del gioco. La soluzione di un gioco è un modello di comportamento dei giocatori che soddisfa delle condizioni di plausibilità. Come definire la soluzione di un gioco? Solitamente gli economisti usano l IPOTESI DI RZIONLIT. Problema: come definire la razionalità in situazioni di interazione strategica? Ricordiamo la definizione di teoria dei giochi: i giocatori sono razionali e intelligenti Il problema è formalizzare razionalità E intelligenza. 3 4 Comportamento strategico - Risposta ottima: una strategia che porta al payoff massimo di un giocatore per un dato possibile profilo di strategie degli altri giocatori Strategia dominante: l unica risposta ottima di un giocatore indipendentemente dalle scelte degli altri giocatori Quando un giocatore ha una strategia dominante, non deve congetturare la scelta degli altri giocatori Comportamento strategico - Strategia dominata: strategia che assicura un payoff minore indipendentemente dalle scelte degli altri giocatori Eliminazione strategie dominate: eliminazione per ciascun giocatore delle strategie dominate Eliminazione iterata delle strategie dominate: applicazione della eliminazione delle strategie dominate al gioco ottenuto eliminando le strategie dominate 5 6 Lezione 8

pplicazione dell ipotesi di razionalità nei GFN Per ogni giocatore ricerco la strategia che massimizza la vincita PER OGNI POSSIILE SCELT DEGLI LTRI, In altre parole cerco le RISPOSTE OTTIME in funzione di tutte le possibili strategie altrui. Risposte ottime in un gioco x Player Player L R U (3,9) (,8) D (0,0) (,) 7 8 L equilibrio in strategie dominanti Una strategia dominante è una strategia che garantisce vincite almeno pari a quelle di qualsiasi altra strategia, indipendentemente da quello che fanno gli altri giocatori. Una strategia strettamente dominante è la migliore strategia indipendentemente da quello che fanno gli altri giocatori. Non c è ragione perché i giocatori i non usino la loro strategia dominante, SE ne hanno una (spesso non esistono strategie dominanti) Quindi quando ogni giocatore ha strategie dominanti, l unico equilibrio ragionevole è che ogni giocatore usi la propria strategia dominante. Un equilibrio in strategie dominanti è il risultato in un gioco in cui ogni giocatore segue una strategia dominante. 9 Il dilemma del prigioniero Non confesso Confesso Non confesso -, - - Confesso 0, -0-5, -5 I numeri sono gli anni di prigione 0 Strategie ottime per il giocatore Strategie ottime per il giocatore Non confesso Confesso Non confesso Confesso Non confesso -, - - Non confesso -, - - Confesso 0, -0-5, -5 Confesso 0, -0-5, -5 Lezione 8

La soluzione per strategie dominanti: Pareto inefficiente Non confesso Confesso Non confesso -, - - Confesso 0, -0-5, -5 3 4 5 6 La matrice delle vincite per la battaglia dei networks Network Network Sitcom Sports Sitcom 55%, 45% 5%, 48% Sports 50%, 50% 45%, 55% 7 8 Lezione 8 3

Le risposte ottime di nella battaglia dei networks Le risposte ottime di nella battaglia dei networks Network Network Network Sitcom Sports Network Sitcom Sports Sitcom Sports 55%, 45% 50%, 50% 5%, 48% 45%, 55% Sitcom Sports 55%, 45% 50%, 50% 5%, 48% 45%, 55% Sono evidenziate le risposte ottime di Sono evidenziate le risposte ottime di 9 0 La soluzione nella battaglia dei networks La matrice delle vincite per il gioco dei vantaggi competitivi Network Tutte le risposte ottime sono evidenziate Network Sitcom Sports Sitcom 55%, 45% 5%, 48% Impresa Nuova Impresa Tecnologia Nuova Tecnologia Status quo a, -a Sports 50%, 50% 45%, 55% Status quo -a, a 0, 0 Strategie di risposta ottima per l impresa Strategie di risposta ottima per l impresa Impresa Nuova Impresa Tecnologia Nuova Tecnologia Status quo a, -a Impresa Nuova Impresa Tecnologia Nuova Tecnologia Status quo a, -a Status quo -a, a 0, 0 Status quo -a, a 0, 0 3 4 Lezione 8 4

La soluzione nel gioco dei vantaggi competitivi Impresa Nuova Impresa Tecnologia Nuova Tecnologia Status quo a, -a Strategie dominate Strategia dominata: strategia che assicura un payoff minore indipendentemente dalle scelte degli altri giocatori Eliminazione strategie dominate: eliminazione per ciascun giocatore delle strategie dominate Status quo -a, a 0, 0 5 6 Strategie dominate nel dilemma del prigioniero C NC C -5, -5 0, -0 NC -0, 0 -, - C NC C -5, -5 0, -0 NC -0, 0 -, - N: NC è dominata per entrambi i giocatori, quindi devo eliminarla per entrambi 7 La dominanza debole Consideriamo il gioco della figura seguente: domina debolmente, cioè rispetto a D è strettamente migliore di, mentre rispetto a S è esattamente uguale a Possiamo concludere che la riga non sarà scelta? Possiamo iterare tale ragionamento? Questo ragionamento è meno convincente di quello basato sul precedente tipo di dominanza (dominanza stretta). S D La risposta è empirica: la dominanza debole, in 3; 0 ; alcuni giochi, non funziona bene quanto la dominanza 3; 4 0; 0 stretta, e una dominanza debole iterata può funzionare piuttosto male. 8 L eliminazione iterativa delle strategie dominate Eliminazione iterata delle strategie dominate nel gioco del nipote del rettore Non sempre è ovvio quale strategia verrà scelta; piuttosto, spesso conviene pensare a quali strategie non verranno giocate di sicuro Una strategia è dominata se esiste una qualche altra strategia che porta a payoff strettamente maggiori per qualsiasi i scelta effettuata t dagli altri giocatori i Nessun giocatore razionale sceglie una strategia dominata Le strategie dominate sono irrilevanti e possono quindi essere rimosse dal gioco, in modo da semplificare il gioco Rimuoviamo quindi le strategie dominate finché non ne rimane più nessuna: in alcuni casi, questo è sufficiente per risolvere il gioco, anche se nessuno dei giocatori ha una strategia dominante 9-9 30 Lezione 8 5

Eliminazione iterata delle strategie debolmente dominate Come giocare l asta al ribasso Scelta di uno studente a caso Scelta di uno studente 0 0 3 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0.5,0.5) (,0) (,0) (0,0) (0,) (,) (,0) 3 3 (0,0) (0,0) (0,) (.5,.5) 3 Come è stata effettivamente giocata l asta al ribasso Scelta di uno studente a caso Problema: come giocare il eauty Contest? Non ci sono strategie dominate Scelta media degli studenti 0 3 3 4 Scelta 0 0% 0% 0% 0% La (,) (0,0) (0,0) (0,0) di uno 0% 4% 6.5% 0% mia (0,0) (,) (0,0) (0,0) studente 3 0% 0% 6.5% % 5.5% 0% 5.5% 0% 33 scelta 3 4 (0,0) (0,0) (,) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (,) 34 L equilibrio di Nash L equilibrio di Nash è il concetto di soluzione più ampiamente utilizzato nelle applicazioni della teoria dei giochi all economia. Consideriamo un gioco con due giocatori, and ; una coppia di strategie formano un equilibrio di Nash se: i) la strategia scelta da è ottimale data la strategia effettivamente scelta da E ii) la strategia scelta da è ottimale data la strategia effettivamente scelta da In generale, in un equilibrio di Nash la strategia scelta da ogni giocatore è la sua risposta ottimale alle strategie effettivamente scelte dagli altri giocatori. 35 Nei giochi simultanei con informazione imperfetta, i giocatori non possono osservare direttamente le mosse dei rivali. Quindi ogni giocatore forma delle congetture su quello che gli altri faranno, e reagisce di conseguenza scegliendo la sua risposta migliore alle congetture che si è formata. In un equilibrio di Nash, queste congetture sono corrette: la strategia di ogni giocatore si rivela come la migliore risposta alle reali mosse dei rivali. In altre parole, in un equilibrio di Nash i giocatori formano congetture reciprocamente corrette. Quindi i giocatori non hanno incentivi per deviare unilateralmente dall equilibrio una volta che le mosse dei rivali sono diventate osservabili. 36 Lezione 8 6

Un concetto di equilibrio come soluzione: l equilibrio di Nash Dato un gioco in forma strategica, un profilo di strategie s * S è un equilibrio di Nash in strategie pure se per tutti i giocatori i i u ( s i * dove ) u ( s s * i i * i = ( s, s ) * i,..., s * i per ogni, s * i+,..., s s S * n i ) i 37 L equilibrio di Nash e il dilemma del prigioniero C NC C -5, -5 0, -0 NC -0, 0 -, - C NC C -5, -5 0, -0 NC -0, 0 -, - Se sceglie C, la miglior risposta per è giocare C (-5 > -0) Se sceglie C, la miglior risposta per è giocare C (-5 > -0) Quindi {C,C} non è solo un equilibrio in strategie dominanti, ma è anche un equilibrio di Nash per il dilemma del prigioniero. N: tutti gli equilibri in strategie dominanti sono equilibri di Nash (per definizione), ma non viceversa. 38 C NC C -5, -5 0, -0 NC -0, 0 -, - Se sceglie NC, la miglior risposta per è giocare C (0 > -) Un altro esempio: l adozione di un sistema di videoregistrazione eta VHS C NC C -5, -5 0, -0 NC -0, 0 -, - Se sceglie C, la miglior risposta per è giocare C (-5 > -0) eta, In questo caso, le congetture non sono corrette! Quindi {C,C} è l unico equilibrio di Nash per questo gioco. VHS, 39 40 Strategie di risposta ottima per Strategie di risposta ottima per eta VHS eta VHS eta, eta, VHS, VHS, 4 4 Lezione 8 7

La soluzione: due equilibri La ricerca di un accordo eta VHS Direttore Star Si No eta, Si $5M, $5M VHS, No 43 44 Le strategie ottime della Star Le strategie ottime per il Direttore Direttore Star Si No Direttore Star Si No Si $5M, $5M Si $5M, $5M No No 45 46 La soluzione: due equilibri Pareto ordinabili Player Direttore Star Si No L R U (3,9) (,8) Si $5M, $5M Player D (0,0) (,) No (U,L) e (D,R) Sono entrambi equilibri Nash 47 48 Lezione 8 8

Come giocare il eauty Contest Scelta media degli studenti 3 4 Come è stato effettivamente giocato il eauty Contest Scelta media degli studenti 3 Mia (,) (0,0) (0,0) (0,0) Mia 0% scelta 3 (0,0) (,) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (,) (0,0) scelta 3 50% 44% 4 (0,0) (0,0) (0,0) (,) 49 4 6% 50 INTERPRETZIONI DELL EQUILIRIO DI NSH N: è definito come un profilo di strategie, non come un prodotto cartesiano, come abbiamo visto nel caso precedente. Questo dipende dal fatto che stiamo considerando un concetto di equilibrio. Tre INTERPRETZIONI:. Equilibrio di Nash come soluzione eduttiva. Equilibrio di Nash come punto di equilibrio di un processo dinamico (implicito) 3. Equilibrio di Nash come equilibrio di aspettative razionali. 5 Qual è il significato dell equilibrio di Nash? () Vediamo due esempi:. Il gioco dei numeri Un numero qualsiasi di partecipanti, ciascuno dei quali deve simultaneamente e indipendentemente scrivere su un biglietto uno di due numeri, il 5 o il 3. Ogni giocatore ottiene 5 se tutti hanno scelto il 5; ottiene 3 a prescindere dalle scelte altrui se ha scelto il 3 e ottiene - 4 se ha scelto il 5 mentre qualcun altro ha scelto il 3. Soluzione: La maggior parte delle volte due giocatori che si conoscono bene scelgono entrambi il 5 Quando il numero dei giocatori aumenta, il metodo di gioco non è più ovvio: tutti vorrebbero coordinarsi per scegliere il 5, ma nessuno può essere certo che qualcuno non voglia giocare la strategia sicura 3. Quando abbiamo 5 o 0 giocatori, diventa ovvio che è troppo rischioso provare a giocare tutti il 5, per tutti scelgono il 3. 5 Qual è il significato dell equilibrio di Nash? (). Il gioco delle città Due partecipanti giocano sulla base di un elenco di città degli Stati Uniti: tlanta, oston, Chicago, Denver, Los ngeles, New ork, Philadelphia, Phoenix, San Francisco, San Diego e Seattle. Un giocatore deve scrivere il suo nome su un biglietto e poi elencare alcune di queste città, includendovi obbligatoriamente oston. L altro deve scrivere il suo nome su un altro biglietto ed elencare alcune di queste città, includendovi obbligatoriamente San Francisco. Ciascuno può scrivere quante città desidera e ottiene 0,50 per ogni città che compare solo sul suo biglietto e perde,50 per ogni città che compare su entrambi i biglietti. Soluzione In questo gioco ci si può coordinare in 5 modi Ciononostante, un numero significativo di volte gli studenti M di Stanford riescono a coordinarsi in un modo specifico: usano il Mississippi come criterio in base al quale suddividere le città, per il giocatore con oston sceglie tlanta, Chicago, New ork e Philadelphia, mentre il giocatore con San Francisco sceglie Denver, Los ngeles, Phoenix, San Diego e Seattle. 53 Qual è il significato dell equilibrio di Nash? (3) Questi esempi suggeriscono che in determinate situazioni alcuni giochi possono rientrare nella categoria dei giochi che presentano chiare strategie da scegliere e da aspettarsi, mentre altri ne sono esclusi. Quali condizioni devono essere soddisfatte affinché un dato gioco effettuato in certe condizioni da determinati partecipanti possa essere inserito in questa categoria? Non vi sono risposte esatte, ma si possono individuare chiaramente alcuni fattori:. Innanzitutto è utile che tutti i partecipanti condividano la stessa conoscenza delle regole dell incontro.. lcuni giochi possono essere risolti in modo logico. 54 Lezione 8 9

Qual è il significato dell equilibrio di Nash? (4) 3. È utile che le parti si consultino prima di scegliere le proprie strategie. 4. Se i partecipanti hanno una lunga storia di interazioni reciproche e se conoscono il loro rivale, la prevedibilità del gioco generalmente aumenta. Tuttavia le ripetute interazioni possono essere fuorvianti, come vedremo. 5. Un piccolo numero di partecipanti può costituire un vantaggio se tali partecipanti si conoscono. In alcuni incontri, invece, possono risultare utili i grandi numeri, a condizione che tutti conoscano le reazioni generali della popolazione. 6. In alcune situazioni si possono applicare le convenzioni sociali. 7. volte possiamo applicare vaghi principi di buonsenso comune, definiti criteri di punto focale 8. Per i manager i fattori più pertinenti ed efficaci sono i ruoli e le convenzioni sociali, che comprendono le norme aziendali e professionali, la comunicazione diretta e l esperienza diretta. 55 Qual è il significato dell equilibrio di Nash? (5) E l equilibrio di Nash? Nelle analisi dei giochi, l equilibrio di Nash è utilizzato in questo modo: ci domandiamo se esista qualche motivo per ritenere che i partecipanti abbiano un idea di come il gioco verrà giocato. Se la risposta è affermativa, ci aspettiamo che i giocatori scelgano qualche equilibrio di Nash. Se ciascun partecipante può prevedere la mossa dell altro, ciascuno massimizzerà il proprio premio sulla base di tali previsioni. Poiché tali condizioni si suppongono valide per tutti i partecipanti, il metodo di gioco previsto deve essere tale da escludere che un partecipante, conoscendo le mosse altrui, voglia deviarvi. Cioè il metodo di gioco previsto costituirà un equilibrio di Nash. 56 Qual è il significato dell equilibrio di Nash? (6) bbiamo scritto un equilibrio di Nash, per due motivi:. molti giochi presentano più equilibri di Nash. il ragionamento esposto riguarda le percezioni dei giocatori, che devono avere una chiara idea di come giocare, ma gli osservatori esterni non necessariamente devono sapere quale sarà l equilibrio scelto. meno che i partecipanti della situazione rappresentata abbiano, per qualche ragione, una concezione chiara e condivisa del modo in cui ciascuno agisce, non ha alcun senso avviare un analisi dell equilibrio di Nash. 57 L equilibrio di Nash e la dominanza bbiamo visto due metodi di analisi dei giochi in forma strategica: uno basato sulla dominanza, compresa la dominanza debole e quella iterata, e uno basato sull equilibrio di Nash. Qual è il nesso tra i due metodi? Una strategia che viene eliminata per dominanza stretta iterata non può mai far parte di un equilibrio di Nash. Se eliminiamo alcune strategie per dominanza iterata, impiegando in alcuni passaggi anche la dominanza debole, tra le strategie che non vengono eliminate esiste un equilibrio di Nash per l intero gioco. 58 Equilibri di Nash in giochi con scelte perfettamente divisibili Il concetto dell equilibrio di Nash si applica anche alle decisioni strategiche relative a quantità perfettamente divisibili Determiniamo le funzioni di miglior risposta di ciascun giocatore La funzione di miglior risposta mostra le relazione fra la scelta di un giocatore e la miglior risposta dell altro Una combinazione di giocate rappresenta un equilibrio di Nash se queste soddisfano simultaneamente le funzioni di miglior risposta Equilibri di Nash in giochi con scelte perfettamente divisibili Il concetto dell equilibrio di Nash si applica anche alle decisioni strategiche relative a quantità perfettamente divisibili Determiniamo le funzioni di miglior risposta di ciascun giocatore La funzione di miglior risposta mostra le relazione fra la scelta di un giocatore e la miglior risposta dell altro Una combinazione di giocate rappresenta un equilibrio di Nash se queste soddisfano simultaneamente le funzioni di miglior risposta 59 60 Lezione 8 0

Figura.0: Free Riding nei gruppi La retta di colore celeste rappresenta la relazione tra le ore di lavoro di Salvatore e la risposta ottima di Elisabetta La retta di colore grigio chiaro rappresenta la relazione tra le ore di lavoro di Elisabetta e la risposta ottima di Salvatore La funzione di risposta ottima mostra le relazione fra la scelta di un giocatore e la miglior risposta dell altro Figura.0: Free Riding nei gruppi Il punto N è un equilibrio di Nash, poiché giace sia sulla retta di colore grigio che sulla retta di colore celeste In questo equilibrio di Nash, Salvatore ed Elisabetta dedicano 8 ore alla ricerca 6 6 SOLUZIONI NEI GIOCHI IN FORM ESTES L induzione a ritroso nei giochi in forma estesa a informazione perfetta Un analisi dei giochi generali in forma estesa, dove intervengono le mosse della natura e gli insiemi di informazioni, può risultare piuttosto difficile. I giochi a informazione perfetta possono invece essere analizzati in modo semplice con l induzione a ritroso. 63 64 Paul George 3;4;; ;5;4;0 ESEMPIO: () John c Ringo x y ;;5;3 6;8;6; ;3;; a Paul b k l 4;4;4; ;6;6; 65 ESEMPIO: primo stadio Paul George x John c y a b Ringo ;3;; Paul 3;4;; ;5;4;0 ;;5;3 6;8;6; Iniziamo i con un nodo dove la scelta del giocatore termina il gioco. Se Paul inizia con la scelta, George con ottiene, con 4: sceglierà con un vettore delle vincite (; 5; 4; 0). Se Paul sceglie e John risponde con c, Ringo può scegliere x, guadagnando 3, o y, guadagnando : sceglierà x con un vettore delle vincite (;, 5;3). Se Paul sceglie e John risponde con b, Paul sceglie tra k, guadagnando 4, e l, guadagnando : sceglierà k con un vettore delle vincite (4; 4; 4; ). 66 k l 4;4;4; ;6;6; Lezione 8

ESEMPIO: secondo stadio Paul George John a b c Ringo ;3;; Paul k 4;4;4; ESEMPIO: terzo stadio Paul George John b c Ringo Paul k 4;4;4; x x ;5;4;0 ;;5;3 Troviamo ora i nodi che siano seguiti da nodi terminali o già valutati: se Paul sceglie, John sceglie tra a, guadagnando 3; oppure b, ripassando il turno a Paul, che abbiamo deciso che termina il gioco con k e quindi 4 per John; oppure c, passando il turno a Ringo, che abbiamo deciso che giunge a per John: la scelta migliore per John è b. 67 ;5;4;0 ;;5;3 Siamo ora pronti a immaginare come Paul dovrebbe iniziare il gioco: è più soddisfatto con, in quanto prevede che John risponderà con b e poi Paul sceglierà k, portando al vettore (4; 4; 4; ). 68 ESEMPIO: conclusioni Paul George x John 3;4;; ;5;4;0 53 ;;5;3 686 6;8;6; c y a b Ringo ;3;; Paul Equilibrio del gioco k,b,,x Sentiero di equilibrio bk zioni di equilibrio mai giocate x k l 4;4;4; ;6;6; 69 L equilibrio di Nash nei giochi in forma estesa Il concetto di equilibrio di Nash si può applicare a tutti i giochi in forma estesa. La definizione di base mantiene la sua validità: un equilibrio di Nash è un profilo di strategie, tale che nessun giocatore può migliorare la sua vincita (attesa) con una deviazione unilaterale (ossia cambiando la sua strategia). La difficoltà di applicazione di questa definizione risiede nella verifica volta ad assicurare che nessun giocatore possa migliorare la sua vincita cambiando strategia. Nei giochi in forma estesa l insieme di strategie può essere molto complesso, perché specifica le azioni per ogni insieme di informazione degli altri giocatori. 70 Qual è il nesso tra l induzione a ritroso e gli equilibri di Nash? () ESEMPIO: dovrebbe sfidare? Se lo sfida, dovrebbe scegliere tra le vincite e, per si arrenderebbe Sembra che possa tranquillamente lanciare la sfida. Sfida Non sfida combatte Non combatte -;- ; 0; Qual è il nesso tra l induzione a ritroso e gli equilibri di Nash? () Riformuliamo il gioco in forma strategica Il profilo sfida-resa è un equilibrio di Nash. L induzione a ritroso ha portato a un equilibrio di Nash. Ma anche il profilo non sfida-combattimento è un equilibrio di Nash. Tale minaccia tuttavia non è credibile: se scopre che sta bluffando e lo sfida, combatterà veramente? Questo equilibrio di Nash implica una strategia dominata debolmente. combatte Si arrende -; - ; Sfida Non sfida 0; 0; 7 7 Lezione 8

L equilibrio di Nash inconsistente con l induzione a ritroso Se combatte, allora non dovrebbe sfidarlo perché 0 > -, se non sfida, allora è indifferente tra combattere o no perché in ogni caso ottiene. Quindi (combatte, non sfida) è un NE Sfida Non sfida combatte Non combatte -;- ; 0; Qual è il nesso tra l induzione a ritroso e gli equilibri di Nash? (3) Questo esempio illustra un principio generale: quando si converte un gioco in forma estesa in un gioco in forma strategica, spesso si passa da un unica soluzione per induzione a ritroso a più equilibri di Nash. La soluzione ottenuta per induzione a ritroso è un equilibrio di Nash. Gli altri equilibri di Nash implicano l uso di strategie che potrebbero essere eliminate per dominanza debole iterata. 73 74 E l induzione a ritroso nei giochi in forma estesa più complessi? Nei giochi in forma estesa generali adottiamo l analisi dell equilibrio di Nash. Tuttavia, come abbiamo constatato, alcuni equilibri di Nash sono basati su minacce non credibili. Nei giochi a informazione perfetta, l induzione a ritroso ci aiuta a individuare questi equilibri con minaccia non credibile. Sarebbe quindi ideale poter applicare una tecnica simile nei giochi in forma estesa di tipo generale. Gioco dell entrata imprese: e monopolista di un mercato; decide se entrare o no Se entra, allora può produrre o. Se produce entrambe hanno profitto Se produce t entrambe avranno profitti - Se non entra avrà profitti nulli e può sempre produrre o, ma resta monopolista Se produce avrà profitto Se produce avrà profitto 3 75 76 Gioco dell entrata Gioco in forma estesa zioni ENTR o NON ENTR produrre POCO o TNTO -, - Strategie Impresa ENTR o NON ENTR (coincide con azioni) Impresa Produrre POCO sia se ENTR, sia se NON ENTR Produrre POCO se ENTR, TNTO se NON ENTR Produrre TNTO sia se ENTR, sia se NON ENTR Produrre TNTO se ENTR, POCO se NON ENTR entra Non entra, 0, 3 0, 77 78 Lezione 8 3

Gioco in forma strategica Poco, Poco, Tanto,, Equilibri di Nash nel gioco d entrata (i) (ii) (iii) (iv) E,, -, - -, - NE 0, 0, 3 0, 0, 3 Entra,, -,- -,- Non entra 0, 0,3 0, 0,3 79 Se gioca (i), gioca E;se gioca E, gioca (i) o (ii) Se gioca (ii), gioca E;se gioca E, gioca (i) o (ii) Se gioca (iii), gioca NE;se gioca NE, gioca (ii) o (iv) Se gioca (iv), gioca NE;se gioca NE, gioca (ii) o (iv) N: { E, (i) }, { E, (ii) }, e{ NE, (iv) } sono equilibri di Nash. 80 (i) (ii) (iii) (iv) E,, -, - -, - NE 0, 0, 3 0, 0, 3 Equilibrio -, - Consideriamo i tre equilibri di Nash: entra, ) { E ; P se E, P se NE } ; risultato: (,) ) { E ; PseE, TseNE} ; risultato : (,) Non entra 0, 3 3) { NE ; TseE, TseNE} ; risultato : (0,3) N: i primi due equilibri generano lo STESSO risultato, perché le strategie di sono diverse solo in un nodo decisionale che NON è raggiunto nell effettivo svolgimento del gioco. 8 0, 8 Equilibrio Equilibrio 3 -, - -, - entra, entra, Non entra 0, 3 Non entra 0, 3 0, 0, 83 84 Lezione 8 4

Problemi con gli equilibri di Nash Equilibrio di Nash: ogni giocatore deve agire ottimamente date le strategie altrui, cioè ogni giocatore gioca una risposta ottima alle strategie degli altri giocatori. Problema: la condizione di ottimizzazione è posta solo all inizio del gioco.perciò qualche equilibrio di Nash nei giochi dinamici può coinvolgere minacce non credibili. Perfezione nei sottogiochi (Selten, 965) pplica una nozione di comportamento razionale (in particolare l equilibrio di Nash) ogni volta che si fronteggia una situazione strategica ben definita. La nozione di sottogioco proprio modella l idea di una situazione strategica ben definita. 85 86 E NE Se sceglie P se E, T se NE, sceglie E T P T P (, ) (, ) ( 0, 3 ) ( 0, ) In questo sottogioco, sceglie P In questo sottogioco, sceglie T {E;P se E, T se NE} è l equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi 87 Notiamo che l equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi genera un risultato, (,), che non è il miglior risultato possibile per. L equilibrio di Nash {NE ; T se E, T se NE} genera un risultato molto migliore dal punto di vista di : (0,3) Questo equilibrio di Nash è basato su una minaccia non credibile, datoche non sceglierebbe mai T se decidesse di entrare. Cosa succederebbe se si impegnasse a scegliere T indipendentemente da quello che fa? (, ) E Se prende sul serio (T ) la minaccia, sceglie NE (T ) NE, e ottiene il suo ( 0, 3 ) massimo profitto. 88 Riepilogo Un equilibrio di Nash che soddisfi il principio di razionalità sequenziale, cioè che definisca solamente strategie credibili, è noto come equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi. In un equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi, ogni volta che un agente è chiamato a scegliere, l azione definita dalla sua strategia si rivela essere il comportamento ottimale date le strategie dei suoi avversari. Quindi {E; P se E, T se NE} è l unico equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi del gioco d entrata. Gli altri due equilibri di Nash {E ; P se E, T se NE }, { NE ; T se E, T se NE } sono chiaramente basati su minacce non credibili: non sceglierebbe MI P se NE o T se E! 89 Forma estesa o forma normale? Per trovare l equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi di un gioco sequenziale si utilizza la rappresentazione del gioco in forma estesa e si risolve usando l induzione retrograda. Per trovare tutti gli equilibri di Nash di giochi simultanei o sequenziali si utilizza la rappresentazione del gioco in forma normale. 90 Lezione 8 5

lcuni esempi Consideriamo il seguente gioco: Giocatori: due giocatori, e zioni: o per il giocatore, e a o b perilgiocatore Strategie: o per il giocatore, e a o b perilgiocatore Dato che strategie = azioni, il gioco è un gioco simultaneo con informazione imperfetta. Vincite: a b 5, 9 4, 8 0, 6 0, 9 a b 5, 9 4, 8 0, 6 0, ) C è qualche strategia dominante? Sì, a è dominante per il giocatore ) Ci sono equilibri di Nash? Sì, {, a } è un equilibrio di Nash 9 Forma estesa: a ( 5, 9 ) b a ( 4, 8 ) ( 0, 6 ) b ( 0, ) 3) Supponiamo che il giocatore sia in grado di osservare le mosse di ; cambia la struttura del gioco? a ( 5, 9 ) b ( 4, 8 ) a ( 0, 6 ) b ( 0, ) 93 4) Elenchiamo tutte le strategie dei nostri giocatori 5) Forma normale: Giocatore : Giocatore (i) a se, a se (ii) a se, b se (iii) b se, a se (iv) b se, b se (i) (ii) (iii) (iv) 5, 9 5, 9 4, 8 4, 8 0, 6 0, 0, 6 0, 94 (i) (ii) (iii) (iv) 5, 9 5, 9 4, 8 4, 8 0, 6 0, 0, 6 0, 6) C è qualche strategia dominante? Sì, (i) è dominante (ma non strettamente) per il giocatore 7) Ci sono equilibri di Nash? Sì, {, (i) }, {, (ii) }, e {, (iii) } sono equilibri di Nash Notiamo che {, (i) } e {, (iii) } generano lo stesso risultato. 95 a ( 5, 9 ) b a b ( 4, 8 ) ( 0, 6 ) ( 0, ) 8) C è Cèqualche equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi? Sì, {, a se,a se } è l equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi 9) Se il giocatore potesse impegnarsi a giocare una strategia, cosa farebbe? Si impegnerebbe a giocare { a se, b se }: questo indurrebbe il giocatore a scegliere, e genererebbe il payoff massimo per il giocatore. 96 Lezione 8 6