UN MODELLO E UN ALGORITMO PER LA SIMULAZIONE PER MODELLI FISICI DI STRUMENTI AD ARCO PREPRINT Marco Palumbi, Lorenzo Seno marco.palumbi@bigfoot.com, lorenzo.seno@bigfoot.com Centro Ricerche Musicali Via Lamarmora, 18-00185 Roma - Italia crm@wmail.axnet.it http://www.axnet.it/crm - http://www.geocities.com/vienna/4934 SOMMARIO L algoritmo i simulazione fisica i cora suonata con archetto qui presentato si basa su un moello alternativo alle wave-guie, generalmente usate in questo tipo i ricerche. Il nostro approccio ha certamente allo stato attuale un maggiore costo i calcolo, compensato però alla immeiatezza ella manipolazione ei parametri fisici, e alla assenza i implicite assunzioni sulla invarianza nel tempo elle equazioni escrittive. Il moello implementa lo smorzamento i tipo viscoso sia interno che con l aria. L archetto approssima il comportamento termico ella colofonia meiante una funzione a soglia, e contiene un moello el rumore i sfregamento. I parametri controllabili sono il rapporto tensione/ensità ella cora, i coefficienti i attrito, la velocità e la pressione ell archetto, e il punto (iscreto) i applicazione ell arco (β). L algoritmo i calcolo attualmente utilizzato si basa su un metoo simile a quello agli elementi finiti nella variabile spaziale, e su quello alle ifferenze finite per l evoluzione temporale. Le caratteristiche el moello consentono la sua utilizzazione anche in zone estreme non appartenenti alla traizione esecutiva egli strumenti a arco. Nonostante il moello non tenga conto i caratteristiche quali i moti torsionali e longituinali, né ell ammettenza el ponticello, i suoni ottenuti sono molto verosimili. Ciò forse inica che queste caratteristiche, al punto i vista musicale, sono meno importanti i quanto ipotizzato. INTRODUZIONE Quano ci accingemmo, nell autunno el 1996, a affrontare il tema ei moelli fisici, la bibliografia ci porse immeiatamente come l inirizzo prevalente, se non esclusivo, i questa traizione i ricerca risalisse a Karplus e Strong e ai successivi perfezionamenti: le guie ona. La letteratura sulla fisica el violino e egli strumenti a arco porgeva 'altrone come in buona parte irrisolta la comprensione ei meccanismi sottostanti al suono egli archi e el peso ei vari fattori rispetto al risultato finale. Avevamo inoltre a isposizione un sistema i calcolo abbastanza potente, basato su una architettura parallela e scalabile i DSP TMS30C40. Queste circostanze ci hanno spinto a ricercare un approccio iverso, meno preoccupato, almeno nella fase iniziale, el costo i calcolo, a favore i una maggiore trasparenza fisica el moello, 30/10/000
che ci consentisse i apprenere rapiamente cosa, nel suono egli strumenti a arco, è importante e cosa meno, privilegiano nelle valutazioni soprattutto il punto i vista musicale. Più precisamente, lo stretto contatto con compositori i musica contemporanea, assieme alla nostra personale vocazione, ci ha inotto a ricercare non tanto gli aspetti imitativi el moello, quanto piuttosto quelli innovativi : vale a ire la possibilità i esplorare aspetti sonori e musicali non realizzabili o ifficilmente realizzabili nella pratica. Il moello è stato in effetti utilizzato, proprio in questa chiave, al compositore Michelangelo Lupone sia come fonte i suggerimenti compositivi per tecniche strumentali innovative, sia per la composizione el nastro magnetico el quartetto Cora i metallo (al quale il titolo el presente lavoro e el moello), per archi, nastro magnetico e ispositivo i spazializzazione (Kronos Quartett, Roma 1997). IL MODELLO La cora L equazione ella cora libera presa in consierazione è la seguente: t T x t. µ x y(, ) y( x, t ). S t y( x, t ) S. i x t y( x, t) Con le conizioni al contorno: y(0,t) = y(l,t) = 0 Dove: T (Newton) tensione ella cora. µ (Kg/m) ensità lineare ella cora. S (sec -1 ) coefficiente che rene conto ell attrito viscoso con l aria. S i (m /sec) coefficiente che rene conto ell attrito viscoso interno. Qualche parola i spiegazione sulla presenza e sulla assenza i alcuni termini. L assenza riguara il classico termine ispersivo: 4 x4 y( x, t) Questo termine, ovuto alla rigiità (stiffness) ella cora, provoca come noto una ispersione ella velocità i propagazione in funzione ella frequenza, a sua volta causa el reciproco allontanamento elle parziali rispetto ai rapporti armonici. Si tratta i un effetto importante al punto i vista timbrico, tanto più accentuato quanto maggiore è la rigiità ella cora, come nel caso a esempio i quelle ella sezione grave el pianoforte. Le core egli archi hanno bassa rigiità, ma una traizione i ricerca la ritiene comunque responsabile ello effetto i arrotonamento (rouning effect), osservabile sperimentalmente. Altri suggeriscono come tale effetto possa essere piuttosto provocato all azione ell archetto, segnatamente all isteresi termica nell attrito ella colofonia. 30/10/000 p.
Questo termine è stato fino a oggi a noi omesso non tanto per ifficoltà i implementazione, quanto perché il metoo i integrazione ella evoluzione temporale introuce errori i approssimazione il cui effetto è qualitativamente lo stesso. Qualche parola invece sull ultimo termine misto, generalmente lasciato più in ombra in letteratura. Esso rappresenta la issipazione provocata agli attriti viscosi interni alla cora stessa provocati all incurvamento. Questo termine è responsabile i un comportamento i importanza primaria, tipico elle core reali, nell evoluzione ella cora libera: la crescente rapiità i smorzamento elle parziali al crescere ella loro frequenza. A esempio, nella coa i un suono pizzicato è uibile quasi esclusivamente la fonamentale, mentre i primi istanti el transitorio sono ricchi i armoniche. Nel moello qui presentato, l altezza el suono prootto è eterminata al parametro T/µ e alle conizioni al contorno (esattamente al parametro L). La variazione i altezza el suono prootto può essere ottenuta quini in ue moi inipenenti: Variano T/µ, oppure la lunghezza L, o entrambi. Il primo caso corrispone fisicamente a variare la tensione ella cora (supponeno µ costante) ageno sul bischero, il secono a quanto fa normalmente un esecutore iteggiano. In entrambi casi, il sistema non è invariante nel tempo, e pertanto un metoo i integrazione basato su implicite presupposizioni i invarianza introurrebbe inevitabilmente artefatti nei transitori. Il metoo i integrazione ella evoluzione temporale a noi aottato, alle ifferenze finite, non presuppone l invarianza el coefficiente T/µ., il quale pertanto può essere variato inamicamente. La variazione ella lunghezza pone invece problemi più sottili, e richiee i riportare correttamente come conizioni iniziali il raccoro tra le iverse lunghezze. Questo meccanismo richiee approfonimenti e non è stato ancora implementato. L eccitazione L eccitazione ella cora, che non è qui espressa esplicitamente, prene forme iverse a secono si tratti i cora pizzicata, martellata, o tirata con l archetto. In un primo, più semplice approccio, l eccitazione può essere pensata come una funzione el tempo applicata in un punto efinito ella cora (a esempio, una forza applicata, oppure una velocità). In un approccio più realistico eve tenere conto in qualche moo ell interazione tra oggetto eccitante e cora, ipeneno così anche a una o più variabili i stato ella cora stessa. E il caso ell implementazione ell archetto, che non può essere effettuata meiante una semplice funzione i eccitazione, perché esso interagisce in moo profono con la cora, e introuce quini, nell equazione i moto, un termine non lineare, ipenente oltre che alla eccitazione vera e propria, a variabili i stato ella cora. Il sistema che si ottiene combinano eccitatore e cora è unque insieme non lineare e variabile nel tempo. Il moello a noi implementato consiera come funzioni i eccitazione la pressione e la velocità, e le variabili i stato i legame sono la velocità e l accelerazione el punto i applicazione. Questo equivale iealmente all introuzione, a estra ella equazione, i un termine el tipo: F v( t), p( t), x β ( t),,, t y x β ( t), t x σ( t) ove: v(t) (m/sec) velocità ell archetto p(t) (Newton) Pressione ell archetto x β (t) (m) Posizione ell archetto sulla cora σ(t) Variabile booleana che escrive lo stato stick o slip el punto i contatto cora-archetto. 30/10/000 p.3
Speniamo qualche parola sul meccanismo i funzionamento ell archetto a noi implementato, che si ifferenzia alle usuali curve continue velocità/forza. Durante la fase i stick al punto, la velocità el punto x β è posta uguale a quella ell archetto v(t) meiante l applicazione ell opportuna componente F ell accelerazione. Durante la fase i slip, F esprime la componente i accelerazione el punto (forza/ensità lineare) ovuta all arco e governata a una legge non lineare nella ifferenza i velocità tra questo e il punto. In entrambi i casi, l eccitazione è applicata nel solo punto x β (nell implementazione attuale, per semplicità, uno egli N punti equiistanti i campionamento spaziale). Diagramma i stato el punto i applicazione ell archetto. In ascisse la ifferenza i velocità punto-archetto, in orinata la componente i accelerazione impressa al punto all archetto (forza/ensità lineare). Come si vee al iagramma, la transizione stick slip avviene con una soglia pari al oppio i quella slip stick, la quale ultima a sua volta avviene per velocità relativa zero. Nell attuale implementazione, come nei moelli usuali, l intensità ell accelerazione applicata e le relative soglie sono scalate linearmente con la pressione ell archetto. Altri tipi i ipenenze possono essere esplorate. Il meccanismo non tiene esplicitamente in consierazione la variabile temperatura el punto, la quale, come noto, influenza le caratteristiche i fluiità e quini i attrito ella colofonia (un polimero naturale al comportamento tutt altro che semplice). Tuttavia la soglia sopra citata tiene conto, sia pure solo qualitativamente, el raffreamento el punto (e ella colofonia) urante la fase i stick. Il rumore i sfregamento è moellato aggiungeno alla curva rumore bianco i semiispersione pari, in ogni punto, al valore ell accelerazione stessa. In questo moo non si ottiene solo rumore aggiunto i intensità proporzionale alla pressione, ma anche un comportamento ell archetto i tipo stocastico, responsabile i comportamenti microcaotici ella cora. Abbiamo unque, in questo moo, un moello el rumore. 30/10/000 p.4
Il suono Il suono è prelevato come segnale i posizione el punto ella cora più vicino al ponticello. Si tratta i un moo semplice i approssimare la funzione i sforzo esercitata alla cora sul vincolo (proporzionale alla erivata prima spaziale ella cora nell origine). Sono implementabili senza molte ifficoltà, anche se con costo i calcolo, altre soluzioni più rigorose (che tengano conto a esempio ell ammettenza el ponticello). Le forme ona presentano i tipici anamenti a ente i sega. Diamo qui un esempio ell anamento ella posizione ella cora nel punto i applicazione ell archetto (Bow) e nel punto i uscita (Out). Il tempo è in campioni a 44.1 KHz. Out( t ) 0 50 100 150 00 50 300 t Bow( t ) 0 50 100 150 00 50 300 t IL METODO DI CALCOLO Il metoo i calcolo, per l integrazione nella variabile spaziale, può essere consierato simile a quello agli elementi finiti (nel senso che si basa sullo sviluppo ella funzione incognita in serie i funzioni ortonormali), mentre quello aottato per l integrazione ell evoluzione temporale el sistema è un metoo alle ifferenze finite. La forma istantanea nello spazio è sviluppata come serie i funzioni armoniche, arrestate a un inice N, che esprimerà la massima frequenza spaziale ammissibile per la cora. Questa frequenza massima spaziale è correlata, ovviamente, al numero i parziali ottenibili e, nel caso i evoluzione libera, sarà proprio pari a queste. N ovrà quini essere scelto in funzione ella bana passante esierata, consierano che la complessità ell algoritmo è necessariamente crescente con N. Fissato il numero i armoniche ello sviluppo, in un eterminato istante è possibile rappresentare la posizione ella cora nel continuo meiante un numero finito (e pari a N) i campioni ella sua posizione. 30/10/000 p.5
Siano questi x 1, y 1, x, y.. x N, y N Da essi è possibile ricavare i coefficienti ello sviluppo in serie (a esempio, eseguenone una DFT). Ottenuti i coefficienti ello sviluppo, la posizione ella cora nello spazio è conosciuta a- naliticamente (in tutto l intervallo 0-L, non solo nei punti i campionamento). La conoscenza a- nalitica permette a questo punto i calcolare anche le proprietà ifferenziali in tutto l intervallo 0-L, e in particolare, è possibile calcolare formalmente le curvature (erivate secone spaziali) su ognuno ei punti i campionamento: x y x 1, x y x.. x y x N Senza esporre teiosi passaggi, il calcolo elle curvature si riuce i fatto al prootto i una matrice costante per il vettore y elle posizioni. L equazione ella cora, iscretizzata spazialmente negli N punti, può a questo punto spezzarsi in N equazioni i moto (el secono orine) ei singoli punti, nelle quali è ottenibile il termine a sinistra (accelerazione), a partire alla curvatura (ormai nota) e alle velocità (che compaiono nel termine i smorzamento viscoso con l aria) e alla variazione nel tempo ella curvatura stessa (termine i smorzamento viscoso interno). La velocità è ottenibile per integrazione ell accelerazione, mentre per la variazione temporale elle erivate secone, occorre memorizzare quelle relative all istante preceente, e sostituire la erivata con la relativa ifferenza finita. La conoscenza ell accelerazione permette, a questo punto, meiante integrazione, il calcolo ella successiva posizione e velocità, e il ciclo i calcolo può ricominciare. Questo meccanismo i integrazione nel tempo introuce un errore che ha come conseguenza l allargamento elle righe ello spettro. Le parziali si trovano cioè a rapporti sovrarmonici, un effetto simile a quello introotto alla rigiità ella cora. Per riurre l effetto, è stato introotto un opportuno sovracampionamento. RISULTATI OTTENUTI Il moello è stato provato ampiamente, e utilizzato, per N = 16, con un sovracampionamento i un fattore 4. Sono stati implementati moelli semplici i pizzico e percussione, che hanno ato risultati molto soisfacenti sotto l aspetto imitativo. Prove imitative elle emissioni sonore egli strumenti reali a arco hanno ato risultati incoraggianti per piccole variazioni ell altezza el suono, particolarmente per quanto riguara i transitori i attacco ell archetto e l evoluzione i suoni prolungati. Inoltre, i suoni generati con il moello approssimano auitivamente bene quelli reali in intervalli i pressione, velocità e posizione anche al i fuori elle normali conizioni i esecuzione. L esecuzione i frasi, inipenentemente al tipo i articolazione, richiee la corretta soluzione el problema ella variazione ella lunghezza ella cora L, parametro che efinisce una conizione al contorno. Variazioni ell altezza ottenute con la variazione ella tensione sono già oggi possibili, ma i transitori così ottenuti sono ovviamente ifferenti a quelli ottenuti per variazione ella lunghezza. 30/10/000 p.6
LE LINEE DI RICERCA Il lavoro fino a oggi svolto non può essere consierato che un punto i partenza. Numerose sono le irezioni i inagine, sia sul piano el miglioramento el moello - per renere conto i aspetti musicalmente importanti che attualmente non sono moellati - sia sul piano ell aumento ell efficienza e ella precisione ell algoritmo i calcolo. Il moello La prima caratteristica che eve essere implementata è la possibilità i variare inamicamente la lunghezza ella cora, invece i variare la tensione, per ottenere la variazione i altezza ei suoni. Molti inizi suggeriscono inoltre come necessario un maggiore, o forse più correttamente simulato, effetto i arrotonamento. Le irezioni su cui inagare sono ue: introuzione el termine i rigiità ella cora o, più probabilmente, il miglioramento ella simulazione ell isteresi termica ella colofonia. E possibile, e nel moello attuale i non ifficile implementazione, introurre come variabile i stato la temperatura el punto i contatto e la corretta ipenenza a essa el coefficiente i attrito ella colofonia. Inagini vanno effettuate inoltre sul comportamento ei punti i vincolo: a un lato, il ito ella mano sinistra, con le sue caratteristiche i smorzamento. Dall altro, il ponticello, che ha una ammettenza complessa la cui importanza al punto i vista timbrico e ella inamica ella cora non ci è a oggi el tutto chiara. Sarebbe inoltre possibile ottenere, a un prezzo computazionale non trascurabile, ma forse compensabile con tecniche più efficienti i calcolo (vei nel seguito), una variabilità nel continuo el punto i applicazione ell archetto, oggi vincolato a essere uno ei punti i campionamento spaziale. La imensione finita ell archetto può inoltre essere forse moellata consierano che, in fase i stick, essa prouce i fatto un accorciamento ella cora stessa, ovvero applicanolo a una coppia i punti aiacenti. Miglioramenti possono essere conseguiti sulle caratteristiche spettrali, oggi piatte, el rumore i sfregamento ell arco, che nella realtà è ipenente alla velocità (si tratta presumibilmente i un rumore spaziale non bianco, centrato attorno a una frequenza, riportato nel tempo attraverso la velocità). L algoritmo La complessità attuale è O(N *S), ove N è il numero ei punti i campionamento spaziale e S è il fattore i sovracampionamento temporale. Questo ato presuppone l invariabilità nel tempo ei punti i campionamento spaziale. L algoritmo viene elaborato attualmente in circa il oppio el tempo reale su un Pentium 133, con N=16 e S=4. Approcci iversi, basati su algoritmi veloci i tipo FFT potrebbero portare a una complessità el tipo O(N*l(N)*S), o anche meglio. Sono in corso inagini nella irezione egli algoritmi i Winogra, che imporrebbero la scelta i N tra i numeri primi, limitazione questa peraltro el tutto accettabile nello specifico contesto. L iniviuazione i un algoritmo rapio i calcolo ella DFT (es. FFT) per campionamento non equispaziato, e che possa essere eseguito in tempo reale, per lo sviluppo in serie i armoniche spaziali (e la conseguente antitrasformazione ello spettro moltiplicato per ω per ottenere le curvature nei punti) permetterebbe un agevole passaggio al continuo oltre che ella posizione ell archetto (con possibilità i moellarne sia la posizione (β) che la sua larghezza, imparteno l eccitazione sui ue punti estremali) anche i quella i eventuali punti i smorzamento (es. iteggiamenti leggeri, per la prouzione i armonici, o per tecniche i variazione ella lunghezza). 30/10/000 p.7
Riguaro all integrazione nel tempo, è allo stuio l iniviuazione i metoi a convergenza accelerata, per riurre il fattore i sovracampionamento e l errore i approssimazione. Direzioni possibili sono il metoo quali Runge-Kutta, o a preizione-correzione (Hamming {9}), i orine 4, che pertanto conucono a un errore proporzionale a ( t) 5, ove t è il tempo i campionamento. Con essi sarebbe forse possibile giungere a S= o airittura S=1, con una riuzione el tempo i calcolo, a parità i altre conizioni, i un fattore ue o quattro, consenteno a soli già oggi il tempo reale. L algoritmo è inoltre ben parallelizzabile, se si aotta la topologia opportuna. In un sistema multiprocessore potrebbe quini, anche a breve, risultare possibile una polifonia realistica (uequattro voci). CONCLUSIONI In questo come in altri campi, la valutazione i quali siano le irezioni i ricerca interessanti ipene fortemente agli obiettivi che ci si prefigge. Se si assume come scopo ella simulazione per moelli fisici la buona imitazione egli strumenti reali, è probabilmente abbastanza chiaro in che moo vaano misurati i risultati ottenuti. Se invece ci si pone come obbiettivo quello i fornire un mezzo i sintesi i nuovi suoni più facilmente controllabile, e insieme più stimolante, rispetto a altri metoi, i criteri i valutazione iventano più complessi, e, in ultima analisi, ipenenti a valutazioni i orine strettamente musicale. In questo quaro, l imitazione egli strumenti reali acquista una importanza solo meiata, iniretta. Essa continua a fungere a guia per verificare la correttezza elle ipotesi e ei metoi messi in campo, ma non è più, in sé e per sé, un obiettivo interessante. Se ci si mette al punto i vista ella prouzione musicale contemporanea, possono risultare più importanti la moellazione e l implementazione i caratteristiche e comportamenti fisicamente irrealizzabili (e quini, inverificabili ), ma musicalmente e espressivamente interessanti. Se si assume, come noi facciamo, quest ottica, la chiave ell evoluzione elle ricerche è inevitabilmente più nelle mani i musicisti e compositori, che ei ricercatori el settore. Appare unque chiaro come una ricerca siffatta non possa inevitabilmente che svolgersi attraverso uno stretto e reciproco rapporto critico tra ricercatori e musicisti. BIBLIOGRAFIA Woohouse, J. 199. Physical Moeling of Bowe Strings. CMJ, 16,4, pp. 43-56 Smith, J.O. III 1996. Discrete Time Moeling of Acoustic Systems with Applications to Soun Synthesis of Musical Instruments. Proceeings of the Noric Acoustical Meeting, Helsinki, June 1-14 (http://www.hut.fi/tkk/akustiikka/aku/man96/) Smith, J.O. III 1996. Physical Moeling Synthesis Upate. CMJ, 0,, Summer 1996 pp.44-56 Borin, G., De Poli, G, Sarti, A. 199. Algorithms an Structures for Synthesis Using Physical Moels. CMJ, 16,4 Winter 199 Karplus, K., Strong, A. 1983. Digital Synthesys of Plucke String an Drum Timbres. CMJ 7, pp.43-55 Jaffe, D.A., Smith, J.O. III 1983. Extension of the Karplus-Strong Plucke-String Algorithm. CMJ 7, Summer 1983 Chafe, C. 1989 Simulating Performance on a Bowe Instrument. Current Directions in Computer Music Research - Eite by Matew, M. an Pierce, J. MIT Press 1989 30/10/000 p.8
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