1 Unità di misura La misura è una tecnica mediante la quale a una grandezza fisica (ad esempio le proprietà come definite nel testo) si associa un numero, risultato di una procedura che prevede un confronto con una grandezza simile, grandezza campione, scelta come unità. grandezza fisica P valore numerico p misura Se U P = unità di misura Se U P = unità di misura Deve essere P = pu P P = p U P pu P = p U P quindi U P = p p U P Si definisce il fattore di conversione da U P a U P Se si hanno: N grandezze fisiche; Ū P = p p n(< N) relazioni indipendenti fra tali grandezze; N n grandezze si dicono fondamentali (campioni scelti indipendentemente), mentre le n grandezze rimanenti si dicono derivate. Esempio. Nella cinematica, grandezze fondamentali sono la lunghezza e il tempo, mentre la velocità e l accelerazione sono grandezze derivate a partire dalle relazioni v = dl dt a = dv dt Esempio. Nella dinamica, consideriamo le grandezze fisiche forza, massa e accelerazione F, m, a e le loro relative unità di misura U F, U m, U a. m = mu m a = āu a F = FU F Poiché F = ma, F = mu m āu a. Se si definisce U F = U m U a si ottiene F = mā cioè tra i valori numerici si ha la stessa relazione che esiste tra le grandezze fisiche, senza l aggiunta di costanti moltiplicative. In questo caso: pag. 1
m, a grandezze fondamentali; F grandezza derivata. 2 Sistema di unità di misura. La definizione di un sistema di unità di misura richiede: 1. la scelta delle grandezze fondamentali; 2. la definizione delle corrispondenti unità di misura; 3. la definizione delle relazioni che definiscono le grandezze derivate (ad esempio v = dl/dt, a = dv/dt, F = m a) 3 Cenni di analisi dimensionale. Dimensione: per una grandezza fondamentale è la grandezza stessa; per una grandezza derivata è il prodotto di potenze delle dimensioni delle grandezze fondamentali che risulta dalla relazione che la definisce a partire dalle grandezze fondamentali; Esempio. Grandezze fondamentali: Lunghezza: [L], Massa: [m], Tempo: [t]. Grandezze derivate: Velocità [v] = [L] [t] = [L][t] 1 Forza [F] = [m][a] = [m][l][t] 2 Numero puro (grandezza adimensionale) [N] = [m] 0 [L] 0 [t] 0 Costante dimensionale Consideriamo la legge di gravitazione universale di Newton: G è una costante dimensionale [F] = [m][l][t] 2 = [G][m] 2 [L] 2 [G] = [m] 1 [L] 3 [t] 2 G = 6.67 10 11 N m 2 /kg 2 F = G mm r 2 pag. 2
4 Sistema Internazionale (SI). Il Sistema Internazionale (SI) è stato introdotto nel 1960 (XI Conferenza Generale Pesi e Misure). La quantità di costituente è stata introdotta successivamente, nel 1971. Grandezza Dimensione Unità di misura Simbolo Lunghezza [L] metro m Massa [m] chilogrammo kg Tempo [t] secondo s Corrente [I] ampere A Temperatura [T] kelvin K Intensità luminosa candela cd Quantità di costituente (1971) [n] mole mol Attenzione. Il nome dell unità di misura, quando scritto per esteso va scritto in minuscolo, anche se deriva da un nome proprio: il kelvin è la denominazione scelta per l unità di misura della temperatura in onore di Lord Kelvin, il simbolo è K, maiuscolo e senza il segno di grado; 5 K si legge 5 kelvin, non 5 gradi kelvin. 5 Altri sistemi. CGS. L unità di misura per la lunghezza è il centimetro, per la massa è il grammo e per il tempo è il secondo. Sistema Tecnico (ST). Ha come grandezza fondamentale la forza, mentre la massa è una grandezza derivata. Sistema Imperiale. Utilizzato nei paesi anglosassoni. pag. 3
6 Multipli e sottomultipli. Per esprimere multipli e sottomultipli delle varie unità di misura si utilizzano nel SI dei prefissi standard. Sottomultipli: deci d 10 1 centi c 10 2 milli m 10 3 micro µ 10 6 nano n 10 9 pico p 10 12 femto f 10 15 atto a 10 18 Multipli: 7 Lunghezza. Definizione di metro: deca da 10 1 etto h 10 2 chilo k 10 3 mega M 10 6 giga G 10 9 tera T 10 12 1791 1 4 10 7 del meridiano terrestre passante per Parigi; 1875 campione in platino e iridio conservato presso l Ufficio Internazionale Pesi e Misure di Sèvres, vicino a Parigi; 1960, odierna 1 650 763.73 volte la lunghezza d onda nel vuoto della radiazione elettromagnetica emessa dall isotopo 86 Kr nella sua transizione fra gli stati 2p 10 e 5d 5 (due stati fisici particolari dell atomo di kripton); la radiazione emessa può essere facilmente identificata, poiché appare come una riga rossa nello spettro visibile di questo elemento. pag. 4
Principali unità di misura per la lunghezza nel Sistema Imperiale e relativi fattori di conversione: 8 Tempo. Definizione di secondo: foot ft 1 ft = 0.3048 m = 12 in inch in 1 in = 2.54 cm yard yd 1 yd = 3 ft = 0.9144 m mile mi 1 mi = 5280 ft = 1760 yd = 1609 m originaria 1/86400 del giorno solare medio del 1900; 1967, odierna (e provvisoria) 9 192 631 770 volte il periodo della radiazione corrispondente alla transizione tra due livelli iperfini dello stato fondamentale del cesio 133 Cs (XIII Conferenza Generale Pesi e Misure, 1967). Multipli: 9 Massa e forza. minuto min 1 min = 60 s ora h 1 h = 3600 s = 60 min giorno d 1 d = 24 h = 86400 s Sistema Internazionale (SI): La grandezza fondamentale è la massa, la cui unità di misura è il chilogrammo (kg). Definizione di chilogrammo: iniziale massa di 1 dm 3 di acqua pura (distillata) a 4 C; 1889, odierna massa del prototipo internazionale del chilogrammo, costituito da un blocco di platino custodito presso l Ufficio Internazionale Pesi e Misure di Sèvres, nei pressi di Parigi. Densità e forza sono grandezze derivate. Densità: [ρ] = [m] [V ] = [m][l] 3 l unità di misura è kg/m 3 pag. 5
Forza: l unità di misura è il newton [F] = [m][l][t] 2 newton N 1 N = 1 kg m s 2 Sistema CGS: L unità di misura della forza è la dina Fattore di conversione da newton a dina: 1 N = 10 5 dyn dina dyn 1 dyn = 1 g cm s 2 Sistema Tecnico (ST): La grandezza fondamentale è la forza, la cui unità di misura è il kilogrammo forza (kg f ). Definizione di chilogrammo forza: odierna peso del campione custodito nei pressi di Parigi in un campo gravitazionale con accelerazione di gravità g n (g n = 9.80665 m s 2 ). Fattori di conversione da chilogrammo forza a newton e viceversa: 1 kg f = 1 kg g n = 9.80665 N 1 N = 0.101972 kg f La massa è una grandezza derivata. Massa: [m] = [F] [a] = [L] 1 [t] 2 [F] La sua unità di misura è l unità di massa tecnica (UMT): unità di massa tecnica UMT 1 UMT = 1 kg f s 2 /m Fattore di conversione da unità di massa tecnica a chilogrammo: 1 UMT = 1 kg f s 2 /m = 9.80665 N s 2 /m = 9.80665 kg Sistema Imperiale: Principali unità di misura per la massa e la forza e relativi fattori di conversione pound lb 1 lb = 0.4536 kg grain grain 1 grain = 1/7000 lb = 64.799 mg pound lb f 1 lb f = 0.4536 kg f pag. 6
10 Pressione. La pressione ha le dimensioni di una forza per unità di superficie: Sistema Internazionale (SI): L unità di misura è il pascal: [p] = [F] [L] 2 [p] = [m][l] 1 [t] 2 Sistema Tecnico (ST): pascal Pa 1 Pa = 1 N/m 2 bar bar 1 bar = 10 5 Pa [p] = [F] [L] 2 L unità di misura è l atmosfera tecnica assoluta: atmosfera tecnica assoluta ata 1 ata = 1 kg f /cm 2 Fattori di conversione: 1 ata = 1 kg f /cm 2 = 9.81 10 4 N/m 2 = 9.81 10 4 Pa = 0.981 bar Sistema Imperiale: Fattori di conversione: 1 psi = 6.89476 kpa 1 atm = 14.7 psi Altre unità di misura: atmosfera (atm); torricelli (torr); psi (pounds per square inch) psi 1 psi = 1 lb f /in 2 pag. 7
millimetro di mercurio (mm Hg ): è la pressione esercitata sulla sua base inferiore da una colonna di mercurio di altezza 1 mm (poiché la densità del mercurio varia con la temperatura e la pressione, per effettuare il calcolo è stato scelto un valore convenzionale pari a 13596 kg/m 3 ); metro d acqua (m H2 O): è il pressione esercitata sulla sua base inferiore da una colonna di acqua di altezza 1 m (poiché la densità dell acqua varia con la temperatura e la pressione, per effettuare il calcolo è stato scelto un valore convenzionale pari a 1000 kg/m 3 ). Fattori di conversione: 1 torr = 1 mm Hg = 13596 kg/m 3 9.81 m/s 2 10 3 m = 133.3 Pa = 13.596 kg f /m 2 = 0.00136 ata 1 atm = 760 torr = 1.013 10 5 Pa = 1.013 bar = 1.033 ata 1 m H2 O = 1000 kg/m 3 9.81 m/s 2 1 m = 9.81 10 3 Pa = 0.0981 bar = 0.1 ata = 73.56 mm Hg 1 atm = 10.33 m H2 O 11 Energia e lavoro. Energia: E = mc 2 Lavoro: W = l F dl Le dimensioni dell energia e del lavoro sono le stesse (con lavoro si indica infatti l energia scambiata in un interazione di tipo lavoro): [E] = [m][v] 2 = [m][l] 2 [t] 2 = [F][L] Sistema Internazionale (SI): L unità di misura è il joule (J). joule J 1 J = 1 N m = 1 kg m 2 /s 2 Sistema CGS: L unità di misura è l erg (erg). Fattore di conversione da joule a erg: 1 J = 10 7 erg erg erg 1 erg = 1 dyn cm = 1 g cm 2 /s 2 pag. 8
Sistema Tecnico (ST): L unità di misura è il chilogrammetro (kgm). chilogrammetro kgm 1 kgm = 1 kg f m Fattore di conversione da chilogrammetro a joule: 1 kgm = 9.81 J Sistema Imperiale: L unità di misura è la British Thermal Unit (Btu), che è definita come l energia necessaria per innalzare di un grado Fahrenheit la temperatura di una libbra (pound) di acqua al livello del mare. Fattore di conversione da Btu a joule: 1 Btu = 0.252 kcal = 1055 J Altre unità di misura: caloria (cal): secondo la definizione storica è la quantità di energia che occorre fornire a un grammo di acqua per elevare la sua temperatura da 14.5 C a 15.5 C, ma esistono anche altre definizioni, che scelgono diversi intervalli di temperatura, ad esempio da 19.5 C a 20.5 C e da 16.5 C a 17.5 C; poiché ogni definizione dà luogo ad un fattore di conversione a joule leggermente diverso (dato che il calore specifico dell acqua varia con la temperatura), è stata introdotta la caloria internazionale, che fissa tale fattore di conversione in modo convenzionale; wattora (Wh) e chilowattora (kwh): verranno illustrate nel paragrafo successivo, poiché richiedono la conoscenza delle unità di misura della potenza; tonnellata equivalente di petrolio (tep, in inglese toe): è pari al potere calorifico convenzionale di una tonnellata di petrolio (potere calorifico convenzionale del petrolio 10000 kcal/kg); è un unità di misura usata in energetica per grandi quantità, ad esempio il fabbisogno pro-capite medio di energia primaria in Europa è di 3.5 tep/anno. Fattori di conversione: 1 cal = 4.186 J (caloria storica) Il 4.186 nella formula precedente è chiamato equivalente meccanico del calore. 1 cal = 4.1868 J (caloria internazionale) 1 tep = 10 Gcal = 41.868 GJ 12 Potenza. La potenza è definita come energia per unità di tempo. [N] = [E][t] 1 = [m][l] 2 [t] 3 pag. 9
Sistema Internazionale (SI): L unità di misura è il watt (W). watt W 1 W = 1 J/s In base a quest ultima definizione si può esprimere l energia anche in chilowattora (kwh): 1 kwh = 10 3 W 3600 s = 3.6 10 6 J 1 kwh = 859.845 kcal Sistema Tecnico (ST): L unità di misura è il chilogrammetro al secondo (kgm/s). Fattore di conversione da chilogrammetro al secondo a watt: 1 kgm/s = 9.81 W Altre unità di misura: Horse-Power (HP) Cavallo Vapore (CV). Fattori di conversione: 1 HP = 150 lb f 220 ft/1 min = 150 0.4536 kg f 220 0.3048 m/60 s = 76.04 kgm/s = 745.7 W 1 CV = 735 W 13 Temperatura. Sistema Internazionale (SI): La grandezza fondamentale è la temperatura assoluta [T], la cui unità di misura è il kelvin (K). Definizione: il kelvin è definito come la temperatura del punto triplo dell acqua diviso 273.16. 1 K = 1 273.16 T pt Il punto triplo dell acqua si verifica alla temperatura T pt = 273.16 K e alla pressione p pt = 0.612 kpa. Le temperature di congelamento T C e di ebollizione T E dell acqua a pressione atmosferica valgono T C = 273.15 K T E = 373.15 K La temperatura relativa [T Celsius ] è una grandezza derivata. Per misurare la temperatura relativa si utilizza la scala centigrada. L unità di misura è il grado centigrado o Celsius ( C), che è equivalente al kelvin. La scala Celsius è definita in modo tale che le temperature di congelamento TC Celsius a pressione atmosferica valgano e di ebollizione T Celsius E dell acqua pag. 10
TC Celsius = 0 C TE Celsius = 100 C Per passare dal valore di temperatura relativa T a espresso secondo la scala di temperatura a al valore di temperatura relativa T b espresso secondo la scala di temperatura b si utilizza l espressione seguente T b = TC b + T E b TC b TE a T (T a T a C a C ) dove TC a, T E a, T C b e T E b rappresentano rispettivamente le temperature di congelamento e di ebollizione dell acqua nelle due scale a e b. La formula di conversione vale anche per passare da temperatura relativa a temperatura assoluta e viceversa, omettendo l apice per la temperatura assoluta. A titolo di esempio, le espressioni utilizzabili per eseguire la conversione da kelvin a gradi Celsius e viceversa sono T Celsius = 1 C (T 273.15 K) 1 K T = 273.15 K + T Celsius1 K 1 C Nelle due espressioni compaiono le costanti dimensionali 1 C/1 K e 1 K/1 C, il cui valore è uno e perciò spesso vengono tralasciate. Nei paesi anglosassoni: La temperatura assoluta si misura con la scala Rankine, in cui l unità di misura è il grado Rankine ( R). Fattore di conversione da grado Rankine a kelvin: 1 R = 5 K 9 La temperatura del punto triplo dell acqua è T pt = 491.688 R La temperatura relativa si misura con la scala Fahrenheit. L unità di misura è il grado Fahrenheit ( F), che è equivalente al grado Rankine. La scala Fahrenheit è definita in modo che le temperature di congelamento TC Fahrenheit = 32 F T Fahrenheit C T Fahrenheit E = 212 F e di ebollizione T Fahrenheit E Altri due esempi di conversione, da kelvin a gradi Fahrenheit e da gradi Fahrenheit a gradi Celsius dell acqua valgano T Fahrenheit = 32 F + 9 F (T 273.15 K) 5 K T Celsius = 5 C 9 F (T Fahrenheit 32 F) 14 Quantità di costituente. La quantità di un costituente rappresenta il numero di unità elementari (atomi, molecole, particelle) presenti nel sistema. pag. 11
Sistema Internazionale. L unità di misura della quantità di costituente è la mole (mol). Definizione: la mole è la quantità di costituente che contiene 6.022 10 23 unità elementari, pari al numero di atomi contenuti in una massa di 12 g di 12 C. La massa molecolare è una grandezza derivata definita come la massa diviso la quantità di costituente. [M] = [m] [n] = [m][n] 1 L unità di misura della massa molecolare è il kilogrammo per mole (kg/mol). Essa viene molto spesso espressa anche in g/mol e in kg/kmol. Fattori di conversione: 1 kg/kmol = 1 g/mol = 10 3 kg/mol Il numero di Avogadro è una costante fisica dimensionale definita come N A = 6.022 10 23 mol 1. 15 Costanti. Costante universale dei gas ideali (R). Per i gas ideali vale la relazione Le dimensioni della costante R sono perciò p V = n R T [R] = [p][v ] [n][t] = [m][l]2 [t] 2 [n][t] = [E] [n][t] Espressa nelle unità di misura del Sistema Internazionale (SI) essa vale R = 8.314 J/mol K In altre unità di misura R = 1.986 kcal/kmol K = 0.0821 litro atm/mol K Nota: il litro è una unità di misura di volume, 1 litro = 1 dm 3 Costante di Boltzmann (k). Il rapporto tra la costante universale dei gas e il numero di Avogadro è la costante di Boltzmann k = R/N A = 1.3806 10 23 J/K Le dimensioni di k sono dunque [k] = [E] [T] e differiscono da quelle di R per il fattore [n]. pag. 12
Costante di Stefan-Boltzmann (σ). Dalla legge di Stefan-Boltzmann si possono ricavare le dimensioni di σ q = σt 4 [E] [t][l] 2 = [σ][t]4 quindi [σ] = [E] [t][l] 2 [T] 4 Espressa nelle unità di misura del Sistema Internazionale (SI) σ vale σ = 5.67 10 8 W/m 2 K 4 La costante di Stefan-Boltzmann è definita come σ = 2π5 k 4 15h 3 c 2 dove: k = 1.3806 10 23 J/K = costante di Boltzmann; h = 6.626 10 34 J s = costante di Planck; c = 2.9979 10 8 m/s = velocità della luce nel vuoto. è quindi possibile ricavare le dimensioni di σ anche a partire dalla definizione [σ] = [k]4 [h] 3 [c] 2 = [E] 4 [T] 4 [E] 3 [t] 3 [L] 2 [t] 2 = [E] [t][l] 2 [T] 4 pag. 13