Basi di numerazione, sistema binario, insiemi

Numerazione in basi alternative Basi di numerazione, sistema binario, insiemi frattali 1 Numerazioni alternative Consideriamo un generico numero intero positivo, per esempio X = 763. X = 7 10 2 + 6 10 1 + 3 10 0 Se pero la base di numerazione non fosse 10, ma 9, la rappresentazione 763 porterebbe al numero 7 9 2 + 6 9 + 3 = 624 ( espresso in base 10 ). Come esprimere 763 (in base 10) nella base 9? O in qualsiasi altra base? Procedimento per divisioni: 763 : 9 = 84, resto 7; ultima cifra a destra =7. 84 : 9 = 9, resto 3; penultima cifra a destra =3. 9 : 9 = 1, resto 0; terz ultima cifra a destra =0. 1 : 9 = 0, resto 1; prima cifra=1 Conclusione: 763 9 = 1037. Infatti: 7 9 0 + 3 9 1 + 0 9 2 + 1 9 3 = 763 (in base 10). Come si rappresenta il numero 763 in base 2 (cioe solo con 0 e 1?) Stessa procedura, ma piu lunga...): 1

763 : 2 = 381, resto 1; 381 : 2 = 190, resto 1; 190 : 2 = 95, resto 0; 95 : 2 = 47, resto 1; 47 : 2 = 23, resto 1; 23 : 2 = 11, resto 1; 11 : 2 = 5, resto 1; 5 : 2 = 2, resto 1; 2 : 2 = 1, resto 0; 1 : 2 = 0, resto 1. Riportiamo tutti i resti da dx a sx: 1011111011. Infatti: 1+1 2+0 4+1 8+1 16+1 32+1 64+1 128+0 256+1 512 = 763 2 Creazione di codici Le rappresentazioni in basi diverse da 10 permettono di codificare dei messaggi in maniera da renderli praticamente indecifrabili, se non si conoscono le chiavi (cioe, le basi) usate per la codifica. Per esempio, supponiamo di voler crittografare la parola grillo: sostituendo ogni lettera con il suo numero d ordine nell alfabeto italiano, troveremo il numero 7169101013. Ora possiamo divertirci a rappresentare questo numero in base 7: fatti i conti, troviamo 342441232064. Riportiamo ora questo numero (letto come se fosse in base 10) alla base 9: si trovera 1181808530058. Ancora, leggendo questo numero come se fosse in base 10, puo essere riportato alla base 7: 151245213521352. Ora, se si riceve questo numero come messaggio, e non si sa nulla delle basi utilizzate per ricavarlo, sara piuttosto difficile ricuperare da qui il numero originario 7169101013 e di conseguenza la parola grillo. I moderni strumenti di codifica sono naturalmente molto piu sofisticati, e usano come basi dei numeri di almeno 14 cifre, per cui diventa estremamente difficile andare per tentativi: e questo rende abbastanza sicure le trasmissioni telematiche anche di dati riservati riguardanti per esempio conti bancari, prodotti industriali, obiettivi militari etc. 2

A titolo di esercizio, proponiamo un piccolo enigma: usando lo stesso procedimento di codifica descritto prima, con le basi 7,9,7 nello stesso ordine, abbiamo codificato un messaggio di tre parole. Il messaggio codificato é il seguente: 20646353514 3000401561 560642362. Procedendo a ritroso, si decifri la frase originale. 3 Rappresentazioni di numeri positivi minori di 1 Sia x [0, 1] (per es. x = π 4 ). In base 10, x ha una rappresentazione del tipo x = 0.a 1 a 2 a 3..., ove ciascuna cifra a i e un numero intero compreso fra 0 e 9. Per es. Questa scrittura significa che π 4 = 0.7853981635... π 4 = 7 10 + 8 10 + 5 2 10 + 3 3 10 + 9 4 10 + 8 5 10 + 1 6 10 + 6 7 10 + 3 8 10 + 5 +... 9 10 10 Possiamo rappresentare lo stesso numero in una base k diversa da 10, usando solo cifre comprese fra 0 e k 1: per esempio, si potrebbe scrivere il numero π 4 in base 2, usando solo le cifre 0 e 1. Per fare cio, dividiamo [0, 1] nei due sottointervalli [0, 1 2 ] e [1 2, 1]. Certamente π 4 appartiene a uno dei due: quello di destra. Allora prendiamo come prima cifra decimale il numero 1. (Se invece il nostro numero fosse nell intervallo di sinistra (come per es. π 8 ) avremmo scelto come prima cifra 0). 3

Per individuare la seconda cifra, dividiamo in due parti l intervallo che conteneva il nostro numero (nel nostro caso l intervallo [ 1 2, 1] verrebbe suddiviso in [ 1 2, 3 4 ] e [3 4, 1]), e vediamo in quale dei due cade π 4 : ancora quello di destra (sia pure per poco). Allora la seconda cifra decimale e ancora 1 (sarebbe stata 0 nell altro caso). Se proseguiamo cosi, ci accorgiamo che la terza cifra e 0, in quanto, tra gli intervalli [ 3 4, 7 8 ] e [7 8, 1], quello che contiene il nostro numero é il primo. Continuando in questo modo, scopriamo via via tutte le cifre decimali in base 2 del numero π 4 : le prime 12 sono 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0. Un discorso analogo si puo fare per la rappresentazione dei numeri in base 3. Per rappresentare un generico numero x ]0, 1[ in base tre, intanto si divide [0, 1] in tre sottointervalli tramite i punti di suddivisione 1 3 e 2 3, indi si controlla in quale dei tre cade x: se cade in [0, 1 3 [, la prima cifra e 0, se x [ 1 3, 2 3 [, allora la prima cifra e 1, e nel terzo caso la prima cifra e 2. Per determinare la seconda cifra, si divide in tre parti il sottointervallo ove cade x, e si procede come prima: se x sta nel primo intervallo (da sinistra), la seconda cifra e 0, se cade nel secondo intervallo la seconda cifra e 1, altrimenti sara 2. Se procediamo cosi, avremo anche la rappresentazione di π 4 in base 3: le prime 21 cifre sono 2, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 1... Un procedimento pratico per trovare la rappresentazione di un numero frazionario positivo x (in qualunque base a) é il seguente: intanto si separa la parte intera di x (cioe quella che precede la virgola) da quella decimale, e si rappresenta la parte intera con il metodo detto 4

prima. Per quanto riguarda la parte decimale, che e un numero y compreso fra 0 e 1, si inizia naturalmente con 0, e poi si moltiplica y per a: il risultato e certamente compreso fra 0 e a, e la parte intera di questo risultato (compresa fra 0 e a 1) e la prima cifra decimale, da scrivere a destra di 0. Chiamiamo con y 1 questa cifra, e continuiamo; per trovare la seconda cifra, sostituiamo y con y ay 1 : questo e di nuovo un numero compreso fra 0 e 1, e quindi, moltiplicato per a, fornisce un risultato (ay a 2 y 1 ) compreso fra 0 e a, e la parte intera di questo prodotto e la seconda cifra decimale, da affiancare alla destra di y 1. Detta y 2 tale cifra, si sostituisce y ay 1 con y 1 ay 2, e si procede come prima. Dopo alcuni passi, avremo trovato y = 0.y 1 y 2 y 3...y k, in modo che la quantita y ay 1 a 2 y 2 a 3 y 3... a k y k, se moltiplicata per a k+1, dia un risultato compreso fra 0 e a. Facciamo un esempio pratico: rappresentiamo il numero 2π in base 5, fino alla quinta cifra dopo la virgola. Intanto, scriviamo π nella sua rappresentazione decimale usuale: 2π = 6.2831853071... e separiamo la parte intera (6) dalla parte decimale, 0.2831853071... La parte intera si rappresenta in base 5 con la scrittura 11, cioe 1 + 1 5. Dunque la rappresentazione di 2π in base 5 inizia con 11,, e prosegue poi dopo la virgola con la rappresentazione della parte decimale (che tecnicamente prende il nome di mantissa). Per rappresentare la mantissa prima di tutto la si moltiplica per 5: 0.2831853071... 5 = 1.4159265359... 5

Il numero trovato ha come parte intera 1, e quindi scriveremo 1 come prima cifra dopo la virgola. Ora, si prende in esame la mantissa dell ultimo numero trovato, cioe 0.4159265359..., e la si moltiplica di nuovo per 5: 0.4159265359... 5 = 2.079632680... La parte intera di questo numero é 2, e allora 2 é la seconda cifra dopo la virgola. Andando avanti, troveremo 079632680 5 = 0.3981634, numero che ha 0 come parte intera, e quindi la terza cifra dopo la virgola sara 0. Ancora, abbiamo.3981634 5 = 1.990817, e ora 1 e la parte intera: la quarta cifra dopo la virgola e 1. Terminiamo con la quinta cifra: si ha 0.990817 5 = 4.954085, quindi la quinta cifra e 4. Dunque, la rappresentazione di 2π in base 5 inizia cosi : 11, 12014... Ora, se svolgiamo il calcolo: 1 5 1 + 1 5 0 + 1 5 1 + 2 5 2 + 0 5 3 + 1 5 4 + 4 5 5 troviamo come risultato 6.28288, abbastanza vicino al valore preciso di 2π. La rappresentazione decimale dei numeri frazionari, in qualsiasi base venga effettuata, presenta il problema di riconoscere il numero 6

originario a partire dalla sequenza di cifre che lo rappresentano: per esempio, la rappresentazione 020202020202...in base 3 a che numero corrisponde? A questo tipo di domanda si puo trovare risposta solo in certi casi: se il numero rappresentato e razionale, allora la cosa e possibile, in qualsiasi base, altrimenti una regola vera e propria non c e. Questo perche qualsiasi numero razionale ha una rappresentazione decimale finita o periodica. Per esempio, il numero razionale 1 4 ha una rappresentazione finita in base 10: 1 4 = 0.25, ma ha una rappresentazione periodica in base 3: ( 1 4 ) 3 = 0.020202... ((basta seguire il procedimento precedente). Viceversa: se un numero frazionario x ha, in base 9, la rappresentazione periodica: x 9 = 0.1277777..., chi e in realta x? La risposta si ottiene analizzando il significato dell espressione x 9 = 0.1277777... e calcolando una somma infinita: l espressione significa infatti Ora, l addizione 1 9 + 2 81 x = 1 9 + 2 81 + 7 9 3 + 7 9 4 + 7 9 5... 11 e presto fatta, e il risultato e 81. Per l altra somma, che invece e infinita, si puo usare la formula + n=0 q n = 1 1 q, valida per ogni numero reale q che sia strettamente compreso fra 0 e 1. Se si vuole dimostrare questa formula (supponendo gia di sapere 7

che la somma infinita ha un risultato finito), si puo procedere cosi : detto S il valore incognito della somma, avremo S = 1 + q + q 2 +... = 1 + q(1 + q + q 2 +...) = 1 + qs. Da cio, si deduce subito (1 q)s = 1 e quindi facilmente S = 1 1 q. Per esempio, se q = 1 2, allora S = 2; se q = 1 3, allora S = 3 2 ; se q = 1 4, S = 4 3...Insomma, se q = 1 n allora S = n n 1. Quindi, se dobbiamo calcolare la somma 7 9 3 + 7 9 4 + 7 9 5..., possiamo mettere in evidenza il termine 7 9 3, e poi scrivere 7 9 3 + 7 9 4 + 7 9 5... = 7 9 3 + n=0 ( 1 9 )n : Applicando la formula troviamo allora 7 9 3 + 7 9 4 + 7 9 5... = 7 9 3 9 8 = 7 648. In conclusione, il nostro numero frazionario x non e altro che x = 11 81 + 7 648 = 95 648. Se esprimessimo questo numero in forma decimale (in base 10), avremmo un altra espressione periodica: x =.146604938271604938271604938271604938271... 4 Frattali La numerazione in base 3 fornisce un primo strumento per generare frattali, e in effetti il primo insieme frattale, il piu semplice: 8

L insieme di Cantor L insieme di Cantor, denotato con C, e definito come l insieme di quei numeri, in [0, 1], la cui rappresentazione ternaria non contiene alcun 1. Descrizione Come sono fatti i numeri x che stanno in C? Poiche la prima cifra decimale non e 1, allora x sta in [0, 1] [ 1, 1]. Dunque 3 3 C [0, 1 3 ] [1 3, 1]. Ora, se x si trova in [0, 1 ], la condizione che la seconda cifra decimale di x non e 3 1 comporta che x sta in [0, 1] oppure in [ 2, 1]; mentre, se invece x si trova in [ 2, 1], la 9 9 3 3 condizione sulla seconda cifra decimale comporta che x sta in [ 2, 7] oppure in [ 8, 1]. 3 9 9 Pertanto, riassumendo C [0, 1 9 ] [2 9, 1 3 ] [2 3, 7 9 ] [8 9, 1]. O anche C [0, 1 9 ] [2 9, 3 9 ] [6 9, 7 9 ] [8 9, 1]. Passando ora alla terza cifra, vediamo che, ragionando allo stesso modo, si ottiene C [0, 1 27 ] [ 2 27, 3 27 ] [ 6 27, 7 27 ] [ 8 27, 9 27 ] [18 27, 19 27 ] [20 27, 21 27 ] [24 27, 25 27 ] [26 27, 1]. Frattali piu evidenti si possono costruire in due (o piu ) dimensioni. Per esempio, il Triangolo di Sierpinski, denotato con T, si puo costruire nel quadrato [0, 1] 2, escludendo quelle coppie di numeri che, nelle loro rappresentazioni binarie, hanno entrambi la cifra 1 nella stessa posizione decimale. In altri termini, per trovare T si deve dividere il quadrato [0, 1] 2 in quattro quadrati di area 1 4 ciascuno, e si deve escludere il quadrato in alto a destra; successivamente, ciascuno dei tre quadrati rimanenti si deve dividere in 4 quadrati di area 1, e di questi si deve escludere quello situato in alto a destra; e cosi via, all infinito. 16 9

5 Il campo Z 2 Come abbiamo visto, ogni numero intero o frazionario puo essere espresso mediante la rappresentazione binaria, ossia mediante una sequenza di 0 e 1 (con una virgola se necessario a dividere la parte intera dalla mantissa). Se occorre, anche le operazioni tra i numeri si possono svolgere direttamente sulle loro rappresentazioni binarie, pur di fare attenzione a certe regole. Per esempio, se devo fare la somma 5 + 7, posso esprimere 5 e 7 in base 2, ottenendo rispettivamente 101 e 111, e poi posso fare l addizione mettendo i numeri in colonna e seguendo formalmente le regole per l addizione in colonna: ma, poiche non possiamo scrivere numeri diversi da 0 e 1, quando ci troviamo a sommare nella prima colonna da destra 1 + 1, dobbiamo ottenere 10, e quindi si scrive 0 e si riporta 1. Passando alla seconda colonna, bisogna fare 0 + 1, e aggiungere il riporto di 1: ancora troviamo come risultato 10, e scriviamo 0 riportando 1. Arrivati alla terza e ultima colonna da destra, dobbiamo sommare 1 + 1 + 1 (compreso il riporto), e il risultato va scritto 11. Questo si affianca ai due zeri scritti a destra e si ottiene il risultato in forma binaria: 1100 é proprio l espressione binaria di 12. Il computer lavora esattamente cosi : ogni volta che impostiamo la somma tra due numeri, essi vengono trasformati nelle loro rappresentazioni binarie, e queste poi vengono sommate con le regole dette prima. Alla fine, la sequenza binaria trovata come somma viene ritrasformata nel numero reale che essa rappresenta. Facciamo un altro esempio: vogliamo calcolare la somma tra 15 e 29. A tale scopo, scriviamo i due numeri nella loro forma binaia, e mettiamoli in colonna: avremo 1 1 1 1 + 1 1 1 0 1 = Procedendo come abbiamo detto prima, la prima colonna da destra fornisce 0, con riporto. La seconda fornisce 0, e il riporto. La terza fornisce 1 e il riporto, e cosi la quarta. L ultima colonna da 10 come risultato, che si affianca alle cifre precedenti, e il risultato finale e 101100, cioe 4 + 8 + 32 = 44. Naturalmente esistono analoghe regole per le altre operazioni, e i computer le 10

svolgono a velocita spaventosa, come sappiamo. L ambiente in cui queste operazioni si svolgono e piccolissimo: consiste solo di due elementi, 0 e 1, che debbono sottostare a semplicissime regole di calcolo. Ma queste regole non sono identiche a quelle degli insiemi numerici piu grandi a cui siamo abituati: in realta, la moltiplicazione e esattamente la stessa, mentre l addizione tra questi elementi si differenzia nella regola che 1 + 1 = 0, e solo in quella. Questo strano campo viene denotato con il simbolo Z 2, ed e fondamentale non solo per la numerazione binaria, ma anche per le sue notevoli implicazioni nella Logica Matematica e nell Insiemistica. Z 2 := {0, 1}. Operazioni + 0 1 0 0 1 1 1 0 Regole di calcolo 0 1 0 0 0 1 0 1 a + a = 0 (+a = a); a a = a, ab a, ab b, ab = b b a; a b = a + b + ab, a b = ab. Ortogonalita : a b ab = 0 1 + a a : massimo elemento ortogonale ad a (ax = 0 (1 + a)x = x). Risoluzione di equazioni a + x = b : x = a + b. ax = b ( solo se b a) : b x (1 + a) b = 1 + a + ab = 1 + a + b. 11

Infatti: posto x = b + y, si ha ax = ab + ay = b + ay, per cui ay = 0 e y 1 + a. Verifica: Se b a e b x 1 + a + b, allora ab ax a + a + ab = ab, cioe ax = ab = b. In particolare: ax = a ha soluzioni: a x 1. Soluzione: ab x 1 + a + ab Ancora : ax = ab. 12

6 Valori di verita 0, se A e falso A (evento o insieme) V(A) = 1, se A e vero Ponendo: Corrispondenza in Z 2 a = V (A), b = V (B), abbiamo V( ) = 0, V(Ω) = 1, A B V(A) V(B) V(A c ) = 1 + a; V(A B) = ab; V(A \ B) = a + ab; V(A B) = a + b; V(A B) = a + b + ab. Dimostrare la relazione Esempi di Calcolo A B = A (B \ A) : V (A B) = a+b+ab. V (A (B\A)) = V (A)+V (B\A) = a+b+ab. Dimostrare la relazione (A B) c = A c B c : V ((A B) c ) = 1+a+b+ab. V (A c B c ) = (1+a)(1+b) = 1+a+b+ab. Dimostrare la relazione (A B) (B C) (C A) = : V ((A B) (B C) (C A)) = (a + b)(b + c)(c + a) = = (ab + ac + b + bc)(c + a) = abc + ac + bc + bc + ab + ac + ab + abc = 0. 13

Risolvere l equazione (A X) B = X : A priori : X B. V (X) = x. V ((A X) B) = (a+x+ax)b = ab+x+ax. ab + x + ax = x, ab = ax = abx. La soluzione di ab = abx e stata gia trovata: ab x 1. Ma dobbiamo imporre x b, per cui ab x b ossia B A X B. Risolvere l equazione A \ X = B \ X : V (A\X) = a(1+x) = a+ax; V (B \X) = b(1+x) = b+bx Da a+ax = b+bx si trae ax+bx = a+b ossia (a+b)x = a+b e la soluzione e x a + b cioe A B X. 7 Negazioni di frasi Vediamo quali regole bisogna seguire per trovare la negazione logica di una frase. Il principio fondamentale e di interpretare la frase come un evento E (che puo essere vero o no), e quindi 14

descrivere la negazione di tale evento ( E in termini di logica o E c in termini di insiemistica). A tale scopo sono molto utili le formule di de Morgan, che qui ricordiamo: (A B) = ( A) ( B), (A B) = ( A) ( B), che possono essere dimostrate attraverso i valori di verita : lo facciamo solo per la prima, per la seconda il procedimento e analogo. V ( (A B)) = 1+V (A B) = 1+V (A)+V (B)+V (A)V (B), e anche V [( A) ( B)] = V ( A)V ( B) = (1 + V (A))(1 + V (B)) = = 1 + V (A) + V (B) + V (A)V (B). Dunque, i due eventi hanno gli stessi valori di verita e percio coincidono. Vediamo ora la negazione dell evento A \ B. Abbiamo (A \ B) = (A B) = ( A) [ ( B)], 15

avendo usato le formule di de Morgan. Ora, tenendo presente che due negazioni successive si neutralizzano, otteniamo infine (A \ B) = ( A) B. In termini piu discorsivi, possiamo esprimerci cosi : se non e vero che si verifica A ma non B, allora vuol dire che o si verifica B, oppure A non si verifica. Per fare un esempio concreto, potremmo pensare che A sia l evento faccio merenda e B sia l evento mangio la nutella. Allora A \ B vuol dire faccio merenda senza nutella: negare questa affermazione equivale a dire che o mangio la nutella, oppure non faccio merenda, insomma se non mi date la nutella non mangio. Vediamo allora come si forma la negazione dell evento (A B): abbiamo (A B) = [(A B) \ (A B)] = (A B) (A B), grazie a quanto detto prima. In termini discorsivi, l evento A B sta a significare che dei due eventi se ne verifica uno e uno solo. Per cui, la negazione di questa cosa vuol dire che o i due eventi si verificano entrambi, oppure nessuno dei due. 16

Usando poi le formule di de Morgan, si deduce anche (A B) = (A B) ( A B), cioe negare A B equivale a dire che o A e B si verificano entrambi, oppure non si verifica A e nemmeno B. 17

Calcolo Combinatorio 1

Chapter 1 CALCOLO COMBINATORIO Possiamo introdurre questo argomento esaminando il modus operandi di un computer, sia nello svolgere operazioni che nel riprodurre immagini, suoni, ecc. Sappiamo infatti che ogni informazione che il computer riceve viene trasformata in una opportuna sequenza di 0 e 1, piu o meno lunga, la quale in genere viene elaborata dalla macchina e ricondotta ad un altra sequenza, che poi viene ritrasformata e trasmessa come risutato finale. Per esempio, se il PC deve svolgere l addizione 86 + 194, esso prima trasforma i due numeri in sequenze binarie (86 101110 e 194 11000010), poi esegue la somma in forma binaria, ottenendo come risultato la stringa 100011000: questa poi viene ritrasformata in termini usuali (280), e trasmessa come output. Ora, ci possiamo chiedere: qualé la quantita di informazione che un computer puo elaborare? Questo dipende dalla massima lunghezza delle stringhe (cioe delle sequenze di 0 e 1) che esso puo immagazzinare: per esempio, una stringa di 8 elementi (detti bit) viene detta byte e puo essere formata in 256 modi diversi, ossia tutte le sequenze possibili di lunghezza 8 costituite da 0 e 1. Si pensi alla potenzialita di un computer che puo memorizzare miliardi di byte! Ma, alla base di tutto, c e un semplice calcolo di tipo combinatorio: ci sono 2 N stringhe diverse che si possono formare disponendo di N posizioni: si parte con due possibilita per la prima posizione, per ciascuna delle quali ce ne sono ancora due per la seconda posizione, e quindi abbiamo 4 possibilita per le prime due posizioni; poi, per ognuna di queste quattro, ce ne sono ancora due per la terza posizione, e cosi via... 2

1.1 Potenze e Disposizioni Per quanto possa apparire strano a chi ne ha già sentito parlare, il Calcolo Combinatorio può essere introdotto in maniera molto naturale, tramite le applicazioni tra insiemi finiti. Definizione 1.1 Supponiamo che A e B siano due insiemi non vuoti. Si dice applicazione (o funzione) di A in B ogni possibile meccanismo f che associ a ciascun elemento di A uno e un solo elemento di B. Di solito, se all elemento a si associa l elemento b, si scrive b = f(a). In simboli, una funzione f del genere viene denotata con la scrittura f : A B. Per esempio, la funzione quadrato associa ad ogni numero reale x il suo quadrato x 2. Si puo anche definire la funzione radice quadrata, (e denotarla con il simbolo ), ma questa di solito collega l insieme dei numeri reali positivi o nulli con se stesso. Insomma, non esistono (come numeri reali) le radici quadrate dei numeri negativi, e non si puo scrivere (4) = ±2, perche in questo modo al numero 4 si assocerebbero due elementi diversi, anziche uno solo. Un applicazione interessante e quella che ad ogni numero intero non-negativo n associa il suo successore, n+1. Tale funzione si chiama anche shift o, piu precisamente, right shift. Questa applicazione e iniettiva, cioe a numeri diversi associa risultati diversi: insomma, se n m, allora certamente n + 1 m + 1. Invece la funzione quadrato non é iniettiva, perché (per esempio) 5 2 = ( 5) 2. In altri termini, una funzione f : A B e iniettiva se, per ogni scelta di b nell insieme B, l equazione f(x) = b ha al massimo una soluzione. Potrebbe anche accadere che, per qualche b, non ci sia nessuna soluzione: questo succede se le quantita del tipo f(x) non riempiono tutto B, anche facendo variare x in tutto A. Per esempio, se A = {0, 1} e B = {0, 1, 2, 3}, qualunque funzione di A in B presenta questo problema, perche i valori f(x) sono al massimo 2 (cioe f(0) e f(1)), mentre B ha quattro elementi diversi. Quando invece tutto l insieme B e coinvolto dalla funzione, allora questa si dice suriettiva. Riassumendo, data una funzione f : A B, diciamo che essa e iniettiva se, per ogni b B, l equazione f(x) = b ha al massimo una soluzione x A. Diciamo invece che f é suriettiva se, per ogni b in B, l equazione f(x) = b ha almeno una soluzione x A. Si dice 3

infine che f e biiettiva (o anche invertibile), se essa e iniettiva e suriettiva, ossia se, per ogni b B, l equazione f(x) = b ha esattamente una soluzione x A. Definizione 1.2 Siano A e B due insiemi finiti, poniamo A={a 1,..., a n } e B = {b 1,..., b m }. In questo caso, l insieme di tutte le applicazioni φ : A B è denotato con B A, e può essere anche denotato come la potenza B n, n essendo il numero di elementi di A. Ogni applicazione φ tra due insiemi A e B come sopra può essere individuata perfettamente elencando n elementi di B, in un certo ordine, ed eventualmente anche con ripetizioni. Cosi, se A = {1, 2, 3}, e B = {α, β, γ, δ}, l elenco (α, β, δ) rappresenta quella funzione che associa α ad 1, β a 2, δ a 3; se avessimo scritto (β, δ, α) cambiando l ordine, avremmo rappresentato un altra funzione, cioè quella che associa β a 1, δ a 2, α a 3. Scrivendo invece (α, α, γ), avremmo la funzione che associa α a 1, α a 2, e γ a 3. (Notiamo che, con questi due insiemi, non e possibile trovare applicazioni suriettive di A in B, e non e possibile trovare applicazioni iniettive di B in A: tutto cio semplicemente perche B ha piu elementi di A). A questo punto, sarà chiaro che l insieme B A è identificabile con l insieme di tutte le terne ordinate di elementi di B (con ripetizioni), insieme che si denota con la potenza B 3. E, coerentemente con questa notazione, gli elementi di questo insieme sono 4 3 : infatti, se vogliamo costruire una generica funzione f : A B, abbiamo esattamente 4 scelte per dire chi e f(1) (massima liberta tra gli elementi di B) ; per ciascuna di tali scelte, abbiamo poi esattamente 4 scelte per dire chi e f(2) (ancora, massima liberta tra gli elementi di B); pertanto, per scegliere f(1) e f(2) abbiamo 4 2 possibilita diverse. Per ciascuna di queste avremo poi ancora 4 possibili scelte per f(3): dunque ci sono 4 3 possibili funzioni in tutto. Piu in generale, se A contiene esattamente n elementi e B ne ha esattamente m, l insieme di tutte le funzioni f : A B, denotato B A, possiede esattamente m n elementi. Conclusione: L insieme B A di tutte le applicazioni di un insieme A costituito da n elementi, a valori in un insieme B costituito di m elementi, conta esattamente m n oggetti. Definizione 1.3 Nella situazione descritta nella conclusione precedente, gli elementi di B A sono detti disposizioni con ripetizioni di m oggetti a n a n. 4

Disposizioni con ripetizioni si possono riconoscere in diverse situazioni: per esempio, se si volessero giocare al Totocalcio tutte le possibili schedine, per essere sicuri di fare tredici, si potrebbe considerare che ogni possibile colonna é una disposizione (ovviamente con ripetizioni) dei tre simboli 1, X, 2. Dunque, il numero complessivo di tutte le colonne possibili e 3 13, cioe 1594323. Altri esempi si hanno in problemi di allocazione: in quanti modi si possono collocare 8 palle numerate in 5 contenitori (tutti molto capienti)? Basta elencare in ordine il contenitore che riceve la palla n.1, poi quello che riceve la n.2, e cosi via, fino ad esaurire le 8 palle: si tratta di disposizioni con ripetizioni di 5 oggetti a 8 a 8, e se ne possono trovare 5 8. Oppure, in quanti modi si possono distribuire 4 giocattoli diversi tra 8 bambini (senza escludere che qualche bambino possa ottenere tutti i giocattoli per se )? Basta scrivere ogni volta un elenco di 4 bambini, nell ordine stabilito per i diversi giocattoli: per es. la disposizione B 1, B5, B5, B8 sta a significare che il bambino B 1 riceve il giocattolo n. 1, il bambino B 5 riceve il giocattolo numero 2 e il numero 3, e infine il bambino B 8 riceve il quarto giocattolo. Le disposizioni ora sono 8 4. Ancora un esempio: supponiamo di estrarre a caso delle carte da gioco, da un mazzo di 40 napoletane, con la regola di rimettere ogni volta a posto la carta estratta, dopo avere annotato di che carta si tratta. Dopo 10 estrazioni, avremo annotato 10 carte in ordine, qualcuna delle quali potrebbe anche comparire piu volte...vi sono esattamente 40 10 elenchi di questo tipo. Un altro classico problema in cui intervengono le disposizioni con ripetizioni sono i lanci di moneta, o di dado. Per esempio, se lanciamo 8 volte una moneta, e ogni volta annotiamo 1 se esce Testa e 0 se esce Croce, quante sono le possibili sequenze di 1 e 0? Chiaramente, si tratta di disposizioni con ripetizioni di due oggetti (0 e 1) a 8 a 8, e quindi il loro numero e 2 8 = 256. Se invece lanciassimo un dado 3 volte, e ogni volta annotassimo la faccia uscita, quante terne diverse si potrebbero presentare? Chiaramente, qui la risposta e 6 3 = 216. Passiamo ora alle disposizioni semplici. Definizione 1.4 Siano A e B due insiemi come sopra, ma stavolta supponiamo che sia n m, ossia che A abbia meno elementi di B (o al più, lo stesso numero). Diciamo disposizioni semplici (cioè: senza ripetizioni) tutte le applicazioni iniettive di A in B. (La richiesta n m è dovuta proprio alla necessità di avere qualche funzione iniettiva). 5

L insieme di tali applicazioni può essere denotato con D m,n, e ogni suo elemento può essere descritto, come sopra, mediante una n upla di elementi di B, in un certo ordine, ma senza ripetizioni. Quanti sono gli elementi di D m,n? Rifacciamoci all esempio precedente: A = {1, 2, 3},e B = {α, β, γ, δ}. Volendo descrivere una generica funzione iniettiva φ di A in B, possiamo cominciare scegliendo φ(1) : per fare ciò abbiamo 4 scelte possibili. Poi, per ciascuna di tali scelte, dovremo individuare φ(2) tra gli altri elementi di B, e quindi abbiamo stavolta 3 scelte diverse; per ciascuna delle 4 3 scelte fin qui individuate, abbiamo poi 2 possibili alternative per l ultimo valore da scegliere, cioè φ(3). In definitiva avremo 4 3 2 possibili funzioni iniettive. Generalizzando il numero degli elementi di A e di B, si ha: Conclusione D m,n contiene esattamente m (m 1)... (m n + 1) = m! (m n)! elementi, e quindi le disposizioni semplici di m elementi a n a n (n m) sono m! (m n)!. Definizione 1.5 Ricordiamo che la scrittura m! sta a denotare il prodotto dei primi m numeri interi positivi, e che, in virtù delle precedenti conclusioni, rappresenta il numero di tutte le applicazioni iniettive φ : A B, nell ipotesi che A e B abbiano lo stesso numero (m) di elementi: in tale situazione, non è difficile osservare che ogni applicazione iniettiva è anche necessariamente biiettiva, ed è descritta semplicemente elencando tutti gli elementi di B in qualsiasi ordine: questa operazione dicesi anche una permutazione degli m elementi di B (un po come fare un anagramma della parola αβγδ, con riferimento all esempio sopra descritto). Di conseguenza, il numero m! ci dice quante sono le permutazioni possibili di tutti gli elementi di B, ammesso che B abbia esattamente m elementi. D ora in poi, per evitare di dilungarci troppo nel discorso, adotteremo la scrittura #(B) per denotare il numero degli elementi dell insieme B. Vediamo qualche esempio in cui si possano riconoscere disposizioni semplici. Una situazione tipica si ha nel formare coppie di ballerini: se in una festa da ballo sono presenti 6 uomini e 5 donne, in quanti modi si possono formare 5 coppie di ballerini? La risposta e D 6,5, perche ogni volta basta elencare cinque dei sei uomini, nell ordine con cui sono 6

accoppiati alle 5 donne. Insomma, se le donne sono Anna, Beatrice, Carla, Donata ed Ester, e gli uomini sono Andrea, Bruno, Carlo, Enrico, Francesco, Giovanni, l elenco (Carlo, Giovanni, Francesco, Enrico, Bruno) sta a significare che le coppie sono (Anna, Carlo), (Beatrice, Giovanni), (Carla, Francesco), (Donata, Enrico) e (Ester, Bruno). Ovviamente, nell elenco degli uomini non sono ammesse ripetizioni... Una situazione importante si ha nei problemi di allocazione, dove pero la capienza e limitata ad un singolo oggetto: se per esempio si devono inserire 4 palle numerate in 7 scatole, e ogni scatola non puo contenere piu di una palla, allora le possibili sistemazioni delle 4 palle sono esattamente D 7,4, in quanto ogni volta basta scrivere l elenco delle scatole occupate, nell ordine stabilito dai numeri delle palle. Insomma, l elenco (S 3, S 8, S 4, S 2 ) sta a significare che la palla numero 1 e nella scatola 3, la palla numero 2 e enlla scatola 8, e cosi via. Anche le permutazioni sono spesso adoperate in problemi importanti (e non solo per gli anagrammi). Per esempio, esse permettono di criptare messaggi: se un messaggio viene inizialmente codificato mediante una serie di simboli, per un totale diciamo di 100 battute, questo messaggio puo essere ulteriormente mascherato attraverso una permutazione delle cento cifre che lo compongono. Poiche le permutazioni diverse sono 100! = 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915 608941463976156518286253697920827223758251185210916864 seguito da 25 zeri, e ben difficile che un estraneo possa rintracciare il numero originario senza conoscere quale delle permutazioni e stata adoperata! 1.2 Combinazioni e Formule Ancora tramite i concetti riguardanti applicazioni tra insiemi finiti, possiamo introdurre le cosiddette combinazioni, di m oggetti a n a n, sia con ripetizioni che senza. Per i nostri scopi, ci interesseremo principalmente delle combinazioni senza ripetizioni, per le quali occorre che sia n m. Pero, prima di entrare direttamente nel merito, conviene che diamo un concetto relativo alle funzioni tra insiemi astratti. 7

Definizione 1.6 Data una funzione f : A B tra due insiemi non vuoti A e B, diciamo codominio di f quel sottoinsieme C B degli elementi b per i quali l equazione f(x) = b ha almeno una soluzione. In altri termini, il codominio e l insieme di tutti gli elementi del tipo f(x), per x A. Di solito, il codominio di una funzione f si denota con f(a). E chiaro che f(a) = B se e solo se f e suriettiva. Invece, se consideriamo la funzione f(x) = x 2 con gli insiemi A = B = IR, essa ha come codominio il sottoinsieme [0, + [. Ora, immaginiamo che il nostro insieme B abbia 10 elementi, e chiediamoci: quanti sono i sottoinsiemi di B che hanno 7 elementi? Per rispondere a questa domanda, intanto scegliamo un qualsiasi insieme A di 7 elementi, per es. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e un qualsiasi sottoinsieme C di B che abbia 7 elementi. Siccome C e A hanno lo stesso numero di elementi, c e una biiezione f : A C: anzi, sappiamo gia che ce ne sono 7! (e ciascuna di queste puo anche essere pensata come una funzione iniiettiva di A in B). Ora, se cambiamo C con un qualsiasi altro sottoinsieme C di B con 7 elementi, vi sono ancora 7! funzioni iniettive di A in C, e nessuna di queste e compresa fra quelle precedenti. Insomma, ogni sottoinsieme di B che abbia 7 elementi individua 7! funzioni iniettive di A in B, e senza nessuna sovrapposizione. Facendo il conto di tutte le funzioni iniettive cosi costruite, si ottiene D 10,7, cioe si ottengono tutte le applicazioni iniettive di A in B, raggruppate a blocchi con 7! funzioni ciascuno. Dunque D 10,7 non e altro che 7! moltiplicato per il numero dei blocchi di cui stiamo parlando, e percio il numero dei blocchi é D 10,7 = 10! 7! 3!7!. Ora, basta ricordare che ogni blocco di funzioni iniettive corrisponde ad un particolare sottoinsieme di B che ha 7 elementi: insomma, i sottoinsiemi di B di 7 elementi sono tanti quanti i blocchi! Questo discorso puo naturalmente esser esteso ad insiemi di qualsiasi cardinalita. Quindi, se B e un insieme di m elementi, e n m, allora ci sono esattamente m! n!(n m)! sottoinsiemi di B che hanno n elementi. Questo discorso puo venire riformulato in altri termini, parlando di combinazioni (semplici). Se ci pensiamo bene, un sottoinsieme di B con n elementi si ottiene scegliendo n oggetti tra quelli di B e scrivendoli uno dietro l altro in qualsiasi ordine e senza ripetizioni. E ogni elenco del genere da un insieme di m oggetti viene detto appunto una combinazione semplice degli m oggetti a n a n. 8

Per esempio, se B fosse l insieme delle 40 carte napoletane, e scegliessimo contemporaneamente 6 carte dal mazzo, avremmo in mano proprio una combinazione delle 40 carte a sei a sei. Quante sono queste combinazioni? Esattamente 40!, cioe 3838380. 6!34! Definizione 1.7 Dati due numeri interi m e n, con n m, il numero delle combinazioni semplici di m oggetti a n a n viene denotato anche con C m,n e con ( m n). Questi numeri vengono anche detti coefficienti binomiali, per un motivo che presto sara chiaro. C m,n = m! (m n)!n!. Dai discorsi fatti sinora, si può sintetizzare quanto segue: le disposizioni con ripetizioni di m oggetti a n a n sono rappresentabili come gli elementi di B n, ove #(B) = m, e quindi il loro numero è m n ; le disposizioni semplici di m oggetti a n a n (con n m) sono rappresentabili come n uple ordinate degli m oggetti a n a n, a condizione che nessun elemento compaia più di una volta, e il loro numero è m! (m n)! ; le combinazioni semplici di m oggetti a n a n (con n m), sono rappresentabili semplicemente come sottoinsiemi (ciascuno con n elementi) dell insieme B costituito dagli m oggetti. Il numero C m,n ci dice quanti sono i sottoinsiemi di B, aventi esattamente n oggetti: C m,n = ( ) m n = m! (m n)!n! (Per convenzione, si pone anche 0! = 1, così la scrittura precedente include anche il caso n = 0). Possiamo ora elencare alcune formule riguardanti i numeri ( m n), detti anche coefficienti binomiali. Intanto, é chiaro che risulta ( ) ( m n = m n 0. m n) Si ha poi facilmente: ( m n ) = ( m 1 n 1) m n quando Un altra importante relazione é quella che prende il nome dal celebre triangolo di Tartaglia: ( ) m + 1 = n ( ) ( ) m m +, n n 1 9

relazione che conduce a un altra importante formula, nota con il nome di binomio di Newton: (a + b) m = m n=0 ( ) m a n b m n. n Non diamo la dimostrazione in dettaglio, ma osserviamo che, per a = b = 1 risulta: m ( ) m 2 m = n n=0 Quest ultima formula puó essere dimostrata indipendentemente, contando i sottoinsiemi di un generico insieme B con m elementi: vi sono esattamente ( m n) sottoinsiemi con n elementi, per n = 0, 1,..., m, e quindi, sommando tutti questi numeri, per n che varia tra 0 e m, si ottiene #( (B)). D altra parte, #( (B)) puó anche esser calcolato contando tutte le possibili applicazioni φ : B {0, 1}: sappiamo che queste sono 2 m, e ciascuna puó venir associata ad un ben preciso sottoinsieme di B, che la individua univocamente, cioé l insieme di quei punti b B per i quali si ha φ(b) = 1. Dunque, #(B) = 2 m = m n=0 ( m n). I coefficienti binomiali intervengono in molte formule, alcune delle quali prevedono valori molto alti sia per m, che per n (ció accade di solito in problemi di probabilitá). In tali casi, possono essere utili formule di approssimazione, del tipo di quella di Stirling: (v. ultimo esempio del capitolo 3). Per esempio, ( ) 2n n viene approssimato con 4 n πn, non appena n superi 8. Oltre alle combinazioni semplici, si possono anche considerare quelle con ripetizioni : queste in pratica sono elenchi di m oggetti a n a n, (qui, puó anche essere n > m), anche con ripetizioni, ma senza possibilitá di cambiare l ordine. Il loro numero si denota con C r m,n, e si dimostra la formula: Facciamo un esempio. Cm,n r = ( ) m+n 1 n Si sa che in un libro di 100 pagine vi sono 10 errori: in quanti modi questi errori si possono esser distribuiti lungo le varie pagine? Per esempio, potremmo scrivere l elenco (1,1,5,5,58,65,78,78,78,98) per intendere che a 10

pagina 1 vi sono due errori, come a pagina 5, poi c é un errore a pagina 58, uno a pag.65, tre a pagina 78, e un altro a pagina 98. E chiaro a cosa servono le ripetizioni, e che l ordine non ha alcuna importanza: la stessa distribuzione degli errori si avrebbe scrivendo l elenco (5,1,78,58,65,98,1,5,78,78). Un altro modo di descrivere una simile distribuzione di errori consiste nello scrivere, al posto del numero di pagina, la somma tra il numero stesso e il numero di errori riscontrati fino a quella pagina (compresa). Cosí, la lista precedente verrebbe sostituita da: (3,4,5,6,9,10,11,12,13,...61,63,64,65,66,...69,71,72,73,... 83,86,87,88,...106,108,109,110) che é una lista di 110 elementi, in ordine crescente (senza ripetizioni) l ultimo dei quali é perfettamente inutile (in quanto sarebbe lo stesso per tutte le distribuzioni possibili dei 10 errori nelle 100 pagine). Ecco cosí che le combinazioni con ripetizioni di 100 oggetti a 10 a 10 sono tante quante le combinazioni semplici di 109 oggetti a 10 a 10 (cfr. la formula Cm,n r = ( ) m+n 1 n ). 11

Chapter 2 Problemi di Probabilita Elementare 2. 1. In una classe di 24 allievi, tutti nati nello stesso anno (non bisestile), qual é la probabilita che ci siano almeno due ragazzi nati nello stesso giorno? R.: Le varie date di nascita sono 24, e possono essere ottenute in 365 24 modi differenti (considerando i ragazzi come elementi distinguibili). Tra queste, quelle senza ripetizioni sono D 365,24. Dunque, il rapporto tra queste quantita ci dara la probabilita che non vi siano compleanni in comune. Con l aiuto di un PC troviamo che tale probabilita e circa.4616557421. Allora, la probabilita che invece ci siano almeno due compleanni in comune sara data da 1.4616557421.5383442579. Supponiamo di lanciare 10 volte una moneta onesta. Qual é la probabilita di osservare 9 teste? E 8 teste? E 4 teste? R.: I possibili risultati sono 2 10. Per osservare esattamente 9 teste, ci sono solo 10 possibilita favorevoli: una per ogni posizione in cui esce l unica croce. Quindi qui 10 la probabilita e. Invece per 8 teste le possibilita sono di piu : basta scegliere 1024 l insieme dei due posti ove escono le due croci; i posti sono 10, e di questi i sottoinsiemi con due elementi sono ( 10 2 ) = 45. In conclusione, la probabilita di osservare esatta- 45 mente 8 teste e. Infine, ragionando analogamente, si trova che la probabilita di 1024 osservare esattamente 4 teste e (10 6 ).205078125. 1024 12

3. Supponiamo di lanciare un dado onesto 4 volte. Qual é la probabilita di osservare almeno un 6? R.: Conviene cercare la probabilita del contrario, ossia che non esca nessun 6. Trattandosi di 4 lanci, gli elenchi possibili sono 6 4. Quelli per i quali il 6 non esce mai sono invece 5 4 (basta escludere il 6 dalle facce...). Dunque, la probabilita che il 6 non esca mai e ( 5 6 )4 =.4822530864, mentre la probabilita che ci interessa e 1 ( 5 6 )4.5177469136: tutto sommato poco piu di 1... 2 4. Dieci studenti in gita scolastica vanno a fare baldoria una sera. Quando tornano in albergo, sono talmente ubriachi che s infilano ciascuno in una camera a caso (delle dieci a loro destinate). Qual e la probabilita che Giuliano e Maurizio dormano nella propria camera? E qual e la probabilita che almeno uno tra Giuliano e Maurizio dorma nella propria camera? R.: Le stanze possono essere scambiate in 10! modi diversi. Di questi ce ne sono 9! nei quali Giuliano azzecchi la camera giusta, e altrettanti per Maurizio. Se si vuole che entrambi trovino la camera giusta, allora le possibilita a favore sono 8!, e quindi 8! la probabilita e = 1. La probabilita che almeno uno dei due indovini la sua 10! 90 camera e ottenuta contando le possibilita favorevoli a Giuliano, sommate a quelle favorevoli a Maurizio, meno quelle favorevoli a entrambe (perche contate due volte nel calcolo precedente): quindi la probabilita risultante e 9!+9! 8! 10! = 17 90.188888888. In situazioni del genere, e piuttosto complicato calcolare la proabilita dell evento nessun ragazzo indovina la propria camera : la risposta rigorosa e Il riferimento a 1 e 1 2 1 3! + 1 4! 1 5!... + 1 10! 1 e. non e casuale: se il numero dei ragazzi aumentasse all infinito, la probabilita che nessuno trovi la camera giusta avrebbe come valore limite proprio 1 e. 13

5. Si lancia una moneta onesta 12 volte, e ogni volta si vince un euro se esce testa, ma si perde un euro se esce croce. Qual é la probabilita che dopo i 12 lanci abbiamo vinto complessivamente 2 euro? Oppure siamo a 0? oppure siamo a -1? R.: Se dopo i dodici lanci siamo a 0, vuol dire che sono uscite esattamente 6 teste e 6 croci. La probabilita sara allora (12 6 ) 2 12.2255859375. Per essere invece a 1, bisognerebbe che le croci siano una piu delle teste: ma allora la somma tra numero di teste e numero di croci sarebbe un numero dispari, mentre dev essere 12, naturalmente. Dunque, dopo 12 lanci non e possibile che siamo a 1. Infine, la situazione decsritta nel primo quesito equivale a richiedere che le teste siano 2 piu delle croci, e, siccome la somma tra numero di teste e numero di croci dev essere 12, l unica possibilita e che siano uscite esattamente 7 teste. Dunque la probabilita cercata e ( 12 7 ) 2 12.193359375. 14

Cardinalita e Successioni Abbiamo visto nei seminari precedenti l importanza delle applicazioni tra insiemi finiti, specialmente nel Calcolo Combinatorio. In particolare, abbiamo visto che due insiemi finiti A e B hanno lo stesso numero di elementi se e solo se esiste un applicazione biiettiva di A in B (o equivalentemente di B in A). Questo punto di vista permette di stabilire una graduatoria anche tra gli insiemi infiniti, e quindi stabilire se, tra due insiemi infiniti, uno é piu infinito dell altro oppure no. Definizione 0.1 Una definizione alquanto curiosa è quella di insieme infinito: noi siamo abituati a considerare questa nozione come intuitiva, ma in Matematica non ci si accontenta di questo, e allora si dice che un insieme A è infinito se si può trovare un insieme B A, con B A, in modo che esista un applicazione biiettiva φ : B A. Per farsi un idea della situazione, si pensi ad A = IN, e B = P, insieme dei numeri pari non negativi: una biiezione φ : P IN è per esempio data da φ(p) = p, p P. 2 Ancora, dati due insiemi A e B (finiti o infiniti), si dice che A è più potente di B se esiste un applicazione iniettiva J : B A. (In parole povere, più potente significa con un maggior numero di elementi, intendendo anche maggiore o uguale). Questa definizione sembra ovvia, se gli insiemi sono finiti, ma diventa interessante se gli insiemi sono infiniti. Si dice poi che i due insiemi sono equipotenti (ossia che hanno lo stesso numero di elementi), se esiste una biiezione φ : A B. Un fatto importante è espresso dal seguente teorema, dovuto a Bernstein. Benché l enunciato sembri esprimere un fatto ovvio, la dimostrazione rigorosa, basata sulle definizioni precedenti, non é affatto facile, e noi la ometteremo. Teorema 0.2 Dati due insiemi A e B, se A è più potente di B, e B è più potente di A, allora A e B sono equipotenti. A questo punto potrebbe sorgere un dubbio: finchè si lavora con insiemi finiti, tutto sommato non si è fatto nulla di nuovo, anzi si è reso più complicato un concetto così naturale 1

come quello di numero. Dunque questo discorso dice qualcosa di nuovo solo nel caso di insiemi infiniti. Tuttavia, già la definizione di insieme infinito ci fa capire che è molto facile costruire biiezioni tra insiemi infiniti, anche tra un insieme come IN e una sua metà : e se tutti gli insiemi infiniti fossero equipotenti? Avremmo fatto un bel buco nell acqua! In realtà, le cose non stanno così, e in effetti c è un modo molto semplice per costruire, dato un insieme infinito qualunque A, un insieme B che è più potente di A, e non equipotente ad A: basta scegliere B = (A), cioè l insieme di tutti i sottoinsiemi di A. Nel prossimo teorema, di cui riportiamo la dimostrazione solo per maggiore chiarezza, si evidenzia questo fatto. Teorema 0.3 Dato un qualunque insieme A, esiste un applicazione iniettiva J : A (A), ma i due insiemi non sono equipotenti. Dimostrazione. Ponendo J(x) = {x}, per ogni x A, è evidente che J è un applicazione iniettiva, di A in (A). Proviamo ora che non può esistere alcuna biiezione φ : A (A). Infatti, se una tale biiezione φ esistesse, potremmo considerare il seguente sottoinsieme H A : H = {x A : x φ(x)}. Possiamo vedere facilmente che H è non vuoto: infatti, siccome φ è biiettiva, al sottoinsieme A di A corrisponde un elemento x A tale che φ(x) = A, e allora x φ(x). Anche il complementare H c è non vuoto: siccome φ per ipotesi è suriettiva, esiste anche un y A tale che φ(y) =, e allora chiaramente non può essere y φ(y). Ora, veniamo all assurdo. Siccome H c è un sottoinsieme di A, e φ è biiettiva, c è sicuramente un elemento a A tale che φ(a) = H c. Ora, necessariamente dev essere a H, oppure a H c. Ma, se a H, si deve avere a φ(a), per la definizione stessa di H. Dunque, se a H, si deve avere a φ(a) = H c, impossibile. Resta l alternativa a H c : ma, per definizione di H, se a H c, ossia a / H, non può essere a φ(a) = H c! Dunque, anche se a H c, arriviamo ad una contraddizione. In conclusione, a non può stare nè in H, nè in H c, e questo è assurdo. 2

Le considerazioni finora svolte diventano un po più concrete, quando si comincia lavorare con gli insiemi infiniti che conosciamo meglio: IN,, Z, Q, IR : si può dimostrare che IN, Z, e Q hanno la stessa cardinalità, e questa è la più piccola tra le cardinalità infinite. Invece, IR ha cardinalità strettamente maggiore: infatti, IR ha la stessa cardinalità di (IN). Questo fatto può essere spiegato, ripensando alla rappresentazione binaria dei numeri reali: ossia, ogni numero reale può essere espresso come una successione infinita di zeri e uni, cioè come un elemento di {0, 1} IN. Ma anche ogni elemento di (IN) può essere espresso come un elemento di {0, 1} IN : infatti, se A IN, possiamo scorrere gli elementi n di IN, segnando uno se n A, zero se n / A. a Alla fine, avremo una sequenza di zeri e uni, che caratterizza perfettamente l insieme A : per esempio, la sequenza (0111001101001...) caratterizza l insieme {1, 2, 3, 6, 7, 9, 12...}, avendo iniziato a scorrere da 0 (che non appartiene ad A, perchè il primo elemento della sequenza è 0), e poi via via tutti gli altri. Altre importanti applicazioni sono le successioni: una successione in un insieme A è una generica applicazione φ : IN A. Di solito, data una tale successione, si preferisce scrivere a n al posto di φ(n), e si usa la scrittura (a n ) per rappresentare l intera successione. Per esempio, ( 1 ) è la successione che, ad ogni intero positivo n, associa il numero reale (o, n se si preferisce, razionale) 1 n. A volte, le successioni vengono anche definite per ricorrenza, ossia si assegna il valore a 0, e poi si dà una legge di passaggio (detta appunto legge di ricorrenza ) da a n ad a n+1 : in questo modo, nota a 0, la legge di ricorrenza ci permette di ricavare a 1 ; da questa si ricava poi a 2, e così via, all infinito. Possiamo porre per esempio: a 0 = 1, a n+1 = an. Otteniamo così la successione di numeri: 2 1, 1 2, 1 4,..., e in generale si puo concludere che a n = 1 2 n. Ancora, si potrebbe porre: a 0 =1, e dare la legge: a n+1 = a n + 1/(n + 1). Si ottiene così la seguente successione di valori: 1, 1+1, 1+1+1/2, 1+1+1/2+1/3, etc. In genere, quando una successione è definita per ricorrenza, non si può pretendere di trovare un espressione elementare del termine generale a n. E infatti, nell ultimo esempio che abbiamo dato, non siamo arrivati a un espressione per a n. 3

Un altro esempio interessante é la successione dei numeri di Fibonacci; i termini sono i seguenti: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... ognuno dei quali risultando dalla somma dei due precedenti. Dunque, per definire esaurientemente tale successione occorrono due punti iniziali: a 0 = 1 e a 1 = 1, e poi la legge di ricorrenza: valida per n > 0. a n+1 = a n + a n 1, Abbiamo gia visto alcuni esempi di successioni, sia definite mediante una formula diretta che esprime il termine generale a n in funzione di n, sia definite per ricorrenza. In genere, comunque, una successione potrebbe non esser definita su tutto IN, ma da un certo n in poi: per esempio, la legge a n = 1 n(n 1)(n 2) è definita solo per n 3, e di conseguenza s intende che il dominio è {3,4,...}. Quasi sempre questo ci basterà. Approfittiamo di questa occasione per introdurre una locuzione: quando una certa proprietà, riguardante i numeri interi, è verificata da un certo n in poi, si dice che essa vale definitivamente. Ad esempio, la disuguaglianza n 2 3n vale definitivamente, infatti è verificata per n = 0, per n = 3, e per tutti gli n successivi a 3. Vedremo presto che è molto importante stabilire che certe disuguaglianze valgono definitivamente : citiamone alcune. 2n < n 2, n 2 < 2 n, 2 n < n!, 1 n 4 > e n, ln n < 12 n,... Per dimostrare queste e altre relazioni é molto utile il principio di induzione: se si vuole dimostrare che una certa proprietá (P), riguardante i numeri interi, vale da un certo N in poi, si procede in due passi: 1) prima, si dimostra che (P) é vera per N; 2) poi, assumendo che (P) sia giá stata dimostrata per un certo n N, la si dimostra per n + 1. A titolo di esempio, dimostriamo che la proprietá 2 n < n! sussiste da un certo N in poi. Con poche prove, si vede che essa non vale per 1, per 2, per 3, ma vale per n = 4. Proviamo ora che essa vale per ogni n 4: il primo passo, cioé provare la (P) per N = 4, é giá fatto; supponiamo allora che la (P) valga per un certo n 4, e verifichiamola per 4