Argomenti e entinemi argomento: un argomento è un qualsiasi insieme di enunciati dei quali uno è la conclusione e gli altri le premesse. La conclusione è l' enunciato che viene affermato sulla base dell' affermazione degli altri enunciati, le premesse. Le premesse forniscono le ragioni per accettare la conclusione. tutti gli uomini sono animali tutti gli animali sono mortali tutti gli uomini sono mortali attenzione: (i) l'ordine delle premesse e delle conclusioni non ha importanza; (ii) alcune premesse possono non essere espresse. In tal caso l'argomento si chiama "entinema"). Il seguente argomento è un entinema: Il ministero della sanità dovrebbe vietare la vendita delle sigarette; Infatti il fumo nuoce alla salute. Una volta che esplicitiamo tutte le premesse, l'argomento diventa: Se qualcosa nuoce alla salute, allora il ministero della sanità dovrebbe vietarne la vendita. Se le sigarette nuociono alla salute, allora il ministero della salute dovrebbe vietarne la vendita. Le sigarette nuociono alla salute. Il ministero della sanità dovrebbe vietare la vendita delle sigarette. ARGOMENTI: DEDUTTIVI e INDUTTIVI (i) un argomento deduttivo è un argomento tale che le sue premesse sono usate per fornire un totale e definitivo fondamento della verità della sua conclusione. (ii) un argomento induttivo è un argomento tale che le sue premesse sono usate per giustificare la verità della sue conclusione sono in una certa misura. Esempi: Argomento deduttivo: Se Mario è un calciatore, allora Mario è ricco Mario è un calciatore Mario è ricco
Argomento induttivo: Giovanni è genovese ed è burbero Maria è genovese ed è burbera Antonio è genovese Antonio è burbero Virtù degli argomenti deduttivi: (i) validità: un argomento deduttivo è valido se e solo se non si può dare il caso che la conlcusione sia falsa se le premesse sono vere. Esempio: Se Milano è in Lombardia, allora Milano è la capitale d'italia Milano è in Lombardia Milano è la capitale d'italia (ii) correttezza: un argomento deduttivo è corretto se e solo se è valido e le sue premesse sono vere. Esempio: Tutti gli uomini sono mortali Marco è un uomo Marco è mortale virtù degli argomenti induttivi: (ii) cogenza: un argomento induttivo è cogente se e solo se se le sue premesse sono vere allora è molto probabile che la sua conclusione sia vera. Esempio: Il 90% dei Siciliani sono biondi Lucia è siciliana Lucia è bionda (ii) correttezza: un argomento induttivo è corretto se e solo se è cogente e ha le premesse vere. Esempio: La maggior parte dei senegalesi hanno gli occhi scuri Serigne è senegalese Serigne ha gli occhi scuri FALLACIE una fallacia è un argomento che può sembrare virtuoso ma non lo è: (i) un insieme di enunciati che sembrano un argomento ma non sono un argomento; (ii) un argomeno deduttivo che sembra valido ma non è valido;
(iii) un argomento deduttivo che sembra corretto ma non è corretto; (iv) un argomento induttivo che sembra cogente ma non è cogente; (v) un argomento induttivo che sembra corretto ma non è corretto. In quanto segue ci occupiamo di argomenti deduttivi. Vogliamo individuare gli inganni che usano argomenti deduttivi, ovvero inganni che usano fallacie di tipo (ii) e (iii). La logica ci aiuta a svelare gli inganni di questo tipo. La logica è lo studio della validità degli argomenti. Più precisamente la logica è lo studio del nesso di conseguenza logica. La conseguenza logica è il nesso che sussiste tra le premesse e la conclusione di un argomento valido. Si tratta del nesso per cui è impossibile che la conclusione sia falsa se le premesse sono vere. Da cosa dipende il nesso di conseguenza logica? Non dipende dal valore di verità che di fatto hanno gli enunciati che formano l'argomento. Quindi, non dipende neppure dal loro contenuto (dato che il valore di verità posseduto di fatto da un enunciato dipende, almeno in parte, dal suo contenuto). Il nesso di conseguenza logica dipende dalla forma logica delle premesse e della conslusione. CHE COSA E LA FORMA LOGICA? Per comprendere che cosa è la forma logica occorre introdurre la nozione di formalizzazione. La formalizzazione è il processo con cui sostituiamo alcune parti di un enunciato con espressioni che non hanno un contenuto; esse funzionano come "segna posti" che indicano che in quel punto dell'enunciato possiamo inserire espressioni di un certo tipo. La forma logica è ciò che rimane di un enunciato alla fine del processo di formalizzazione. Distinguiamo la logica proposizionale dalla logica dei predicati a seconda del tipo di formalizzazione che operiamo. In quanto segue ci occuperemo di LOGICA PROPOSIZIONALE. Nella l. proposizionale la formalizzazione procede sostituendo tutti gli enunciati semplici conservando però quelle espressioni che consentono di costruire gli enunciati complessi a partire dagli enunciati semplici. Queste espressioni sono la negazione, la congiunzione, la disgiunzione, il condizionale.
Il linguaggio della logica proposizionale è il seguente: (i) un insieme di lettere proposizionali {p, q, r, s } (ii) l'insieme dei connettivi {~,,, } (iii) un insieme di parentesi {(, )} esempi L'enunciato "Mario corre" è un enunciato semplice, poiché in esso non occorre alcun connettivo. Quindi, il processo di formalizzazione consiste nel sostituirlo con una lettera proposizionale: p L'enunciato "Mario non corre" è formato da un enunciato semplice "Mario corre" più la negazione "non" ("~"). Il processo di formalizzazione consiste nel sostituire l'enunciato con una lettera proposizionale e nell'anteporre ad essa il connettivo "~": ~ p L'enunciato "Mario corre e Anna è seduta" è formato da due enunciati semplici "Mario corre" e "Anna è seduta più la congiunzione "e" (" "). Il processo di formalizzazione consiste nel sostituire i due enunciati semplici con due lettere proposizionali e nel congiungerli con il connettivo " ": p q L'enunciato "Mario corre o Anna è seduta" è formato da due enunciati semplici "Mario corre" e "Anna è seduta" più la disgiunzione "o" (" "). Il processo di formalizzazione consiste nel sostituire i due enunciati semplici con due lettere proposizionali e nel congiungerli con il connettivo " ": p q L'enunciato "se Mario corre allora Anna è seduta" è formato da due enunciati semplici "Mario corre" e "Anna è seduta più il condizionale "se allora" (" "). Il processo di formalizzazione consiste nel sostituire i due enunciati semplici con due lettere proposizionali e nel collegarli con il connettivo " ": p q Non vi è limite alla complessità degli enunciati che si possono formalizzare. I connettivi si possono applicare ricorsivamente. Esempio: si può applicare la congiunzione a due enunciati p e q, ottenendo p q. Si può applicare la congiunzione a ciò che abbiamo ottenuto e ad un terzo enunciato r, ottenendo (p q) r. Si può applicare la negazione a ciò che abbiamo appena ottenuto: ~((p q) r). Si può applicare la disgiunzione a ciò che abbiamo ottenuto e ad un quarto enunciato s, ottenedo (~((p q) r) s).
Si può applicare il condizionale a ciò che abbiamo ottenuto e ad un quinto enunciato t, ottenendo: (~((p q) r) s) t. Si può applicare la negazione a t ottenendo: (~((p q) r) s) (~t) Si può applicare la congiunzione al conseguente del condizionale e a un sesto enunciato u, ottenendo: (~((p q) r) s) ((~t) u). E così via. Tavole di verità Negazione ~ p ~p V F F V Congiunzione P q p q V V V V F F F V F F F F Disgiunzione p q p q V V V V F V F V V F F F Condizionale p q p q V V V V F F F V V F F V Il connettivo bicondizionale " " (= se e solo se) si definisce con il condizionale e la congiunzione. L'enunciato "p q" ha la stessa tavola di verità dell'enunciato "((p q) (q p))"
p q ((p q) (q p)) V V V V V V V V V V F V F F F F V V F V F V V F V F F F F F V F V F V F Spegazione: la tavola di verità del bicondizionale " " è data dalla colonna in rosso sotto la congiunzione " ". Il connettivo principale dell'enunciato ((p q) (q p)) è la congiunzione, che a sua volta congiunge due condizionali. Occorre calcolare prima il valore dei due condizionali e poi il valore della loro congiunzione. Si incomincia riportando (in verde) i valori assegnati a "p" e "q" nelle prime due colonne (in nero) (abbiamo 4 possibili combinazioni perché l'enunciato è composto da due soli enunciati semplici, che sono "p" e "q". In generale, la regola è che si hanno 2 n possibilità per n enunciati semplici). Poi si calcolano (in giallo) i valori dei due condizionali applicando la tavola di verità di " " (ai valori in verde). Infine, si calcolano (in rosso) i valori di " " (applicando la tavola della congiunzione ai valori in giallo). La colonna in rosso fornisce i valori della tavola di verità dell'enunciato "((p q) (q p))". La disgiunzione esclusiva "+" (ovvero la disgiunzione nel senso di "aut" per cui la disgiunzione è vera se e solo se solo uno dei due disgiunti è vero) si definisce come la negazione del bicondizionale. L'enunciato "p+q" ha la stessa tavola di verità dell'enunciato ~(p q) p q ~ (p q) V V F V V V V F V V F F F V V F F V F F F F V F Spiegazione: si riportano (in verde) i valori della 4 possibili combinazioni di valori assegnati agli enunciati semplici che occorrono nell'enunciato complesso ~(p q). Si applica ai valori così riportati la tavola di verità del bicondizionale (ottenendo i valori in giallo). Ai valori del bicondizionale si applica la tavola di verità della negazione (in rosso). La colonna in rosso fornisce i valori della tavola di verità della disgiunzione esclusiva "+". Tautologia: Si definisce una tautologia un enunciato la cui tavola di verità assume valore V in tutte le righe, ovvero per tutte le combinazioni di valori assegnati agli enunciati semplici. Esempio di tautologia: (~((p q) r)) (q ~(p q)) p Q r (~ ((p q) r)) (q ~ (p q)) V V V F V V V V V V V V F V V V V V F V V V V F F V V V F V V V
V F V F V F F V V V F V V V F F V F F F V F F V F V F V V V F F F V V F F F V V V V V V V F F V F V F F F F V V F V V V V F F V F F V F F F F V V V F V V F F F F F F F F F F V F V F V V F F F Spiegazione: l'enunciato è un condizionale. L'antecedente è la negazione di un condizionale che ha la congiunzione di "p" e "q" come antecedente e "r" come conseguente. Il conseguente è la disgiunzione di "q" e la negazione della congiunzione di "p" e "q". Si devono calcolare i valori dell'antecedente e i valori del conseguente e poi applicare la tavola di verità del condizionale. Antecedente: si riportano in verde i valori degli enunciati semplici; si calcolano in giallo i valori della congiunzione di "p" e "q"; si calcolano in blu i valori del condizionale che ha la congiunzione di "p" e "q" come antecedente e "r" come conseguente; si calcolano in viola i valori della negazione del condizionale. Conseguente: si riportano in verde i valori degli enunciati semplici; si calcolano in giallo i valori della congiunzione di "p" e "q"; si calcolano in blu i valori della negazione della congiunzione; si calcolano in viola i valori della disgiunzione di "q" e la negazione della congiunzione di "p" e "q". Infine, si calcolano in rosso i valori del condizionale applicando la tavola di verità di " " alle colonne in viola. La colonna in rosso ha tutti valori V, quindi l'enunciato "(~((p q) r)) (q ~(p q))" è una tautologia. Test di validità per gli argomenti formalizzati con il linguaggio della logica proposizionale: Dato un argomento, lo si formalizza con il linguaggio della logica proposizionale, poi si costruisce il condizionale che ha la congiunzione delle premesse dell'argomento come antecedente e la conclusione dell'argomento come conseguente. Infine, si testa se il condizionale così ottenuto è una tautologia. Se è una tautologia, allora l'argomento è valido, altrimenti l'argomento non è valido. Esempio Se Maria è a Genova, allora è in Italia. Poiché Maria è a Genova, Maria è in Italia. L'argomento è costituito da due enunciati semplici: "Maria è a Genova" e "Maria è in Italia". Li formalizziamo con "p" e "q". L'argomento ha due premesse: il condizionale "p q" e "p". La conclusione è "q". Costruiamo il condizionale che ha la congiunzione di "p q" e "p" come antecednete e "q" come conseguente. Verifichiamo se il condizionale "(p q) p" è una tautologia applicando il metodo delle tavole di verità. p Q ((p q) p) q
V V V V V V V V V V F V F F F V V F F V F V V F F V V F F F V F F F V F Schemi di argomenti validi Modus ponens modus tollens A B A B A ~B B ~A Schemi di argomento invalidi Negazione dell'antecedente Affermazione del conseguente A B A B ~A B ~B A La negazione dell'antecedente e l'affermazione del conseguente sono schemi di argomenti invalidi, ma sono fallaci poiché la loro somiglianza con il modue ponens e il modus tollens può trarci in inganno. Un 'altra fallacia è il falso dilemma A B ~A B Questa volta l'inganno consiste nell'utilizzare uno schema di argomento valido con una premesa falsa. Dunque, l'argomento che si ottiene risulta valido ma non corretto. Esempio Approvi la guerra di Bush o sei un terrorista. Dato che non approvi la guerra di bush, sei un terrorista. La disgiunzione che appare come prima premessa nell'argomento può essere falsa. Si può essere in disaccordo con l'intervento militare comandato da di Bush in Iraq senza per questo appoggiare la strategia degli attentati. L'affermazione del conseguente e la negazione dell'antecedente sono fallacie del tipo (ii), poiché sono argomenti deduttivi invalidi che però sembrano validi. Il falso dilemma è una fallacia del tipo (iii) poiché è un argomento deduttivo che sembra corretto ma non lo è.