L ECONOMIA E LE FUNZIONI DI UNA VARIABILE (RICAVO E PROFITTO) Prof.ssa Angela Donatiello 1
LA FUNZIONE DEL RICAVO Chiamiamo RICAVO TOTALE il prodotto della quantità venduta per il prezzo unitario di vendita. RICAVO TOTALE MERCATO LIBERO: In un mercato libero nessun produttore o consumatore può influenzare il prezzo. Esso è stabilito dal mercato, ossia dall incontro tra domanda e offerta. p = prezzo di equilibrio tra domanda e offerta Il prezzo è dunque un valore fisso. R(q) = p q MERCATO DI MONOPOLIO: In un mercato di monopolio il singolo produttore che detiene il monopolio può fissare il prezzo a sua discrezione, tenendo conto del fatto che un aumento di prezzo comporterà una diminuzione della domanda e una diminuzione di prezzo comporterà un aumento della domanda. p = funzione di vendita = funzione inversa della domanda Il prezzo è variabile, in quanto funzione della quantità domandata R(q) = p(q) q Prof.ssa Angela Donatiello 2
Esempio: Ricavo in regime di concorrenza perfetta Se la domanda di un certo bene è data dalla funzione : d(p) = 5000 2p e la sua offerta è data dalla funzione h(p) = 2p 20, il prezzo di equilibrio si avrà quando l domanda è uguale all offerta. In tal caso: 5000 2p = 2p 20-4p = -5000 20 4p = 5020 p = 5020/4 = 1255 Il ricavo pertanto sarà R(q) = p q = 1255q Ricavo in regime di monopolio Se un monopolista decide che il prezzo di vendita della sua merce è p = 1000 25 q, allora il ricavo sarà dato da R(q) = (1000 25q) q = 1000q 25 q 2 Quest ultima funzione è una parabola con concavità rivolta verso il basso. Il massimo ricavo si ha pertanto nel vertice con q = 20. Prof.ssa Angela Donatiello 3
RICAVO MEDIO E MARGINALE Allo stesso modo di come si è visto per i costi, anche nel caso del ricavo è possibile calcolare il ricavo medio, ossia il ricavo unitario. R m =!(!)! rapporto tra la funzione ricavo e la quantità di merce venduta Nel caso di mercato libero, il ricavo medio coinciderà con il prezzo unitario, nel caso di monopolio, coinciderà invece con la funzione di vendita o funzione del prezzo. Esempio: R(q) = 450 q allora R m =!(!) =!"#!!! = 450 Prof.ssa Angela Donatiello 4
Il ricavo marginale indica invece l incremento di ricavo per la vendita di una unità infinitesimale, si determina pertanto con la derivata della funzione ricavo. R ma = R Nel caso discreto e nel caso di funzioni non derivabili, si parla di ricavo marginale unitario, ossia la variazione di ricavo con un incremento di 1 unità in più venduta. R ma = R(q + 1) R(q) Prof.ssa Angela Donatiello 5
LA FUNZIONE DEL PROFITTO Qualunque azienda produce beni perché vuole ricavarne profitto dalla loro vendita. L obiettivo principale di un impresa è sempre stabilire quale quantità di bene è opportuno produrre per raggiungere il massimo profitto, minimizzando i costi. Anche in questo caso verranno analizzati dei modelli matematici che ben rappresentano la situazione reale, pur se semplificati. Il profitto di un azienda, semplificando le cose, dipende dalla quantità di merce venduta, dal prezzo applicato e dai costi sostenuti per la produzione. Prof.ssa Angela Donatiello 6
Si definisce PROFITTO o UTILE di un impresa, e lo indicheremo con la lettera U, la differenza tra il ricavo totale e il costo totale. Esempio: U(q) = R(q) C(q) Supponiamo che un impresa per fabbricare ombrelli sostenga costi fissi mensili di 2000 e costi variabili pari a 1,20 per ogni ombrello prodotto. Supponiamo poi che la sua capacità produttiva sia di 2500 ombrelli alla settimana e che riesca a vendere sul mercato l intera produzione al prezzo unitario di 6. Quale guadagno avrà l impresa? Costo totale: C(q) = C v + C F = 1,20q + 2000 Ricavo totale: R(q) = 6q Utile: U(q) = R(q) C(q) = 6q 1,20q 2000 = 4,80q 2000 Rappresentiamo su due diagrammi cartesiano la retta dell utile e poi le rette di costi e ricavi e analizziamoli. Prof.ssa Angela Donatiello 7
La retta interseca l asse x nel punto q = 416. Per 0 q 416 il profitto è negativo, per cui l impresa sarà in perdita. Per 416 q 2500 il profitto è positivo, per cui l impresa avrà un utile. In corrispondenza di q = 2500 (produzione massima consentita dai vincoli tecnici) si avrà il massimo utile. Prof.ssa Angela Donatiello 8
E possibile analizzare la stessa situazione e pervenire ai medesimi risultati anche mediante un diagramma che confronti la retta dei costi e quella dei ricavi. Un simile diagramma prende il nome di diagramma di redditività. Quando i costi supero i ricavi si ha una zona di perdita, quando invece i ricavi superano i costi si ha una zona di utile. Il punto di incontro tra costi e ricavi, ossia il punto in cui l impresa passa da una zona di perdita ad una di utile, viene detto break even point o punto di equilibrio tra costi e ricavi. Prof.ssa Angela Donatiello 9
RICERCA DEL MASSIMO PROFITTO Nel caso dell esempio precedente in cui costi, ricavi e profitti sono tutti rappresentati da rette, il massimo profitto si avrà necessariamente in corrispondenza della massima produzione consentita. In alcuni casi, però, i costi o il ricavo possono essere rappresentati da modelli parabolici, pertanto il massimo profitto si determinerà con i metodi dell analisi matematica. Esempio: Supponiamo che un azienda sostenga costi di produzione espressi dalla seguente relazione C(q) = q 2 106q +3190, dove q è la quantità prodotta e venduta. Se il prezzo di vendita sul mercato è p = 20, in corrispondenza di quale quantità prodotta si avrà il massimo utile? Costo totale: C(q) = q 2 106q +3190 Ricavo totale: R(q) = 20q Utile: U(q) = R(q) C(q) = 20q - q 2 + 106q 3190 = - q 2 + 126q 3190 Troviamo innanzitutto i valori di q per cui i costi uguagliano i ricavi, ossia i punti di equilibrio (break - even point) Prof.ssa Angela Donatiello 10
C(q) = R(q) q 2 106q +3190 = 20q quindi q 2 126q +3190 = 0 che ha soluzione per q = 35 e q = 91. Break even point: q = 35 e q = 91 quando C(q) = R(q) Se C(q) > R(q) allora q 2 106q +3190 > 20q ossia q 2 126q +3190 > 0 Tale disequazione è verificata per q < 35 v q > 91, pertanto in corrispondenza di questi valori si avrà un perdita, mentre per valori interni si avrà un utile. Ricapitolando: C(q) = R(q) con q = 35 e q = 91 C(q) > R(q) con q < 35 v q > 91 C(q) < R(q) con 35 < q < 91 break even point zona di perdita zona di utile Prof.ssa Angela Donatiello 11
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Il massimo profitto si cerca determinando la derivata della funzione dell utile: U = 2q + 126 Ponendo la derivata uguale a zero si determinano i punti stazionari: U = 0 2q + 126 = 0 quindi q = 63 Si studia infine la positività: 63 U > 0 2q + 126 > 0 per q < 63 Per q = 63 si ha il massimo utile. Il valore del massimo utile è: U(q) = - q 2 + 126q 3190 = = - (63) 2 + 126(63) 3190 = 779 Prof.ssa Angela Donatiello 13
Esercizi: Una torrefazione vende caffè a 3,50 il kg. Il caffè, allo stato originale, ha un costo di 2,90 il kg, cui vanno aggiunte spese fisse giornaliere di 180. Tenendo conto che la quantità massima che si può tostare è di 500 kg al giorno, determina: - la funzione del costo e la funzione ricavo; - il break even point - i limiti entro cui si avrà un utile e quelli per cui l impresa sarà in perdita; - la quantità giornaliera da produrre per consentire alla torrefazione di ottenere il massimo utile e l ammontare di tale utile. Una segheria può lavorare fino a 500 quinatli di truciolato di legname in una settimana, sostenendo spese fisse pari a 750 settimanali e spese quantificabili in 5 per ogni quinatle lavorato. Il prezzo di vendita è così stabilito: 40 al quintale diminuito, in euro, del 10% del numero dei quintali prodotti e pronti per la vendita. Determina: - la funzione costo e la funzione ricavo; - il punto di equilibrio tra costi e ricavi; - i limiti entro cui si avrà un utile e quelli per cui l impresa sarà in perdita; - la quantità di legname che deve essere prodotta per consentire alla segheria di ottenere il massimo utile e l ammontare di tale utile. Prof.ssa Angela Donatiello 14
Bibliografia: Re Fraschini, Grazzi, Spezia, Matematica per l economia, ATLAS, 2007 Bergamini, Trifone, Barozzi, Matematica.rosso, Zanichelli, 2013 Prof. Pasca Di Magliano, Lezioni di Economia Politica, 2015 Prof. Luigi Bosco, Il Mercato di Concorrenza perfetta, Lezioni di Microeconomia, Università degli Studi di Siena Il Mercato, ITC Calamandrei: http://www.itccalamandrei.it/attachments/145_domanda-e-offerta.pdf Prof.ssa Angela Donatiello 15