Teoria dei Giochi: lezione del 15 Maggio 2017: Strategie Evolutivamente Stabili Chiara Mocenni Corso di Teoria dei Giochi e Giochi Evolutivi
Strategie Evolutivamente Stabili (ESS) Una strategia si dice ESS se è robusta rispetto a pressioni evolutive da parte di altre strategie Si consideri una popolazione di individui indistinti e programmati a giocare una determinata strategia pura o mista (strategia prevalente) nell ambito di una serie ripetuta di giochi a due giocatori scelti a caso nella popolazione Supponiamo di inserire nella popolazione un piccolo numero di individui che giocano un altra strategia pura o mista La strategia prevalente viene detta ESS se per ogni strategia mutante esiste una barriera di invasione tale che il numero di individui che gioca la strategia mutante rimane al di sotto di questa barriera in quanto la strategia prevalente fornisce sempre un payoff più alto
Questo approccio considera interazioni simmetriche tra coppie di individui appartenenti ad una popolazione infinita Il concetto di strategia evolutiva si basa sulla connessione che esiste tra i payoffs di un gioco e la diffusione di una determinata strategia in una popolazione: i payoffs del gioco rappresentano il guadagno in termini di fitness biologica o di capacità riproduttiva derivante dall interazione in questione Le strategie ESS generalizzano l evoluzione biologica in senso darwiniano, cioè l idea della sopravvivenza di coloro che utilizzano strategie che forniscono una fitness più alta delle altre possibili, e in cui la fitness stessa dipende dal comportamento (dalle strategie) degli altri individui della popolazione
Analogamente all equilibrio di Nash, la stabilità evolutiva non spiega come la popolazione è arrivata ad adottare tale strategia Il concetto di ESS può essere utilizzato anche per spiegare la robustezza del comportamento umano in un ampia gamma di situazioni, come l ambito sociale ed economico In questo caso, la stabilità evolutiva richiede che un piccolo gruppo di individui che tenta di utilizzare una strategia alternativa ottiene un risultato peggiore di coloro che adottano la strategia prevalente, i quali dunque non hanno motivo di cambiare il proprio comportamento Una strategia ESS in questo contesto viene chiamata convenzione
Sia ˆx una strategia prevalente e x una strategia divergente che viene giocata con una probabilità ɛ La strategia mista giocata nella popolazione sarà dunque ɛx + (1 ɛ)ˆx La strategia ˆx si dice evolutivamente stabile se per ogni strategia divergente x si ha che la disuguaglianza x T A(ɛx + (1 ɛ)ˆx) < ˆx T A(ɛx + (1 ɛ)ˆx) è verificata per ogni ɛ > 0 inferiore ad un valore ɛ(x) > 0, detto barriera di invasione Riscriviamo la disuguaglianza come (1 ɛ)(ˆx T Aˆx x T Aˆx) + ɛ(ˆx T Ax x T Ax) > 0.
Facendo tendere ɛ a 0, abbiamo che la strategia ˆx è evolutivamente stabile se sono verificate le due condizioni seguenti: a Condizione di equilibrio ˆx T Aˆx x T Aˆx, per ogni x S; b Condizione di stabilità se x ˆx e ˆx T Aˆx = x T Aˆx, allora ˆx T Ax > x T Ax. La strategia ˆx è una best response a se stessa, ma questo fatto da solo non è sufficiente a garantire la non invadibilità da parte di un altra strategia, infatti nel caso dell uguaglianza esiste una best response alternativa x Va allora verificato che ˆx fornisce un payoff maggiore se giocata contro x di quanto ottenuto giocando x stessa. Se una strategia è un equilibrio di Nash stretto allora è ESS Se una strategia è ESS, allora è un equilibrio di Nash
Theorem Una strategia ˆx S è ESS sse ˆx T Ay > y T Ay per ogni y ˆx in qualche intorno di ˆx in S. Da ciò segue che se vi è una strategia ESS nell interno del simplesso S, allora questa è unica. La dimostrazione di questo fatto è nella slide successiva.
Si definisce supporto C(x) di una strategia x l insieme delle strategia pure a cui x assegna probabilità non nulla. Sia ˆx una strategia ESS interna al simplesso. Supponiamo che esista un altra strategia ESS y ˆx tale che C(y) C(ˆx). Allora y T Aˆx = ˆx T Aˆx (verificare). Dalla condizione di stabilità delle strategie ESS segue che y T Ay < ˆx T Ay, dunque y non può essere equilibrio di Nash e dunque non può essere ESS. Di conseguenza, se vi sono ESS multiple, esse devono appartenere alla frontiera di S. In particolare, se vi è una strategia ESS interna al simplesso essa è unica.
Esercizio 2. Verificare che nel gioco Falchi e Colombe, descritto dalla matrice di payoff: A = [ G C 2 G 0 G 2 l unica strategia ESS è ˆx = (G/C, C G C ), con C > G. Per verificare questo fatto, calcoliamo ˆx T Ay, ˆx T Aˆx, y T Aˆx e y T Ay con y = (y, 1 y) generica. ˆx T Ay = G 2 (1 + G C 2y) ˆx T Aˆx = G 2 (1 G C ) y T Aˆx = G 2 (1 G C ) y T Ay = G 2 (1 G C y 2 ) ] (1)
ˆx è Nash sse ˆx T Aˆx y T Aˆx, cioè sse G 2 (1 G C ) G 2 (1 G C ). Vera nel caso non stretto. Inoltre, ˆx è ESS sse ˆx T Ay > y T Ay, y ˆx sse G 2 (1 + G C 2y) G 2 (1 G C y 2 ) > 0, y ˆx sse G C y 2 2y + G C > 0 y ˆx, condizione verificata per ogni y G 2. Dunqe la strategia mista ˆx è un equilibrio di Nash evolutivamente stabile (ESS) per il gioco falchi e colombe. Notiamo che ˆx è anche l unica strategia ESS e l unico equilibrio di Nash.
Esercizio 3. Verificare che nel gioco descritto dalla matrice di payoff A = 0 6 4 3 0 5 1 3 0 (2) la strategia mista x = (1/3, 1/3, 1/3) non è ESS. Sol. La strategia pura e 1 è ESS.
Esercizio 4. Verificare la presenza di strategie pure e degli equilibri di Nash (misti e puri) nel gioco descritto dalla matrice di payoff: A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1. (3) Sol. Nel gioco vi sono 3 ESS (e 1, e 2, e 3 ) e un NE misto.
Esercizio 5. Verificare la presenza di strategie pure e degli equilibri di Nash (misti e puri) nel gioco descritto dalla matrice di payoff: A = 0 1 1 1 0 1 1 1 0. (4) Sol. Nel gioco non vi sono ESS e vi è un NE misto (1/3, 1/3, 1/3).
NE e ESS puri in giochi a 2 strategie Nel gioco evolutivo a 2 strategie, descritto dalla matrice dei payoff [ ] a b A =, c d valgono le seguenti proprietà. La strategia s 1 è un equilibrio di Nash stretto se a > c; La strategia s 1 è un equilibrio di Nash se a c; La strategia s 2 è un equilibrio di Nash stretto se d > b; La strategia s 2 è un equilibrio di Nash se d b.
La strategia pura s 1 si dice evolutivamente stabile se a > c, oppure a = c e b > d. Sotto queste condizioni la selezione si oppone all invasione di s 2 su s 1. Nel caso più generale di n strategie pure, sia π(e i, e j ) il payoff della strategia e i rispetto a e j. i Una strategia e k è un equilibrio di Nash stretto se π(e k, e k ) > π(e i, e k ), i k; ii Una strategia e k è un equilibrio di Nash se π(e k, e k ) π(e i, e k ), i k. iii Una strategia e k è evolutivamente stabile se π(e k, e k ) > π(e i, e k ), i k, oppure π(e k, e k ) = π(e i, e k ) e π(e k, e i ) > π(e i, e i ) i k.
Strategie miste ESS Gli equilibri di Nash misti non sono mai stretti. Dunque per questo tipo di strategie sarà sempre necessario verificare la condizione di stabilità.
Classificazione delle strategie ESS nei giochi simmetrici a due strategie Nella categorie I e IV, in cui i coefficienti a 1 e a 2 sono di segno opposto (ne è un esempio il dilemma del prigioniero), Una delle due strategie domina l altra, dunque esiste un unico equilibrio di Nash stretto, che dunque è anche ESS Nella categoria II, in cui a 1 > 0 e a 2 > 0, le due strategie pure sono equilibri di Nash stretti e dunque entrambi ESS, di conseguenza l equilibrio di Nash interno non può esserlo Nella categoria III (ne è un esempio è il gioco falchi e colombe), invece, abbiamo un unico equilibrio di Nash interno. Dunque in questo caso dobbiamo verificare la condizione di stabilità per poter stabilire se esso è anche ESS. La risposta segue dalla soluzione dell esercizio 2 proposto in precedenza