Università degli Studi della Calabria Dipartimento di Fisica Tesi di Laurea in Fisica Il problema della località in meccanica quantistica Relatore: Laureando: Prof. Giuseppe Nisticò Roberto Saullo Dott.ssa Angela Sestito 3979 ANNO ACCADEMICO 0-03
A mio padre
Indice Introduzione 3 La Meccanica Quantistica 6. Concetti principali della M.Q................... 6. Proiettori............................. 0.3 Relazioni d ordine e di probabilità.................4 Prodotto tensoriale su spazi di Hilbert............. 3.5 Rappresentazione matriciale................... 5 3 Estensione delle correlazioni quantistiche 8 3. Assunzioni e principi....................... 8 3. Struttura logica generale..................... 0 3.3 Formalizzazione matematica................... 4 Analisi dei teoremi di non località 7 4. Teorema GHSZ.......................... 7 4. Teorema di Hardy......................... 3 5 Teorema di Bell 35 5. Introduzione............................ 35 5. Analisi del teorema........................ 36 6 Teorema di Stapp 45 6. Introduzione............................ 45 6. Struttura del teorema....................... 46 6.3 Estensione del formalismo.................... 47 6.4 Analisi del teorema........................ 49
Capitolo Introduzione La meccanica quantistica nasce agli inizi del XX secolo, sotto la spinta di risultati sperimentali che hanno stravolto la visione classica e deterministica della fisica. I padri fondatori della teoria quantistica sono essenzialmente tre: Heisenberg, Schroedinger e Dirac. La meccanica quantistica ebbe non poche difficoltà ad essere accettata, infatti gli stessi che la formularono non erano così convinti, inizialmente, della sua veridicità. Nel corso della storia, però, si sono susseguiti una miriade di esperimenti che hanno confermato le sue previsioni. Tutt oggi non è stato eseguito nessun esperimento che abbia contraddetto la teoria. Come già detto la meccanica quantistica non fu subito accettata. Tra i tanti che inizialmente si opposero alla teoria, il più celebre è sicuramente Albert Einstein. Egli non riusciva ad accettare l impossibilità di conoscere, sempre e perfettamente, il valore di ogni grandezza fisica di un dato sistema, come afferma la meccanica quantistica. Celebre è l affermazione dello scienziato tedesco, in una lettera del 4 dicembre 96 indirizzata a Niels Bohr, che rivela il contrasto con la teoria quantistica: Dio non gioca a dadi. Einstein era convinto che la causa di questa impossibilità risiedesse nell incompletezza della teoria stessa. Infatti, nell articolo del 935 Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? [], scritto insieme ad altri due grandi fisici del tempo Podolsky e Rosen, Einstein propone un argomento, basato su un esperimento ideale, sull incompletezza della meccanica quantistica. Nel 964, nel tentativo di completare la teoria, J. S. Bell prova un inconsistenza [3] e, a partire dal teorema di Bell, altri teoremi [4, 5, 4] noti come teoremi di non-località, sono stati pubblicati con lo scopo di dimostrare che la M.Q. è incompatibile con le condizioni di località e realtà enunciate da EPR in []. 3
I teoremi di non-località sono oggetto di questa tesi. In particolare, vengono trattati: il teorema di GHSZ (Greenberger, Horne, Shimony, Zeilinger [5], il teorema di Hardy [4], il teorema di Bell [3] ed il teorema di Stapp [4]. Il primo capitolo della tesi è dedicato all introduzione della meccanica quantistica nel formalismo matematico di Von Neuman. In particolare, vedremo come la teoria consente di fare predizioni sui risultati di misurazioni effettuate su sistemi fisici. Nel secondo capitolo, l analisi di una variante [9] dell esperimento ideale di EPR mostra come questioni interpretative sorgono quando si tenta di fare predizioni, non supportate da esperimenti, su osservabili di sistemi fisici. Nella situazione in questione la possibilità di fare predizioni è fruita dall adozione di assunzioni che non rientrano nel formalismo standard della M.Q.; si tratta del criterio di realtà e del principio di località. Queste ulteriori ipotesi, tuttavia, producono delle difficoltà concettuali, oggetto dei teoremi di non-località. Descriveremo, quindi, la struttura logica generale di tali teoremi, in particolare dei teoremi di GHSZ, di Hardy e di Bell. Infine introdurremo un formalismo adeguato ad analizzare i teoremi in questione, mettendo in luce l esistenza di diverse interpretazioni del criterio di realtà. Discuteremo, in particolare, l interpretazione ampia adottata da EPR, e una diversa interpretazione stretta. Nel capitolo 4, facendo uso del formalismo precedentemente introdotto, analizzeremo i teoremi di GHSZ e di Hardy, che adottano, implicitamente, l interpretazione ampia del criterio di realtà. Metteremo in evidenza che adottando tale interpretazione si raggiunge l inconsistenza tra M.Q. e località. Tuttavia, la stessa conclusione non può essere dedotta se si adotta, invece, l interpretazione stretta. Tratteremo il teorema di Bell nel capitolo 5. Rispetto ai teoremi precedenti, viene adottata un ulteriore ipotesi, oltre al principio di località e al criterio di realtà. Ne consegue che, benchè la struttura logica della dimostrazione sia la stessa, il teorema è caratterizzato da una maggiore complessità. Nonostante ciò, concluderemo che, analogamente ai teoremi precedenti, l inconsistenza permane se si adotta l interpretazione ampia del criterio di realtà, ma non si raggiunge con l interpretazione stretta. Infine, nel capitolo 6, affronteremo il teorema di Stapp. La necessità di separare tale teorema da quelli finora introdotti risiede nel fatto che le assunzioni alla base sono diverse. Il criterio di realtà cede il posto a due ulteriori assunzioni che pure portano ad una inconsistenza tra la M.Q. e la località, ma con uno schema logico completamente diverso dai teoremi precedentemente analizzati. Vogliamo infine sottolineare che Stapp utilizza, a differenza dei teoremi di Hardy, di GHSZ e di Bell, la logica controfattuale per la formulazione del 4
suo teorema. Per questo motivo il lavoro è stato più complesso, in quanto, inizialmente, sono stati tradotti i risultati trovati da Stapp e la sua dimostrazione nella logica classica, successivamente si è proceduto ad analizzare la dimostrazione. 5
Capitolo La Meccanica Quantistica In questo capitolo vogliamo richiamare i concetti principali della meccanica quantistica, soffermandoci su alcuni di essi, che saranno utilizzati nel corso della tesi. Nel corso della storia sono state sviluppate varie formulazione della meccanica quantistica. Tra tutte, sicuramente le più celebri sono la meccanica ondulatoria di Erwin Schroedinger e la meccanica delle matrici di Werner Heisenberg. La prima formulazione della teoria quantistica, rigorosa ed elegante dal punto di vista matematico e consistente da un punto di vista logico, è quella di J. Von Neumann []. È proprio quest ultima formulazione che abbiamo deciso di adottare nella tesi.. Concetti principali della M.Q. La teoria di Von Neumann si fonda, essenzialmente, su due concetti: osservabile e valore di aspettazione. Osservabile Un osservabile di un sistema fisico è una grandezza fisica misurabile sul sistema, con risultati delle misurazioni rappresentate da numeri reali. Se adesso indichiamo con O l insieme delle osservabili di un dato sistema fisico, possiamo definire il valore di aspettazione. 6
Valore di aspettazione Il valore di aspettazione è una funzione che ad ogni osservabile A O associa un numero reale v(a R: v : O R. L interpretazione del valore di aspettazione v(a deve essere di carattere statistico. Esso va riferito ad un insieme S di esemplari di un determinato sistema fisico, che presenta le seguenti caratteristiche: a Siano X,..., X j,... sottoinsiemi finiti di esemplari di un dato sistema fisico, estratti da S. È possibile valutare, per ognuno di essi, il valore medio delle misurazioni di A fatte sugli esemplari appartenenti ai sottoinsiemi estratti: m j (A = x X j a(x N j dove a(x è il valore della misurazione dell osservabile A sul sistema e N j è il numero di sistemi appartenenti al sottoinsieme X j. Allora possiamo definire in maniera operativa il valore di aspettazione: v(a = lim m j(a. N j + Nella teoria di Von Neaumann il limite converge per ogni scelta del sottoinsieme X j. b L insieme S fornisce, quindi, gli ensembles X j. Esso può essere identificato con la procedura di selezione, naturale o di laboratorio, dei sistemi per ottenere v(a. c Il valore di aspettazione non esiste necessariamente per tutte le osservabili. In questo caso significa che il limite non converge. In generale, infatti, il valore di aspettazione v si definisce su un sottoinsieme O v di O. Dopo aver introdotto i concetti di osservabile e valore di aspettazione, riportiamo i cinque assiomi richiesti dalla teoria di Von Neumann. 7
Dato un sistema fisico, si può associare ad esso uno spazio di Hilbert H separabile e complesso, in maniera tale che è possibile definire una corrispondenza biunivoca che ad ogni osservabile A O associa un operatore autoaggiunto  di H. Siano A e B due osservabili alle quali corrispondono due operatori autoaggiunti  e ˆB. Esiste, sempre, un osservabile C = A + B alla quale corrisponde un operatore autoaggiunto Ĉ =  + ˆB. 3 Se l osservabile A è non negativa si ha: v(a 0. 4 Siano a, b R e A, B O, si ha: v(aa + bb = av(a + bv(b. 5 Sia A un osservabile e f una funzione (numerica. Allora applicando al risultato di una misurazione di A la funzione f otteniamo un altra osservabile indicata con f(a. Ora se  è l operatore autoaggiunto associato all osservabile A, all osservabile f(a associamo l operatore f(â = f(λde λ, dove E λ è la risoluzione dell identità di  [8]. Possiamo adesso introdurre un altro concetto importante in meccanica quantistica: lo stato quantistico. Comunemente si utilizza il termine ket e la notazione per indicare un vettore ψ, con ψ ψ =, ed il termine bra e la notazione per indicare il suo duale [8]. Supponiamo, adesso, di avere due valori di aspettazione v (A e v (A, relativi a due procedure di selezione S e S. Possiamo ottenere un ensemble X prendendo il 50% dei sistemi da S e il 50% dei sistemi da S. Con questa procedura abbiamo creato uno stato misto, che ha il seguente valore di aspettazione: v(a = v (A + v (A. Nella teoria quantistica, per trattare gli stati misti si utilizza l operatore densità. Operatore densità L operatore densità è l analogo quantistico della distribuzione di probabilità nello spazio delle fasi, che in meccanica classica rappresenta una miscela statistica. Non è possibile descrivere un sistema quantistico, sottoposto ad una generica misura, utilizzando esclusivamente singoli vettori di stato ψ. Un sistema si trova generalmente in uno stato misto, quindi risulta necessaria una trattazione statistica. 8
L operatore densità è un operatore ˆρ : H H autoaggiunto, che ha le seguenti caratteristiche: ψ ˆρ ψ 0 ψ. T r{ˆρ} =. Nel caso particolare di uno stato puro Ψ l operatore densità non è altro che il proiettore su questo stato: ˆρ = Ψ Ψ. Dobbiamo distinguere la combinazione convessa di stati puri, descritta dagli operatori densità, dalla sovrapposizione coerente. Una sovrapposizione coerente non genera altro che un altro stato puro, come sovrapposizione di stati puri. Ad esempio: Ψ = ( ψ + ψ. Per uno stato misto (sovrapposizione convessa di stati puri, dove il sistema si trova nello stato ψ j con probabilità p j, l operatore densità assume la seguente forma: ˆρ = j p j ψ j ψ j dove i ψ j ψ j sono i proiettori costruiti sugli stati dell ensemble e p j è la probabilità che il sistema si trovi nello stato ψ j. Utilizzando l operatore densità possiamo calcolare i valori di aspettazione di ogni osservabile del sistema. Infatti Von Neumann ha dimostrato che se valgono i cinque assiomi, definiti in precedenza, allora per ogni valore di aspettazione v : O R esiste un operatore densità ˆρ = j p j ψ j ψ j tale che per ogni osservabile A si ha: v(a = T r{ˆρâ} = j p j ψ j  ψ j. Per gli stati puri ˆρ = ψ ψ il valore di aspettazione di una osservabile A si può esprimere nel seguente modo: v(a = ψ  ψ. D ora in poi consideriamo solo stati puri. 9
Misurabilità simultanea e principio di indeterminazione Vogliamo adesso richiamare alcune proprietà importanti degli operatori, che saranno utilizzate nel seguito della tesi. In generale, date due osservabili A e B non è detto che possano essere misurate simultaneamente. Con il termine misura simultanea si intende una misura fatta sullo stesso sistema. Questa possibilità è espressa matematicamente attraverso il concetto di commutazione tra gli operatori, autoaggiunti, che rappresentano le relative osservabile da misurare. Dati due operatori  e ˆB, se questi commutano, cioè se: [Â, ˆB] =  ˆB ˆB = 0 allora le due osservabili sono misurabili simultaneamente. Altrimenti, in generale, non è possibile una misura simultanea delle due []. Se due operatori con spettro puntuale puro commutano, è sempre possibile trovare una base ortonormale che sia un insieme di autovettori per entrambi. Per gli operatori che non commutano vale il Principio di indeterminazione di Heisenberg : ψ (  ψ ψ ( ˆB ψ ψ [Â, ˆB] ψ 4 dove ψ (  ψ è la dispersione e  =  ψ  ψ. Questa famosa disuguaglianza esprime un importante conseguenza fisica: non è mai possibile conoscere, perfettamente, il valore di due osservabili, relative a due operatori che non commutano.. Proiettori Una particolare classe di operatori sono i proiettori ortogonali. Questi sono molto importanti, in quanto sono proprio loro gli operatori che utilizzeremo nei teoremi trattati nella tesi. Il proiettore ortogonale è un operatore autoaggiunto dotato di spettro puntuale che possiede le seguenti proprietà: σ( ˆP = {0, }, dove σ( ˆP è l insieme dei suoi autovalori. 0
È un operatore idempotente: ˆP = ˆP. Quest ultima proprietà può essere sfruttata per dimostrare che gli autovalori sono proprio {0, } I proiettori rappresentano osservabili che hanno solo due valori 0 come risultato delle misure e per questo motivo sono dette osservabili 0. Data un osservabile 0 P, la probabilità che il risultato di una misura di questa osservabile sia coincide con il valore di aspettazione: v(p = P ( + P (00 = P (. In realtà le osservabili che verranno usate nella tesi hanno e come risultato delle misure; le chiameremo osservabili a due valori. Benché queste osservabili siano rappresentate da operatori autoaggiunti è sempre possibile ricorrere ad una trattazione basata sui proiettori. Infatti, data un osservabile A a valori e, ad essa possiamo associargli il proiettore: ˆP =  + ˆ. L operatore  è trasformato nel proiettore ˆP, che rappresenta un osservabile P alla quale possiamo attribuire lo stesso significato dell osservabile A, con la differenza che il suo spettro è {0,} anzichè {-, }. Inoltre, abbiamo scelto di utilizzare i proiettori per rappresentare le osservabili a due valori perché esistono delle relazione d ordine che questi rispettano e che saranno sfruttate nel corso della tesi.
.3 Relazioni d ordine e di probabilità Si consideri lo spazio di Hilbert H. Definiamo con E(H l insieme dei proiettori di H, dotato della seguente relazione d ordine parziale: ˆP ˆQ se ψ ˆP ψ ψ ˆQ ψ ψ H. In maniera equivalente, questa relazione può essere espressa nel seguente modo: ˆP H ˆQH. Nel caso in cui i due proiettori ˆQ e ˆP, per i quali vale la relazione d ordine parziale definita sopra, rappresentino due osservabili 0, allora possiamo affermare che: la probabilità che una misura dell osservabile P sia è minore, o al più uguale, alla probabilità che il risultato di una misura su Q sia. La relazione ˆP ˆQ è equivalente a ˆQ ˆP = ˆP. Da questa si può ricavare: ˆP ˆQ = ( ˆQ ˆP = ˆP = ˆP. Dove abbiamo sfruttato il fatto che gli operatori sono autoaggiunti. Come conseguenza di quanto trovato si ha: ˆP ˆQ [ ˆP, ˆQ] = 0. Consideriamo adesso due operatori autoaggiunti ˆP e ˆQ, i quali rappresentano osservabili che possono essere misurate simultaneamente: [ ˆP, ˆQ] = 0. Allora è possibile definire la seguente probabilità condizionata: p(p Q = T r(ˆρ ˆP ˆQ T r(ˆρ ˆQ.
Questa è la probabilità che si abbia come risultato della misura di P, sotto la condizione che sia il risultato della misura di Q. Nella tesi trattiamo solo stati puri, di conseguenza vale la seguente forma, per la probabilità condizionata: p(p Q = ψ ˆP ˆQ ψ ψ ˆQ ψ. Se p(p Q =, allora in una misura simultanea delle osservabili P e Q si ha che il risultato per l osservabile Q implica come risultato per la misura di P. Questo implica: ˆP ˆQ ψ = ˆQ ψ. Se si avesse la condizione ˆP ˆQ, allora: ˆP = ˆP ˆQ p(q P =, ˆP ψ = ˆP ˆQ ψ ψ H. Tra due osservabili vi è una correlazione perfetta se: ˆP ψ = ˆQ ψ p(p Q = p(q P = o p(p Q = p(q P = 0..4 Prodotto tensoriale su spazi di Hilbert In questo paragrafo del capitolo vogliamo introdurre il formalismo dell algebra tensoriale e alcuni concetti elementari, utili alla trattazione di più sistemi, indipendenti l uno dall altro. Consideriamo due sistemi fisici S e S, descritti da due spazi di Hilbert H e H. Lo spazio di Hilbert che descrive il sistema composto S + S è il prodotto tensore tra i due spazi, che singolarmente descrivono i singoli sistemi: H H. Si vuole sottolineare come questo formalismo è valido solo se i due sistemi sono indipendenti. Il prodotto tensore, noto anche come prodotto di Kronecker, tra due vettori di due spazi diversi, di dimensione M e N, è un vettore dello spazio prodotto cartesiano dei due spazi, che ha dimensione MN. 3
Definizione del prodotto tensore Uno spazio di Hilbert H è detto prodotto tensore di due spazi H,H se esiste un applicazione lineare : H H H, tale che: H { ϕ ψ : ϕ H, ψ H }. ( ϕ ψ ( ϕ ψ H = ϕ ϕ H ψ ψ H ( ϕ, ϕ H ; ( ψ, ψ H. Proposizione Se { ϕ k } e { ψ l } sono due basi ortonormali, rispettivamente dei due spazi di Hilbert H, H, allora { ϕ k ψ l } è una base ortonormale dello spazio H H. Siano  H, relativo ad un osservabile del sistema S, e ˆB H, relativo ad un osservabile del sistema S, due operatori autoaggiunti. È possibile definire anche per gli operatori il prodotto tensore, per estendere la loro azione sui vettori appartenenti allo spazio H H : ( ˆB ( ϕ ψ = ( ϕ ( ˆB ψ. Ora data un osservabile A, appartenente al sistema S, questa è rappresentata nel nuovo spazio dal seguente operatore:  =  ˆ dove ˆ è l operatore identità dello spazio H. Si vuole sottolineare che sia  che  rappresentano la stessa grandezza fisica, ma il secondo operatore esprime l appartenenza dell osservabile al sistema composto (per quanto, questa grandezza, caratterizzi sempre una sola parte del sistema totale che è S. 4
La stessa estensione si fa per le osservabili relative solo al sistema S : ˆB = ˆ ˆB dove ˆB è l operatore relativo ad un osservabile del sistema S e ˆ è l identità dello spazio S. Dati quattro operatori Â, Ĉ H ed ˆB, ˆD H, vale la seguente relazione: ( ˆB (Ĉ ˆD = ÂĈ ˆB ˆD. Si può subito ricavare il seguente caso particolare: ( ˆ (ˆ ˆB =  ˆB..5 Rappresentazione matriciale La rappresentazione matriciale è molto utilizzata nella meccanica quantistica. Questa ha un formalismo molto semplice, efficace e in molti casi garantisce calcoli meno pesanti nella risoluzione dei vari problemi che si possono incontrare. In quest ultimo paragrafo del capitolo, vogliamo mostrare la relazione che sussiste tra matrici, vettori colonna e riga con operatori, ket e bra. Per verificare che ad un operatore può essere associata una matrice, bisogna poter esprimere quest ultimo in funzione di una sommatoria dipendente da due indici. Introduciamo la seguente forma per l operatore identità: α H, α = i a i ( a i α α = ( a i a i α ˆ = i i a i a i dove { a i } è la base dello spazio di Hilbert H. Si verifica adesso che un operatore, generico, può essere espresso in funzione di una matrice dipendente da due indici:  = ˆÂˆ = ( a i a i  ( a j a j = i j i,j a i ( a i  a j a i, 5
a i  a j = c ij,  = i,j c ij a i a j. È possibile quindi associare ad un operatore una matrice e la relazione è biunivoca:  =. c c... c c...,..... c ij = a i  a j. È banale dimostrare che se la base utilizzata è definita dall insieme degli autovettori dell operatore, questo ha una matrice diagonale che lo rappresenta. Di seguito si mostrerà come applicare un operatore su un ket implica fare un prodotto matrice per vettore e che quindi il ket è rappresentabile con un vettore. Stessa cosa può essere ripetuta per i bra.  α = β a i  α = a i β = b i dove α e β sono due ket generici ed a i è un ket di base dello spazio. Sfruttando l identità, in questa equazione, si ottiene la relazione cercata: a i ˆ α = a i β k ( ai  a k a k α = b i k ( i,k α k = b i. Questo non è altro che un prodotto riga per colonna, che restituisce l i-esimo coefficiente del vettore colonna risultante. Si conferma l analogia tra i ket e i vettori colonna: α. = α α.. Per quanto riguarda i bra il ragionamento da seguire, per verificare che possono essere rappresentati da vettori riga, è analogo a quello appena usato per i ket. Si vuole concludere questa breve trattazione, che non certo voleva essere 6
esaustiva sull argomento, mostrando come il prodotto interno, tra bra e ket, sia un prodotto tra un vettore riga e un vettore colonna: α β = α ˆ β = j α a j a j β = j α jβ j α β =. ( α α... β β.. 7
Capitolo 3 Estensione delle correlazioni quantistiche Nella prima parte del capitolo vengono presentati due nuovi concetti, che esulano dalla formulazione della meccanica quantistica che abbiamo presentato nel capitolo precedente, che sono: il principio di località ed il criterio di realtà. Oltre a dare la definizione di questi principi si cerca di spiegarli e di rendere chiaro cosa implichi assumerli veri. Successivamente verranno analizzate le conseguenze di due diverse interpretazioni del criterio di realtà, una ampia e una stretta, le quali sono alla base delle due diverse estensioni delle correlazioni quantistiche che vengono ricavate in seguito. In particolare, l interpretazione del criterio di realtà è implicitamente adottata nei teoremi di non-località di GHSZ, Hardy e Bell. Mostreremo, quindi, la struttura logica utilizzata in tali teoremi per concludere l inconsistenza della M.Q. con le ulteriori assunzioni introdotte e sarà più chiaro perché sono chiamati teoremi di non-località. Nell ultimo paragrafo viene introdotto un formalismo adeguato, necessario per esprimere i concetti e i risultati ottenuti, in modo tale da fornire gli strumenti per l analisi dei teoremi. 3. Assunzioni e principi Presentiamo alcuni tra i più importanti principi della fisica, spiegando brevemente il loro significato. (L Principio di località. Siano R e R due regioni dello spazio-tempo che hanno una separazione di tipo spazio. Allora la realtà di R non subisce effetti dovuti ad operazioni eseguite in R e viceversa. 8
Praticamente, il principio di località afferma che: prese due regioni dello spazio-tempo che hanno una separazione di tipo spazio, allora qualunque fenomeno confinato in una regione non può causare effetti nell altra regione; tra i fenomeni includiamo le misurazioni. L altro principio, non meno importante, è il criterio di realtà. Una delle prime formulazioni la dettero Einstein, Podolski e Rosen, nell articolo del 935. In quest articolo si affermava che un teoria fisica oltre ad essere locale, cioè rispettare (L, deve essere reale. Con ciò, i tre autori, intendevano che per ogni elemento di realtà deve esistere un elemento nella teoria, che appunto lo rappresenta. Il criterio di realtà stabilisce una condizione sufficiente per l esistenza di un elemento di realtà. (R Criterio di realtà. Se, senza disturbare in alcun modo il sistema, siamo in grado di predire con certezza il valore di una quantità fisica, allora esiste un elemento di realtà corrispondente a quella quantità fisica. Nel corso della storia si è dibattuto molto sul criterio di realtà e sulle sue possibili interpretazioni. In questa tesi analizzeremo due interpretazioni: quella ampia e quella stretta. Un esperimento ideale [9] ci permetterà di illustrare le due diverse interpretazioni dell (R. Consideriamo un sistema composto S = S +S, dove S e S sono due sistemi non interagenti e tra i quali vi è una separazione di tipo spazio. Relative a due osservabili del sistema S, non misurabili simultaneamente, possiamo associare due operatori autoaggiunti, che non commutano, Â e ˆB che hanno autovalori non degeneri a n, b n e rispettivi autovettori ψ n, ϕ n. Analogamente, per il sistema S associamo due operatori ˆP e ˆQ, che non commutano, a due osservabili che non possono essere misurate simultaneamente. Gli autovalori non degeneri relativi a questi operatori sono p k, q k e gli autovettori sono u k, v k. Lo stato quantistico totale può essere espresso nel seguente modo: Ψ = n ψ n u n = k ϕ k v k. In questo modo, in accordo con la meccanica quantistica vale la seguente correlazione perfetta: se misuro l osservabile A (o B sul sistema S ottengo come risultato a j (o b j, di conseguenza il risultato di un eventuale misura sul sistema S di P (o Q sarà p j (o q j. Allora misurando A (o B siamo nella condizione di poter predire con certezza il valore dell osservabile P (o Q, senza disturbare il sistema S. Utilizzando il criterio di realtà EPR affermano nel primo caso che P è un elemento di realtà, mentre nel secondo caso che Q è un elemento di realtà. Il problema è che A e B non possono essere misurate simultaneamente, quindi la conclusione 9
di EPR è che la meccanica quantistica, non potendo descrivere la realtà simultanea di osservabili incompatibili è una teoria incompleta. Nel loro argomento, EPR interpretano il criterio di realtà nel modo seguente: (wr Interpretazione larga. È sufficiente la possibilità di compiere la misura su A (o B per predire il valore di una eventuale misura di P (o Q. Introduciamo adesso una diversa interpretazione del criterio di realtà: (sr interpretazione stretta. Per affermare che P (o Q è un elemento di realtà la misura di A (o B deve essere effettivamente eseguita. Solo in questo caso è realmente possibile la predizione. Vedremo come, nel seguito della trattazione, sarà cruciale la scelta di una delle due interpretazioni. Nei teoremi di Hardy, di GHSZ e di Bell passando dall interpretazione ampia del criterio di realtà a quella stretta non è più possibile dimostrare l inconsistenza della M.Q. con il principio di località. 3. Struttura logica generale Discutiamo, adesso, la metodologia utilizzata per affrontare lo studio e l analisi dei teoremi di Hardy, di GHSZ e di Bell. Un ruolo di cruciale importanza, nella struttura logica, è ricoperto dal criterio di realtà. Vediamo come possiamo estendere i risultati della meccanica quantistica utilizzando il principio di località e una delle due interpretazioni del criterio di realtà. Considerando validi (L e (wr, deduciamo la seguente affermazione logica: (EQC Estensione della correlazione quantistica. Date due regioni dello spazio-tempo R A e R B, tra le quali vi è una separazione di tipo spazio, consideriamo due osservabili A e B, rispettivamente appartenenti la prima a R A e la seconda a R B. Se la M.Q. predice correlazioni perfette, dato lo stato ψ del sistema, tra le misure effettivamente compiute, delle due osservabili, allora tutti i sistemi che si trovano nello stato ψ hanno valori oggettivi di A e di B che soddisfano queste correlazioni. 0
Formalizziamo questa implicazione attraverso la logica matematica: (L (wr (EQC. (3. I teoremi di Hardy, di GHSZ e di Bell, partendo da diverse ipotesi, puntano a dimostrare l inconsistenza tra (M.Q. e (EQC: [(M.Q. (EQC]. (3. Una volta che viene dimostrata la (3., si può affermare che almeno una tra (M.Q. e (EQC deve essere falsa. Ora, tutti i risultati sperimentali garantiscono la validità della (M.Q., che quindi non è messa in discussione. Di conseguenza si deve ritenere falsa (EQC. Partendo da (3. otteniamo il seguente risultato logico: (L (wr (EQC quindi (EQC [(L (wr]. (3.3 Nei teoremi in questione si preferisce salvare il criterio di realtà e, di conseguenza, si rinuncia alla validità del principio di località. È proprio per questo motivo che i teoremi di Hardy, di GHSZ e di Bell sono detti teoremi di non-località. Verificheremo che adottando l interpretazione stretta del criterio di realtà si ottiene un estensione stretta della correlazione quantistiche: (seqc. Partendo da questa nessuna contraddizione si genera tra la teoria quantistica e il principio di località. 3.3 Formalizzazione matematica In quest ultimo paragrafo vengono forniti gli strumenti matematici adeguati per affrontare i teoremi di GHSZ, di Hardy e di Bell, quindi, il formalismo che ci consente di mettere in relazione la teoria quantistica con i nuovi concetti introdotti.
Introduzione del formalismo In accordo con la teoria quantistica, ad ogni sistema fisico viene associato uno spazio di Hilbert H. Il vettore di stato ψ H identifica uno stato puro, che caratterizza il sistema. Ad ogni osservabile fisica è associato un operatore autoaggiunto. Dato un generico vettore di stato ψ definiamo il supporto S( ψ come un insieme, non vuoto, di sistemi fisici che sono nello stato ψ. Definito il supporto S( ψ, possiamo definire dei sottoinsiemi, relativi ad una osservabile generica a due valori A. Con A(S( ψ indichiamo l insieme dei sistemi sui quali è stata effettivamente eseguita la misura dell osservabile A. Definiamo due sottoinsiemi di A: A + (S( ψ è l insieme dei sistemi che presentano come risultato della misura, mentre A (S( ψ è l insieme dei sistemi che hanno ottenuto come risultato della misura. Vale la seguente relazione tra gli insiemi definiti in precedenza: A + A = A. Abbiamo visto, nella sezione precedente, che attraverso (R si può attribuire realtà alle osservabili fisiche (con delle limitazioni dettate da quale interpretazione si sceglie, quando valgono determinate ipotesi. Introduciamo con à l insieme dei sistemi che hanno oggettivamente il valore dell osservabile A senza essere misurati effettivamente. Possiamo, anche in questo caso, definire due sottoinsiemi, à + e Ã, in analogia a prima. Allora vale la seguente relazione: à = Ã+ Ã. Definiamo l insieme A nel seguente modo: A = A à A + = A + Ã+, A = A Ã. Infine introduciamo due applicazioni lineari: a : A (, e a : A (,.
{ se x A+ a(x =, - se x A a(x = { se x A+ - se x A. M.Q. e il nuovo formalismo Chiudiamo questo capitolo esprimendo i concetti introdotti fino adesso, attraverso il nuovo formalismo. Dalla meccanica quantistica, sappiamo che date due osservabili A e B è possibile una misura simultanea se e solo se gli operatori corrispondenti commutano. Esprimiamo questo concetto, della teoria quantistica, attraverso il nuovo formalismo: [Â, ˆB] = 0 ψ S( ψ t.c. A B. [Â, ˆB] 0 A B = S( ψ. Siano A e B due osservabili a due valori, confinate in due regioni R A e R B tra le quali vi è una separazione di tipo spazio; in formula: A B 3
Applicando il principio di località (L, alla situazione fisica appena definita, si ottiene: (L A B [Â, ˆB] = 0, quindi S( ψ t.c. A B. Consideriamo uno stato ψ per il quale valga la seguente correlazione A B: ogni qual volta si misura simultaneamente sia A che B allora se il sistema x (A B a(x = b(x = S( ψ. Equivalentemente valgono le seguenti formulazioni per questa correlazione: A B (A + B B + S( ψ, (B A A S( ψ, [a(x + ][b(x ] = 0 x A B. Supponiamo, adesso, di avere due osservabili a due valori A e B tali che: A B A B. Se si effettua una misurazione di A su un sistema x, allora è possibile fare una predizione nel caso in cui il risultato sia. Infatti, il principio di località (L garantisce che la misura di A non influenza la regione R B. Quindi, è possibile applicare (R per concludere che x B +. Esprimiamo quanto detto in formula: A B A B allora x A + x B +. (3.4 Osserviamo come l implicazione logica dipenda dal criterio di realtà. In questo caso va sottolineato che la misura dell osservabile A è stata realmente 4
effettuata (x A +. Utilizziamo, quindi, la (3.4 come definizione, nel nuovo formalismo, del criterio di realtà nella sua interpretazione stretta (sr. Questa forma rispetta la definizione data nella sezione precedente, in quanto se non venisse realmente eseguita la misura non si potrebbe affermare nulla. Analogamente diamo una definizione formale dell interpretazione ampia del criterio di realtà (wr: Se (A B (A B allora x A + x B +. (3.5 In accordo con quanto detto fino adesso, si possono portare avanti le seguenti considerazioni. Se vale A B A B allora applicando (sr troviamo il seguente risultato: A + B + B [a(x = b(x = x A B x A + ]. Viceversa se si effettua una misura di B e questa dà come risultato, allora applicando (sr si può affermare che x A. Questo implica che (B A A. Di conseguenza la correlazione a(x = b(x = è valida, anche, x B. Possiamo allora definire l estensione stretta delle correlazioni quantistiche (seqc, basata su (sr, attraverso il nuovo formalismo: (seqc Siano A e B due osservabili a due valori tali che A B A B, allora: (a(x + (b(x = 0 x (A + B (A B. (3.6 Nel caso si abbia uno stato ψ tale che valga la correlazione A B (cioè A B A B si ha, applicando (seqc, la seguente estensione del dominio di validità della correlazione: 5
x (A + B (B + A (A B = A B S( ψ. Analogamente a quanto fatto per (seqc, possiamo esprimere, attraverso il nuovo formalismo, (EQC. Logicamente in questo caso si utilizza il criterio di realtà nella sua interpretazione ampia : A B A B A + = B + A = B S( ψ. (3.7 Di solito, nei teoremi di non-località, si assume che A = S( ψ. Nella nostra trattazione, tale ipotesi, la considereremo aggiunta nella definizione della (EQC. Come si può immaginare questa assunzione è stata oggetto di molte critiche e dibattiti. Si cercherà di esplicare, con un banale esempio, cosa comporta accettare questa ipotesi. Consideriamo un insieme di sistemi, tutti nello stesso stato, ed una grandezza fisica. Ora, non importa che si misuri o meno questa grandezza, o che addirittura non ci sia la possibilità di misurarla, infatti, sicuramente, assumendo l ipotesi introdotta sopra, ogni sistema possiede un valore di questa grandezza, il quale appartiene ad un insieme di valori noti. Un esempio pratico può essere un sistema di due elettroni, nello stato di singoletto. Anche se non si misura lo spin dei due elettroni, si può concludere che questi hanno uno dei seguenti valori: (,, a meno di costanti. 6
Capitolo 4 Analisi dei teoremi di non località Dotati dell apparato concettuale introdotto finora, in questo capitolo affrontiamo un analisi formale dei teoremi di non-località di Hardy e di GHSZ. Brnchè la struttura logica sia la stessa, affrontiamo i due teoremi separatamente. Per ciascuno, introduciamo le ipotesi e la dimostrazione originale dell autore che assume l interpretazione ampia del criterio di realtà, esprimendola nel nuovo formalismo. Successivamente riformuliamo la dimostrazione, adottando l interpretazione stretta del criterio di realtà. Ne emerge che l inconsistenza tra la meccanica quantistica ed il principio di località, provata con (wr, in questo caso non è verificabile. Dall analisi di questi teoremi possiamo affermare che la teoria quantistica risulta essere o non essere una teoria locale in base a quale interpretazione del criterio di realtà viene adottata. 4. Teorema GHSZ Il teorema GHSZ prende il nome dalle iniziali dei suoi quattro autori: Greenberger, Horne, Shimony e Zeilinger. Presentiamo il teorema nella sua forma originale esprimendolo nel formalismo introdotto nel capitolo precedente. Verifichiamo che è possibile dimostrare l inconsistenza tra la meccanica quantistica e il principio di località utilizzando (EQC, mentre adottando (seqc alcuna contraddizione con la teoria quantistica ha luogo. Consideriamo sette osservabili a due valori, che vengono divise in quattro classi: 7
Γ A = {A α, A β }; Γ B = {B}; Γ C = {C α, C β }; Γ D = {D α, D β }. Queste osservabili sono scelte in modo tale che valgano le due seguenti ipotesi: Ogni classe è confinata in una regione dello spazio-tempo. Le quattro regioni hanno una separazione di tipo spazio l una con l altra. [Âα, Âβ ] 0, [Ĉα, Ĉβ ] 0, [ ˆD α, ˆD β ] 0. Inoltre, lo stato ψ quantistico del sistema viene scelto tale che valgano determinate correlazioni tra le misure delle osservabili. Riportiamo, di seguito, le correlazioni tra le osservabili: a α (xb(x = c α (xd α (x x (A α B (C α D α X. a β (xb(x = c β (xd α (x x (A β B (C β D α Y. a β (xb(x = c α (xd β (x x (A β B (C α D β Z. a α (xb(x = c β (xd β (x x (A α B (C β D β T. Un analoga rappresentazione formale di queste correlazioni è la seguente: A α B C α D α, A β B C β D α, A β B C α D β, A α B C β D β. Si assume, adesso, valida (EQC. Le correlazioni subiscono le seguenti estensioni dei domini per i quali valgono: a α (xb(x = c α (xd α (x a β (xb(x = c β (xd α (x a β (xb(x = c α (xd β (x a α (xb(x = c β (xd β (x x S( ψ. (4. I quattro autori, partendo dalla (4., dimostrano che sorge una contraddizione. Infatti, dato x S( ψ si ha utilizzando la prima e la quarta equazione della (4.: 8
c α (xd α (x = c β (xd β (x. (4. Ma, sempre dalle correlazioni (4. si può ricavare il seguente risultato: a β (xb(x = c β (xd α (x, a β (xb(x = c α (xd β (x c β (xd α (x = c α (xd β (x. Considerato che d β (xd β (x = d α (xd α (x =, si ottiene: c β (xd α (x = c α (xd β (x c β (xd α (xd β (xd β (x = c α (xd β (xd α (xd α (x c α (xd α (x = c β (xd β (x, (4.3 ottenuta dividendo la penultima per a α (xa β (x. La (4.3 risulta essere in contraddizione con la (4.. Quindi la M.Q., con le sue predizioni dovute alle correlazioni, e la (EQC sono inconsistenti. Di seguito mostreremo come adottando (seqc l argomentazione di GHSZ fallisce. Supponiamo, quindi, valida l estensione della correlazione quantistica nella sua forma stretta. Così facendo otteniamo delle diverse estensioni delle correlazioni quantistiche: a α (xb(x = c α (xd α (x x (A α B (C α D α X. a β (xb(x = c β (xd α (x x (A β B (C β D α Y. a β (xb(x = c α (xd β (x x (A β B (C α D β Z. a α (xb(x = c β (xd β (x x (A α B (C β D β T. (4.4 Ripercorriamo la stessa procedura di prima. Ricaviamo la (4. e stabiliamo per quali sistemi vale. Utilizzando la prima e la quarta equazione della (4.4 si ha proprio il risultato cercato, sotto una determinata condizione per i sistemi: c α (xd α (x = c β (xd β (x dove x (X T. 9
Necessariamente, affinché valga questa identità, deve succedere che: X T. Per ritrovare la contraddizione, come in precedenza, dobbiamo partire dalla seguente uguaglianza: c β (xd α (x = c α (xd β (x x Y Z. In questo caso, deve verificarsi che: Y Z. In definitiva per dimostrare la contraddizione, bisogna che le due condizioni trovate per i sistemi valgano contemporaneamente, cioè: x X Y Z T. Verifichiamo come le due condizioni non possono essere rispettate contemporaneamente, perché: X Y Z T =. Ricaviamo un identità utile per i conti successivi: = (A α B (A β B = (C α D α (C β D α = (C α D α (C α D β = (C α D α (C β D β = (C β D α (C α D β = (C β D α (C β D β = (C α D β (C β D β. Per trovare questo risultato abbiamo sfruttato la seguente proprietà: [Â, ˆB] 0 A B =. Adesso, utilizzando l elementare algebra degli insiemi ed esplicitando gli insiemi in questione, si dimostrerà che X Y Z T = : X Y Z T = { [(A α B (C α D α ] [(A β B (C α D α ] } 30
{ [(A β B (C α D β ] [(A α B (C β D β ] } = [ (A α B C β D α (A β B C α D α ] [ (A β B C β D β (A α B C α D β ] = [A α B C β D α A β B C β D β ] [A α B C β D α C α D β A α B] [C α D α A β B A β B C β D β ] [C α D α A β B C α D β A α B] = =. I domini di validità delle correlazioni (estese hanno intersezione nulla, di conseguenza la (4. e la (4.3 non possono valere simultaneamente. In conclusione, abbiamo verificato come adottando una forma più debole del criterio di realtà (sr si ottiene una estensione dei domini di validità tale che non vi è violazione del principio di località da parte della meccanica quantistica. 4. Teorema di Hardy La struttura logica del teorema di Hardy, che viene trattato in questo paragrafo, non si discosta affatto dal teorema di GHSZ. Anche la dimostrazione di Hardy viene riformulata nel nuovo formalismo. Questa sfrutta (EQC e quindi l interpretazione ampia del criterio di realtà ai fini di svelare l inconsistenza tra la meccanica quantistica ed il principio di località. Infatti, come già fatto per il teorema precedente, si verifica che nessuna contraddizione con la teoria quantistica ha luogo se si assume la forma stretta del criterio di realtà (sr. Consideriamo quattro osservabili a due valori: A α, B α, A β, B β. Scegliamo queste osservabili tali che rispettino determinate ipotesi. Le due osservabili A α e A β sono confinate in una regione R A, che ha una separazione di tipo spazio con la regione R B nella quale sono confinate le altre due osservabili B α e B β. Le ipotesi che rispettano queste osservabili sono le seguenti: 3
A α B α, A α B β, A β B α, A β B β. [Âα, Âβ ] 0, [ ˆB α, ˆB β ] 0. Lo stato ψ del sistema è tale che valgono le seguente correlazioni: A α B α, B α A β, A β B β. Per queste correlazioni è equivalente la forma seguente: (a α (x + (b α (x = 0 x (A α B α (b α (y + (a β (x = 0 x (B α A β (a β (x + (b β (x = 0 x (A β B β S( ψ. Inoltre, bisogna aggiungere un ulteriore condizione nella scelta dello stato ψ. Si vuole che la probabilità di ottenere, contemporaneamente, come risultato della misura dell osservabile A α e come risultato della misura dell osservabile B β non sia nulla: ψ (ˆ + Âα (ˆ ˆB β ψ 0. Esprimiamo questa condizione con un analoga affermazione logica, che risulta essere più chiara : S 0 ( ψ ( x 0 S 0 ( ψ [a α (x 0 = b β (x 0 = ] A α + B β. Ora, assumendo valida l interpretazione ampia del criterio di realtà, i domini di validità sono soggetti alla (EQC: (a α (x + (b α (x = 0 x (A α + B α (b α (x + (a β (x = 0 x (B+ α A β (a β (x + (b β (x = 0 x (A β + B β S( ψ. Osserviamo che le tre equazioni valgono contemporaneamente x (A α + B α (B+ α A β (A β + B β T. Sfruttando le correlazioni estese, si ottengono i seguenti risultati: 3
A α + B α + A β +, B β A β B α. Quindi A α + B β è un sottoinsieme di T, S(ψ. Di conseguenza tutte e tre le equazione hanno validità x (A α + B β. In particolare vale: (a α (x + (b β (x = 0. (4.5 Tutto questo ragionamento è indipendente dal supporto scelto. Allora, scelto S 0 ( ψ come supporto, si ottiene il seguente risultato: (a α (x + (b β (x = 4 x (A α + B β (A α + B β. (4.6 Questo risultato è in contraddizione con la (4.5, e prova l inconsistenza tra (EQC e la (M.Q.. Dimostriamo adesso, sostituendo (seqc con (EQC, che non si verifica la contraddizione ottenuta dall argomentazione di Hardy. Le correlazioni subiscono le seguenti estensioni: (a α (x + (b α (x = 0 x (A α + B α (A α B α X (b α (x + (a β (x = 0 x (A β B α + (A β B α Y (a β (x + (b β (x = 0 x (A β + B β (A β B β Z. (4.7 Le tre equazioni valgono contemporaneamente x X Y Z = K; perciò K è il dominio di validità della (4.5, quando si assume (seqc. Notiamo che: infatti i vari insiemi: K [(A α B α (A β B α (A β B β ] ; (A α B α (A β B α (A β B β = { [(A α B α A β ] [(A α B α ] B α ] } (A β B β 33
= [ (B α A β (A α B α B α] (A β B β { [(B α A β (A α B α B α ] A β} { [(B α A β (A α B α B α ] B β} = = (B α A β (B α A β = B α A β. Osserviamo come non nasca nessuna contraddizione con la (4.6. Infatti, il dominio di validità della (4.6 è A α + B β ; d altra parte per la (4.5 è valida sull insieme K; perciò, entrambe le equazioni valgono contemporaneamente sull intersezione (A α + B β K, ma: (A α + B β K (A α + B β (A β B α =. Non si ricava, quindi, la contraddizione trovata in precedenza. Anche nel teorema di Hardy, come in quello di GHSZ, se si adotta una interpretazione più debole del criterio di realtà non sorge nessuna inconsistenza e la meccanica quantistica risulta essere una teoria locale. 34
Capitolo 5 Teorema di Bell 5. Introduzione In questo capitolo tratteremo il teorema di Bell [3], uno dei più famosi teoremi di non-località. Per questo motivo, nonostante la metodologia per l analisi logica del teorema sia la stessa usata nei teoremi di Hardy e di GHSZ, abbiamo deciso, comunque, di dedicargli un capitolo a parte. Il teorema, pur conservando la struttura logica introdotta nel capitolo 3, possiede ulteriori ipotesi. Questo comporta una maggiore complessità e, di conseguenza, una diversa trattazione. In questa tesi riproponiamo il teorema in una forma rivisitata. Si è scelto di rinunciare all utilizzo di un argomentazione basata sulle variabili nascoste, che caratterizza l opera originale [3], conferendo al teorema una forma più snella, coerente e sopratutto priva di ambiguità. Ovviamente, siamo rimasti coerenti con lo schema logico utilizzato da Bell: partendo da determinate ipotesi dimostriamo la validità della disuguaglianza di Bell. Vogliamo sottolineare che questa disuguaglianza ha una validità generale, essa è ricavata, partendo da determinate ipotesi, attraverso deduzioni logiche, mantenendosi così indipendente da qualsiasi teoria fisica. Successivamente, introducendo la meccanica quantistica per la trattazione del sistema fisico, proveremo che vi è la violazione della disuguaglianza, quando si assume valida (EQC. Nella dimostrazione, dovremo adottare un ulteriore ipotesi, utilizzata da Bell nel suo lavoro originale e che è molto criticata. Infine mostreremo, come fatto per i teoremi di GHSZ e di Hardy, che adottando come interpretazione del criterio di realtà la forma stretta invece di quella ampia, la meccanica quantistica non viola la disuguaglianza. 35
5. Analisi del teorema Consideriamo sei osservabili a due valori: A α, A β, A γ, B α, B β, B γ. Alla base del teorema vi sono le seguenti ipotesi: Le osservabili A e B appartengono a due regioni dello spazio-tempo differenti, tra queste vi è una separazione di tipo spazio. In formula: A λ B µ, λ, µ {α, β, γ}. [Âλ, µ ] 0, [ ˆB λ, ˆB µ ] 0 se λ µ e con λ, µ {α, β, γ}. 3 Il vettore di stato ψ è scelto tale che valgano le seguenti correlazioni tra le osservabili: A α B α a α (x = b α (x x (A α B α S( ψ. (5. A β B β a β (x = b β (x x (A β B β S( ψ. (5. A γ B γ a γ (x = b γ (x x (A γ B γ S( ψ. (5.3 Consideriamo un insieme finito di sistemi Y = {x, x,..., x n }, tali che valgano le correlazioni (5. e (5.3. Ora dimostreremo che x k Y vale la seguente disuguaglianza (di Bell: aα b β a α b γ + aβ b γ (5.4 dove si è utilizzato il valore medio classico: a λ b µ = x k Y aλ (x k b µ (x k. N Tenendo conto che b β (x k b β (x k =, si ha: ( x k x k a α (x k b β (x k a α (x k b γ (x k 36 = ( a α (x k b β (x k b β (x k b γ (x k, x k
da cui: ( a α (x k b β (x k a α (x k b γ ( (x k = a α (x k b β (x k b β (x k b γ (x k x k x k x k ( a α (x k b β (x k b β (x k b γ. (x k x k Sfruttando, adesso, le seguenti osservazioni a α (x k b β (x k =, ( b β (x k b γ (x k 0 b β (x k b γ (x k = b β (x k b γ (x k, si ottiene: ( a α (x k b β (x k a α (x k b γ (x k b β (x k b γ (x k = + a β b γ. x k x k x k Nell ultimo passaggio della dimostrazione si è fatto uso della correlazione (5.. Vogliamo evidenziare, come già detto nell introduzione al capitolo, che la validità di questa disuguaglianza è generale. Non vi è, infatti, una dipendenza dalla meccanica quantistica, ma solo dall ipotesi alla base del teorema. Per adesso non si può affermare che vi è la violazione della disuguaglianza di Bell. Osserviamo come, a questo punto, la (5. e la (5.3 valgono simultaneamente x A β B β A γ B γ. Questo insieme, però, risulta essere l insieme vuoto S( ψ perché: [Âβ, Âγ ] 0, [ ˆB β, ˆB γ ] 0 37
Ora assumendo valida (EQC, le correlazioni definite nelle ipotesi del teorema subiscono la seguente estensione: a α (x = b α (x, a β (x = b β (x, a γ (x = b γ (x x S( ψ. (5.5 A questo punto della dimostrazione Bell assume, implicitamente, un ulteriore ipotesi, che come detto nell introduzione è molto contestata: FSA. Sia G un osservabile arbitraria, il campione Z G rappresenta fedelmente l intera popolazione di S( ψ. Il significato di questa assunzione è statistico. Infatti, quando si afferma che Z rappresenta fedelmente S( ψ, significa che i risultati statistici sul campione Z coincidono fedelmente con i risultati che si otterrebbero se il campione fosse, appunto, tutto S( ψ. Quest ulteriore ipotesi è possibile adottando (EQC, perché garantisce che tutti i sistemi di S( ψ posseggono un valore dell osservabile e che quindi ha senso parlare di statistica fatta sul supporto. Come conseguenza di questa assunzione il valore medio, fatto su un insieme limitato Y S( ψ, coincide con il valore di aspettazione che invece, come definito nel secondo capitolo, è il limite del valore medio per il numero dei sistemi che tende all infinito. Possiamo sostituire il valore medio con il valore di aspettazione, definito secondo la meccanica quantistica: a λ (x k b µ (x k N ψ Âλ ˆBµ ψ, x k per cui la disuguaglianza di Bell diventa: ψ Â α ˆBβ ψ ψ Â α ˆBγ ψ + ψ Â β ˆBγ ψ. (5.6 Per verificare la violazione della disuguaglianza di Bell, quando si utilizzano i valori d aspettazione quantistici, scegliamo un sistema fisico particolare. Si consideri un sistema formato da due elettroni. Il sistema totale è S T = 38
S + S e lo spazio di Hilbert associato è il seguente: H T = H H. Le sei osservabili a due valori sono gli spin degli elettroni. Di seguito sono riportati gli operatori di Pauli, per ogni sistema, con la loro rappresentazione matriciale (a meno di costanti che saranno utilizzati per definire esplicitamente gli operatori utilizzati nel teorema. Sistema S. ( ˆσ x. 0 =. 0 ( ˆσ y. 0 i = i 0 ( 0 ˆσ z. 0. Sistema S. ( ˆσ x. 0 =. 0 ( ˆσ y. 0 i = i 0 ( 0 ˆσ z. 0. Si è scelta come base, per ogni singolo spazio di Hilbert, quella che diagonalizza la matrice relativa all operatore ˆσ z i con i {, }. Lo stato scelto è quello di singoletto: ψ 0 = [ ], il che garantisce le correlazioni richieste nelle ipotesi del problema, nella sua forma generale. Come già detto, assumendo valida la FSA la disuguaglianza di Bell è data dall equazione (5.6: aα b β a α b γ +aβ b γ ψ 0 Â α ˆBβ ψ0 ψ0 Â α ˆBγ ψ0 + ψ0 Â β ˆBγ ψ0. 39