Assicurazioni libere sulla vita

Capitolo 9 Assicurazioni libere sulla vita 91 Estinzione di collettività 911 Introduzione Questo capitolo si occupa di assicurazioni libere sulla vita, cioè di particolari operazioni finanziarie nelle quali i capitali in gioco sono esigibili solo al verificarsi di determinati eventi relativi alla sopravvivenza o al decesso di persone fisiche a determinate età In questo caso si rende necessario valutare le probabilità di quegli eventi per poter calcolare il valore attuale aleatorio di quei capitali Per raggiungere lo scopo occorre premettere qualche cenno allo schema teorico, mutuato dalla Demografia (Teoria della sopravvivenza), nel quale il calcolo di quelle particolari probabilità si inserisce In proposito, il Calcolo delle Probabilità, la Demografia e la Matematica Attuariale hanno formulato schemiteoricidiriferimentoovesidefinisce una collettività e si analizza la sua evoluzione nel tempo Una collettività è un particolare insieme di elementi (individui) che hanno in comune certe proprietà La collettività si evolve in un intervallo temporale di età [0; ω], conω età estrema, ed il numero degli appartenenti alla collettività, cioè la sua dimensione al tempo t, è indicata col simbolo N t Le caratteristiche e le ipotesi più rilevanti che assumiamo sulla collettività sono le seguenti: 1 La collettività nasce, cioè si forma, all epoca t =0ed è inizialmente costituita da N 0 elementi 2 La collettività può essere aperta o chiusa, nel senso, rispettivamente, che agli elementi che all inizio le appartengono se ne possono, oppure no, aggiungere altri a tempi successivi; per le applicazioni che ci inte-ressano (quelle assicurative) assumiamo l ipotesi che la collettività sia chiusa 85

86 Capitolo 9 Assicurazioni libere sulla vita 3 Per nostra comodità, scegliamo solo epoche (ovvero età) intere t {0, 1, 2,, ω}, espresse in anni La collettività si evolve nel tempo, nel senso che può verificarsi, a carico di ciascuno dei suoi elementi, un determinato evento E, detto causa di eliminazione, che provoca l uscita dalla collettività di quell individuo Ciò garantisce che la dimensione N t di una collettività chiusa è funzione non crescente del tempo t La collettività può estinguersi in senso debole, nel senso che risulta 0 t 1 <t 2 ω N t2 N t1, (911) oppure in senso forte, quando i suoi individui sono tutti destinati ad essere,tostootardi,eliminati;inquesto caso vale ancora la (911) ed in più risulta N ω =0, come sempre supporremo nel seguito 4 Comunque scelte due età t e t 0,con0 t<t 0 ω, tuttiglielementidella collettività ancora vivi all età t (cioè ancora appartenenti a questa), hanno la stessa probabilità di essere eliminati entro l età t 0 Esempi di collettività sono i seguenti: I biglietti della Lotteria di Merano di quest anno posti in vendita dalla tabaccheria della Stazione FS di Pavia La causa di eliminazione è la vendita, o il ritiro per avvenuta estrazione; tuttavia, durante il periodo di vendita, il gestore della tabaccheria può, all occorrenza, rifornirsi di altri biglietti Le obbligazioni emesse da parte delle FS in un certo anno e man mano sorteggiate per il graduale rimborso InatiinItaliail1 0 gennaio 1993 I clienti oggi presenti al Plaza Hotel di Pavia Osserviamo che nel 1 0 esempio la collettività è aperta e si estingue in senso forte, mentre nei successivi due la collettività è chiusa e si estingue in senso forte; infine, nell ultimo esempio la collettività è aperta e non si estingue neppure in senso debole

91 Estinzione di collettività 87 912 Funzione di sopravvivenza Occorre ora calcolare la probabilità che un assegnato individuo, per ipotesi vivo ad una determinata età, risulti ancora vivo dopo un certo numero di anni, probabilità che, grazie alle ipotesi assunte, non muta con la scelta dell individuo Cominciamo col caso più semplice: calcoliamo la probabilità t p 0 (si legge: p con 0, differito t) che un individuo, vivo all età 0, risulti ancora vivo all età t, cont {1, 2,,ω} Il numero k dei sopravvissuti all epoca t tra gli N 0 individui appartenenti alla collettività all epoca iniziale 0, può essere uno ed uno solo dei seguenti: 0, 1, 2,,N 0 Nelle ipotesi assunte, questi sono gli argomenti di una variabile casuale binomiale B (si veda il par 95), e ad essi competono le probabilità: p(b = k) = N 0 k (t p 0 ) k [1 ( t p 0 )] N 0 k, k {0, 1, 2,,N 0 } Infatti B è la somma di tante variabili casuali, ognuna delle quali, riferita ad uno degli N 0 individui inizialmente vivi, può assumere le determinazioni: 1 se quell individuo sopravvive, oppure 0 in caso contrario, con le rispettive probabilità t p 0 e (1 t p 0 ) Calcoliamo il valor medio di B, indicandolo con (oppure `t: la lettera L o ` richiama l iniziale della parola inglese living = vivente) Grazie ai risultati delpar95,abbiamo: = M(B) =N 0 ( t p 0 ) Per uniformare la notazione, scriviamo pure L 0 al posto di N 0 (i valori sono gli stessi): = L 0 ( t p 0 ) (912) Il valor medio ora ottenuto è una funzione di t, detta funzione di sopravvivenza, e fornisce il numero medio di viventi all epoca t {1, 2,,ω} La (912) può essere riscritta nella forma: tp 0 = L 0 (913) La probabilità t p 0 si può interpretare come il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell evento l individuo, vivo all età 0, è ancora vivo all età t eilnumerol 0 dei casi possibili per lo stesso evento (la loro equi probabilità rientra tra le nostre ipotesi di partenza) Questa interpretazione non è per nulla obbligatoria; tuttavia essa è non solo lecita (per la Teoria

88 Capitolo 9 Assicurazioni libere sulla vita Classica del Calcolo delle Probabilità: par 911), ma soprattutto comoda dal punto di vista pratico, perciò la adotteremo anche per le analoghe relazioni che incontreremo Indichiamo con t+1 p 0 la probabilità che un individuo, vivo all epoca 0, sia vivo anche all epoca (t +1) econ 1 p t la probabilità che un individuo, vivo di età t, sia vivo l anno successivo Per il principio delle probabilità composte si ha e risulta perciò, grazie alla (913), t+1p 0 =( t p 0 )( 1 p t ) 1p t = t+1 p 0 tp 0 = +1 L 0 +1 = (914) L 0 La probabilità 1 p t è detta tasso annuo di sopravvivenza di un individuo di età t, ovvero, come si suol dire, di una testa di età t Essa si interpreta ancora come rapporto tra il numero +1 deicasifavorevolialverificarsi dell evento la testa di età t èvivadopounanno eilnumero dei casi possibili, per ipotesi equi probabili Per alleggerire la notazione poniamo p t per 1 p t : p t = 1 p t = +1 La (914) può essere subito generalizzata per calcolare la probabilità n p t che una testa di età t sopravviva (almeno) altri n anni, cioè arrivi viva all età (t + n), conn {1, 2,,ω t}: np t = +n Si possono ora calcolare, per tenerci su il morale, probabilità di morte: 1 La probabilità t q 0 (si legge: q con 0, temporaneo t) che un vivente di età 0muoiaentrot anni: tq 0 =1 ( t p 0 )=1 L 0 = L 0 L 0 ; il numero dei casi favorevoli all evento considerato, cioè il numero dei morti (L 0 ) tral età0et, viene rapportato al numero L 0 dei casi possibili, per ipotesi equi probabili

91 Estinzione di collettività 89 2 La probabilità 1 q t che un vivente di età t<ω muoia entro un anno: 1q t =1 ( 1 p t )=1 +1 = +1 Per il numero ( +1 ) dei morti tra le età t e (t +1)si usa porre: d t = +1 (d è l iniziale della parola inglese dead = morto), in modo da scrivere: 1q t = d t 1q t è detta tasso annuo di mortalità di un individuo (o testa) di età t e per alleggerire la notazione si scrive q t per 1 q t : q t = 1 q t = +1 = d t 3 Indichiamo con m/n q t (si legge: q con t, differito m, temporaneon) la probabilità che un vivente di età t muoia tra le età (t + m) e (t + m + n) Questo evento si verificherà se e solo se il vivente all epoca t sopravvive fino all età (t + m) emuorepoientroisuccessivin anni Risulta perciò: ovvero: m/nq t =( m p t )( n q t+m ), m/nq t = +m Lt+m +m+n +m = +m +m+n ; (+m +m+n ) è il numero dei morti tra le epoche (t+m) e (t+m+n), cioè il numero dei casi favorevoli all evento in questione, mentre è quello dei casi possibili, per ipotesi equi probabili Le probabilità finora gestite servono anche per definire le probabilità di altri eventi più complessi, come emerge dal seguente esempio Esempio Il Sig Mario ha oggi 30 anni e sua moglie Franca ne ha 3 in meno (l età delle signore non si dice) Definiamo la probabilità dei seguenti eventi: A: solo Mario sarà vivo tra 20 anni; B: uno solo dei due coniugi sarà vivo tra 20 anni; C: al più uno dei due sarà vivo tra 20 anni

90 Capitolo 9 Assicurazioni libere sulla vita Ci conviene adottare le notazioni: M = Mario è vivo tra 20 anni F = Franca è viva tra 20 anni, nonché M e F per i rispettivi eventi contrari Le ipotesi assunte ci garanti-scono che gli eventi M e F sono tra loro indipendenti, perciò risulta: A = M F B = M F M F C = M F ) M F M F Poiché i 2 eventi la cui unione definisce B sono disgiunti, al pari dei 3 la cui unione definisce C, abbiamo: p(a) =( 20 p 30 )( 20 q 27 ) p(b) =( 20 p 30 )( 20 q 27 )+( 20 q 30 )( 20 p 27 ) p(c) =( 20 p 30 )( 20 q 27 )+( 20 q 30 )( 20 p 27 )+( 20 q 30 )( 20 q 27 ) 913 Tasso istantaneo di mortalità Per le ipotesi finora assunte, la funzione di sopravvivenza èdefinita dalla (912) per i soli numeri interi t tra 0 ed ω Se rimettiamo in discussione l ipotesi che la causa di eliminazione possa agire solo alle età intere ed accettiamo invece che essa possa agire a qualunque istante t, possono aversi funzioni che, t [0; ω], sono continue, o addirittura dotate di derivata prima L 0 t, magari anch essa continua Assumiamo queste ipotesi e riscri-viamo la probabilità h q t che una testa di età t muoia entro i successivi h anni nella seguente espressione: hq t = +h Perilteoremadeldifferenziale, esiste un numero z(h), infinitesimo con h, per il quale si ha: hq t = [L0 t + z(h)] h = L0 t h z(h) h (915) Definita ora la funzione µ(t) = L0 t, detta intensità istantanea di mortalità, possiamo riscrivere la (915) nella forma: hq t = µ(t)h z(h)h

91 Estinzione di collettività 91 µ(t) non è una probabilità, tuttavia consente di ottenere un approssimazione lineare della probabilità h q t, e cioè: a parte un errore che risulta infinitesimo con h di ordine superiore al 1 0 rispetto ad h, quella probabilità è proprio pari al prodotto tra µ(t) e la durata h 914 Vita media e vita mediana Se la causa di eliminazione si verifica solo alla fine dell anno, un individuo vivo all età t 0, cont intero, può restare in vita un numero di anni completi A t variabile tra 1 e (ω t) Questi numeri sono gli argomenti di una variabile casuale A t, detta vita residua; le rispettive probabilità sono: 1q t, 1/1q t, 2/1q t,, ω t 1q t Il valore medio della variabile casuale A t (sivedailpar932)èdettovita media residua ed è indicato con e t (dall iniziale dell inglese expected life) A conti fatti risulta: e t = M(A t )= + +1 + + L ω 1 Questo valore è detto, più propriamente, vita media residua incompleta, perché è calcolato sotto l ipotesi che la causa di eliminazione agisca solo alle età intere Per alcune collettività (ad esempio, per quella delle obbligazioni) l ipotesi è accettabile, per altre (collettività di persone) non lo è Per queste ultime conviene accettare l idea che si possa morire anche durante l anno Se poi si immagina che le morti si distribuiscano con uniformità nell anno, si può approssimare il valor medio di A t sottraendo 1 2 ( 1 2 anno = 6 mesi) a e t, ottenendo in tal modo la cosiddetta vita media completa, che si indica con e t : e t = e t 1 2 La mediana (vedi par 931) di A t è detta vita mediana residua (o vita mediana, ovita probabile) ed è indicata con π t Essa indica il numero di anni che devono trascorrere affinché la collettività di individui di età t riduca la propria dimensione media alla metà Nel caso di continua t, π t è soluzione dell equazione π t p t = 1 2, cioè +π t = 1 2 (916) La soluzione della (916) esiste unica se è strettamente decrescente con t, mentrese è costante a tratti si possono avere infinite soluzioni, delle quali solitamente si accetta l estremo inferiore Infine, nel caso di definita solo sui t interi, si considera come mediana il minimo intero π t che risolve la disequazione π t p t 1 2, cioè +π t 1 2

92 Capitolo 9 Assicurazioni libere sulla vita 915 Tavole demografiche e attuariali Le funzioni,d t,p t,q t,µ t, e t, π t, quando riferite ad una collettività di persone fisiche che si estingue in senso forte, vengono dette funzioni biometriche Note queste, si è in grado di risolvere parecchiproblemiinerentiilcalcolodelle probabilità di vita o di morte per individui di quella collettività, problemi che hanno un forte interesse nel campo, ad esempio, delle assicurazioni sulla vita Come determinare, in pratica, tali funzioni, almeno per i valori interi dell età t? A questo scopo sono stati messi a punto procedimenti atti a costruire funzioni biometriche, funzioni che sono infatti disponibili in apposite Tavole Demografiche (o di sopravvivenza, o di mortalità) In esse l età t è quasi sempre indicata con la lettera x Senza entrare in dettagli, osserviamo che le funzioni biometriche vengono costruite elaborando una gran massa di dati grezzi con particolari metodi statistici Nel nostro Paese i principali fornitori di questi dati sono gli Uffici Anagrafe dei vari Comuni, che forniscono all Istat (Istituto Centrale di Statistica) sia le statistiche sul numero dei morti, classificati per età, sia i dati rilevati per i Censimenti Generali della Popolazione, che si organizzano ogni 10 anni (1981 e 1991 sono i più recenti) Rapportando, per ciascuna età, il numero dei morti in un anno di censimento al numero degli esposti al rischio, si costruiscono i quozienti di mortalità q 0,q 1,q 2, ecc Tali dati grezzi sono affetti da errori di rilevazione, sia accidentali sia di altro tipo Devono quindi essere corretti, o, come suol dirsi, perequati, allo scopo di eliminare le irregolarità alle quali sono soggetti Ci sono diversi metodi di perequazione: 1 Il metodo empirico di perequazione grafica consiste nel sostituire alla successione dei dati grezzi (per esempio, alla successione {q t }, t {0, 1, 2,,ω 1}) una curva regolare ; peraltro, la regolarità è qui intesa in modo approssimativo, nel senso, ad esempio, che la somma algebrica degli scarti sopra esottolacurvadeveesserenulla 2 La perequazione meccanica o amediemobiliè invece un metodo più raffinato: consiste nel sostituire ad ogni valore grezzo (compreso tra altri dati) la media aritmetica tra il dato grezzo, i k cheloprecedonoedi k che lo seguono Famose sono la formula di Wittstein (media mobile con k =2) e la formula di Finlaison, che fornisce una media mobile con k = 4, dunque con 9 dati, che entrano con 9 pesi proporzionali ai numeri 1,2,3,4,5,4,3,2,1 Questo procedimento può essere facilmente generalizzato 3 Ancora più raffinati sono i metodi di perequazione analitica, che sono, in sostanza, metodi di interpolazione tra punti (curve fitting: si veda il par 116) Varie classi di funzioni sono state proposte per approssimare le funzioni biometriche Le proposte più ingenue riguardano direttamente

91 Estinzione di collettività 93 il comportamento di al variare di t, quelle più raffinate riguardano invece il comportamento di µ t In ogni caso, dato che nessuna delle leggi ottenute per tale via si adatta a tutte le età, si rende opportuno ricorrere alla sintesi di proposte diverse, una per ogni classe di età, più o meno ampia Le Tavole Demografiche riportano i valori delle principali funzioni biometriche per i valori interi dell età; di solito, queste tavole sono allegate alle Tavole Finanziarie e sono collocate fra queste e le Tavole Demografico Finanziarie, o Tavole Attuariali La Tavola Demografica porta, di solito, una intestazione del tipo Italia MF 1991, proprio per indicare il Censimento istat della popolazione (MF vuol dire popolazione mista = maschi e femmine) usato per la raccolta dei dati grezzi Solitamente, anche per facilitare i conti, la radice della tavola, cioè il valore di L 0, è scelta uguale a 100000 e l età estrema è fissata ad un valore compreso tra 100 e 110 Le Tavole Attuariali contengono invece i valori delle seguenti altre funzioni: = v t, (917) N t = + +1 + + D ω 1, (918) S t = N t + N t+1 + + N ω 1, C t = v t+1 d t, (919) M t = C t + C t+1 + + C ω 1, (9110) R t = M t + M t+1 + + M ω 1 I simboli ora indicati sono detti simboli di commutazione e le relative funzioni sono state introdotte per semplificare i calcoli di premi e di riserve nei contratti di assicurazione sulla vita, come si vedrà nei prossimi paragrafi Nota: gli attuari inglesi, nel definire N t, preferiscono saltare l addendo al 2 0 membro della (918) Ognuna di tali funzioni incorpora due basi tecniche: labase finanziaria, rappresentata dal regime di valutazione finanziaria scelto (esempio: la legge di capitalizzazione composta al tasso annuo di interesse del 4%), e la base demografica, rappresentata dalla legge di sopravvivenza adottata (ad esempio, quella della tavola di sopravvivenza Istat 1991 M, cioè per la popolazione maschile) Si consiglia lo studente di consultare, almeno alla svelta, una Tavola Demografica ed una Attuariale

94 Capitolo 9 Assicurazioni libere sulla vita 92 Le Assicurazioni L assicurazione, comedefinita nel Codice Civile (art1882), è un contratto con il quale l assicuratore, verso pagamento di un premio, si obbliga a rivalere l assicurato, entro limiti convenuti, del danno ad esso prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al verificarsidiuneventoattinente alla vita umana Precisiamochedeivaritipidi assicurazione (sia del ramo danni che del ramo vita) presenti sul mercato, ci occuperemo solo delle assicurazioni libere sulla vita, cioè di quelle assicurazioni in cui, se lo desidera, un contraente paga anticipatamente uno o più capitali, detti premi, per garantirsi che un beneficiario (egli stesso o altre persone) incassino uno o più capitali ad epoche future, nel caso in cui a tali epoche si verifichino determinati eventi relativi alla sopravvivenza o al decesso di un individuo, detto assicurato Se i capitali si incassano nel caso di sopravvivenza, si parla di assicurazioni caso vita, mentre nel caso contrario si hanno assicurazioni caso morte Esistono poi anche le assicurazioni miste, ove sono previste prestazioni che coinvolgono entrambe le situazioni (ad esempio, tra 30 anni il capitale C 1 amesesaròvivo,senoun capitale C 2 ai miei eredi) Esamineremo i principali tipi di assicurazione, indicando per ciascuno di essi come calcolare i premi Per fare ciò occorre premettere la nozione di valore attuale aleatorio 921 Valore attuale aleatorio Siano i Signori A e B due giocatori: A paga oggi un capitale U a B, e questi tra t anni pagherà ad A un capitale C se si verificherà l evento E, con probabilità p(e) =p, mentre in caso contrario non pagherà nulla Il guadagno di A può essere oggi stimato effettuando valutazioni in capitalizzazione composta al tasso di interesse annuo i, considerando le due possibili situazioni relative al verificarsi o meno dell evento E: se E si verifica: il guadagno di A è (al solito, v è (1 + i) 1 ): Cv t U; se E non si verifica: il guadagno (negativo, perciò perdita) di A è: 0 U = U Il guadagno G di A, valutato ad oggi, è quindi descritto dalla variabile casuale definita dallo schema: ½ Cv G = t U, U p, 1 p,

92 Le Assicurazioni 95 e dotata del valor medio: M(G) = Cv t U p +( U)(1 p) =Cv t p U In relazione al segno (positivo, nullo o negativo) assunto dal valor medio M(G), il gioco sarà detto favorevole ad A, equo o sfavorevole ad A Imponendo la condizione M(G) =0 otteniamo il valore che U deve assumere affinché il gioco sia equo: U = Cv t p (921) Osserviamo che il gioco ora considerato si può interpretare come un contratto di assicurazione ove: A è il contraente, la sua controparte B è una Compagnia assicuratrice, C è il capitale assicurato e U è il premio unico puro, inteso come quel capitale che rende equo, dal punto di vista matematico finanziario, lo scambio di capitali tra A e B La descrizione delle varianti più comuni di questo gioco sarà l argomento di questo paragrafo La (921) ci permette di definire il valore attuale aleatorio di un capitale futuro come segue: il valore attuale aleatorio, in sigla vaa, di un capitale C da incassare tra t anniseesolosesiverifica l evento E, di probabilità p, valore calcolato in capitalizzazione composta al tasso annuo i, è dato da: Cv t p (922) È facile generalizzare questa nozione al caso in cui il capitale esigibile tra t anni sia descritto da una variabile casuale C, il cui generico valore argomentale c k è associato all evento casuale E k, di probabilità p k, ovviamente con P n k=1 p k = 1 Inquestocasoilvaa di C sarà dato da: nx c k v t p k = v t k=1 nx c k p k = v t M(C), (923) k=1 essendo M(C) il valor medio della variabile casuale C Come nel caso (922), il vaa di C è dunque il valore medio della variabile casuale valore attuale di C Ovvie sono le varianti da introdurre qualora le valutazioni siano condotte con una legge di capitalizzazione diversa 922 Premi I pagamenti (uno o più di uno) che il contraente effettua alla Compagnia in cambio degli impegni che questa assume in polizza (è il documento che descrive il contratto) sono chiamati premi Il premio si dice premio unico se il contraente

96 Capitolo 9 Assicurazioni libere sulla vita assolve tutti i propri impegni effettuando un unico pagamento una tantum, in genere al momento della firma della polizza Al posto del premio unico, il contraente può assolvere i suoi impegni un po per volta, mediante il pagamento di più rate; di solito queste sono periodiche (ad esempio annue) e in questo caso si parla allora di premi periodici (per esempio annui), in contrapposizione al premio unico Si parla sempre, per vizio, di premi periodici anche quando essi non hanno una cadenza costante Le rate, in numero prefissato, sono pagate anticipatamente: perciò il 1 0 premio periodico annuo è pagato subito, il 2 0 dopo 1 anno, il 3 0 dopo 2 anni, ecc, in ogni caso finché l assicurato è in vita alle scadenze dei vari premi Spesso, anche se non sempre, i premi periodici sono di importo costante e allora si parla di premi costanti Secondo un altro criterio di classificazione, si distingue tra premio puro (o premi puri) e premio (o premi) di tariffa, detti pure commerciali, ocaricati Il premio puro (se unico, se no l insieme dei premi periodici) è quanto rende equa, dal punto di vista matematico finanziario, l operazione di assicurazione che intercorre tra contraente e Compagnia assicuratrice Più precisamente, valgono i seguenti principi generali: il premio unico puro U di un contratto di assicurazione deve essere uguale al vaa degli impegni futuri della Compagnia previsti nella polizza; il vaa della rendita descritta dai premi periodi puri deve essere uguale al premio unico puro, perciò al vaa del capitale (o della rendita) che la Compagnia si impegna a pagare Il premio di tariffa (o caricato, o commerciale) è quanto il contraente effettivamente paga, in unica soluzione se è previsto un premio unico, se no a rate, quando sono invece previsti premi periodici Si parla di premi di ta-riffa perché risultano da apposite tabelle (Tariffari) che facilitano il calcolo pratico dei premi; si parla pure di premi commerciali perché essi costitui-scono il prezzo del servizio fornito dalla Compagnia assicuratrice, mentre il premio puro ne costituisce il costo diretto derivante dalle prestazioni previste in polizza Analogo discorso vale per i premi di tariffa periodici Il premio di tariffa unico T si può immaginare ottenuto aggiungendo a quello unico U un importo detto caricamento (ecco perché T è detto anche premio caricato) Il caricamento (T U) èsemprescomponibileinunimporto fisso b einunimportoau proporzionale ad U: T =(1+a)U + b = U +(au + b), caricamento con a e b dipendenti dal tipo e dalla durata del contratto e dall età dell assicurato

92 Le Assicurazioni 97 Il caricamento (T U) =au + b copre i costi della Compagnia connessi all acquisizione ed alla gestione del contratto (al di là di quelli diretti, già compresi in U) e comprende pure (salvo il caso di Mutue Assicuratrici, che non hanno scopo di lucro) un margine di profitto L uso delle Tavole Attuariali fondate su basi tecniche che conducono a valutare con pessimismo le probabilità che si verifichino gli eventi previsti in polizza introduce un caricamento implicito (cioè nascosto) del premio, già in sede di calcolo del premio puro Ciò accade, ad esempio, quando si adottano tavole non aggiornate per valutare prestazioni legate al decesso dell assicurato Nei paragrafi sotto indicati analizzeremo i seguenti tipici contratti di assicurazione: 1023 Assicurazioni caso vita: di capitale differito di pensione di rendita temporanea 1024 Assicurazioni caso morte: elementare caso morte vita intera differita e temporanea 1025 Assicurazioni miste: semplice a capitale raddoppiato Segnaliamo comunque che contratti anche molto complessi possono essere costruiti, a partire da questi contratti, sfruttando il semplice fatto che il vaa di una rendita (quindi anche di quella descritta dalle prestazioni della Compagnia) è funzione lineare delle rate previste nella rendita Questo principio, detto principio di decomposizione dei contratti, serve anche a gestire il calcolo dei premi periodici, del quale ci occuperemo al par 1026 Per ciascuno degli 8 contratti standard sopra elencati, calcoleremo il premio unico puro U utilizzando la simbologia già introdotta Per semplicità, supporremo che alla firma del contratto l assicurato abbia un età intera t e che le prestazioni siano previste soltanto a successive scadenze intere 923 Assicurazioni caso vita Polizza di capitale differito Con la polizza di capitale differito, tram anni la Compagnia pagherà al beneficiario il capitale C se e solo se a quell epoca l assicurato, di età t alla firma della polizza, sarà ancora vivo Possiamo schematizzare il contratto come segue: età t (t + m) capitali U C Il premio unico puro U, parialvaa del capitale assicurato, è: U = Cv m ( m p t )=Cv m +m

98 Capitolo 9 Assicurazioni libere sulla vita Questa espressione può essere scritta anche in altro modo: moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per v t e utilizziamo il simbolo di commutazione,definito nella (917): U = Cv m vt v t +m = C vt+m +m v t = C +m Il rapporto +m / viene anche indicato con il simbolo m E t, e viene detto montante demografico-finanziario, per il seguente motivo Supponiamo che individui di età t versino ciascuno una lira, che viene impiegata per m anni in capitalizzazione composta al tasso annuo di interesse i Il relativo montante u t viene erogato, in parti eguali, agli +m fortunati sopravvissuti Ciascuno di questi incassa allora il capitale u t /+m, che è giusto il reciproco di m E t Trattandosi del reciproco di un valore attuale aleatorio, è proprio il caso di parlare di montante aleatorio Polizza di pensione Con la polizza di pensione la Compagnia pagherà al beneficiario una rendita di rata annua R a cominciare tra m anni dalla stipula della polizza e finché l assicurato, di età t alla firma della polizza, sarà vivo: età t (t + m) (t + m +1) (ω 1) capitali U R R R probabilità mp t m+1 p t ω 1 tp t Questa polizza può essere pensata composta da più polizze tutte di capitale differito, previste a varie scadenze Il suo premio unico puro U è: U = R v m ( m p t )+v m+1 ( m+1 p t )+ + v ω 1 t ( ω 1 t p t ) Utilizzando i simboli di commutazione e N t otteniamo: Dt+m U = R + +m+1 + + D ω 1 = R N t+m Nel caso particolare ove si scelga m =1si ottiene un contratto con rendita immediata posticipata il cui premio unico puro, con rata R unitaria, viene indicato col simbolo a t = N t+1, anch esso tabulato nelle Tavole Attuariali La scelta del simbolo ricorda un po la parentela con la rendita certa il cui valore attuale è indicato con a n i

92 Le Assicurazioni 99 Polizza di rendita temporanea Con la polizza di rendita vitalizia, temporanea e differita (anticipata), la Compagnia pagherà al beneficiario, iniziando tra m anni, una rendita di n rate annue R finché l assicurato, di età t alla firma della polizza, permarrà in vita: età t (t + m) (t + m +1) (t + m + n 1) capitali U R R R probabilità mp t m+1 p t m+n 1p t Il premio unico puro U sarà pari al vaa della rendita assicurata: U = R v m ( m p t )+v m+1 ( m+1 p t )+ + v m+n 1 ( m+n 1 p t ), ovvero, usando i simboli di commutazione, U = R Dt+m + +m+1 + + +m+n 1 Questa rendita può essere pensata quale differenza tra due pensioni, l una con inizio all età (t + m) e ultima rata all età (ω 1), e l altra con inizio all età (t + m + n) ed ultima rata all età (ω 1) Otteniamo allora: U = R Nt+m N t+m+n 924 Assicurazioni caso morte Polizza di morte elementare = R N t+m N t+m+n Con la polizza di morte elementare, detta anche di morte differita di m anni etemporanea1 anno, la Compagnia si impegna a pagare al beneficiario tra (m +1) anni il capitale C se l assicurato, di età t alla firma della polizza, morirà tra le età (t + m) e (t + m +1): età t (t + m) (t + m +1) capitali U C probabilità m/1q t Il premio unico puro U, pari al vaa del capitale assicurato, è: U = Cv m+1 ( m/1 q t )=Cv m+1 +m +m+1 Si può riscrivere tutto utilizzando il simboli già noti, dopo aver moltiplicato numeratore e denominatore della frazione per v t : m+1 vt +m +m+1 U = Cv v t = C vt+m+1 d t+m v t = C C t+m

100 Capitolo 9 Assicurazioni libere sulla vita Polizza di morte differita vita intera Con la polizza di morte, differita e vita intera, la Compagnia si impegna a pagare al beneficiario il capitale C alla fine dell anno della morte dell assicurato, di età t alla firma della polizza, purché la morte si verifichi dopo aver raggiunto l età (t + m): età t (t + m) (t + m +1) (t + m +2) ω capitali U C C C probtà m/1q t m+1/1 q t ω t 1/1q t Questa polizza può essere pensata composta da più assicurazioni di morte elementare ed il suo premio unico puro U è U = Cv m+1 ( m/1 q t )+Cv m+2 ( m+1/1 q t )+ + Cv ω t ( ω t 1/1 q t ), ovvero, usando i simboli di commutazione C t e M t : Ct+m U = C + C t+m+1 + + C ω 1 = C M t+m Scegliendo m =0si ottiene il caso particolare di una assicurazione di morteimmediatavitaintera, il cui premio unico puro è indicato con il simbolo, anch esso tabulato nelle tavole attuariali: A t = M t Polizza di morte differita temporanea Con la polizza di morte, differita e temporanea, la Compagnia si impegna a pagare al beneficiario un capitale C alla fine dell anno della morte dell assicurato, di età t alla firma della polizza, se la morte si verificheràdopoaver raggiunto l età (t + m) e prima di raggiungere l età (t + m + n) Questa assicurazione che può essere pensata come la differenza tra due assicurazioni caso morte vita intera, la prima differita di m anni, vita intera, e la seconda differita di (m + n) anni, vita intera Il premio unico puro U è: U = C M t+m C M t+m+n = C M t+m M t+m+n Comecasiparticolaridiquestotipodipolizza,abbiamo:conn = ω (t + m) una polizza di morte differita vita intera, con m =0una polizza di morte immediata vita intera

92 Le Assicurazioni 101 925 Assicurazioni miste Ciascuna polizza può essere stipulata da un contraente assieme ad altre, allo scopo di coprire contemporaneamente particolari esigenze di vario tipo In tal caso, il premio complessivamente pagato sarà dato dalla somma dei premi relativi ai singoli contratti Si sono anche diffuse forme di assicurazioni multiple, dette assicurazioni miste perché prevedono prestazioni sia nel caso di sopravvivenza a determinate età dell assicurato, sia nel caso di suo decesso, a quelle stesse età o ad altre Accenniamo ora a due particolari polizze miste Polizza mista semplice Con la polizza mista semplice la Compagnia pagherà al beneficiario il ca-pitale C tra m anni, se a quell epoca l assicurato, di età t alla firma della polizza, sarà vivo; inoltre, in caso di sua premorienza, pagherà lo stesso capitale C alla fine dell anno del decesso Stipulando questa polizza il contraente garantisce al beneficiario tra m anni il capitale C, se a quell epoca l assicurato sarà vivo; nel caso invece che quest ultimo deceda prima dell età (t + m), al beneficiario andrà lo stesso capitale C alla fine dell anno della morte dell assicurato Ad esempio, se l assicurato sopravvive, le cose finiscono così: età t (t + m) capitali U C mentre se, per esempio, egli muore tra le età (t +1)e (t +2), si ha invece: età t (t +1) (t +2) (t + m) capitali U 0 C 0 Il premio unico puro U, pari al vaa degli impegni della Compagnia, è: U = C +m + C M t M t+m Nulla vieta che i capitali previsti per i due possibili casi siano diversi: C 1 nel caso vita e C 2 nel caso morte; in particolare, con C 1 =2C 2 si avrà una polizza mista doppia Polizza mista a capitale raddoppiato Con la polizza mista a capitale raddoppiato la Compagnia pagherà al beneficiario il capitale C tra m anni, se a quell epoca l assicurato, di età t alla firma della polizza, sarà vivo; inoltre, quando questo morirà, pagherà lo stesso

102 Capitolo 9 Assicurazioni libere sulla vita capitale C alla fine dell anno del decesso Il 1 0 dei 2 capitali è dunque aleatorio, mentre del 2 0 è incerta solo la data di pagamento Il premio unico è: U = C +m + C M t Il nome attribuito a tale polizza dipende dal fatto che il beneficiario può incassare 2 volte il capitale C: una 1 a volta all età (t + m), nel caso l assicurato raggiunga vivo quell età, ed una 2 a volta alla fine dell anno della morte dell assicurato, se questa avviene dopo l età (t + m) 926 Premi periodici Calcoliamo, di una qualsiasi polizza, non il premio unico puro U, maisuoi h premi periodici annui, anch essi puri: P 0 alla firma della polizza, P 1 dopo 1 anno, P 2 dopo 2 anni,, P h 1 dopo (h 1) anni, beninteso se e finché alle rispettive scadenze il contraente, di età t alla firma della polizza, sarà ancora in vita Possiamo schematizzare la cosa come segue: età t (t +1) (t +2) (t + h +1) premi periodici P 0 P 1 P 2 P h 1 probabilità 1 1p t 2 p t h+1p t Il principio di equità finanziaria già precisato nel par 1022 impone che sia +1 +2 +h 1 U = P 0 1+P 1 + P 2 + + P h 1 SepoiipremisonotuttiegualiaduncomuneimportoP, allora dovrà essere U = P + +1 + + +h 1 = P N t N t+h 93 Riserva Matematica Dal punto di vista economico aziendale, la stipula di una polizza di durata poliennale origina, per la Compagnia di assicurazione, componenti di reddito sia positivi (il premio unico o i premi periodici che incassa) che negativi (i capitali assicurati che, se e quando occorrerà, pagherà) A parte il caso di premio unico (nonché del primo premio periodico, che è certo e anticipato), tutti questi componenti di reddito sono futuri ed aleatori Inoltre interessano più esercizi, cioè sia quello in cui si stipula il contratto, sia i successivi, finché la polizza avrà esaurito i suoi effetti, dunque magari per tutta la durata del contratto pluriennale La Compagnia cerca sempre di distribuire nel tempo premi e prestazioni di modo che, in linea generale, le sue prestazioni siano successive a quelle del

93 Riserva Matematica 103 contraente Insomma, deve essere il contraente a finanziare la Compagnia, non la Compagnia a finanziare il contraente Dunque, se la Compagnia considerasse tutti i premi incassati nel primo anno (caso di premio unico) o nei primi anni (caso di premi periodici) come componenti positivi del reddito del primo o dei primi esercizi, non solo rischierebbe di trovarsi più tardi allo scoperto, ma addirittura si comporterebbe in modo riprovevole dal punto di vista dei principi della Economia d azienda, del Codice Civile e, soprattutto del buon senso Per questo motivo, oltre che per precisi obblighi di legge (anche fiscali), la Compagnia deve, in ogni esercizio, contrapporre componenti negativi e positivi di reddito che sono di competenza di quell esercizio Tali considerazioni interessano tutte le polizze, perciò l intero portafoglio che comprende tutti i contratti gestiti dalla Compagnia Per tener conto dell esigenza ora sottolineata, in ogni esercizio la Compagnia contabilizza tutti i premi incassati e tutte le prestazioni erogate, salvo però istituire ed annualmente aggiornare un apposito fondo, detto fondo di riserva matematica relativo all intero portafoglio polizze Tale posta di bilancio (che figura al Passivo dello Stato Patrimoniale del Bilancio della Compagnia) viene calcolata sommando la riserva matematica relativa a ciascuna delle polizze del portafoglio Dato che quasi tutte le Compagnie di assicurazione sono Società per Azioni, il loro Bilancio di esercizio presenterà anche altri FondidiRiserva, tutti nella sezione Capitale Netto dello Stato Patrimoniale: Fondo di Ri-serva legale (o ordinaria), Fondo di Riserva straordinaria (o statutaria), ecc Nonostante l uso di termini simili, queste ultime riserve hanno natura e ori-gine diverse da quelle del Fondo di Riserva Matematica: accanto al Capitale Sociale, essi costituiscono le parti ideali del Capitale Netto e provengono da utili già realizzati in esercizi precedenti e non distribuiti, perciò passati a riserva Possiamodarelaseguentedefinizione: la riserva matematica (pura) V k di una polizza, calcolata passati k anni dalla sua stipula (si dice: trascorsa l antidurata k) èladifferenza tra il vaa degli impegni futuri della Compagnia e il vaa degli (eventuali) impegni futuri del contraente Nota: dicendo vaa intendiamo il valore riferito all istante del calcolo della riserva Ovviamente, se all epoca del calcolo della riserva risultano già assolti tutti gli impegni previsti in polizza, sia da parte del contraente che da parte della Compagnia, allora la riserva matematica è nulla e la polizza sta già in archivio; inoltre, la riserva si esaurirà nel solo vaa degli impegni futuri della Compagnia qualora il contraente abbia già interamente assolto tutti i propri (caso di premio unico, oppure di premi periodici dei quali è già stato pagato l ultimo)