L oligopolio a.a. 008/009 Dott. Laura Vici Esercitazioni: giovedì 9:00-11:00, Aula A, Via Berti Pichat, 6 Ricevimento: giovedì 1:00-15:00 Dipartimento di Scienze Economiche- Strada Maggiore, 45 Studion. 1 E-mail: laura.vici@unibo.it Home page: http://www.dse.unibo.it/lvici Esercitazione X Versione 1/11/008 OBIETTIVI: Questa sezione esamina i mercati oligopolistici, in cui un numero limitato di imprese compete sul mercato, determinando una situazione di interazione strategica. Per cogliere gli aspetti fondamentali dell interazione strategica in mercati oligopolistici si ricorre all uso della teoria dei giochi. In particolare, verranno esaminati l oligopolio di Cournot, in cui le imprese competono nelle quantità, l oligopolio di Bertrand, in cui le imprese competono invece nei prezzi. In questi modelli le imprese prendono le decisioni di produzione simultaneamente. Inoltre, verrà trattato l oligopolio secondo il modello di Stackelberg, in cui, a differenza dei modelli di Cournot e Bertrand, una delle concorrenti, l impresa leader, ha un vantaggio sui rivali in quanto agisce per prima.
Oligopolio Un mercato oligopolistico è caratterizzato da un piccolo numero di imprese che competono tra loro e l entrata nel mercato di nuove imprese è ostacolata da barriere all entrata. Il bene prodotto dalle imprese può essere differenziato o indifferenziato mentre il potere monopolistico (ossia la capacità di influenzare il prezzo) e la reddittività delle imprese dipendono dalla interazione tra imprese: quanto più la competizione è aggressiva tanto minore è il potere monopolistico e i profitti tendono a zero; viceversa, quanto più passiva è la competizione, tanto maggiore è il potere di mercato e i profitti vengono massimizzati. La particolarità dei mercati oligopolistici è che la decisione ottimale dell impresa in termini di quantità prodotta e/o del prezzo deve tenere in debita considerazione della reazione delle altre imprese sul mercato. In altri termini, dato che solo poche imprese competono sul mercato, ciascuna impresa deve valutare con attenzione l effetto delle proprie azioni(ossia, le proprie decisioni in termini di prezzo, produzione, pubblicità, investimenti nella capacità produttiva ecc.) sulle decisioni delle altre imprese e le rispettive reazioni. Pertanto, ogni impresa deve analizzare le potenziali conseguenze delle proprie decisioni, ipotizzare che i concorrenti siano razionali e informati e deve mettersi nei panni di ciascun concorrente per valutare come potrebbero reagire. Le variabili strategiche che l impresa può influenzare attraverso le proprie azioni o decisioni sono il livello di produzione, il prezzo, l investimento in capacità produttiva, la pubblicità ecc. Per definire il livello ottimale di queste variabili è necessario individuare un livello di equilibrio, ossia una situazione in cui le imprese stanno operandoalmeglioenonhannoalcunincentivoavariareleproprieazioniodecisioni. Questononèaltro che la definizione di equilibrio di Nash (John Nash, 1951). Infatti, un equilibrio di Nash è un insieme di azioniostrategieincuiogniagenteoperaalmeglio,dateleazionideglialtriagenti. Oligopolio à la Cournot Il modello di Cournot considera un oligopolio in cui le imprese sul mercato producono un bene omogeneo e ciascuna decide quanto produrre, considerando come data la scelta delle altre concorrenti. Tutte le imprese scelgono simultaneamente e nello stesso modo. L equilibrio di questo oligopolio è rappresentato pertanto da un equilibrio di Nash (cosiddetto equilibrio di Cournot-Nash) poichè le imprese stanno operando tutte al meglio, data la scelta delle altre concorrenti, e nessuna ha incentivo a cambiare quella condizione. Il modello di Cournot quindi considera imprese che competono nelle quantità da produrre. Esse conoscono lacurvadidomandadimercatodelbenecheproducono. Per semplicità consideriamo un mercato oligopolistico in cui operano solo due imprese(duopolio). Per determinare la quantità prodotta da ciascuna impresa è necessario che ogni impresa consideri nel processo di scelta il meccanismo di scelta delle concorrenti. La produzione che massimizza il profitto dell impresa 1 dipende quindi dal livello di produzione atteso dell impresa.
In equilibrio tutte le imprese cercheranno di massimizzare il proprio profitto, scegliendo la quantità di prodotto data la reazione delle altre imprese. Per rendere più chiaro il processo di scelta in un modello oligopolistico à la Cournot, si consideri un duopolio in cui le imprese sono caratterizzate dallo stesso costo marginale, c. Il mercato in cui operano è caratterizzatodaunafunzionedidomandap=a Q d,doveq d èlasommadellequantitàconsumatedai consumatori,mentrelaquantitàoffertaèpariallasommadelleunitàprodottedalledueimprese,q s =q 1 +q. Per prima cosa è necessario scrivere le funzione di profitto delle due imprese, espresse in funzione delle quantità(levariabilidisceltarispettoacuidovrannomassimizzareiprofitti,q 1 eq ): π 1 = pq 1 cq 1 =(a q 1 q )q 1 cq 1 (1) π = pq cq =(a q 1 q )q cq Nell oligopolio à la Cournot, ogni impresa dovrà scegliere simultaneamente quella quantità ottimale che massimizza il proprio profitto. Di conseguenza, ogni impresa dovrà calcolare la derivata del proprio profitto rispetto alla quantità prodotta e porla uguale a zero: π 1 q 1 =a q 1 q c=0 π q =a q q 1 c=0 q 1 = a c q q = a c q 1 () Ne risultano due equazioni note sotto il nome di funzioni di reazione (o curve di reazione o best reply functions). Per ogni impresa, la funzione di reazione rappresenta la relazione tra la produzione che massimizza il profitto e la produzione attesa dei propri concorrenti (). Ad esempio, per l impresa 1, la funzionedireazioneq 1 =f(q )rappresentaquellaquantitàdiprodottochemassimizzailprofitto,datoche l impresaproduceq. Ovviamente,laproduzionechemassimizzailprofittodell impresa1,èunafunzione decrescente della produzione delle imprese concorrenti(in questo caso, dell impresa ). q Curva di reazione dell impresa 1 Equilibrio di Cournot q * Curva di reazione dell impresa q * 1 q 1 Figura 1: curve di reazione nel modello di Cournot Nel modello di Cournot, ogni impresa individua correttamente la quantità prodotta dalla concorrente e massimizza il proprio profitto in conseguenza. Pertanto, per individuare le quantità prodotte in equilibrio
dalle due imprese, è necessario mettere a sistema le curve di reazione delle imprese concorrenti: q 1 = a c q q = a c q 1 q C 1 = a c q C = a c La combinazione di produzione identificata è un equilibrio di Nash detto equilibrio di Cournot, pertanto, nessuna delle due imprese ha un incentivo a spostarsi da questa condizione. Graficamente, l equilibrio di Cournot è rappresentato dall intersezione delle due cuve di reazione(figura 1). A livello aggregato, la quantità offerta complessivamente è pari alla somma delle quantità prodotte dalle singole imprese: Q C =q C 1 + q C = (a c) Il prezzo di mercato si ottiene sostituendo le quantità ottimali() nella funzione di domanda(inversa): I profitti di equilibrio sono invece dati da: p C =a q1 C qc =a a+c (a c)= π C 1 = p C q1 C cq1 C =(p C c)q1 C =( a+c π C = p C q C cq C =(p C c)q C =( a+c c) a c c) a c = (a c) 9 = (a c) 9 Datochelastrutturadeicostièidenticaperentrambeleimprese,sialequantitàcheiprofittisaranno ugualiinequilibrio. 1 () (4) (5) Oligopolio à la Cournot versus concorrenza perfetta Mettendo a confronto l equilibrio di Cournot con l equilibrio di un mercato in concorrenza perfetta, è possibile verificare la perdita di benessere per l economia in presenza di un oligopolio nelle quantità. Nel caso di concorrenza perfetta, il prezzo è uguale al costo marginale: p =c Q =a c (6) Ipotizzando che le imprese sul mercato si ripartiscano la produzione nella stessa misura, il profitto di ciascuna impresa risulta essere nullo. q 1= q = Q = a c. (7) Paragonando gli equilibri di un mercato concorrenziale con quelli che risultano da una competizione nelle quantità(à la Cournot) si ottiene facilmente che: p <p C, Q >Q C, π i <π C i. 1 Seilcostomarginaleperprodurreilbeneomogeneodifferiscetraleimprese,anchelecurvedireazioneavrannounaforma diversa. 4
Le imprese preferiscono quindi una competizione nelle quantità in quanto ottengono un profitto positivo, mentre i consumatori preferiscono una concorrenza perfetta, che assicura un maggior livello di consumo a un prezzo inferiore. Cosa cambierebbe se le imprese potessero colludere? In presenza di un accordo collusivo, le imprese agiscono congiuntamente come se fossero una sola (in condizioni di monopolio). Pertanto, sceglieranno di produrre quella quantità di prodotto in corrispondenza della quale il costo marginale uguaglia il ricavo marginale. In altre parole, le imprese massimizzano il profitto congiunto(o profitto totale) e si spartiscono la produzione secondo l accordo stipulato, presumibilmente in funzione della loro struttura di costo(ossia in funzione della loro efficienza). π TOT =pq cq=(a Q)Q cq π TOT Q = a Q c=0 (8) R =C (9) Q= a c q1 coll = a c 4 q coll = a c (10) 4 LacurvaQ=q 1 +q èdettacurvadicollusioneerappresentatuttelepossibilicombinazioniq1 coll +q coll che massimizzano il profitto congiunto. Per le imprese, l equilibrio di Cournot è migliore di quello perfettamente concorrenziale, ma peggiore di quello collusivo che garantisce profitti maggiori. q Curva di reazione dell impresa 1 Curva di collusione q * Curva di reazione dell impresa Equilibrio collusivo q * 1 Figura : curve di collusione ed equilibrio collusivo q 1 5
Oligopolio à la Bertrand Tuttavia, in alcuni mercati la competizione tra imprese non è nelle quantità ma nel prezzo. Il modello di Bertrand considera un oligopolio in cui le imprese scelgono il prezzo(la variabile di scelta), dato il comportamento delle altre imprese. Le imprese producono beni omogenei e scelgono il prezzo simultaneamente. Anche in questo caso esiste un equilibrio (di Nash) in cui tutte le imprese scelgono il migliore prezzo dato che le altre imprese scelgono allo stesso modo e nessuna impresa ha un incentivo a deviare da tale situazione(equilibrio Bertrand o equilibrio di Bertrand-Nash). Tuttavia, come si vedrà tra poco, a parità di condizioni sul mercato, competere nelle quantità(modello di Cournot) o nel prezzo(modello di Bertrand) produce risultati completamente diversi. Per semplicità, si consideri un mercato duopolistico, con due sole imprese che competono nel prezzo e fronteggianounadomandadimercatopariap=a Q,doveQèlaquantitàtotaleoffertadalledueimprese Q=q 1 + q. Ilcostomarginaledelledueimpreseèidenticoepariac. Dato che il bene è omogeneo, i consumatori acquisteranno da quell impresa che offre il bene al prezzo più basso. Pertanto, se una delle due imprese applica un prezzo più basso anche se di pochissimo, servirà tutto il mercato. I consumatori saranno indifferenti tra le due imprese quando entrambe applicano lo stesso prezzo(in tal caso possiamo ipotizzare che le due imprese si suddividano il mercato a metà). Competendo nel prezzo, le imprese inizieranno ad abbassare il prezzo per accaparrarsi tutto il mercato finoacheilprezzoscendeallivellominimoammissibile:ilcostomarginale,c. Pertanto,inunmodelloàla Bertrand,l equilibriodinashcorrispondeall equilibriodiunmercatoinconcorrenzaperfettaconp 1 =p =c elaproduzionetotalepariaq=a c(eciascunaimpresaprodurràq 1 =q = a c ). Dato che il prezzo uguaglia il costo marginale, le imprese realizzeranno un profitto nullo. Confrontando i risultati di una competizione nel prezzo e nelle quantità, si può notare che nel modello à la Cournot entrambe le imprese realizzano un profitto positivo mentre in quello à la Bertrand percepiscono unprofittonullo. Oligopolio à la Stackelberg Il modello di Stackelberg considera un oligopolio in cui le imprese producono un bene omogeneo e competono nelle quantità. Tuttavia, a differenza del modello di Cournot, in questo caso le imprese non decidono simultaneamente quanto produrre, ma in modo sequenziale: l impresa che decide per prima e che ha il vantaggio della prima mossa viene chiamata leader mentre quella/e che, una volta osservato il comportamento Inpresenzadiprodottidifferenziatileimpreserealizzanoprofittipositivianchequandolacompetizioneènelprezzo. Inoltre, se il gioco non è simultaneo ma sequenziale, nel caso di una competizione nel prezzo, la possibilità di muovere per primo rispetto agli altri concorrenti si trasforma in uno svantaggio da prima mossa: una volta scelto il prezzo gli altri concorrenti potranno abbassare anche di poco il prezzo per catturare una più elevata quota di mercato. 6
dell impresa leader, decide/decidono quanto produrre per massimizzare il profitto, viene/vengolo chiamata/e follower. Per semplicità, consideriamo un mercato duopolistico(con due sole imprese che operano sul mercato). L impresa leader (ad esempio l impresa 1) determina il proprio livello di produzione considerando la possibile reazione dell impresa follower(l impresa ). Pertanto, in primo luogo, l impresa leader determina la relazione tra la quantità prodotta dall impresa follower in funzione del proprio livello di produzione(curva di reazione dell impresa follower). La curva di reazione dell impresa follower corrisponde alla curva di reazione di Cournot(), dato che l impresa formula la sua decisione prendendo il livello di produzione dell impresa leadercomeundato. Abbiamovistoche,dataunadomanda(inversa)dimercatopariap=a Q,lacurva di reazione delle follower corrisponde a: q = a c q 1 L impresa 1 sceglierà, quindi, quel livello di produzione che massimizza il profitto, data la reazione attesa dell impresa follower: π 1 = pq 1 cq 1 =(a q 1 q )q 1 cq 1 (11) = (a q 1 a c q 1 )q 1 cq 1 (1) = (a 1 q 1 a c )q 1 cq 1 (1) π 1 =a q 1 a c c=0 q 1 q1 S = a c q S = a c 4 Neconseguechelaquantitàprodottaevendutasulmercatosaràparia: (14) Q S =q S 1 + q S = 4 (a c) Il prezzo di mercato si ottiene sostituendo le quantità ottimali(14) nella funzione di domanda(inversa): I profitti di equilibrio sono invece dati da: p S =a q1 S q S =a a+c (a c)= 4 4 π S 1 = p S q1 S cq1 S =(p S c)q1 S =( a+c 4 π S = p S q S cq S =(p S c)q S =( a+c 4 c) a c c) a c 4 = (a c) 8 = (a c) 16 Come è possibile notare dalla (14), dalla (16) e dalla (17), nel modello di Stackelberg l impresa leader gode di un vantaggio da prima mossa visto che, potendo muovere per prima, detiene una maggiore quota di mercato(in questo caso doppia) e guadagna profitti maggiori dell impresa follower. (15) (16) (17) 7
Esercizi proposti: 1. Oligopolio à la Cournot, à la Bertrandeàla Stackelberg(L.V.) Si considerino due imprese che producono beni omogenei, la cui domanda di mercato è pari a p = 10 Q. Ilcostomarginalesostenutodaentrambeleimpreseperprodurreilbeneèparia9. (a) Si determini l equilibrio di Cournot, l offerta complessiva del settore e il profitto per le imprese. (b) Si determini l equilibrio di Bertrand, il prezzo di equilibrio, l output complessivo del settore e il profitto per le imprese. (c) Si determini l equilibrio di Stackelberg, l offerta complessiva e il profitto per le imprese, assumendo che l impresa 1 agisca come leader. (d) Si confrontino le soluzioni di equilibrio di cui al punto(a),(b),(c) e si rappresentino graficamente tali soluzioni(utilizzando lo stesso grafico). SOLUZIONE: In generale, i profitti delle due imprese, indipendentemente dalla tipologia di interazione strategica e dal tipo di competizione, ammontano a: π 1 = pq 1 cq 1 =(10 q 1 q )q 1 9q 1 π = pq cq =(10 q 1 q )q 9q (a) Nel mercato duopolistico con competizione nelle quantità(modello di Cournot), la strategia di ciascuna impresa si individua derivando il profitto rispetto alla quantità prodotta e ponendo la derivata uguale a zero. Il risultato produce le cosiddette curve o funzioni di reazione di ciascuna impresa: π 1 =0= q 1 = 111 q q 1 π =0= q = 111 q 1 q Graficamente, il punto di intersezione delle curve di reazione corrisponde all equilibrio di Cournot. Formalmente, ciò corrisponde alla soluzione di un sistema di equazioni in due incognite rappresentate dalle due funzioni di reazione. Il risultato corrisponde a un equilibrio in quanto sulle curve di reazione si individuano le produzioni ottimali di ciascuna impresa, dato il comportamento delle altre imprese. Pertanto, ciascuna impresa produce un uguale quantità di prodotto(dato che la struttura dei costi è la medesima perledueimprese)paria7unità,mentrelaquantitàoffertacomplessivamentesulmercatoèparia74 unità. q C 1 =q C =7 Q C =q 1 +q =74 Ilprezzodimercatoeiprofittidiciascunaimpresaammontanoa: p C =10 Q=46 8
π C 1=π C =(46 9)7=169 (b) In un mercato duopolistico con competizione nei prezzi(modello di Bertrand), le imprese riducono continuamente il prezzo(processo di undercutting) finché si arriva a un punto in cui il prezzo delle imprese uguaglia il costo marginale. Pertanto, in equilibrio, il prezzo ammonta al costo marginale, mentre la quantità offerta nel mercato si ottiene sostituendo il prezzo nella funzione di domanda: p B = c=9 p = 10 Q Q B =111 Supponendo che le imprese, in condizione simmetrica, si ripartiscano uniformemente la produzione, è possibile determinare la quantità prodotta da ciascuna impresa: q B 1 =q B = 111 =55.5 Poiché la soluzione di un modello à la Bertrand produce un equilibrio analogo alla concorrenza perfetta, il profitto delle imprese(che producono un bene omogeneo e selezionano il prezzo simultaneamente) è nullo, π B 1 =πb =0. (c) Nel mercato duopolistico à la Stackelberg con competizione sequenziale nelle quantità, l impresa leader sfrutta il vantaggio della prima mossa ed include la migliore risposta dell impresa follower nella propria operazione di scelta ottimale della quantità da produrre. Per fare questo, quindi, sostituirà nella funzione di profitto da massimizzare la funzione di reazione dell impresa al posto della quantità della rivale: ( { π π1 =(10 q 1 q )q 1 9q 1 = 10 q 1 111 q ) 1 q 1 9q 1 1 π =(10 q 1 q )q 9q π =0= q = 111 q 1 q π 1 =0 q 1 π =0= q = 111 q 1 q { q S 1 = 111 =55.5 q S= 111 4 =7.75 Pertanto, la quantità complessiva offerta nel mercato è data da: mentre il prezzo di mercato ammonta a: Q S =q S 1 +q S = 111 +111 4 = 4 =8.5 p S =10 4 = 147 4 =6.75 9
L impresa leader produce di più e consegue profitti maggiori rispetto alla follower. Infatti, i profitti delle due imprese ammontano a: ( ) 147 111 π S 1 = pq 1 cq 1 = 4 9 = 11 8 ( ) 147 111 π S = pq cq = 4 9 4 = 11 16 (d) Confrontando le soluzioni dei tre modelli di oligopolio si ricava che: Nei tre modelli, le quantità offerte nel mercato e i prezzi di equilibrio sono differenti. Infatti: Q B > Q S >Q C p B < p S <p C I consumatori prediligono una competizione à la Bertrand poichè possono comprare maggiori quantità diprodottoaunprezzopiùbasso. I profitti più alti vengono riservati all impresa leader in un oligopolio à la Stackelberg. I profitti più bassi vengono assicurati a tutte le imprese che operano secondo una competizione à la Bertrand. I profitti garantiti alle imprese che competono sulle quantità simultaneamente o sequenzialmente nel ruolo di follower ottengono un livello positivo intermedio di profitti. q 10 R 1 (q ) 55.5 B 7 7.75 C S R (q 1 ) 7 55.5 10 q1 Figura ES1 : Gli equilibri di Cournot, Bertrand e Stackelberg 10
. Modello di Cournot e di Stackelberg(A.M.) Calcolare quantità, prezzo e profitti di equilibrio in un duopolio à la Stackelberg in cui l impresa 1 agisce come leader. La funzione di domanda inversa è pari a p=5 Q e le funzioni di costo delle due imprese sono date da c(q i ) = 5q i +10. Calcolare inoltre le soluzioni di equilibrio nel caso di competizione à la Cournot e confrontare i risultati ottenuti. Quale tipo di duopolio risulta preferito dal consumatore? E quale dai produttori? SOLUZIONE: L impresa 1 ha un vantaggio nei confronti della rivale dovuto al fatto che determina il proprio livello di produzione prendendo in considerazione la miglior risposta che il rivale sarà obbligato a fare. Negli esempi precedenti abbiamo trattato casi di massimizzazione simultanea, in cui le imprese consideravano comedatiilivellidi produzione dei rivali e sceglievano il proprio livello di produzione ottimale. Nel caso di Stackelberg, invece, la leader riesce ad includere la miglior risposta del rivale nella propria funzione di massimizzazione. Sappiamo cheilprofittodell impresa1èdatoda: π 1 =pq 1 c(q 1 )=(5 q 1 q )q 1 5q 1 10 (18) L impresa 1 ha come scopo la massimizzazione della(18) rispetto alla quantità; prima di attuare tale operazione, però, essa sfrutta il vantaggio della prima mossa calcolando in anticipo quella che sarà la risposta dell impresa rivale ad una sua scelta di produzione. L impresa infatti sarà costretta anch essa a massimizzare il profitto rispetto alla quantità: π =pq c(q )=(5 q 1 q )q 5q 10 da cui: π =0= q _ =10 q 1 q (19) Inserendoilvalore _ q nellafunzionediprofitto(18)emassimizzandosiottienelaquantitàottimaleprodotta dall impresa 1: _ π 1 =pq 1 c(q 1 )= ( 5 q 1 _ q ) q1 5q 1 10= ( 5 q 1 10+ q 1 ) q 1 5q 1 10 _ π 1 q 1 =0= q S 1 =10 (0) da cui, sostituendo nella(19), si ottiene il livello di produzione dell impresa, la follower: q S =10 qs 1 =5 (1) La quantità complessiva è quindi data dalla somma delle quantità prodotte dalle singole imprese: Q S =q S 1 +q S =15. 11
Sostituendo nella funzione di domanda inversa si ottiene il prezzo di mercato: p S =5 Q S =5 15=10. Per quanto riguarda i profitti delle due imprese, sostituendo nelle apposite funzioni di profitto i valori di quantità e prezzo appena determinati si ottiene: π S 1 = p S q1 S c(q1)=100 50 10=40 S π S = p S q S c(qs )=50 5 10=15 Si può quindi notare come l impresa leader sfrutti il vantaggio informativo per acquisire un profitto maggiore della rivale in virtù di un livello di produzione superiore. Nella seconda parte di questo esercizio si chiede di determinare output di equilibrio, prezzo e profitti delle imprese nel caso di competizione à la Cournot. Ogni imprese massimizza il profitto scegliendo la quantità ottimale ma in questo caso le imprese giocano simultaneamente e quindi possiamo scrivere: π 1 =0= q 1 = 0 q q 1 π =0= q 1 = 0 q 1 q () Procedendo per sostituzione(o per simmetria) si ottiene: q C 1 =q C = 0 () da cui possiamo ricavare la quantità complessiva ed il prezzo di mercato: Q C =q C 1 +q C = 40, pc =5 Q C =5 40 = 5. Inserendo i valori appena determinati nelle funzioni di profitto si ottengono i profitti di equilibrio di Cournot: π C 1 = p C q C 1 c(q C 1)= 5 0 5 0 10 =4.4 π C = p C q C c(q C )= 5 0 5 0 10 =4.4. In equilibrio di Cournot le imprese ottengono profitti uguali in quanto producono la stessa quantità. Possiamo dunque operare un confronto tra i due tipi di competizione esaminati sopra. Si vede chiaramente che: Q S >Q C p S <p C π S 1 >πc 1 =πc >πs I consumatori preferiscono quindi un tipo di competizione à la Stackelberg in quanto l output complessivo che viene prodotto è maggiore rispetto a quello della competizione à la Cournot e viene inoltre venduto ad un prezzo inferiore. Per le imprese il discorso è più complicato: l impresa 1, la leader, predilige la competizione à la Stackelberg mentre l impresa, la follower, preferisce la competizione à la Cournot. 1
. Modelli di Cournot, di Bertrand e di Stackelberg(A.M.) Consideratedueimpresecheproduconobeniomogeneiaventidomandadimercatopariap=0 Q. Entrambeleimpreseproduconoilbeneaduncostomarginaleparia. Sichiededideterminare: (a) la soluzione di equilibrio di Cournot, l output complessivo dell industria ed il profitto per le imprese; (b) la soluzione di equilibrio di Bertrand, l output complessivo dell industria ed il profitto per le imprese; (c) la soluzione di equilibrio di Stackelberg, l output complessivo dell industria ed il profitto per le imprese, assumendo che l impresa 1 agisca come leader. Operate inoltre un confronto tra le soluzione di equilibrio dei punti precedenti e rappresentate graficamente tali soluzioni(usate il grafico con le curve di reazione per determinare le soluzioni di equilibrio nelle quantità). SOLUZIONE: I profitti delle imprese sono dati da: π 1 = pq 1 cq 1 =(0 q 1 q )q 1 q 1 π = pq cq =(0 q 1 q )q q (a) In Cournot le imprese competono simultaneamente nelle quantità e perciò possiamo scrivere: π 1 =0= q 1 = 7 q q 1 π =0= q = 7 q 1 q da cui si ricava facilmente la quantità invididuale prodotta da ciscuna impresa e di conseguenza anche la quantità complessiva immessa nel mercato: q C 1 =q C =9= Q C =18. (4) Sipossonopoicalcorarefacilmenteilprezzodimercatoediprofittidiequilibriodelledueimprese: p C =1 e π C 1 =π C =81. (b) In Bertrand le imprese decidono il prezzo di mercato ma tramite il processo di undercutting si arriva ad una situazione in cui il prezzo è uguale al costo marginale (paradosso di Bertrand). La soluzione di equilibrio è quindi facilmente data da: p B = Nellarisoluzionediquestoeserciziotralasciamoalcunideipassaggipiùsemplici. Sirimandaaglieserciziprecedenti per una descrizione accurata delle procedure di risoluzione. 1
Sostituendo tale valore nella funzione di domanda si ottiene la quantità complessiva di mercato: =0 Q= Q B =7. Dato che si ipotizza una condizione di simmetria tra le imprese, possiamo dedurre che ogni impresa produrrà esattamente la metà di quanto viene immesso nel mercato, quindi: q B 1 =q B = QB = 7 =1.5. Si può inoltre facilmente dimostrare che il profitto di ciascuna delle due imprese è nullo. (c) In Stackelberg l impresa 1 sfrutta il vantaggio di poter muovere per prima ed include la miglior risposta della rivale nella propria operazione di massimizzazione: { π1 =(0 q 1 q )q 1 q 1 _ q = 7 q 1 = π _ 1 = π _ 1 =0 q 1 _ q = 7 q 1 = ( 0 q 1 7 q ) 1 q 1 q 1 { q S 1 =1.5 q S =6.75 da cui si ottiene la quantità complessiva immessa nel mercato: Q S =q S 1 +q S =0.5 (5) Ilprezzodimercatoèdatoda: p S =0 Q S =0 0.5=9.75 Si possono poi ricavare i profitti di equilibrio delle due imprese: π S 1 = ( 0 q S 1 q S ) q S 1 q S 1 =91.15, π S = ( 0 q S 1 q S ) q S q S =45.565. Confrontando le soluzioni di equilibrio dei tre casi analizzati si vede chiaramente che: Q B >Q S >Q C, p B <p S <p C, π S 1 >π C 1 =π C >π S >π B 1 =π B =0. L impresa1trae i profitti maggiori nel caso di leadership à la Stackelberg in quanto riesce a produrre una quantità superiore all impresa rivale, la quale invece preferirebbe un gioco à la Cournot in cui si ha una situazione di perfetta simmetria. I profitti più bassi si ottengono invece nel caso di Bertrand, 14
in cui le imprese sono costrette a farsi guerra sul prezzo fino a raggiungere l outcome di competizione perfetta, con il prezzo sceso fino al costo marginale. Quest ultima è ovviamente la condizione prediletta dai consumatori, che ottengono la quantità maggiore possibile al prezzo di concorrenza perfetta. Si può notare come i consumatori preferiscono la competizione di Stackelberg a quella di Cournot: la quantità prodotta è infatti maggiore e viene venduta ad un prezzo inferiore. Nella Figura ES vengono inoltre rappresentati graficamente i livelli di produzione delle imprese nei tre casi considerati dal problema: q 7 R 1 (q ) 1.5 B 9 6.75 C S R (q 1 ) 9 1.5 7 q1 Figura ES : Gli equilibri di Cournot, Bertrand e Stackelberg 4. Altri esercizi: Esercizi -8 pagg. 75-80(C.L.). Esercizi 14 e15pagg. 84-86(C-L); nel primoeserciziosi svolga soloil casoincui le imprese competono nelle quantità alla Stackelberg. 15