Appunti di Matematica Discreta - Algebra lineare

Appunti di Matematica Discreta - Algebra lineare 7 ottobre AVVISO: I presenti appunti possono contenere (anzi sicuramente conterranno errori e/o ripetizioni Essi sono inatti opera di vari collage e, per ovvie questioni di tempo, non sono stati rivisti Pertanto non intendono sostituire alcun libro di teoria e/o esercizi ma vogliono sopratutto essere un dettagliato programma del corso Prego gli studenti di prestare particolare attenzione nella loro lettura e di inormarmi sia direttamente che per e-mail (quattrocchi@dmiunictit su qualunque errore (certo o sospetto notato Cercherò di correggere nel più breve tempo possibile qualunque errore trovato Pertanto questi appunti saranno continuamente aggiornati: la data dell ultimo aggiornamento appare in prima pagina Consiglio inine agli studenti di non stamparli immediatamente ma arlo il più tardi possibile (per lo meno alcuni giorni dopo che l argomento sia stato trattato a lezione

Indice Insiemi e operazioni su di essi 4 Applicazioni 5 3 Relazioni di equivalenza 8 4 Relazioni di ordinamento parziale 9 5 Cardinalità di un insieme 6 Operazioni algebriche binarie 3 7 Gruppi 6 8 Campi 9 Omomorismi ra strutture Matrici: prodotto righe per colonne 3 Sistemi lineari e matrici ridotte per righe 3 Ancora sui sistemi lineari 5 3 Sistemi lineari dipendenti da un parametro 54 4 Come ricavare la matrice inversa attraverso il metodo di riduzione 59 5 Determinanti Teorema di Cramer Teorema di Rouché-Capelli 65 6 Vettori applicati del piano 79 7 Vettori applicati dello spazio 87 8 Vettori liberi 9 9 Rette del piano e loro equazioni 9 Coordinate omogenee nel piano 97 Isometrie e similitudini nel piano Piani e rette dello spazio e loro equazioni 5 3 Punti e rette improprie nello spazio

4 Spazi vettoriali 8 5 Sottospazi Vettoriali 3 6 Base e dimensione di uno spazio vettoriale 4 7 Applicazioni lineari 6 8 Matrici e Applicazioni Lineari 67 9 Autovalori ed autovettori 8 3 Ricerca degli autovalori e degli autospazi ad essi associati 83 3 Un applicazione degli autovettori: il motore di ricerca Google 86 3 Endomorismi semplici 89 33 Matrici diagonalizzabili 95 34 Similitudine ra matrici 3

Insiemi e operazioni su di essi Per comodità dello studente richiamiamo alcuni concetti elementari di teoria degli insiemi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di classe, totalità Sia A un insieme di elementi qualunque Per indicare che a è un elemento di A scriveremo a A Se A e B sono insiemi, diremo che A è un sottoinsieme di B e scriveremo A B se ogni elemento di A è un elemento di B Fra i sottoinsiemi di B ci sono in particolare B stesso e l insieme vuoto che viene denotato con Due insiemi A e B si dicono uguali, A = B, se hanno gli stessi elementi Cioè: A = B A B e B A Diremo che un sottoinsieme A di B è proprio, se A B e scriveremo A B Se A è un insieme, denoteremo con P (A l insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di A; P (A si dice l insieme delle parti di A Esempio Sia A = {,, 3} Allora P (A = {b, b,, b 8 } essendo b =, b = {}, b 3 = {}, b 4 = {3}, b 5 = {, }, b 6 = {, 3}, b 7 = {, 3}, b 8 = {,, 3} Se A e B sono insiemi, diremo unione di A e B l insieme A B costituito dagli elementi che stanno in A oppure in B, A B = {x x A o x B}, diremo intersezione di A e B l insieme A B costituito dagli elementi comuni ad A e B, A B = {x x A e x B}, mentre diremo dierenza di A e B l insieme A B degli elementi di A che non sono elementi di B, A B = A \ B = {x x A e x B} Due insiemi si dicono disgiunti se la loro intersezione è l insieme vuoto Se A è sottoinsieme di B diremo complementare (o complemento di A in B l insieme B A e lo denoteremo con C B A Se B è l insieme ambiente il complementare di A in B verrà semplicemente denotato con C A Se A e B sono insiemi, deiniamo prodotto cartesiano di A e B e lo denoteremo con A B, l insieme i cui elementi sono le coppie ordinate (a, b con a A e b B Proprietà A A = A, A A = A; A B = B A, A B = B A (proprietà commutativa; 3 A = A, A = ; 4 A (B C = (A B C, A (B C = (A B C (proprietà associativa; 5 A (B C = (A B (A C (proprietà distributiva dell unione rispetto all intersezione; 6 A (B C = (A B (A C (proprietà distributiva dell intersezione rispetto all unione; 4

7 C (A B = C A C B, C (A B = C A C B (ormule di De Morgan Nel seguito denoteremo con N, Z, Q, R e C rispettivamente gli insiemi dei numeri naturali (N = {,,,, n, }, degli interi relativi (Z = {, 3,,,, +, +, +3, }, dei numeri razionali (Q = { n m n, m Z, m }, dei numeri reali e dei numeri complessi Applicazioni Siano A e B insiemi non vuoti Deinizione Si dice applicazione (o unzione di A in B, e si denota con : A B, una corrispondenza che associa ad ogni elemento x A uno ed un solo elemento (x B Un applicazione si dice: iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B, cioè se x, x A, x x (x (x o anche da (x = (x x = x ; suriettiva (od anche: su tutto se ogni elemento di B è il corrispondente di qualche elemento di A, cioè se y B, x A tale che y = (x; biiettiva se è iniettiva e suriettiva; una applicazione biiettiva di A in B è detta pure una corrispondenza biunivoca ra A e B Esempio Siano N l insieme dei numeri naturali e R quello dei numeri reali La legge (n =, non deinisce un applicazione : N R, perchè non esiste ( Essa può però n essere vista come un applicazione : N \ {} R Esempio Sia R + l insieme dei numeri reali non negativi La legge che ad ogni a R + associa quel numero o quei numeri b R tali che b = a non é un applicazione Inatti, per esempio, al numero 4 R +, la associa sia che Invece la legge g che ad ogni a R + associa quel numero o quei numeri b R + tali che b = a é un applicazione g : R + R + deinita da g(x = x per ogni x R + Esempio 3 Sia Z l insieme dei numeri interi relativi e sia Q l insieme delle razioni, ridotte ai minimi termini, m con m, n Z e n La legge : Q Z tale che n (m = m + n, è n un applicazione Si osservi che non è iniettiva Inatti si ha 3 ma 3 ( = 3 (3 Esempio 4 L applicazione i A : A A, deinita dalla legge i(x = x x A, dicesi applicazione identica o unità, essa è iniettiva e suriettiva pertanto è biiettiva Esempio 5 L applicazione : N N, deinita dalla legge (n = n+ è un applicazione iniettiva ma non suriettiva perchè lo non proviene da nessun elemento 5

Deinizione Sia : A B un applicazione; dicesi immagine di e si indica con Im, il sottoinsieme di B costituito dagli elementi che sono corrispondenti di qualche elemento di A Cioè: Im = {y B x A tale che y = (x} Chiaramente è suriettiva se e solo se Im = B Sia : A B un applicazione Se b B indicheremo con (b l insieme degli elementi a A tali che (a = b Poniamo cioè Ovviamente se b Im si ha (b = (b = {a a A e (a = b} Deinizione 3 Prodotto di applicazioni Siano : A B, g : B C applicazioni Si deinisce prodotto o composizione di e g, l applicazione di A in C ottenuta applicando successivamente prima e poi g; essa viene denotata con g ed è deinita da (g (x = g((x x A Il prodotto di applicazioni gode della proprietà associativa cioè per : A B, g : B C, h : C D si ha h (g = (h g Deinizione 4 Applicazione inversa Se l applicazione : A B è biiettiva allora si può deinire l applicazione inversa : B A come segue: y B, (y è l unico elemento x A tale che (x = y Chiaramente è: = i B, = i A, ( = Sulla composizione di due applicazioni si hanno vari risultati, alcuni dei quali sono richiamati nelle due seguenti proposizioni La dimostrazione della Proposizione è lasciata allo studente come esercizio Proposizione Siano : A B, g : B C applicazioni Se e g sono iniettive allora g è iniettiva Se e g sono suriettive allora g è suriettiva 3 Se e g sono biettive allora g è biiettiva 4 Se g è suriettiva allora g è suriettiva 6

5 Se g è iniettiva allora è iniettiva 6 Se g è biettiva allora è iniettiva e g è suriettiva Proposizione Siano : A B, g : B A applicazioni, e inoltre g = i B g = i A, allora e g sono entrambe biiettive e g = e Dimostrazione Proviamo che è biettiva, in modo analogo si prova la biettività di g è suriettiva: Sia y B; si ha g(y = x A, da cui (x = (g(y = g(y = i B (y = y è iniettiva: Siano x, x A tali che (x = (x Allora g((x = g((x, g (x = g (x, i a (x = i A (x, x = x Proviamo che g = Cioè che per ogni y B, g(y = (y Sia x l unica soluzione (nella variabile x dell equazione (x = y Cioè y = (x Allora (y = x Quindi g(y = g((x = g (x = i a (x = x Esercizio Sia : N Z l applicazione così deinita Dire se è biunivoca oppure no { + n se n e (n = pari n+ se n e dispari Dati due insiemi non vuoti A e B possiamo considerare un nuovo insieme, denotato con B A, costituito da tutte le applicazioni di A in B Un caso particolarmente importante è il caso in cui B = {, } è l insieme costituito da due elementi, ; denoteremo tale insieme con il simbolo Se A, cioè se : A {, }, allora x A si ha (x = oppure (x = Se A è un insieme, per ogni suo sottoinsieme I, I A, possiamo deinire un applicazione I : A {, } che caratterizza gli elementi di I, detta unzione caratteristica di I, nel seguente modo: { se x I I (x = se x I Chiaramente A : A {, } è deinita da A (x = x A, mentre : A {, } è deinita da (x = x A Teorema Sia A un insieme Esiste un applicazione biunivoca ra gli insiemi A e P (A Dimostrazione Deiniamo due applicazioni ϕ, ψ come segue: ϕ : A P (A associa ad ogni applicazione : A il sottoinsieme di A costituito dagli elementi x A tali che 7

(x = ; ψ : P (A A associa ad ogni sottoinsieme B A l applicazione : A deinita da { se x B (x = se x B È acile veriicare le seguenti uguaglianze: ϕ ψ = i P (A e ψ ϕ = i A La Proposizione completa la dimostrazione Faremo uso del seguente assioma della teoria degli insiemi: Assioma della scelta o di Zermelo Sia A un insieme non vuoto Esiste allora una applicazione che ad ogni sottoinsieme non vuoto B A associa un elemento appartenente a B 3 Relazioni di equivalenza Deinizione 3 Dicesi relazione binaria deinita su un insieme non vuoto A, un sottoinsieme R A A Se (a, b R scriviamo anche arb e diciamo che a sta nella relazione R con b Esempi di relazioni binarie deinite su A sono A A stesso e la relazione identica I deinita da aib se e solo se a = b Si dice che una relazione binaria gode della proprietà: rilessiva se ara per ogni a A, transitiva se da arb e brc segue arc per a, b, c A, antisimmetrica se da arb e bra segue a = b per a, b A, simmetrica se da arb segue bra per a, b A Deinizione 3 Equivalenza Una relazione binaria deinita sull insieme non vuoto A si chiama relazione di equivalenza su A se gode delle proprietà rilessiva, simmetrica e transitiva Se E è una relazione di equivalenza, invece di aeb scriveremo a b (E e leggeremo a equivalente a b in E o, quando non c è possibilità di equivoco, scriveremo semplicemente a b e leggeremo a equivalente a b Deinizione 33 Sia A un insieme non vuoto Dicesi partizione di A una amiglia di sottoinsiemi non vuoti di A tale che ogni elemento di A sta in uno ed uno solo dei sottoinsiemi della amiglia I sottoinsiemi della amiglia si dicono le classi della partizione Teorema 3 Una partizione di A deinisce una relazione di equivalenza su A e viceversa 8

Dimostrazione (Dimostrazione obbligatoria Per dimostrare che una partizione di A deinisce una relazione di equivalenza su A, basta porre a b (E quando a e b stanno nella stessa classe della partizione: inatti si vede subito che gode delle tre proprietà: rilessiva, transitiva, simmetrica Viceversa, una relazione di equivalenza su A deinisce una partizione di A Inatti per ogni a A, consideriamo il sottoinsieme C(a A costituito dagli elementi equivalenti ad a, cioè C(a = {x A x a}; si vede subito che la amiglia {C(a a A} costituisce una partizione di A: inatti a C(a perchè a a; inoltre se è pure a C(b si ha a b; se allora x è un elemento qualunque di C(b è x b e per le proprietà simmetrica e transitiva x a cioè x C(a da cui C(b C(a; analogamente C(a C(b Ne segue che ogni elemento di A sta in una e una sola classe della amiglia {C(a a A} Deinizione 34 (Insieme quoziente Sia E una relazione di equivalenza deinita su A Dicesi insieme quoziente di A rispetto ad E l insieme, denotato con A/E, che ha come elementi le classi della partizione di A associata ad E Cioè A/E = {C(a a A} Se ad ogni a A associamo la classe C(a cui esso appartiene, otteniamo una applicazione ϕ E : A A/E detta applicazione canonica associata ad E; si vede subito che ϕ E è suriettiva ed è iniettiva se e solo se E = I Siano dati ora due insiemi A, B ed una applicazione : A B tra essi, allora si può deinire su A una relazione di equivalenza E ponendo a b (E se (a = (b; tale relazione si dice relazione di equivalenza associata ad 4 Relazioni di ordinamento parziale Deinizione 4 (Ordinamento parziale Una relazione binaria deinita su un insieme A si chiama relazione di ordinamento parziale se gode delle proprietà rilessiva, transitiva, antisimmetrica Un insieme A con una relazione R di ordinamento parziale deinita su di esso, si dice parzialmente ordinato, brevemente po Se R è una relazione di ordinamento parziale deinita su A, per a, b A scriveremo a b invece che arb e leggeremo a è minore od uguale a b Se è a b ed a b allora scriveremo a < b e leggeremo a è strettamente minore di b Sia A un insieme po e a, b A Se a b oppure b a allora i due elementi a e b si dicono conrontabili Un insieme po in cui due qualunque elementi sono conrontabili, si dice un insieme ordinato o linearmente ordinato o catena Un elemento a A si dice minimo (assoluto di A se a x per ogni x A Il minimo, quando esiste, è unico Un elemento a A si dice minimale o minimo relativo di A se non c è nessun elemento minore o uguale ad a distinto da a stesso, cioè se da x a segue x = a 9

Deinizione 4 (Insieme ben ordinato Un insieme po si dice ben ordinato quando ogni suo sottoinsieme ha il minimo Un insieme ben ordinato è anche ordinato In modo del tutto analogo si danno le nozioni di massimo e di massimo relativo Minoranti e maggioranti Estremo ineriore ed estremo superiore Sia A un insieme po e B un suo sottoinsieme Si chiama minorante di B in A un elemento a A tale che a x per ogni x B Si chiama estremo ineriore di B in A il massimo dei minoranti Notiamo che non è detto che esistano minoranti di B in A e se ne esistono può darsi che il loro insieme non abbia massimo; pertanto l estremo ineriore non sempre esiste L estremo ineriore a di B in A è caratterizzato dalle seguenti due proprietà: (i a A e a x per ogni x B; (ii se b A è tale che b x per ogni x B allora b a Osserviamo che se l estremo ineriore di B in A esiste ed è un elemento di B allora esso è il minimo di B; viceversa il minimo di B, se esiste, è anche l estremo ineriore di B in A In modo analogo si danno le deinizioni di maggioranti e di estremo superiore di B in A Un insieme po si dice completo quando ogni suo sottoinsieme ha estremo superiore e estremo ineriore In particolare un insieme po completo ha minimo e massimo Diagrammi di insiemi po initi Assegnato un insieme po inito (A; è utile considerare il diagramma di A, ottenuto nel seguente modo Si disegnano tanti punti quanti sono gli elementi dell insieme, avendo l accortezza di disegnare a più in basso di b se a b; si congiungono poi due elementi a, b con un segmento se a < b e non ci sono elementi maggiori di a e minori di b Dal graico che si ottiene si possono leggere con acilità tutte le proprietà dell insieme po A Condizioni equivalenti all assioma di Zermelo Le seguenti condizioni sono equivalenti all assioma di Zermelo: (i (Teorema di Zermelo Ogni insieme può essere ben ordinato (ii (Lemma di Zorn Se un insieme po A gode della proprietà che ogni catena in esso contenuta ha un maggiorante allora A ha almeno un massimo relativo

5 Cardinalità di un insieme Deinizione 5 Si dice che due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità o sono equipotenti, e si scrive A = B, se esiste un applicazione biunivoca ra A e B Esercizi Provare che N ha la stessa cardinalità dell insieme dei numeri interi pari Provare che N ha la stessa cardinalità di N \ {} 3 Provare che N ha la stessa cardinalità di N \ {, 3} Deinizione 5 Si dice che A ha cardinalità maggiore di B, e si scrive A > B, se B è equipotente ad un sottoinsieme di A ed A e B non sono equipotenti Proposizione 5 Sia X non vuoto L equipotenza induce una relazione di equivalenza su P (X Deinizione 53 Un insieme si dice numerabile se ha la stessa cardinalità dell insieme dei numeri naturali N = {,,, 3, } Proposizione 5 Sia A un insieme numerabile Allora A A è pure numerabile Dimostrazione Poichè A è numerabile possiamo numerare i suoi elementi Quindi possiamo scrivere A = {a, a, a 3, } Disponiamo gli elementi di A A nel quadro: (a, a, (a, a, (a, a 3, (a, a, (a, a, (a, a 3, (a 3, a, (a 3, a, (a 3, a 3, e stabiliamo la corrispondenza : N A A come segue: ( = (a, a, ( = (a, a, (3 = (a, a, (4 = (a, a 3, (5 = (a, a, (6 = (a 3, a, e così via secondo il cosiddetto metodo diagonale di Cantor Proposizione 53 L insieme N dei numeri naturali, l insieme Z dei numeri interi relativi e l insieme Q dei numeri razionali hanno la stessa cardinalità Proposizione 54 La cardinalità di N è minore di quella di R, cioè R > N

Dimostrazione Osservato che N R basta provare che N ed R non sono equipotenti Supponiamo per assurdo che esista la biiezione : N R così deinita (i numeri reali sono scritti in orma di numeri decimali illimitati non periodici di periodo 9: ( = ±a, c c c 3 c n ( = ±a, c c c 3 c n (n = ±a n, c n c n c n3 c nn Considerato il numero α =, c c c n con c 9, c, c 9, c, c 9, c 3,, c n c n,n+,9 si ha che n N (n α Ma questo è un assurdo perchè avevamo supposto N = R Deinizione 54 Un insieme si dice avere la cardinalità o potenza del continuo se ha la stessa cardinalità dell insieme R dei numeri reali Proposizione 55 Per ogni insieme A è A < P (A = A Dimostrazione Anzitutto P (A contiene il sottoinsieme costituito dalle parti di A che possiedono un solo elemento e quindi otteniamo una applicazione iniettiva di A in questo sottoinsieme di P (A Proviamo adesso che non può esistere un applicazione suriettiva di A in P (A, e quindi A e P (A non sono equipotenti Supponiamo per assurdo che esista una applicazione suriettiva : A P (A; sia B = {a A a (a} B è un sottoinsieme di A e quindi, per la suriettività di esiste b A tale che (b = B Due casi sono possibili: b (b = B allora per deinizione deve essere b B oppure b (b = B allora per deinizione b B; in entrambi i casi si ha l assurdo Deinizione 55 Un insieme si dice inito se è vuoto oppure se, per qualche n N, è equipotente all insieme {,,, 3,, n } ormato dai primi n numeri naturali Deinizione 56 Un insieme si dice ininito se non è inito Proposizione 56 Sia A un insieme Le seguenti condizioni sono equivalenti: (i A è ininito (ii A possiede un sottoinsieme numerabile (iii A è equipotente ad un suo sottoinsieme proprio Dimostrazione (i (ii A non è vuoto Sia a A; è {a } = A perchè A è ininito Sia a A con a a ; è {a, a } = A Sia a 3 A con a 3 a, a, e così via costruiamo un sottoinsieme numerabile {a, a, a 3, } A Osserviamo che in questa prova si è atto uso

dell assioma di Zermelo (ii (iii Sia N A un sottoinsieme numerabile; indichiamo con a, a, gli elementi di N; consideriamo il seguente sottoinsieme A di A, A = (A N {a, a 4, a 6 } Si ha A A perchè a A ed inoltre A è equipotente ad A: basta inatti considerare l applicazione : A A deinita da (x = x se x A N ed (a n = a n per n =,, (iii (i Un insieme inito non è equipotente ad un suo sottoinsieme proprio Tale atto, che sembra piuttosto evidente, può essere acilmente dimostrato mediante induzione Diamo un esempio di un insieme che si può mettere in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio Siano: r una semiretta con origine in C, CE un segmento su r, CD un segmento perpendicolare ad r e tale che CD = CE ed s una retta parallela ad r e passante per D Detti A l insieme dei punti di CE diversi da E, e B l insieme dei punti di CD diversi da D, per ogni punto P A, la circonerenza di centro C e raggio CP interseca CD in un punto ϕ(p B e resta così deinita un applicazione ϕ : A B biiettiva Proiettando da O i punti di CD diversi da D su r si ottiene un applicazione biiettiva ψ dall insieme B nell insieme dei punti di r; dunque ψ ϕ risulta un applicazione biiettiva dall insieme dei punti del segmento CE diversi da E nell insieme dei punti di r Esercizio Stabilire una corrispondenza biunivoca ra tutti i punti del segmento CE (E compreso e i punti della semiretta r Ipotesi del continuo L ipotesi del continuo aerma che se un insieme ininito A ha cardinalità minore della potenza del continuo, allora A è numerabile È stato provato che sia l ipotesi del continuo che la sua negazione sono entrambe compatibili con gli usuali assiomi della teoria degli insiemi 6 Operazioni algebriche binarie Deinizione 6 Dato un insieme M, chiamiamo operazione algebrica binaria deinita su M una qualunque applicazione che associa ad ogni coppia ordinata (a, b M M uno ed un solo elemento c appartenente ad M : M M M (a, b M M (a, b = c M 3

L operazione viene indicata, a seconda del caso particolare che si sta studiando, con i simboli:,,,, Per esempio si scrive a b = c invece di (a, b = c, ecc Esempi La somma e il prodotto introdotte in N sono operazioni algebriche binarie, mentre la sottrazione e la divisione non lo sono Sia P = Z l insieme dei numeri pari e D quello dei numeri dispari, la somma è un operazione algebrica binaria deinita su P, mentre non lo è su D 3 Sono esempi di operazioni algebriche binarie deinite su N l applicazione che associa alla coppia (a, b, di elementi distinti o no, la potenza che ha per base il primo elemento e per esponente il secondo elemento: (a, b = a b cioè a b = a b ; l applicazione che associa alla coppia (a, b Z Z il loro MCD: a b = MCD(a, b Si dice che l operazione deinita su M gode della proprietà commutativa se: a, b M si veriica che a b = b a Le operazioni + e sugli insiemi Z e Q sono commutative; le operazioni in Z e / in Q, come pure l elevamento a potenza in N non sono commutative L operazione deinita su M gode della proprietà associativa se: a, b, c M si veriica che (a b c = a (b c Le operazioni + e su N, Q e Z sono associative Le seguenti operazioni non sono associative: l elevamento a potenza in N ; inatti ad esempio è ( 3 4 (3 4, avendosi ( 3 4 = 3 4 = ( 3 4 = e (3 4 = 3 4 = ( 3 4 = 8 la sottrazione in Z, inatti ad esempio è 8 (5 (8 5, avendosi 8 (5 = 8 3 = 5 e (8 5 = 3 = Esempi Sia M un insieme non vuoto e l operazione su di esso deinita in modo tale che: a, b M, a b = b Tale operazione è associativa, inatti è (a b c = a (b c, avendosi (a b c = b c = c e a (b c = a c = c; ma non è commutativa, a meno che l insieme sia costituito da un unico elemento, cioè M = I simboli N, Z, Q, R indicano gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali e reali privati dello 4

Sia E un insieme e P (E l insieme delle sue parti, le operazioni di e su P (E sono commutative e associative Deinizione 6 Dicesi struttura algebrica un insieme non vuoto M su cui sono deinite una o più operazioni algebriche binarie, +,, Indichiamo con (M, una struttura algebrica dove è deinita l operazione, con (M,, + una struttura algebrica dove sono deinite le operazioni e +, (M,, +,, una struttura algebrica dove sono deinite le operazioni, +,, N, Z, Q e R con le operazioni + e/ sono strutture algebriche Deinizione 63 Dicesi semigruppo una struttura algebrica (M,, ove è operazione associativa su M Deinizione 64 Dicesi elemento neutro di (M, un elemento e M tale che a M si ha: a e = e a = a Si osservi che N, Z, Q, con l operazione di addizione + hanno lo elemento neutro N, Z, Q, con l operazione di moltiplicazione hanno come elemento neutro ed è chiamato elemento unità Q con l operazione di divisione / non ha elemento neutro, inatti a/ = a mentre /a a Deinizione 65 Sia (M, una struttura algebrica avente elemento neutro e Dicesi elemento simmetrico di a M un elemento a M tale che a a = a a = e Diremo che a è simmetrizzabile se esiste l elemento a simmetrico di a Si ha In N nessun elemento tranne lo è simmetrizzabile rispetto a + In (Z, + qualsiasi elemento è simmetrizzabile (il simmetrico di a è a così anche in (Q, (il simmetrico di a è a Deinizione 66 Dicesi monoide un semigruppo (M, dotato di elemento neutro In altre parole un monoide è un insieme M dotato di un operazione associativa in cui esiste un elemento e tale che a e = e a = a per ogni a M (N, + è un monoide ove il numero zero è l elemento neutro (Z, è un monoide ove il numero è l elemento neutro Sia X un insieme non vuoto allora (X X, è un monoide ove l applicazione identica i X è l elemento neutro 5

7 Gruppi Deinizione 7 Dicesi gruppo un insieme non vuoto M con una operazione algebrica binaria : M M M ((a, b = a b deinita su di esso che gode delle seguenti tre proprietà: a, b, c M (a b c = a (b c (l operazione è associativa; e M tale che a e = e a = a a M (esistenza dell elemento neutro 3 a M a M tale che a a = a a = e (ogni elemento a M è simmetrizzabile Teorema 7 In un gruppo l elemento neutro è unico Dimostrazione Supponiamo per assurdo che esistano due elementi neutri e ed e Per la proprietà dell elemento neutro si ha: a M a e = e a = a Dunque: e e = e e = e e anche da cui e = e e e = e e = e Teorema 7 In un gruppo ogni elemento a ammette un solo simmetrico a Dimostrazione Sia (M, un gruppo Supponiamo per assurdo che esista un a M avente due elementi simmetrici a ed a Si ha: a = e a = (a a a = a (a a = a e = a da cui a = a Deinizione 7 Un gruppo (M, si dice abeliano o commutativo se l operazione gode della proprietà commutativa: a b = b a per ogni a, b M Teorema 73 Sia (M, un gruppo Per ogni coppia issata a, b M esiste uno e un solo x M tale che a x = b, oppure esiste uno e un solo y M tale che y a = b In altre parole in un gruppo le equazioni a x = b e y a = b hanno una e una solo soluzione Si noti che in generale non é detto che queste soluzioni siano uguali Se invece il gruppo é commutativo le due soluzioni coincidono 6

Dimostrazione Sia a x = b, moltiplicando a destra entrambi i membri per a (il simmetrico di a si ha a (a x = a b Per la proprietà associativa, (a a x = a b, e x = a b e quindi x = a b é l unica soluzione della equazione a x = b Analogamente (moltiplicando a sinistra per a si prova che l unica soluzione di y a = b é y = b a Se il gruppo é abeliano abbiamo x = a b = b a = y Spesso l operazione algebrica binaria del gruppo è indicata con (chiamata moltiplicazione oppure con + (chiamata addizione Nel primo caso il gruppo si dice moltiplicativo, nel secondo additivo Si usa la seguente terminologia: In un gruppo moltiplicativo l elemento neutro verrà indicato con ed è detto unità, mentre il simmetrico di a verrà indicato con a, ed è detto il reciproco È immediato veriicare che: (a = a e (a b = b a In un gruppo additivo l elemento neutro verrà indicato con ed è detto elemento nullo, mentre il simmetrico di a verrà indicato con a, ed è detto l opposto È immediato veriicare che: ( a = a e (a + b = ( b + ( a Il Teorema 73 può essere riormulato nelle due seguenti orme: Teorema 74 Se (G, è un gruppo moltiplicativo, a, b G le due equazioni a x = b e y a = b ammettono una sola soluzione (date da x = a b e y = b a, rispettivamente Se (G, + è un gruppo additivo, a, b G le due equazioni a + x = b e y + a = b ammettono una sola soluzione (date da x = a + b e y = b a, rispettivamente Teorema 75 In un gruppo moltiplicativo (G, valgono le leggi di cancellazione a sinistra e a destra, cioè: a, b, c G, da a b = a c segue che b = c; a, b, c G, da b a = c a segue che b = c In un gruppo additivo (G, + valgono le leggi di cancellazione a sinistra e a destra, cioè: a, b, c G, da a + b = a + c segue che b = c; a, b, c G, da b + a = c + a segue che b = c Sono esempi di gruppi additivi abeliani (con le usuali operazioni di addizione +: (Z, +, gruppo additivo degli interi relativi, (Q, +, gruppo additivo dei razionali, (R, +, gruppo additivo dei reali Si osservi che, se si considera l usuale operazione di prodotto, (Z \ {}, non é un gruppo moltiplicativo (non esiste l inverso di un elemento, mentre (Q \ {}, e (R \ {}, sono gruppi moltiplicativi abeliani Per dare qualche altro esempio di gruppo introduciamo la nozione di matrice 7

Deinizione 73 Siano m e n due numeri naturali Una matrice A di tipo m n su R é una tabella di numeri reali a a a n A = a a a n a m a m a mn dove a ij R per i =,,, m e j =,,, n Scriveremo anche A = (a ij, i =,,, m, j =,,, n Indicheremo con il simbolo M(m, n; R l insieme delle matrici di tipo m n su R Ogni elemento a ij della matrice é contrassegnato da due indici: il primo i denota la riga mentre il secondo j la colonna alla quale l elemento appartiene Si dice anche che a ij é l elemento di posto (i, j nella matrice A Se m = n, allora la matrice A si dice quadrata di ordine n; in tal caso scriveremo M(n; R invece di M(m, n; R Le matrici di tipo n si diranno matrici riga e quelle di tipo m matrici colonna L i-esima riga della matrice A = (a ij é la matrice di tipo n R i = (a i, a i,, a in, mentre la j-esima colonna di A é data dalla matrice di tipo m a j C j = a j a mj Dicesi matrice nulla di M(m, n; R la matrice Θ di tipo m n i cui elementi sono tutti uguali a Cioè Θ = In M(m, n; R deiniamo l operazione di addizione nel seguente modo: per ogni A, B M(m, n; R, A = (a ij e B = (b ij, poniamo (a ij (b ij = (a ij + b ij È acile veriicare che ((M(m, n; R, é un gruppo abeliano Deinizione 74 Un gruppo si dice inito se ha un numero inito di elementi Il numero dei suoi elementi si dice ordine del gruppo 8

Talvolta, specialmente quando si tratta di gruppi abeliani, si usa la notazione additiva invece di quella moltiplicativa Cioè: l operazione del gruppo si chiama addizione (invece di moltiplicazione e si scrive a + b (invece di a b, l elemento unità del gruppo si chiama zero e si indica con (invece di ; l inverso di un elemento a si chiama opposto e si indica con a (invece di a Si pone inoltre a + ( b = a b Gruppo simmetrico Sia M un insieme non vuoto L insieme delle applicazioni biiettive di M in M è un gruppo e si chiama il gruppo simmetrico su M Se M è inito e ha n elementi, il gruppo simmetrico su M è inito ed ha n! = n elementi In quest ultimo caso il gruppo simmetrico si suole chiamare gruppo delle sostituzioni su n elementi Se M = {,,, n} allora la sostituzione : M M tale che (i = a i e (a i (a j per ogni i, j M con i j, viene spesso indicata con ( n a a a n o, più semplicemente, con a, a,, a n e viene chiamata permutazione di,,, n Deinizione 75 Dicesi sottogruppo di un gruppo (G, un sottoinsieme A non vuoto di G che risulta essere un gruppo rispetto alla stessa operazione deinita in G In ogni gruppo (G, esistono almeno due sottogruppi, i cosiddetti sottogruppi banali o impropri Essi sono il gruppo stesso e il sottogruppo che ha come unico elemento l elemento neutro di G; ogni altro sottogruppo è detto proprio Teorema 76 Condizione necessaria e suiciente ainchè A (sottoinsieme non vuoto del gruppo (G, sia un sottogruppo di G è che siano veriicate le seguenti due condizioni: a, b A = a b A; a A = a A Dimostrazione Necessità Supponiamo che A sia un sottogruppo di G Allora A stesso è un gruppo e quindi le condizioni e sono veriicate Suicienza Supponiamo che le condizioni e siano veriicate Per la, a, b A = a b A e quindi è anche un operazione deinita in A che veriica la proprietà associativa in A ( a, b, c A si ha a (b c = (a b c valendo essa in G Poichè le condizioni e valgono per ogni coppia di elementi di A, varranno in particolare per a e a a A Allora a a = e A, cioè l elemento neutro di G appartiene pure ad A Ed essendo anche che per ogni a A anche a A, segue che (A, è un gruppo, cioè un sottogruppo di (G, Le condizioni e sono equivalenti all unica condizione a, b A ab A Teorema 77 Intersezione di sottogruppi Se S e H sono due sottogruppi di G, allora S H è un sottogruppo di G 9

Dimostrazione Si ha: Se a S H, essendo S e H sottogruppi, abbiamo a S e a H quindi a S H Se a, b S H, essendo S e H sottogruppi, abbiamo ab S e ab H Quindi ab S H e provano la tesi Più in generale, se G i, i I è un insieme di sottogruppi di G, allora G = i I G i (ormato dagli elementi comuni a tutti i sottogruppi G i è un sottogruppo di G Teorema 78 Unione di sottogruppi Se S e H sono due sottogruppi di G, allora S H non è sottogruppo di G, tranne nel caso in cui H S oppure S H Dimostrazione Sia a S H e b H S, acciamo vedere che ab S H Supponiamo per assurdo che ab S H, ad esempio sia ab S Avremo ab = s per qualche s S Moltiplicando ambo i membri a sinistra per a (si ricordi che a S, si avrebbe a ab = a s S, da cui b = a s S Ciò è assurdo perchè b S; analogamente se ab H si perviene ad un assurdo 8 Campi Deinizione 8 Dicesi campo K una terna (K, +, dove K è insieme non vuoto mentre + e sono due operazioni binarie su K tali che: K (Chiusura Per ogni coppia a, b K, a + b K e a b K K (Associatività Comunque presi a, b, c K, a + (b + c = (a + b + c e a (b c = (a b c K3 (Commutatività Per ogni coppia a, b K, a + b = b + a e a b = b a K4 (Identità Esistono due elementi in K, denotati con e e detti rispettivamente lo zero e l unità del campo, tali che e, per ogni a K, a + = a e a = a K5 (Opposto Per ogni a K, esiste un elemento b K (detto l opposto di a, tale che a + b = (Inverso Per ogni a K = K \ {} esiste un elemento c K (detto l inverso di a tale che a c = K6 (Distributività Comunque presi a, b, c K, a (b + c = a b + a c Ricordiamo che le condizioni K, K, K4 e K5 dicono che (K, + è un gruppo additivo e (K, un gruppo moltiplicativo Si può provare che:

a b non è mai uguale a se a e b ; l inverso di a K è sempre diverso da ; sia l inverso che l opposto di a sono unici e si indicano, rispettivamente, con a e a Sono esempi di campi: (Q, +,, (R, +,, (C, +, Come è ben noto, (Z, +, non è un campo Se (K, +, è un campo e K è un insieme inito, diremo che il campo è inito Si può dimostrare il seguente teorema Teorema 8 Se (K, +, è un campo inito, esistono un numero primo p e un intero positivo k tali che K = p k Viceversa, per ogni primo p e intero positivo k, esiste un campo inito avente p k elementi È anche noto che, a meno di isomorismi, un campo inito è unico Esso è denotato con GF (p k Un interessante esempio di campo inito é dato da (K, +, in cui K = {, } e le operazioni + e sono così deinite: + =, + =, + =, + = ; =, =, =, = 9 Omomorismi ra strutture Deinizione 9 Siano (G, e (G, due gruppi Un applicazione : G G si dice un omomorismo di G in G quando, per ogni a, b G, è (a b = (a (b Un omomorismo biiettivo ra G e G si dice un isomorismo Se G = G l isomorismo si dice automorismo Teorema 9 Sia : G G un omomorismo ra gruppi Allora (e = e, essendo e ed e gli elementi unità rispettivamente di G e G ; (a = ((a ; 3 se H è un sottogruppo di G allora (H = {a G a H tale che (a = a } è un sottogruppo di G 4 se H è un sottogruppo di G allora (H = {a G (a H } è un sottogruppo di G

Dimostrazione ( Si ha (a (e = (a e = (a e (e (a = (e a = (a Dunque (e è l elemento neutro di G ( Da e = (e = (a a = (a (a e e = (e = (a a = (a (a, segue che (a è l inverso di (a, cioè (a = ((a (3 Innanzitutto si osservi che (H non è vuoto perchè e = (e (H Inoltre se a, b (H signiica che a = (a e b = (b con a, b H; allora a b = (a ((b = (a (b = (a b (H perchè a b H essendo H un sottogruppo di G (4Intanto (H non è vuoto perchè e (H in quanto (e = e H Inoltre se a, b (H signiica (a, (b H ; allora a b (H perchè (a b = (a (b = (a ((b H essendo H un sottogruppo di G Nucleo ed immagine di un omomorismo Sia : G G un omomorismo di gruppi Deiniamo nucleo di e lo denotiamo con Ker il sottoinsieme di G così deinito Ker = {a G (a = e } Deiniamo immagine di e la denotiamo con Im, il sottoinsieme di G così deinito Im = {a G esiste a G tale che (a = a } Teorema 9 Sia : G G un omomorismo di gruppi Si ha Ker è un sottogruppo di G Im è un sottogruppo di G 3 è iniettiva se e solo se Ker = {e} 4 è suriettiva se e solo se Im = G Deinizione 9 Siano (K, +, e (K,, due campi Un applicazione : K K è un omomorismo di K in K se a, b K risulta: (a + b = (a (b, (a b = (a (b Un omomorismo biiettivo si dice un isomorismo ra K e K Se K = K l isomorismo si dice automorismo Per gli omomorismi tra campi valgono teoremi analoghi a quelli per gli omomorismi ra gruppi

Matrici: prodotto righe per colonne Nella Deinizione 73 del paragrao 7 abbiamo introdotto il concetto di matrice di tipo m n ad elementi in R Sempre nello stesso paragrao abbiamo deinito cosa si intende per somma ra matrici e per matrice nulla e abbiamo lasciato al lettore il compito di veriicare che l insieme delle matrici m n con l operazione di somma orma un gruppo additivo abeliano In questo paragrao vogliamo richiamare alcune deinizioni e operazioni sulle matrici che ci saranno utili in seguito É acile veriicare che tutto quanto detto precedentemente per le matrici ad elementi in R può ripetersi per le matrici ad elementi in un generico campo K Sia M(m, n; K l insieme delle matrici di tipo m n ad elementi in un campo K, i cui elementi chiameremo scalari (qualora m = n porremo M(n, n; K = M(n; K Deinizione Dicesi prodotto di uno scalare λ K per una matrice A = (a ij M(m, n; K la matrice λa = (λa ij ottenuta moltiplicando per λ tutti gli elementi di A Deinizione Siano date le matrici A = (a ij M(m, n; K e B = (b ij M(n, p; K (si noti che A é di tipo m n e B di tipo n p Dicesi prodotto righe per colonne di A per B la matrice A B = (c ij M(m, p; K deinita, per ogni i =,,, m e j =,,, p, nel seguente modo: c ij = n a is b sj = a i b j + a i b j + + a is b sj + a in b nj s= Esempio Siano A = ( 3 3 4 4 5 7 M(, 4; R e B = 3 3 4 5 5 7 3 M(4, 3; R Allora A B é la matrice di tipo 3 data da ( 3 + 3 + 3 4 + 4 5 3( 3 + + 3 3 + 4 7 3 + + 3 + 4 3 4 + 3 + 5 4 + 7 5 4( 3 + + 5 5 + 7 7 4 + + 5 + 7 3 = ( 44 38 53 9 6 = 3

Esempio Siano Allora A B = A = 3 4 5 7 3 3 4 6 3 + 3 + 4 4 + 5 5 + 3 + 4 7 + 3 5 + 3 3 + 4 4 + 6 5 M(3, 4; R e B = = 33 56 59 Esempio 3 Siano ( 3 A = M(, ; R 4 5 e B = Allora A B = ( + 3 7 + 3 9 4 + 5 4 7 + 5 9 = ( 8 4 4 73 ( 7 9 3 4 5 M(4, ; R M(, ; R Si osservi che sia A che B sono quadrate di ordine n allora si possono are entrambi i prodotti A B e B A In generale si ha A B B A Inatti siano A e B le matrici di ordine deinite nell Esempio 3 Si ha ( ( ( 7 3 3 38 B A = = A B 9 4 5 38 5 Deinizione 3 Dicesi matrice identica di ordine n la seguente matrice quadrata di ordine n: I n = Per l operazione di moltiplicazione ra matrici valgono le proprietà elencate nel seguente teorema di cui lasciamo al lettore la acile veriica D ora in poi la somma ra le matrici A e B saraà indicata con A + B invece di A B Teorema Siano A, B M(m, n; K, C, D M(n, p; K, E M(p, q; K e λ K Allora: 4

(A + B C = A C + B C; A (C + D = A C + A D; 3 λ(a C = (λa C = A (λc; 4 (A C E = A (C E; 5 A I n = I m A = A; 6 se C = D allora A C = A D; 7 se A = B allora A C = B C Si osservi che, in generale, la (6 e la (7 del Teorema non possono essere invertite Inatti, posto nel primo caso 7 8 A =, C = 7 3, e D = 7 3, 3 5 8 5 8 abbiamo C D e Analogamente, posto A = ( 3 4 A C = A D = ( 4 3, B = 9 4 7 3 3 36 (, e C = 7, abbiamo A B e A C = B C = ( 6 8 8 Deinizione 4 Dicesi matrice diagonale una matrice quadrata A = (a ij di ordine n tale che a ij = i j, ovvero se A = a a a 33 a nn ( Conseguenza immediata del prodotto riga per colonna ra matrici é il seguente teorema 5

Teorema Sia A la matrice diagonale ( Allora a k a k A k = a k 33 a k nn Esempio 4 Sia A = A = A A = 3 ( 3 ( A 3 = A A A = 3 ( 3 3 ( 3 = Allora = 4 9, 8 7 Deinizione 5 Sia A = (a ij M(m, n; K Dicesi trasposta di A la matrice A T = (b ji M(n, m; K tale che b ji = a ij per ogni i =,,, m e j =,,, n Esempio 5 Sia Allora A = A T = 3 4 5 6 7 8 9 5 9 6 3 7 4 8 Per le matrici trasposte valgono le proprietà elencate nel seguente teorema di cui lasciamo al lettore la acile veriica Teorema 3 Siano A, B M(m, n; K, C M(n, p; K e λ K Allora: (A + B T = A T + B T ; (λa T = λ(a T ; 3 (A C T = C T A T ; 4 (A T T = A; 6

5 I T n = I n Deinizione 6 Una matrice quadrata A di ordine n, cioè A M(n; K si dice simmetrica se A T = A, cioè se a ij = a ji per ogni i, j =,,, n Esempio 6 La seguente matrice é simmetrica 3 4 5 6 7 3 6 8 9 4 7 9 Se A = (a ij M(n; K allora gli elementi a, a,, a nn ormano la diagonale principale di A Deinizione 7 Una matrice quadrata A M(n; K si dice invertibile se esiste una matrice B M(n; K tale che A B = B A = I n Esempio 7 Veriicare se la matrice é invertibile A = ( 3 6 SVOLGIMENTO Essendo A M(, ; R bisogna veriicare se esiste una matrice B M(; R tale che A B = B A = I Poniamo ( x y B = z t e cerchiamo di determinare x, y, z, t R in modo che ( ( ( x y = 3 6 z t La precedente uguaglianza equivale a ( x + z y + t 3x + 6z 3y + 6t = ( la quale é vera se e solo se il seguente sistema ammette soluzioni x + z = y + t = ( 3x + 6z = 3y + 6t = Poichè ( non ha soluzioni, la matrice data A non é invertibile 7

Esempio 8 Veriicare se la matrice é invertibile A = ( 3 7 SVOLGIMENTO Essendo A M(, ; R bisogna veriicare se esiste una matrice B M(; R tale che AB = BA = I Poniamo ( x y B = z t e cerchiamo di determinare x, y, z, t R in modo che ( ( ( x y = 3 7 z t La precedente uguaglianza equivale a ( x + z y + t 3x + 7z 3y + 7t = ( la quale é vera se e solo se il seguente sistema ammette soluzioni x + z = y + t = (3 3x + 7z = 3y + 7t = Poichè ( ha l unica soluzione (x, y, z, t = (7,, 3,, l inversa di A é ( 7 B = 3 Inine non é diicile veriicare che ( 7 B A = 3 ( 3 7 = ( = I Teorema 4 Sia A M(n; K invertibile Allora esiste una ed una sola matrice B M(n; K tale che A B = B A = I n Dimostrazione Per deinizione di matrice invertibile, esiste almeno una B M(n; K tale che A B = B A = I n Sia adesso C M(n; K tale che A C = C A = I n Allora C = C I n = C (A B = (C A B = I n B = B Per il precedente teorema la matrice B verrà indicata con A e sarà detta la matrice inversa di A Come proveremo nel Teorema 58, se esiste una matrice B tale che A B = I n allora esiste una matrice C M(n; K tale che C A = I n Vale il seguente teorema 8

Teorema 5 Sia A M(n; K Se esistono B, C M(N; K tali che allora C = B A B = I n e C A = I n, Dimostrazione Si ha C = C I n = C (A B = (C A B = I n B = B Il seguente risultato é immediata conseguenza dei Teoremi 4, 5 e 58 Teorema 6 Una matrice A M(n; K é invertibile se e solo se esiste B M(n; K tale che A B = I n L insieme delle matrici invertibili A M(n; K si indica con GL(n; K In GL(n; K valgono le seguenti proprietà Teorema 7 Siano A, B GL(n; K, allora si ha: A B GL(n; K e (A B GL(n; K A GL(n; K e (A = A 3 A T GL(n; K e ( A T = (A T 4 I n GL(n; K e (I n = I n L insieme GL(n; K con il prodotto righe per colonne costituisce un gruppo non commutativo, detto il gruppo lineare generale Si osservi quindi che in GL(n; K valgono le leggi di cancellazione a sinistra ed a destra: se C A = C B e A, B, C GL(n; K, allora A = B; se A C = B C e A, B, C GL(n; K, allora A = B Si conronti la precedente aermazione con la (6 e la (7 del Teorema Teorema 8 Siano A, B M(m, n; K Sia C GL(m; K Allora A = B se e solo se C A = C B Sia C GL(n; K Allora A = B se e solo se A C = B C Dimostrazione Sia C GL(m; K Se A = B allora, per la (6 del Teorema, si ha C A = C B Sia, ora, C A = C B Essendo C GL(m; K, esiste la matrice inversa C di C Allora, per il Teorema, Se C GL(n; K, la dimostrazione é analoga C (C A = C (C B, (C C A = (C C B, A = B 9

Sistemi lineari e matrici ridotte per righe Sia K un campo e siano a ij K, i =,,, m e j =,,, n, tali che: per ogni i =,,, m, se b i = allora esiste almeno un j i {,,, n} per cui a iji ; per ogni j =,,, n esiste almeno un i j {,,, m} per cui a ij j Allora, posto b i K, diremo che la scrittura a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b (4 a m x + a m x + + a mn x n = b m rappresenta un sistema lineare di m equazioni nelle n variabili x, x,, x n Gli elementi a ij e b i si dicono rispettivamente i coeicienti e i termini noti di (4 Deinizione Dicesi soluzione del sistema (4 una qualsiasi n-upla ordinata (η, η,, η n di elementi di K tale che a η + a η + + a n η n = b a η + a η + + a n η n = b a m η + a m η + + a mn η n = b m Dato un sistema lineare, ad esso é associato il problema di determinare l insieme di tutte le sue soluzioni Ovviamente un sistema lineare potrebbe essere impossibile (cioè non avere alcuna soluzione In tal caso l insieme delle sue soluzioni coincide con l insieme vuoto Deinizione Due sistemi lineari si dicono equivalenti se i loro insiemi di soluzioni coincidono Deinizione 3 Un sistema lineare si dice omogeneo se i suoi termini noti sono tutti nulli Un sistema lineare omogeneo di m equazioni nelle n variabili x, x,, x n si scrive quindi nel seguente modo: a x + a x + + a n x n = a x + a x + + a n x n = (5 a m x + a m x + + a mn x n = Si ricordi che i coeicienti di (5 godono delle seguenti proprietà: per ogni i =,,, m esiste almeno un j i {,,, n} per cui a iji ; per ogni j =,,, n esiste almeno un i j {,,, m} per cui a ij j Per determinare l insieme delle soluzioni di un sistema lineare (e in particolare di un sistema lineare omogeneo é ben noto il metodo di Gauss di eliminazione delle variabili Consideriamo dapprima i sistemi lineari omogenei In tal caso il metodo di Gauss si basa sul seguente teorema 3

Teorema Comunque issati λ, µ K con λ, e comunque presi i, j {,,, m} con i j, (5 é equivalente al sistema che si ottiene sostituendo l equazione i-esima con la seguente: λ(a i x + a i x + + a in x n + µ(a j x + a j x + + a jn x n = (6 Dimostrazione (Dimostrazione obbligatoria Senza ledere la generalità, possiamo supporre i = e j = Dobbiamo così dimostrare che (5 é equivalente al sistema λ(a x + a x + + a n x n + µ(a x + a x + + a n x n = a x + a x + + a n x n = a m x + a m x + + a mn x n = (7 É immediato veriicare che una soluzione di (5 é anche soluzione di (7 Viceversa, supponiamo che (α, α,, α n é soluzione di (7 Si ha λ(a α + a α + + a n α n + µ(a α + a α + + a n α n = a α + a α + + a n α n = a m α + a m α + + a mn α n = e quindi, essendo a α + a α + + a n α n =, λ(a α + a α + + a n α n = a α + a α + + a n α n = a m α + a m α + + a mn α n = Avendo supposto λ, possiamo moltiplicare entrambi i membri della prima equazione per ottenendo λ a α + a α + + a n α n = a α + a α + + a n α n =, a m α + a m α + + a mn α n = cioè (α, α,, α n è soluzione di (5 Esempio Risolvere il sistema x 3x + 4x 3 5x 4 = x x + x 3 x 4 = x x + x 3 x 4 = x + x + x 3 x 4 = x x + x 3 + 4x 4 =, 3

a coeicienti in R, acendo uso del Teorema SVOLGIMENTO Nel seguito scriveremo E i λe i + µe j per indicare che, nel sistema in considerazione, sostituisco l equazione i-esima con l equazione avente il primo membro ormato dalla somma del primo membro della i-esima con il primo membro della j-esima rispettivamente moltiplicati per λ e µ x 3x + 4x 3 5x 4 = x x + x 3 x 4 = x x + x 3 x 4 = x + x + x 3 x 4 = x x + x 3 + 4x 4 = E 3 E 3 + E E 4 E 4 + 5E E 5 E 5 + E x 3x + 4x 3 5x 4 = x x 3 + 3x 4 = 7x 3 + 9x 4 = 8x 4 = 94x 4 = E E E E 3 E 3 E E 4 E 4 E E 5 E 5 E x 3x + 4x 3 5x 4 = x x 3 + 3x 4 = 7x 3 + 9x 4 = x 3 + 8x 4 = x 3 + 6x 4 = E 5 47E 5 4E 4 x 3x + 4x 3 5x 4 = x x 3 + 3x 4 = x 3x 3 + 3x 4 = 5x x 3 + 3x 4 = x + 3x 4 = E 4 7E 4 E 3 E 5 7E 5 E 3 x 3x + 4x 3 5x 4 = x x 3 + 3x 4 = 7x 3 + 9x 4 = 8x 4 = = Che ha, come unica soluzione, (,,, Quindi il sistema assegnato ha una ed una sola soluzione data da (,,, Esempio Risolvere il sistema x 3x + 4x 3 5x 4 = x x + x 3 x 4 = x x + x 3 x 4 = a coeicienti in R, acendo uso del Teorema, SVOLGIMENTO x 3x + 4x 3 5x 4 = x x + x 3 x 4 = x x + x 3 x 4 = E E E E 3 E 3 E x 3x + 4x 3 5x 4 = x x 3 + 3x 4 = x 3x 3 + 3x 4 = E 3 E 3 + E x 3x + 4x 3 5x 4 = x x 3 + 3x 4 = 7x 3 + 9x 4 = (8 3

Posto x 4 = η, (8 equivale a x 3x + 4x 3 = 5η x x 3 = 3η 7x 3 = 9η Risolvendo per sostituzione, esso ammette ininite soluzioni date da ( 4 η, 3η, 9η, η per ogni 7 7 7 η R Si noti che in (8 si può prendere come parametro x 3 invece di x 4 In tal caso, posto x 4 = ρ, avremo x 3x 5x 4 = 4ρ x + 3x 4 = ρ, 9x 4 = 7ρ che ha le soluzioni ( 4 ρ, ρ, ρ, 7ρ per ogni ρ R Si noti che 9 3 9 {( 4 7 η, 3 7 η, 9 } {( 4 7 η, η η R = 9 ρ, 3 ρ, ρ, 7 9 ρ } ρ R Per il Teorema, esse sono anche le soluzioni del sistema assegnato Osservazione Sia b x + b x + + b n x n = b x + b x + + b n x n = b m x + b m x + + b mn x n = (9 il sistema ottenuto da (5 mediante la trasormazione (6 per opportuni i, j, λ e µ con i j e λ Allora In (9 l equazione i-esima potrebbe essere trasormata in una identità del tipo = In (9 il numero delle variabili continua ad essere uguale ad n La prima osservazione é provata dall Esempio Proviamo la seconda Cioè che, comunque presa una variabile x j, j =,,, n, esiste almeno una equazione di (9 in cui il coeiciente di x j é diverso dallo zero Per esempio consideriamo la variabile x e supponiamo a Se nella (6 é i, avremo b = a ed il risultato rimane provato Per i =, avremo b = λa + µa j con λ e j Se b segue il risultato, invece se b =, avremo λa +µa j =, µa j = λa, b j = a j e il risultato rimane completamente provato Nel deinire il sistema (4 abbiamo supposto che esso non contenga variabili i cui coeicienti siano tutti nulli e nemmeno equazioni del tipo = Si noti che il metodo di risoluzione del Teorema continua a valere anche senza queste restrizioni sul sistema 33

Deinizione 4 Matrice ridotta per righe Una matrice A = (a ij, i =,,, m j =,,, n, si dice ridotta per righe se, per ogni i, é veriicata una delle due seguenti condizioni: a ij = per ogni j =,,, n, oppure esiste almeno un t {,,, n} tale che a it e, se i < m, a ρt = per ogni i + ρ m Esempio 3 La matrice A = 7 3 4 é ridotta per righe Deinizione 5 Elemento speciale Sia A = (a ij, i =,,, m j =,,, n, una matrice ridotta per righe Per la Deinizione 4, ogni riga R i = (a i, a i,, a in (,,, contiene almeno un elemento a it tale che, se i < m, a ρt = per ogni i + ρ m Per ogni riga non nulla R i si issi, a piacere, uno solo di questi elementi Esso si chiama l elemento speciale relativo ad R i Sia A la matrice ridotta dell Esempio 54 Gli elementi candidati ad essere di tipo speciale sono quelli di posto (,, (,, (, 5, (4, 3, (5, 4 e (5, 6 (si noti che la terza riga non può contenere alcun elemento speciale Possiamo quindi scegliere come speciali quelli di posto (,, (, 5, (4, 3 e (5, 4 Teorema Il numero di elementi speciali di una matrice ridotta m n é minore od uguale al min{m, n} Dimostrazione Sia r il numero degli elementi speciali in una matrice ridotta m n Per deinizione, in ogni riga si può issare al più un elemento speciale, allora r m Inoltre, come si vede acilmente, due elementi speciali non possono mai trovarsi in una stessa colonna Ne segue r n Una qualsiasi matrice m n, A = (a ij, può essere sempre vista come la matrice incompleta associata ad un sistema lineare omogeneo di m m equazioni (A potrebbe avere una o più righe nulle, in tal caso conviene eliminare le identità = in n n incognite (A potrebbe avere una o più colonne ormate tutte da zeri Ridurre per righe A equivale ad applicare ripetutamente il Teorema al sistema ad essa associato e a quelli equivalenti che via via si ottengono e/o scambiare due equazioni ra loro Il risultato é una matrice ridotta il cui sistema omogeneo associato é equivalente al sistema associato alla matrice iniziale Mostriamo questo atto nel seguente esempio 34