1. Valutazione Numerica di Integrali con metodi deterministici.

1. Valutazione Numerica di Integrali con metodi deterministici. 1.1. Introduzione I metodi che studieremo richiedono che la funzione integranda sia continua ed i suoi limiti siano niti. In generale i metodi numerici di integrazione per funzioni continue in intervalli niti [a; b], sono rappresentabili con formule cosiddette di quadratura: I = Z b a f(x)dx e= w i f(x i ) (1.1) ove gli x i, in numero nito, sono chiamati nodi e i w i sono chiamati pesi. La scelta deinodiedeipeside nisceilmetododicalcolonumericodell'integrale.lafunzione f(x) sia continua nell 'intervallo di integrazione. 1.. Dimostrazione della formula di quadratura L'integrale I deve essere calcolato sull'intervallo continuo [a; b]. Come prima approssimazione si puµo suddividere l'intervallo in n sottointervalli che risultano dell'inserimento di n +1nodix i in [a; b]. Notare che x 0 = a, echex n = b. Gli altri nodi si inseriscono ordinatamente all'interno di [a; b], in posizioni arbitrarie. Facendo riferimento ad una proprietµa fondamentale, l'integrale si puµo esprimere come somma degli n integrali parziali de niti nei singoli intervallini: Z b I = f(x)dx = f(x)dx (1.) a x i Ricordando il teorema del valore medio per integrali che dice: "esiste al meno un valore» i nell'intervallo [x i ; x i+1 ] tale che l'integrale R x i+1 x i f(x)dx e equivalentea", l'equazione 1. puµo essere riscritta come Z b a f(x)dx = Z xi (x i x i ) f(» i ) (1.3) Purtroppo i valori» i non sono noti, e per calcolarli dall'equazione Z xi+1 f(x)dx =(x i+1 x i ) f(» i ) (1.4) x i ci vorrebbe, poter risolvere gli integrali R x i+1 x i f(x)dx. Tuttavia e semprepossibile realizzare uno sviluppo della funzione f(x); in serie di Taylor, nei dintorni di un punto x i che potrµa essere determinato in seguito utilizzando un qualsiasi metodo d'integrazione. Lo sviluppo cosµi de nito

f(x) =f(x i )+(x x i )f 0 (x i )+(x x i ) f 00 (x i )+::: (1.5) puµo essere valutato in» i ottenendo f(» i )=f(x i )+(» i x i )f 0 (x i )+(» i x i ) f 00 (x i )+::: (1.6) che puµo essere sostituito nell'equazione dell'integrale da dove si ottiene Z b a f(x)dx = = (x i x i ) h f(x i )+(» i x i )f 0 (x i )+(» i x i ) f 00 (x i )+::: i (1.7) w i f(x i ) {z } formula di quadratura h + w i (»i x i )f 0 (x i )+(» i x i ) f 00 (x i )+::: i {z } errore Nell'equazione 1.7 e stata introdotta la notazione w i = x i+1 x i. Chiaramente, la somma di tutti gli intervallini deve essere uguale all'ampiezza dell'intervallo [a; b], w i = b a. (1.8) Notare che l'errore puµo essere sempre valutato per un qualsiasi metodo d'integrazione ricorrendo ad una funzione di prova della quale si conosce l'integrale analitico, e realizzando il calcolo degli» i dall'equazione 1.4. 1.3. Metodo dei trapezi Consideriamo l' integrale: Z b I = f(x)dx (1.9) a : Suddividiamo l ' intervallo di integrazione in n intervalli uguali di lunghezza h = (b a)=n. ove a = x 0 e b = x n : L' area nell' intervallo i esimo della curva y = f(x) fra x i e x i+1 (x i+1 = x i + h) µe Z xi+1 I i = f(x)dx (1.10) x i Ma se h µe abbastanza piccolo, I i puµo essere stimato abbastanza bene dall' area del trapezio costituito dall 'intervallo h; dalle due ordinate f(x i )ef(x i+1 ) e dalla secante del' arco della curva. Perciµo, se scriviamo: y i = f(x i )ey i+1 = f(x i+1 ),l'areadella curva sarµa approssimata dall 'area: I i ' 1 h(y i + y i+1 ) (1.11)

Sommando tutti questi termini, ottenuti per tutti gli intervalli si ha: sviluppando: I ' n X i=0 I i = I T (1.1) I T = I h = h (y 0 +y 1 +y + +y n +y n + y n ) (1.13) I T µe l 'espressione del ben noto metodo dei trapezi, cosµ³ chiamato perchµe approssima l' integrale con una somma di trapezi. µ Eilmetodopiµusemplice per l 'integrazione numerica, ma il suo errore di troncamento o di discretizzazione µe il piµu grande fra quelli dei vari metodi usati. 1.4. Errore di troncamento nel metodo dei trapezi L' errore di troncamento commesso usando la formula vista, µe la somma delle aree fra la curva y = f(x) e le corde fra i punti (x i; y i) e(x i+1 ;y i+1 ). Approssimiamolastima di questo errore ottenendo una espansione in serie di Taylor della funzione y = f(x) agli estremi degli intervalli al ne di ottenere l'equazione della curva vera in una forma che possa permettere un confronto coll'approssimazione I T. Consideriamo l 'espansione in serie di Taylor di y = f(x) intorno al punto x = x i. Assumeremo che f(x) abbia tante derivate continue quante potrµa essere richiesto. y = y i +(x x i )yi 0 + (x x i) yi 00 + (1.14) In modo simile l'espansione intorno a x = x x+1 µe y = y i+1 +(x x i h)yi+1 0 + (x x i h) yi+1 00 + (1.15) Le due equazioni sono entrambe valide. Il nostro scopo puµo essereraggiuntopren- dendo la media delle due: una operazione del tutto legittima. y = y i+1 + y i + (x x i) (yi+1 0 + y0 i ) h y0 i+1 (1.16) i ) (x x i)h + (x x i) (yi+1 00 4 + y00 Integrando ydx da x i a x i+1, y 00 i+1 + h 4 y00 i+1 + xz i+1 x i ydx = h (y i+1 + y i )+ h 4 (y0 i+1 + y0 i ) h y0 i+1 (1.17) 3

+ h3 1 (y00 i+1 + yi 00 ) h3 4 y00 i+1 ++ h3 4 y00 i+1 + = h (y i+1 + y i ) h 4 (y0 i+1 yi)+ 0 h3 1 (y00 i+1 + yi 00 )+ Questa espressione d a una stima del valore vero dell 'integrale; la stima puµo essere accurata quanto si vuole dal punto di vista analitico, prendendo un numero su±ciente di termini dell' espansione in serie di Taylor. Il metodo dei trapezi si ottiene considerando il primo termine come approssimazione dell 'integrale ed eliminando tutti i termini contenenti h epotenzepiµuelevate. L' errore di troncamento in questo metodo µe quindi: E Ti = h 4 (y0 i+1 y0 i )+h3 1 (y00 i+1 + y00 i )+ (1.18) Per h piccoli, si sarebbe tentati di scegliere il primo termine della espressione alla destra come approssimazione accettabile dell 'errore di troncamento. Ma si puµo vedere che anche le derivate di ordine superiore contribuiscono al primo termine. Per cui assumeremo che l 'errore di troncamento del metodo dei trapezi sia della forma: E Ti ' Kh (y 0 i+1 y 0 i) (1.19) dove K µe una costante da determinare. Questa µe ovviamente solo una approssimazione basata sull 'assunto che K sia una costante; ciµo µeverosey 00 elederivatediordine superiore non variano molto nell' intervallo x i e x i+1 : Per determinare K si osservi che lo sviluppo in serie dell' integrale in un intervallo, visto pi u sopra,pu o essere e ettuato per qualsiasi funzione. Si puµo quindi scegliere qualsiasi funzione per cui esista un errore di troncamento ed il risultato sarµa valido per tutte le funzioni. Una funzione semplice µe y = x, ma in questo caso l' errore di troncamento µe zero, il che signi ca che il metodo dei trapezi µe esattonel calcolo di integrali di funzioni lineari. La funzione piµu semplice che segue µe y = x. Il valore analitico di I i in questo caso µe: Z xi+1 I i = x dx = x i h + x ih + h3 x i 3 Usando le approssimazioni precedentemente trovate; si ottiene anche: (1.0) I i = h (y i+1 + y i )+E Ti = x i h + x i h + h3 + E T i (1.1) Dalle due uguaglianze si ottiene: E Ti = h3 6 (1.) 4

Ma dato che y 0 =x; abbiamo anche: Segue che: E Ti ' Kh (x i + h x i )=Kh 3 (1.3) K ' 1 1 (1.4) e quindi: E Ti ' h 1 (y0 i+1 y0 i ) (1.5) L' errore di troncamento totale µe stimato da: e T = n X i=0 E Ti ' h 1 (y0 b y 0 a) (1.6) ove yb 0 e y0 a sono i valori di dy=dx calcolati negli estremi a e b. Si pu o usare un' altra espressione per l' errore usando il teorema del valor medio: dove a<»<b, da cui si ha usando n invece di h si ha: y 0 b y 0 a =(b a)y 00 (») (1.7) e T ' h 1 (b a)y00 (») (1.8) Se si considera il limite superiore di jy 00 (»)j, M: e T ' 1 1 (b a)3 1 n y00 (») (1.9) per a» b;allora: M =maxjy 00 (»)j (1.30) je j h T 1 (b a)m oppure je T j 1 1 (b 1 a)3 n M (1.31) Questa µe un' approssimazione dell' errore di troncamento, non un limite superiore. 5

1.5. Errore di arrotondamento del metodo dei trapezi L 'errore di arrotondamento nel metodo dei trapezi si ottiene applicando alla formula corrispondente le formule di propagazione degli errori nel calcolo aritmetico. La formula risultante dal calcolo µe: µ a) 1 a) je R j y"(b oppure je R j y"(b n (1.3) h ove: y µe la media arimetica dei valori della funzione calcolata in tutti nodi; " µe la precisione di macchina. Questa relazione vale con maggior approssimazione per h piccoli. L ' errore totale jej µe dato dalla somma dei due termini trovati je T j e je R j: jej = je T j + je R j (1.33) I due termini agiscono, l' uno in modo decrescente, l' altro crescente con n, per cuisesiponeingra con ed jej si pu o notare un minimo per jej che da un lato da un valore ottimo per n o per h; dall'altro asserisce l' esistenza di un limite inferiore dell' errore e che quindi, µe impossibile evitare errori nel calcolo dell 'integrale. Questa considerazione ovviamente ha un carattere di generalitµa per tutti i problemi di calcolo numerico. 10 8 6 4 0 0 4 n Composizione degli errori di troncamento ed arrotondamento per il metodo dei trapezi. E' evidente che l'errore minimo non puµo essere ridotto aumentando il valore di n. 6 8 10 1.6. Estrapolazione di Richardson Una semplice modi ca del metodo dei trapezi puµo dare una migliore approssimazione al valore di un integrale. Ricordiamo che per un intervallo h 6

ove e T = Ch (1.34) C = b a 1 y00 (»); a <» < b (1.35) Se y 00 µe approssimativamente costante, C potrµa essere assunto costante. Supponiamo di prendere un altro passo k =(b a)=m ove m 6= n. Allora: e T = Ck (1.36) Chiamiamo I h ed I k i risultati ottenuti col metodo dei trapezi usando rispettivamente i passi h e k. Allora: e sottraendo le due equazioni si ha: I = I h + Ch (1.37) I = I k + Ck (1.38) C = I h I k k h (1.39) Usando una delle equazioni per I si ha: k h I h k I R = I h + I h I k k 1 = 1 (1.40) k 1 h h h Questa relazione fornisce una approssimazione migliore a I di quanto non diano I h e I k. Infatti, se y 00 (x) µecostanteina x b; l' errore di troncamento µe nullo ed il metodo µe quindi esatto per parabole. Questo metodo µe chiamato metodo di estrapolazione di Richardson. 1.7. Metodo di Simpson Un caso particolare del metodo di Richardson si ha quando n µe pariedm = n= oppure k =h: Sviluppando la relazione precedente si ottiene il metodo di Simpson: ricordando che: I k I S = 4 3 I h 1 3 I k (1.41) I h = h (y 0 +y 1 +y + +y n +y n + y n ) (1.4) 7

si ottiene I k = h (y 0 +y + +y n + y n ) (1.43) I S = 4 h 3 (y 0+y 1 +y + +y n +y n +y n )+ 1 3 h( y 0 y y n y n ) (1.44) da cui: I S = h 3 (y 0 +4y 1 +y +4y 3 +y 4 + +y n 4 +4y n 3 +y n +4y n + y n ) (1.45) Questa µe la formula di Simpson che oltre ad essere una formula esatta per polinomi di secondo grado lo µe anche per polinomi di terzo grado. Infatti un calcolo simile a quello visto per il metodo dei trapezi porta in modo inaspettato a: e T ' h4 180 (b a)f iv (») oppure e T ' 1 180 (b 1 a)5 n f iv (») a» b (1.46) 4 µe importante notare che l' errore di troncamento per il metodo dei trapezi µe proporzionale ad h, mentre quello per il metodo di Simpson µe proporzionale ad h 4 : Ciµo ri ette il fatto che il metodo di Simpson µe equivalente ad uno sviluppo in serie di Taylor no ai primi quattro termini, mentre ci si aspettava di rappresentare uno sviluppo in serie solo no ai primi tre termini. Il metodo µe quindi esatto per polinomi con grado non superiore al terzo. Notiamo in ne che l' errore di arrotondamento anche per il metodo di Simpson µe proporzionale a 1 per piccoli valori di h; per cui l 'errore totale ha un minimo inferiore h a quello del metodo dei trapezi e un punto di minimo per n minore rispetto al metodo dei trapezi. 1.8. Metodo di integrazione di Gauss Se nell' integrazione numerica, alla uguaglianza degli intervalli di integrazione, si preferisce rendere minimo l ' errore di troncamento per un dato numero di intervalli, ssato un numero di nodi, la loro posizione verrµa de nita dal metodo. Si puµo dire che il sacri cio di non poter scegliere i nodi µe compensato largamente da una migliore accuratezza del risultato. Studiamo il problema con il metodo piµu semplice, vale a dire con due punti. Ricordiamo che con due punti, i metodi giµa studiati ci danno la massima accuratezza per funzioni lineari (polinomi di primo grado). Si mostrerµa che con due punti che verranno scelti in modo appropriato possiamo ottenere una formula esatta per l ' integrale di una cubica. Sebbene non proveremo il fatto in tutta generalitµa, µe forse 8

intuitivamente ovvio che se un metodo di integrazione d a un risultato esatto per un polinomio di grado piµu alto,questo µe piµu accurato in generale. Per pima cosa, cambiamo i limiti di integrazione dall' intervallo [a; b] all' intevallo [; +1];per sempli care l ' analisi. De niamo una nuova variabile: cosicch e: ¹ = x (b + a) b a (1.47) x = 1 (b a)¹ + 1 (b + a) (1.48) L 'integrale diventa: ove I = Z +1 (¹)d¹ (1.49) (¹) = 1 (b a) f[1 (b a)¹ + 1 (b + a)] (1.50) Proveremo ancora a vedere ciµo che si puµo fare con due ordinate, il che signi ca che proveremo ad approssimare la curva con una retta. tale che y = 0 + 1 ¹ (1.51) Z +1 ( 0 + 1 ¹)d¹ = Z +1 (¹)d¹ (1.5) La retta dovrµa tagliare la curva y = (¹) inmododacompensarel'areachesta sopralarettaconquellachestasotto. Perquestoscopoassumiamochel'integrale, approssimato col metodo di Gauss, sia: I G = A 0 (¹ 0 )+A 1 (¹ 1 ) (1.53) ove ¹ 0 ;¹ 1 ;A 0 ;A 1 ;sono costanti da trovare. Dato che abbiamo quattro parametri, ci si puµo aspettare che possano essere scelti per dare una formula esatta per un integrando polinomiale cubico. Riscriviamo (¹) =a 0 + a 1 ¹ + a ¹ + a 3 ¹ 3 (1.54) ( ¹) = α 0 + α 1 ¹ +(¹ 0 ¹ )(¹ ¹ 1 )( 0 + 1 ¹) (1.55) Da t o ch e 0 αed α 1 de vo no so ddis f ar e nt l e ' grale i pi µusopra, 0 ¹ e ¹ 1 de von o es se re scelti in modo che 9

Z +1 (¹ ¹ 0 )(¹ ¹ 1 )( 0 + 1¹)d¹ = 0 (1.56) Questa relazione deve valere per tutti i 0 e 1 segue che: R +1 (¹ ¹ 0)(¹ ¹ 1 )d¹ =0 R +1 (¹ ¹ 0 )(¹ ¹ 1 )¹d¹ =0 Eseguita l ' integrazione si ha (1.57) dalle quali segue +¹ 3 0¹ 1 =0 ¹ 0 + ¹ 1 =0 (1.58) Ora dobbiamo trovare A 0 ed A 1 : Si noti che Z +1 (¹)d¹ = ¹ 1 = ¹ 0 = 1 p 3 (1.59) Z +1 Sostituendo nell' espressione 1.53 si ha ( 0 + 1 ¹)d¹ = 0 (1.60) I G = A 0 ( 0 + 1 ¹ 0 )+A 1 ( 0 + 1 ¹ 1 )= 0 (A 0 + A 1 ) 1 p 3 (A 0 A 1 )= 0 (1.61) La relazione deve essere vera per tutti gli 0 egli 1 ; per cui da cui (A 0 + A 1 )= (A 0 A 1 )=0 (1.6) L ' integrale 1.53 diventa A 0 = A 1 = 1 (1.63) I G = ( 1 p 3 )+ ( 1 p 3 ) (1.64) Questa µe la formula di quadratura di Gauss con punti. Si puµo mostrare che in questo caso l 'errore di troncamento µe e T = iv (»)=135; 1 <»<1 (1.65) quindi questo µe un metodo esatto per polinomi di terzo grado ( iv (») =0). Formule di quadratura di Gauss di ordine superiore si ottengono usando piµu punti ed in generale di erenti pesi (A i ).: 10

Z +1 (¹)d¹ = A i (¹ i ) (1.66) In generale con n+1 punti si ottiene una formula esatta per un polinomio di grado n +1. Risulta che i ¹ i sonoleradicideipolinomidilegendredigradon. Per questa ragione il metodo µe chiamato anche quadratura di Legendre-Gauss. IPolinomidiLegendreP n (¹) sono de niti in modo ricorrente da: 8 >< >: i=0 P 0 (¹) =1 P 1 (¹) =¹ P m (¹) = 1 m [(m 1)¹P m(¹) (m 1)P m (¹)] Si ricorda anche i detti polinomi sono de ni nell' intervallo [; 1]: Ipesisonodatida: (1.67) A i = (1.68) (1 ¹ i )[Pn(¹ 0 i )] L 'errore di troncamento µe dato da: e T = (n) (») n! n ( n +1 X i=0 Sostituendo n = si ottengono i risultati precedenti. Vengono forniti i nodi ¹ ed i pesi A per n =; 3; 4: 8 >< >: 1.9. Confronto fra i metodi ¹ A n = 0:57735069 1:0000000000 n =3 0:774596669 0:5555555556 0: 0:8888888889 n =4 0:8611363116 0:3478548451 0:3399810436 0:36968851 A i ¹ n i ) (1.69) Conclusioni valide in modo rigoroso riguardo alla precisione non possono essere enunciate; tuttavia le considerazioni che seguono hanno una ampia applicabilitµa pur se solo vere approssimativamente. ² Il metodo di Simpson con n punti fornisce lo stesso ordine di approssimazione del metodo dei trapezi con n punti; ² la quadratura di Gauss con n punti fornisce lo stesso ordine di accuratezza del metodo di Simpson con n punti; 11

² per la stessa accuratezza, il metodo di Simpson richiede circa la metµa dei calcoli necessari usando il metodo dei trapezi, poich e vi sono circa la metµa di ordinate da calcolare; ² per la stessa accuratezza, la quadratura di Gauss richiede circa la metµa dei calcoli necessari usando il metodo di Simpson poich e vi sono circa la metµa di ordinate da calcolare. 1