5 LAVORO ED ENERGIA. 5.1 Lavoro di una forza

5 LAVR ED ENERGIA La valutazione dell equazione del moto di una articella a artire dalla forza agente su di essa risulta articolarmente semlice qualora la forza è costante; in tal caso è ossibile stabilire banalmente l accelerazione del coro e tale determinazione corrisonde di fatto ad un roblema di cinematica Lo studio del moto della articella diviene iù comlicato nella circostanza in cui la forza agente non è costante ma diende dal temo o dalla osizione Come già visto nei recedenti esemi tale studio uò essere ortato avanti attraverso l integrazione delle equazioni del moto Con l introduzione dei concetti di lavoro e di energia è ossibile effettuare una descrizione del moto alternativa a quanto visto fino ad ora giungendo ai medesimi risultati che si ottengono tramite l alicazione diretta delle leggi di Newton In iù circostanze l analisi del roblema condotta seguendo questo aroccio risulta generalmente iù semlice risetto all alicazione della seconda legge di Newton 5 Lavoro di una forza Consideriamo un unto materiale P in moto lungo una curva er effetto di una forza F ; sia r il vettore osizione del unto in un sistema di riferimento inerziale In un intervallo di temo dt il unto comie uno sostamento dr Si definisce lavoro elementare della forza F agente sul unto materiale P che si sosta di dr la quantità scalare: dw F dr Fdr cos (5) Siccome l accelerazione a della articella uò esrimersi attraverso la relazione () tramite la comonente tangenziale a t e quella normale a n alla traiettoria di conseguenza dalla (4) la forza F uò esrimersi come: F ma m tˆ a na ˆ F F t n t n dove F t e F n sono risettivamente le comonenti della forza F tangenziale e normale alla traiettoria; sostituendo questa esressione nella (5) si ottiene: dw Fdr F F dr F F t ds ˆ t n t n dove dr è stato esresso tramite la (4) attraverso lo sostamento infinitesimo ds lungo l ascissa curvilinea; siccome il vettore F n è erendicolare a ˆt segue: z r P y r dr F r F r cosj J L dw F ds t

5- Lavoro ed energia cioè il lavoro elementare è uguale al rodotto dello sostamento infinitesimo er la comonente della forza lungo tale sostamento Dalla relazione (5) segue che se 9 allora dw e il lavoro è detto motore; se 9 8 allora dw e il lavoro è detto resistente; infine se 9 risulta dw essendo in questo caso la forza F ortogonale a dr Esemio: Consideriamo il moto di un coro lungo una traiettoria circolare con velocità angolare costante In tal caso l accelerazione del coro sarà solo centrieta e ertanto sul coro deve agire una forza che dalla (5) è ari a: v F ma ˆ n m n R C F r v r P dalla relazione (5) il lavoro elementare fatto dal tale forza in corrisondenza di uno sostamento infinitesimo lungo la traiettoria vale: v dw F dr m nˆ t ˆ ds R cioè la forza F non comie lavoro Esemio: Consideriamo un coro in moto su di un iano orizzontale il lavoro elementare svolto dalla forza di gravità in corrisondenza di uno sostamento dr sul iano è: v r dw F dr mg dr mg r essendo mg ortogonale a dr Esrimendo lo sostamento dr attraverso la (3) come somma degli sostamenti elementari lungo gli assi coordinati la (5) uò scriversi come: dove dw F dr F ˆd yˆdy zˆ dz Fd Fydy Fzdz F F y e F z raresentano le comonenti della forza lungo i tre assi coordinati Il lavoro comiuto dalla forza F quando il unto materiale si sosta lungo la curva tra un unto P ed un unto P si ottiene sommando i lavori elementari relativi agli infiniti sostamenti dr in cui è diviso il ercorso da P a P ; tale somma rende il nome di integrale di linea lungo : P P W F dr F d F dy F dz (5) P P y z Pertanto in generale il lavoro eseguito dalla forza F nello sostamento del unto materiale dalla osizione P a quella P lungo un ercorso è l integrale di linea di F da P a P lungo Nel sistema SI il lavoro viene misurato in joule (J) e J è il lavoro fatto da una forza di N in corrisondenza di uno sostamento di m del suo unto di alicazione nella direzione della forza

Lavoro ed energia 5-3 Esemio: Consideriamo un coro soggetto ad una forza F in moto rettilineo su un iano Risulta: dw F dr F d F cos d così in corrisondenza di uno sostamento s lungo una retta si ha: J F r s s s s W F dr F cos d F cos d Fs cos ; in articolare se si ha cos così l esressione recedente diventa: W Fs Esemio: Consideriamo un coro di massa m in moto verticale a velocità costante dalla suerficie terrestre fino ad una quota h Affinché il moto avvenga a velocità costante la risultante delle forze agenti sul coro lungo la direzione del moto deve essere nulla cioè su di esso deve agire una forza F tale che: y h F mg cioè la forza deve avere intensità: F r F mg In corrisondenza dello sostamento del coro sino alla quota h il lavoro eseguito da tale forza vale: mg r h W Fdy Fhmgh (53) Esemio: Consideriamo un coro di massa m che sale con velocità costante lungo un iano inclinato rivo di attrito a artire dal suolo fino ad una quota h Siccome il moto avviene a velocità costante la risultante delle forze agenti sul coro lungo la direzione del moto deve essere nulla cioè: F mgsin N r F r mg r h dove F è il modulo della forza con cui viene sinto il blocco: J F mgsin In corrisondenza dello sostamento del coro sino alla quota h il coro avrà comiuto uno sostamento s lungo il iano inclinato ari a : h s sin così il lavoro eseguito dalla forza F vale: s h W Fd Fs mgsin mgh sin quindi il lavoro è lo stesso che si otterrebbe qualora il coro fosse sollevato verticalmente con velocità costante sino alla quota h senza adoerare il iano inclinato

5-4 Lavoro ed energia Esemio: Consideriamo una molla elastica di costante k e stabiliamo il lavoro fatto dalla molla er ortare un coro ad essa collegato da una osizione ad una osizione i f Siccome il roblema è unidimensionale dalla (44) risulta: i f W k d k k i f i (54) Si osservi che se i f cioè se la deformazione iniziale è maggiore di quella finale W mentre se i f allora W ; quindi la molla comie un lavoro ositivo solo quando tende a riortare il coro nella osizione di equilibrio In articolare il lavoro eseguito dalla molla er ortare il coro dalla osizione di equilibrio i ad una generica osizione è: f W kd k f Siccome W il lavoro della molla è lo stesso sia in comressione che in estensione Stabiliamo il lavoro fatto da una forza esterna F et er ortare il coro connesso alla molla da una osizione iniziale i ad una finale ; in questo caso affinché il f F r F r et coro sia in equilibrio in ogni unto del ercorso da i a la forza f deve risultare uguale in modulo ma oosta alla forza elastica di F et richiamo (43) così: W F dkd k et Ciò segue er altro dal fatto che F et è semre diretta come lo sostamento dr ˆ d er cui risulta semre W ; infatti con riferimento allo schema di figura se F è nel verso delle ositive lo sostamento avviene in tale verso e et viceversa Esemio: Consideriamo una sonda saziale in moto dalla Terra a Marte Indicando con M la massa solare e con m quella della sonda quando questa si trova a distanza r dal Sole questo esercita sulla sonda una forza detta forza gravitazionale ari a: Mm F G rˆ r dove G è la costante di gravitazione ari a circa 667 Nm kg Il lavoro eseguito da tale forza sulla sonda nel moto dalla Terra a Marte è: W F dr G rˆ dr GMm r r Mm r r r r r Sole r r Terra Marte dove r e r sono risettivamente le distanze del Sole dalla Terra e da Marte Così siccome r vale circa 5 m e 3 r vale circa 3 m la massa del Sole è di circa 99 kg e assumendo che la massa della sonda sia di kg si ha: W 3 J Si noti che il risultato conseguito è indiendente dal ercorso tra la Terra e Marte ma diende unicamente dai unti estremi di tale ercorso Pertanto se la sonda si sostasse lungo un ercorso differente da quello rettilineo il lavoro

Lavoro ed energia 5-5 eseguito dalla forza F su di essa sarebbe lo stesso sserviamo inoltre che se r r allora W altrimenti er r r si ha W cioè in articolare il lavoro fatto da F è ositivo se il satellite si avvicina al Sole; ciò è conseguenza del fatto che tale forza è attrattiva ossia il corrisondente vettore unta semre verso il Sole Esemio: Una forza ari a kt agisce su di una articella di massa m Suonendo che la articella arta da ferma stabiliamo il lavoro della forza nei rimi t secondi Per valutare lo sostamento infinitesimo rodotto dall azione della forza sulla articella er un temo dt ne stabiliamo la velocità dalla (4) risulta: ma t kt da cui segue che l accelerazione del coro vale kt m ; ertanto integrando la relazione dv a t dt si ha: vt t t k d a d d m v siccome er iotesi v si ha: v t t k kt d m m così esrimendo lo sostamento infinitesimo come vdt ovvero come kt t t 4 k kt W Fd Fvd k d m 8m m dt il lavoro vale: Esemio: Un unto materiale si sosta da una osizione P di coordinate esresse in metri ad una osizione P di coordinate 3 in un iano e lungo una y 3 sotto l azione di una forza F : retta di equazione F y y yˆ 3 ˆ 5 y P dove F è esressa in newton e le coordinate e y in metri Per calcolare il corrisondente lavoro utilizziamo l esressione generale (5): P 3 P P P W F dr F d F dy 3y d y 5dy y P P P 3 3 8 3 4 3 d 5 d d 4 J 3 3 3 9 3 9 3 Qualora lo sostamento abbia luogo lungo un ercorso differente il valore del lavoro cambia Consideriamo infatti lo sostamento lungo la traiettoria arabolica di equazione y 9 il lavoro vale: P P P W F dr F d F dy 3y d y 5dy y P P P 3 3 3 d 5 d 9 9 9 3 3 3 4 3 d J 6 35 365 3 8 9 6 3 9 y P P 3 3

5-6 Lavoro ed energia Esemio: Un unto materiale si muove sotto l azione di una forza ari a F b ˆ in cui b è una costante ositiva e il corrisondente moto è descritto dalle equazioni orarie y y P F r ( y ) P t y t kt ht y F r ( y ) dove k e h sono entrambi ositivi Eliminando il arametro t da tali equazioni si trova l equazione della traiettoria: k h y così Il lavoro fatto dalla forza F quando il unto materiale assa da una osizione P ad una osizione P vale: P b W Fdr F d b d P Si uò ervenire al medesimo risultato attraverso le equazioni orarie infatti il lavoro uò essere esresso come: t P W Fdr F d F v d P t dove la velocità del unto materiale nella direzione della forza vale: y d t v kt dt e inoltre t k recedente si ha: e t k er cui sostituendo nell esressione r J C t k 4 k t bk b 4 k k t k k W F v d b kt kt dt k b Esemio: Consideriamo un unto materiale in moto lungo una circonferenza di raggio R situata nel iano y con centro nell origine; il unto materiale è soggetto ad una forza: F yz ˆ yz yˆ 3y4 z zˆ Nel iano y la coordinata z è nulla er cui in tale iano la forza agente sul unto materiale è: F y ˆ y yˆ 3 y zˆ ; il lavoro elementare fatto da questa forza dalla (5) vale: dw F dr y d y dy (55) D altra arte la traiettoria del unto è tale che:

Lavoro ed energia 5-7 Rcos y Rsin e di conseguenza: d Rsin d dy R cos d; così sostituendo tali differenziali nella (55) si ha: cos sin sin cos sin cos dw R R R d R R R d R cos sindr sin dr cos dr cossind R dr cossin d Infine in corrisondenza di una rotazione lungo la circonferenza l angolo varia tra e così integrando si ha: W R dr cossind R R cossind R R d R Tale risultato raresenta il lavoro svolto dalla forza F in corrisondenza di una rotazione del unto materiale lungo la circonferenza Un ulteriore rorietà del lavoro derivante dalla sua formulazione matematica è raresentata dall additività Consideriamo un insieme di forze F F FN agenti su di uno stesso unto materiale; il lavoro comiuto dalla forza risultante F ari a F F F F N in corrisondenza di uno sostamento del unto da una osizione P ad una osizione P vale: P P P P P W F dr F F F dr F dr F dr F dr N P P P P P W W WN cioè il lavoro della risultante F in corrisondenza di un certo sostamento è uguale alla somma dei lavori eseguiti da ciascuna comonente relativamente allo stesso sostamento N 5 Potenza Per caratterizzare un sistema dal unto di vista energetico oltre alla caacità di comiere un certo lavoro è oortuno stabilire la raidità con cui tale lavoro uò essere eseguito; a tale scoo si introduce il concetto di otenza La otenza istantanea sviluata da un agente è data da: dw P dt

5-8 Lavoro ed energia e la otenza media sviluata in un certo temo t è: P W t L unita di misura della otenza è il J s e nel sistema SI a tale unità viene attribuito il nome di watt: P W Imiegando questa unità è ossibile anche esrimere il lavoro in unità di otenza er intervallo di temo; da ciò deriva l unità kilowattora (kwh) generalmente adoerata er la misura del lavoro elettrico seso resso le utenze: il kilowattora è il lavoro fatto in un ora da un disositivo in grado di sviluare una otenza di kw Esemio: Una lamadina da W resta accesa er mese stimando un costo dell energia di 4 er kwh ciò corrisonde ad una sesa di kwh34 h4 kwh 3 A tale costo vanno aggiunte le tasse che stimiamo al % così il costo comlessivo è di 44 La otenza meccanica sviluata da un coro uò anche esrimersi mediante la velocità v del coro e la forza F agente su di esso Dalla (5) si ha: dw F dr dr P F Fv dt dt dt Nell iotesi in cui F e v sono aralleli se hanno lo stesso verso risulta P altrimenti si ha P cioè il lavoro fatto sul coro è negativo ovvero la forza esercitata sul coro ha direzione oosta allo sostamento dr e quindi anche alla velocità v 53 Energia cinetica Consideriamo un unto materiale di massa m indiendente dalla velocità soggetto ad una forza F ; dalla relazione (5) esrimendo la forza attraverso la (43) si ha: dv dw F dr m dr (56) dt esrimendo inoltre la velocità v come la derivata dello sostamento il rodotto dv dt scrivere come : dr si uò Tale rorietà segue dalla definizione di differenziale di una funzione infatti se f e g sono due funzioni derivabili allora df df dtdt e dg dg dt dt così risulta: df df dg df dg dg dg dt dt df dt dt dt dt dt dt

Lavoro ed energia 5-9 dv dr dr dv dv v dt dt così sostituendo nella (56) si ha: dw mdvv mdvv mdv d mv dove l ultimo assaggio è ossibile solo nell iotesi in cui la massa del unto materiale è indiendente dalla velocità In relazione ad uno sostamento finito da una osizione P ad una P il lavoro eseguito dalla forza F vale: P P W d mv mv mv (57) dove v e v raresentano i moduli della velocità del unto materiale risettivamente nelle osizioni P e P Per un unto materiale di massa m e velocità v la quantità Ek mv (58) rende il nome di energia cinetica del coro ertanto la (57) uò esrimersi come: W E E ; (59) k k cioè il lavoro fatto dalla risultante delle forze agenti su un coro è uguale alla variazione della sua energia cinetica Questa conseguenza della seconda legge di Newton rende il nome di teorema dell energia cinetica Dalla relazione recedente segue che l unità di misura dell energia cinetica è la stessa di quella del lavoro Sebbene il modulo e la direzione della forza agente su un coro non diendano dal sistema di riferimento inerziale considerato lo stesso non vale er lo sostamento Ciò fa sì che il lavoro esercitato da una forza su un coro diende dal articolare sistema di riferimento utilizzato Questo si verifica ad esemio se consideriamo l azione di una forza su un coro in moto a velocità costante; se il moto è riferito ad un sistema di riferimento solidale al coro il lavoro svolto dalla forza è ovviamente nullo essendo tale la velocità relativa Così come il lavoro diende dal sistema di riferimento anche l energia cinetica del coro diende dal sistema di riferimento e ciò è una banale conseguenza del fatto che relativamente a sistemi di riferimento inerziali in moto relativo a differenti velocità si misurano velocità diverse er uno stesso coro in moto Tuttavia ur non concordando sui valori del lavoro e dell energia cinetica differenti osservatori sono semre in grado di verificare la validità del teorema dell energia cinetica Esemio: Consideriamo il moto di un coro su una traiettoria circolare In questo caso sul coro agisce la forza centrieta che come già visto essendo semre erendicolare alla direzione del moto non comie lavoro Dalla relazione (57) segue quindi che la velocità è costante in modulo; ciò significa che il vettore velocità ur variando in direzione e verso istante er istante non cambia in modulo Esemio: Consideriamo un coro di massa m lasciato cadere da un altezza h dalla suerficie terrestre Il lavoro W eseguito dalla forza di gravità in corrisondenza dello sostamento comlessivo del coro dalla (53) vale mgh Dal teorema dell energia cinetica considerando che la velocità iniziale del coro è nulla segue:

5- Lavoro ed energia W mv mv mv f i f -k ˆ F r et così sostituendo a W la sua esressione si ha: mgh mv f da cui segue: vf gh che è lo stesso risultato che si otterrebbe dalla diretta alicazione delle leggi di Newton Esemio: Consideriamo un unto materiale di massa m in quiete connesso ad una molla di costante elastica k Suoniamo di alicare al unto una forza F et costante in modulo direzione e verso Il lavoro eseguito dalla risultante delle forze agenti sul coro in corrisondenza di uno sostamento sarà: dove: W FT d T F F k et er cui W Fet kd Fet k Dal teorema dell energia cinetica siccome la velocità iniziale è nulla risulta: Fet k mv F et lavoro motore lavoro resistente F et k k A così l esressione della velocità in relazione alla osizione del coro è: F T (5) v Fet k m Da tale relazione ricaviamo la osizione A in corrisondenza della quale si arresta il coro; ciò accade quando si annulla la velocità ossia quando vale: F et F et k A A F k et Dall esame della (5) deduciamo che il modulo della velocità e quindi l energia cinetica crescono fino ad un massimo che si ottiene quando i moduli della forza F et e della forza elastica della molla sono uguali doo di che l energia cinetica rende a diminuire er annullarsi in A Il lavoro comlessivo di sarà nullo come consegue sia dal fatto che l area FT sottesa da tale funzione tra e è nulla sia dal teorema dell energia cinetica A essendo nulle le velocità iniziali e finali del coro v F et k A

Lavoro ed energia 5- Esemio: (Lavoro di una forza di attrito dinamico) In corrisondenza del moto di un coro da un unto P ad un unto P lungo un ercorso su un iano scabro il lavoro della forza di attrito dinamico f vale: d W f dr N dr N dr N NL P P P v d d d d d v P P P dove dalla (4) la forza di attrito dinamico è stata esressa vettorialmente tenendo conto che è semre oosta alla direzione del moto stabilita dal versore vve si è indicato con la lunghezza L del ercorso misurata lungo la traiettoria del coro nel suo moto Ne segue che fissato il rodotto N cioè il modulo di d f si ha un diverso lavoro d in corrisondenza di differenti ercorsi che ortano dal unto P al unto P e ertanto a differenza ad esemio del lavoro della forza eso o di quello della forza gravitazionale il lavoro della forza di attrito dinamico non uò esrimersi come la differenza dei valori di una funzione delle coordinate nei unti P e P Si noti inoltre che il lavoro della forza di attrito dinamico è semre resistente (cioè fd dr ) e qualora cambia il verso del moto si inverte anche quello di f d essendo tale vettore roorzionale all oosto del versore vv È ossibile includere l attrito dinamico nella caratterizzazione energetica del moto su un iano scabro osservando che nel caso in cui il moto è soggetto solo a tale forza si ha: dv dv d dv fd ma m m m v dt d dt d e moltilicando ambo i membri er d segue: f d mv dv d così integrando ambo i membri lungo un ercorso dal unto P al unto P si ha: f Lf f dr mvdv mv mv E E P v d d d k k P v cioè: E E f L k k d Quindi nel moto su una suerficie scabra lungo una traiettoria di lunghezza L l energia cinetica di un coro diminuisce semre di una quantità fd L Serimentalmente si osserva che a tale diminuzione corrisonde un riscaldamento sia del coro che della suerficie scabra Qualora sul coro agiscano altre forze oltre all attrito il teorema dell energia cinetica assume la forma: W f L E E d k k in cui W raresenta il lavoro eseguito dalla risultante delle forze agenti sul coro esclusa la forza di attrito dinamico 54 Forze conservative energia otenziale Negli esemi recedenti si è visto che er talune forze come la forza elastica o la forza eso il lavoro calcolato tra due unti diende dalle sole coordinate di tali unti e risulta indiendente dal articolare ercorso che congiunge i unti stessi; al contrario er altre forze come la forza di attrito il lavoro diende dalla traiettoria tra i unti Le forze er le quali il lavoro non diende dal cammino ercorso sono dette conservative mentre quelle er le quali non vale tale rorietà sono dette non conservative

5- Lavoro ed energia Per una forza conservativa F il calcolo del lavoro tra due unti P e P non richiede la conoscenza del articolare ercorso seguito così tale determinazione uò essere eseguita considerando la traiettoria tra P e P che comorta il calcolo iù semlice; considerando le traiettorie I e II in tale caso si ha: Fdr Fdr Fdr P P P P I P II P dove nell ultimo integrale si rescinde dal ercorso da P a P essendo er iotesi ininfluente Siccome il lavoro di una forza conservativa diende dai soli unti estremi P e P del ercorso se si inverte il senso di ercorrenza tra tali unti ossia ci si sosta da P a P il lavoro cambia di segno: Fdr Fdr P P P P Un generico ercorso chiuso uò essere rivisto come l unione di due ercorsi aerti il rimo AB da un unto generico A di ad un altro unto B semre di e il secondo BA da B a d A: B A Fdr Fdr Fdr AB A BA B in cui si è fatto uso del simbolo er indicare l integrazione lungo una curva chiusa Se la forza F è conservativa i due integrali al secondo membro sono uno l oosto dell altro er cui: Fdr ; siccome tale caratteristica rescinde dal articolare ercorso chiuso concludiamo che il lavoro di una forza conservativa fatto lungo un generico ercorso chiuso è semre nullo La funzione delle coordinate che esrime il lavoro di una forza conservativa rende il nome di energia otenziale E così er una forza conservativa F il lavoro di tale forza nel ercorso dal unto P al unto P vale: P W F dr E E E E E (5) P in cui E e E raresentano risettivamente il valore della funzione energia otenziale calcolato nei unti P e P cioè E E P yp zp e E E P yp zp Si osservi che l energia otenziale è definita a meno di una costante additiva il cui ruolo è inessenziale nel calcolo del lavoro infatti se all esressione dell energia otenziale si somma una costante k osto:

Lavoro ed energia 5-3 E E k dalla (5) risulta: E E E k E k E E W Tale caratteristica consente di definire il livello di riferimento dell energia otenziale nella maniera iù oortuna in relazione all oggetto di studio Ad esemio in un roblema di caduta di gravi il livello di riferimento iù utile è in corrisondenza della suerficie terrestre mentre er la descrizione del moto di un satellite generalmente risulta iù conveniente assumere lo zero dell energia otenziale a distanza infinita Consideriamo un moto unidimensionale; il lavoro di una forza conservativa er sostare un unto materiale da una osizione ad una osizione vale: da cui segue: Fd E E ; E Fd E derivando ambo i membri di questa relazione si trova: F de (5) d Questa identità che costituisce un esemio articolare di una relazione di carattere generale consente di ricavare la forza agente su di un coro quando è nota l esressione della sua energia otenziale; inoltre dalla (5) segue che è ossibile attribuire all oosto della forza il significato di tasso di variazione dell energia otenziale nella direzione Per generalizzare questa identità osserviamo che essa ermette di esrimere il differenziale della funzione energia otenziale de come il rodotto Fd; se la forza F è una funzione delle tre variabili saziali di un sistema di riferimento cartesiano il differenziale de F dr F d F dy F dz y z de si scrive come: (53) Mentre in una dimensione il differenziale di E vale de d d qualora la funzione E dienda da iù variabili la legge di variazione di E va esressa attraverso le corrisondenti derivate arziali Suonendo che l energia otenziale sia funzione delle tre variabili saziali y e z di un sistema di riferimento cartesiano la derivata arziale di E risetto ad una certa variabile ad esemio è valutata stabilendo la derivata della la funzione E risetto a calcolata mantenendo costanti y e z cioè:

5-4 Lavoro ed energia E de E y z E y z lim d yz cost Così in generale il differenziale de si esrime come: E E E de d dy dz y z ertanto sostituendo nella (53) si ottiene: E E E d dy dz Fd Fydy Fzdz y z Poiché le variabili y e z sono tra loro indiendenti lo sono anche i corrisondenti differenziali d dy e dz così da questa identità segue: F F F y z E E y E z ; (54) si osservi che tali relazioni conducono alla (5) nel caso di moto unidimensionale Quindi come l esressione Fd Fdy y Fdz z viene riguardata come il rodotto scalare tra il vettore F e il vettore dr F dr anche l esressione E d E y dy E z dz uò essere considerata quale il rodotto scalare di due vettori ossia: E E E E E E d dy dz ˆ yˆ zˆ ˆd yˆdy zˆdz y z y z E E E ˆ yˆ zˆ dr y z Il vettore ˆ E ˆ y E y zˆ E z indica rende il nome di gradiente della funzione E e si E ertanto: E E E E ˆ ˆ ˆ y z y z Attraverso il concetto di gradiente il legame tra la forza F e l energia otenziale dalle relazioni (54) uò esrimersi in sintesi come: E raresentato

Lavoro ed energia 5-5 F E che corrisonde all identità: E E E F ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ yfy zfz y z y z ne segue che ad esemio la comonente lungo la direzione della forza F è ari a E Esemio: Consideriamo un unto materiale in moto lungo una traiettoria da una r P r g F r dr J r dl osizione P ad un altra P sotto l azione di una forza centrale F ari a: F f r r ˆ ˆr r P cioè costantemente diretta verso il centro di forza (ossia F è una forza attrattiva) Il lavoro elementare di tale forza in corrisondenza di uno sostamento dl vale: dw F dl F dl cos f r dl cos f r dr dove è l angolo comreso tra i vettori F e dl e siccome dr vale dl cos Pertanto osto r P e r P il lavoro corrisondente al ercorso da P a P lungo la traiettoria vale: Se W F dl f r dr P r P r Ur è la rimitiva della funzione f r cioè r r r du dr r r r W f r dr dr du U r U r f r du r dr sostituendo nell esressione recedente si trova: Dal fatto che il lavoro W non diende dalla traiettoria da P a P concludiamo che una forza centrale è conservativa Nel caso esaminato in questo esemio la funzione energia otenziale associata a F coincide con Ur Esemio: La forza gravitazionale esercitata su un unto materiale di massa m da un unto materiale di massa m osto a distanza r è: mm ˆ r F G r tale forza è evidentemente di tio centrale e il lavoro da essa comiuto nello sostamento del unto di massa m da una osizione a distanza r da m ad una a distanza r semre da m vale: r mm mm mm r r r r W G dr G G Dal fatto che la forza gravitazionale è una forza centrale e quindi è conservativa e dalla relazione (5) segue:

5-6 Lavoro ed energia mm mm E r E r W G G r r così indicando con k una costante arbitraria l energia otenziale associata alla forza gravitazionale vale: mm E r G k r Come già anticiato l arbitrarietà della costante additiva consente di fissare il livello zero dell energia otenziale Nel caso della forza gravitazionale tale livello viene solitamente osto all infinito cioè si one: E lim E r r da cui segue k Si noti infine come attraverso la (5) è ossibile ricavare l esressione della forza a artire da quella dell energia otenziale infatti: d de r mm mm dr dr r r F G k G Esemio: Il lavoro svolto dalla forza eso in corrisondenza di uno sostamento dalla quota y alla quota y con y y è P y W mgyˆ dr mg dy mgy mgy P y ertanto dalla (5) ossiamo identificare l energia otenziale associata a tale forza con la funzione: E y mgy k La costante k consente di fissare lo zero dell energia otenziale ad una certa quota y cioè imonendo ad esemio E y segue k mgy così l energia otenziale associata alla forza eso si esrime come: E y mg y y 55 Conservazione dell energia meccanica Per una forza conservativa la (59) e la (5) valgono simultaneamente così confrontando tali relazioni si ha E E E E k k ovvero: E E E E k k cioè la somma dell energia cinetica e dell energia otenziale di un unto materiale in moto sotto l azione di una forza conservativa si mantiene costante durante il moto ossia si conserva La somma dell energia cinetica E k e dell energia otenziale E di un coro soggetto ad una forza conservativa è detta energia meccanica E del coro:

Lavoro ed energia 5-7 E E E (55) k Qualora sul coro agiscano iù forze conservative l energia otenziale sarà data dalla somma N E E E delle energie otenziali corrisondenti a ciascuna delle forze conservative In generale su un unto materiale ossono agire contemoraneamente forze conservative e forze non conservative così il lavoro della risultante di queste forze agenti sul unto uò esrimersi come somma: W F dr F dr W W P P c nc ( c) ( nc) P P c dove F nc e F raresentano risettivamente la risultante delle forze conservative e non conservative agenti sul coro Dalla (59) segue: W W W E E ( c) ( nc) k k inoltre siccome le forze c F sono conservative dalla (5) segue: W E E ( c) così sostituendo nella relazione recedente si ha: E E W E E ( nc) k k ovvero dalla (55): k k W E E E E E E (56) ( nc) cioè in generale in resenza sia di forze conservative che di forze non conservative l energia meccanica non rimane costante durante il moto e in articolare la sua variazione risulta ari al lavoro delle forze non conservative Serimentalmente si osserva che in ogni rocesso meccanico sono resenti delle forze di attrito che si oongono al movimento di conseguenza l energia meccanica tende a diminuire durante il moto Per contrastare tale azione è ossibile alicare sul coro in moto delle forze non conservative tali da comensare la diminuzione dell energia e eventualmente anche di accrescere tale energia In ogni caso se nella descrizione del sistema si include anche l agente esterno che fornisce il lavoro non conservativo si osserva ancora che l energia meccanica comlessiva non si conserva ma diminuisce a causa di effetti dissiativi Nei fenomeni macroscoici la conservazione dell energia meccanica è un caso limite in quanto è imossibile da realizzare a causa degli attriti semre resenti; ne segue che nella (56) risulta ( nc) semre W Tuttavia le interazioni fondamentali sono conservative come è evidenziato dai rocessi microscoici cioè la conservazione dell energia è un rinciio fondamentale correlato ad una rorietà di simmetria di carattere generale ovvero all assenza di un origine rivilegiata er la misura del temo Le forze di attrito che si osservano a livello macroscoico determinano una trasformazione dell energia in altre forme così se nel comuto dell energia del rocesso si include anche l energia esressa in tali forme si trova che l energia comlessiva si conserva

5-8 Lavoro ed energia 56 Dinamica di un coro soggetto a forze conservative Consideriamo un unto materiale di massa m soggetto a sole forze conservative e suoniamo che l energia otenziale vari nella direzione secondo il diagramma mostrato in figura Dalle relazioni (58) e (55) segue che l energia del coro vale: E mv E er cui il modulo della velocità del unto materiale è dato da: v E E m (57) Affinché tale relazione risulti valida deve risultare semre E E Consideriamo una ossibile curva di energia otenziale er un moto unidimensionale e valutiamo le caratteristiche del moto del unto materiale relativamente a differenti valori dell energia Con riferimento alla figura seguente consideriamo il caso in cui l energia del coro vale E ; in tale circostanza l energia del coro è semre inferiore all energia otenziale tranne in E ( ) E 4 E 3 E E E 3 4 5 6 7 8 9 F( )

Lavoro ed energia 5-9 corrisondenza dell ascissa 5 in cui E è uguale all energia otenziale Dalla (57) segue che il coro si mantiene in quiete in corrisondenza del unto 5 Se il unto materiale viene sostato a destra da tale osizione oiché la funzione E in tale direzione è crescente dalla relazione (5) segue che su di esso agisce una forza diretta verso sinistra; se al contrario il unto è sostato a sinistra risetto alla osizione 5 su di esso agisce una forza diretta verso destra oiché E in questa direzione è decrescente Se ne conclude che qualora il unto materiale venga sostato dalla osizione di minimo dell energia otenziale sul tale unto agisce semre una forza attrattiva che tende a riortarlo nella osizione originaria che ertanto raresenta una osizione di equilibrio stabile er il unto materiale Suoniamo ora che l energia del unto materiale valga E ; in questo caso se il unto materiale si muove da 5 verso 6 la sua velocità diminuisce con l avvicinarsi a tale osizione e in articolare in questa osizione la velocità si annulla La forza agente sul unto che è nulla in 5 aumenta di intensità con l arossimarsi a 6 ed è semre diretta nel verso negativo delle ; in 6 tale forza è massima e determina un inversione della direzione del moto ertanto il unto materiale rende a muoversi verso 4 Tale forza inverte la sua direzione doo che il unto ha suerato la osizione di equilibrio 5 ; in 4 la velocità si annulla nuovamente e il moto inverte la sua direzione Le osizioni 4 e 6 sono dette unti di inversione del moto In questo caso il unto materiale è vincolato a muoversi tra i due unti di inversione e la regione all interno della quale è confinato tale moto rende il nome di buca di otenziale Sviluando in serie la funzione E intorno alla osizione di equilibrio si ottiene: 5 E E de d E 5 5 5 d d 5 5 d E 5 5 E d 5 siccome è un unto di minimo e di conseguenza la derivata rima è nulla in tale unto Nell iotesi che la differenza 5 5 sia sufficientemente iccola è ossibile trascurare i termini sueriori al secondo nel recedente sviluo inoltre la derivata d E d è una costante ositiva nel unto ; indicando con k tale costante risulta: 5 E E k 5 5 dalla relazione (54) segue quindi che tale esressione raresenta l energia otenziale di un oscillatore armonico al quale è attribuito E 5 quale valore di riferimento er l energia otenziale In tale arossimazione detta delle iccole oscillazioni il moto del unto materiale all interno della buca di otenziale è di tio oscillatorio con frequenza ari a km Consideriamo la circostanza in cui l energia del unto sia ari a E allora il moto si eslica tra gli intervalli e come nel caso recedente Il unto materiale non uò assare da un 3 7 9 intervallo all altro e la regione comresa tra tali intervalli e interdetta al moto è detta barriera di otenziale Si osservi che la osizione di massimo relativo 8 raresenta una osizione di equilibrio er un unto materiale con energia ari all energia otenziale in corrisondenza del massimo; a differenza della osizione 5 tuttavia qualora il unto materiale venga sostato da 8

5- Lavoro ed energia su di esso agisce una forza reulsiva che tende ad allontanarlo da tale osizione Ne segue che il massimo relativo dell energia otenziale raresenta una osizione di equilibrio instabile er il unto materiale Suoniamo che il unto materiale sia caratterizzato dall energia E 3 e assumiamo inoltre che si muova nella direzione negativa delle Allora durante tale moto la sua velocità varierà in relazione alla (57) e in articolare aumenterà dove E decresce e viceversa Giunta nel unto la velocità del unto sarà nulla e il moto invertirà la sua direzione Infine qualora il unto materiale sia in una regione in cui E si mantiene costante come nell intorno del unto all energia E 4 oiché la endenza della funzione energia otenziale è nulla la forza agente sul unto materiale è nulla Tale regione è detta di equilibrio indifferente oiché il unto materiale uò essere sostato al suo interno senza risentire di forze attrattive o reulsive Attraverso l alicazione della legge di conservazione dell energia è ossibile dedurre l equazione del moto Esrimendo la relazione (57) come: d E E dt m e searando le variabili si ottiene: d E E m dt dalla quale nota l esressione dell energia otenziale E e la condizione iniziale si uò ricavare l equazione del moto t In questo caso si ha il vantaggio di risolvere un equazione differenziale del rimo ordine anziché una del secondo come imosto dalla seconda legge della dinamica Esemio: Consideriamo un unto materiale di massa m vincolato all estremità di una molla di costante elastica k osta su un iano orizzontale rivo di attrito e fissata all altro estremo ad un vincolo fisso L energia otenziale associata alla forza elastica (44) vale: m E k ; assumere che la costante additiva arbitraria sia nulla corrisonde a fissare l origine dell energia otenziale nel unto di equilibrio In una osizione generica l energia del unto materiale vale: E E E mv k k (58) Se in un grafico si raresentano contemoraneamente la funzione energia otenziale E e il livello corrisondente all energia meccanica E il rinciio di conservazione dell energia viene esresso dal fatto che si mantiene costante la somma delle distanze tra i unti del grafico dell energia otenziale e risettivamente il livello di riferimento E e il livello dell energia meccanica Con riferimento alla figura er ogni valore di risulta quindi costante la somma KP PH e ari a KH dove KP raresenta l energia cinetica PH raresenta l energia otenziale e KH l energia meccanica In articolare se il sistema ha un energia E dalla (58) segue che la velocità del unto materiale varia con secondo la legge: E k v m m