Relazione di Ricerca ( 05-06) Gianluigi Del Magno 1. Introduzione I miei interessi di ricerca riguardano una classe di sistemi dinamici non-lineari conservativi chiamati biliardi. Il biliardo in un dominio Q R n è il sistema dinamico generato dal moto di una particella puntiforme che si muove con velocità unitaria lungo linee rette all interno di Q. Quando la particella urta il bordo di Q, viene riflessa elasticamente in maniera tale che l angolo d incidenza uguagli l angolo di riflessione. Le proprietà dinamiche di un biliardo dipendono dalla geometria del dominio Q. Scegliendo Q in maniera opportuna si ottengono biliardi integrabili (biliardi in ellissi), quasi-integrabili (biliardi in poligoni razionali) e iperbolici (biliardi di Sinai e Bunimovich). La mia ricerca è rivolta principalmente ai biliardi iperbolici, cioè a biliardi per cui tutti gli esponenti di Lyapunov sono non nulli rispetto alla misura di Liouville. Due caratteristiche principali contraddistinguono questi sistemi dai sistemi uniformemente iperbolici: la dinamica singolare (la trasformazione è differentiabile quasi ovunque nello spazio delle fasi) e il carattere fortemente non-uniforme della loro iperbolicità. L interesse per i biliardi iperbolici è dovuto al fatto che il loro studio ha da sempre fornito utili indicazioni riguardo alle proprietà generali dei sistemi non-uniformemente iperbolici e al fatto che diversi sistemi fisici di notevole interesse (hard-ball systems, Lorentz gases, ecc.) vengono modellati da biliardi di questo tipo. In questa relazione, intendo riassumere il lavoro di ricerca da me svolto presso il Centro di Ricerca Matematica Ennio de Giorgi nel periodo Ottobre 2005 - Ottobre 2006. Allego alla presente relazione, i seguenti manoscritti, prodotti durante tale periodo. (1) G. Del Magno and R. Markarian, On the Bernoulli property of two dimensional hyperbolic billiards, preprint. (2) L. Bunimovich, G. Del Magno, Semi-focusing billiards: ergodicity, preprint. (3) L. Bunimovich, G. Del Magno, Track billiards, work in progress. 2. Proprietà ergodiche dei biliardi iperbolici nel piano Durante il periodo 2005-2006, ho completato lo studio, fatto in collaborazione con R. Markarian, di alcune delle principali proprietà ergodiche (ergodicità, mixing, Bernoulli) per un ampia classe di biliardi iperbolici nel piano. Il risultato principale del nostro lavoro può essere 1
2 formulato nella maniera seguente: ogni biliardo planare iperbolico il cui bordo consiste di segmenti, curve dispersive e curve assolutamente focalizzanti è isomorfo ad uno shift di Bernoulli [11]. In particolare, un tale biliardo è mixing ed ergodico. Questo teorema, che riguarda essenzialmente tutti gli esempi di biliardi planari iperbolici noti, estende in maniera significativa risultati simili validi per biliardi dispersivi [16, 13] e certi biliardi semi-focalizzanti [2, 17, 14, 7, 9, 10]. Nel corso della dimostrazione del teorema appena menzionato sono stati ottenuti una serie di risultati secondari sulla regolarità delle singolarità dei biliardi planari. L importanza di tali risultati è dovuta alla rilevanza dello studio della singolarità per la comprensione della dinamica dei biliardi. Il manoscritto [11] è stato sottoposto ad una rivista internazionale ed è in corso di valutazione. 3. Biliardi Iperbolici semi-focalizzanti in dimensione maggiore di 2 Un biliardo si dice semi-focalizzante se il suo spazio delle configurazioni è l unione di un numero finito di domini convessi con bordo regolare a tratti. Vi sono molti esempi di biliardi iperbolici semi-focalizzanti nel piano [2, 18, 15, 12]; il loro prototipo è il biliardo in un dominio che ha la forma di uno stadio. Il lavoro descritto nella sezione precedente [11] asserisce che tutti questi biliardi sono Bernoulli. In dimensione maggiore di 2, sono invece note solo due famiglie di biliardi iperbolici semi-focalizzanti. Una di queste famiglie consiste di biliardi in domini di R 3 che sono l unione di un parallelepipedo e di due semi-cilindri con gli assi ortogonali (un esempio di tali biliardi è rappresentato in Figura 1). La prova della loro iperbolicità è di Figura 1. Un biliardo semi-focalizzante in R 3
L. Bunimovich e dell autore [4]. In [5], sempre in collaborazione con L. Bunimovich, abbiamo preso in considerazione lo studio delle proprietà ergodiche di questa famiglia di biliardi. Il risultato principale di [5] afferma che se la distanza fra i cilindri è sufficientemente grande (maggiore di quanto richiesto dall iperbolcità), allora tali biliardi sono Bernoulli. Questo teorema è stato ottenuto estendendo opportunamente due risultati che nella forma originale valevano esclusivamente per biliardi semi-dispersivi: un teorema di ergodicità locale e un teorema sulla decomponibilità in varietà Lipschitziane delle varietà singolari per biliardi con frontiera algebrica [1]. 3 4. Una applicazione dei biliardi iperbolici planari Il moto di singole particelle in nanostrutture si può modellare talvolta attraverso biliardi in domini tubolari [8]. Ho iniziato in collaborazione con L. Bunimovich lo studio di una famiglia di biliardi planari che hanno alcune delle caratteristiche di questi biliardi. I biliardi da noi considerati, chiamati track billiards, sono l unione finita di rettangoli e semi-anelli circolari (vedi Figura 2). La loro peculiarità consiste nel fatto che la componente della velocità parallela al bordo del biliardo non cambia segno dopo ogni riflessione. Lo spazio delle fasi di questi sistemi risulta così essere l unione (a meno di insiemi di misura nulla) di due insiemi invarianti di misura positiva, corrispondenti a traiettorie che si muovono in una della due direzioni possibili. Oltre ad essere impiegati come modelli per il moto di particelle in nanostrutture, i track billiards possono modellare guide d onda curve e fibre ottiche. Nell analisi preliminare [6], abbiamo provato che se i semi-anelli circolari sono separati da una distanza sufficientemente grande, allora un track billiard è iperbolico e la sua restrizione ai due insiemi invarianti Figura 2. Due esempi di track billiards
4 corrispondenti alle traiettorie che si muovono in direzioni opposte è Bernoulli. Questo teorema è stato poi esteso, usando i risultati contenuti in [4, 5], ad opportuni track billiards in dimensione 3. Partendo da questo risultato è possibile studiare altre proprietà statistiche dei track billiards, più interessanti dal punto di vista delle applicazioni, come la velocità del decadimento delle correlazioni, il teorema del limite centrale e i coefficienti di trasporto. Lo studio di queste proprietà rappresenta uno dei progetti di ricerca futuri su cui intendo lavorare. 5. Seminari e partecipazione a scuole e conferenze Biliardi ergodici nel piano, Seminario tenuto al Dipartimento di Matematica dell Univerisità di Tor Vergata, Novembre 2005. Escuela Latino Americana de Matemática, Solis, Uruguay, Dicembre 2005. International Congress of Mathematicians 2006, Madrid, Agosto 2006. Riferimenti bibliografici [1] P. Bálint, N. Chernov, D. Szász, I. P. Tóth, Multi-Dimensional Semi- Dispersing Billiards: Singularities and the Fundamental Theorem, Ann. Henri Poincaré 3(3) (2002), 451-482. [2] L. Bunimovich, On the ergodic properties of nowhere dispersing billiards, Comm. Math. Phys. 65 (1979), 295-312. [3] L. Bunimovich, On absolutely focusing mirrors, ergodic theory and related topics, Lect. Notes Math. 1514, Springer-Verlag 1992, 62-82. [4] L. Bunimovich, G. Del Magno, Semi-focusing billiards: hyperbolicity, Comm. Math. Phys. 262(2006), 17-32. [5] L. Bunimovich, G. Del Magno, Semi-focusing billiards: ergodicity, preprint. [6] L. Bunimovich, G. Del Magno, Track billiards, work in progress. [7] N. Chernov, S. Troubetzkoy, Ergodicity of billiards in polygons with pockets and bumps, Nonlinearity 11 (1998), 1095-1102. [8] B. Chenaud, P. Duclos, P. Freitas and D. Krejčiřk, Geometrically induced discrete spectrum in curved tubes, Differential Geom. Appl. 23 (2005), 95-105. [9] G. Del Magno, Ergodicity of a class of truncated elliptical billiards, Nonlinearity 14 (2001), 1761-1786. [10] G. Del Magno and R. Markarian, Bernoulli elliptical stadia, Comm. Math. Phys. 233 (2003) 211-230. [11] G. Del Magno and R. Markarian, On the Bernoulli property of two dimensional hyperbolic billiards, preprint. [12] V. Donnay, Using integrability to produce chaos: billiards with positive entropy, Comm. Math. Phys. 141 (1991), 225-257. [13] G. Gallavotti, D. S. Ornstein, Billiards and Bernoulli schemes, Comm. Math. Phys. 38 (1974), 83-101.
[14] C. Liverani, M. P. Wojtkowski, Ergodicity in Hamiltonian systems, Dynamics Reported 4, Springer-Verlag, 1995. [15] R. Markarian, Billiards with Pesin region of measure one, Comm. Math. Phys. 118 (1988), 87-97. [16] Ya. Sinai, Dynamical systems with elastic reflections, Russ. Math. Surv. 25 (1970), 137-189. [17] D. Szàsz, On the K-property of some planar hyperbolic billiards, Comm. Math. Phys. 145 (1992), 595-604. [18] M. Wojtkowski, Principles for the design of billiards with nonvanishing Lyapunov exponents, Comm. Math. Phys. 105 (1986), 391-414. 5