Soluzioni del compito di Economia Industriale del 24/11/03

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1 Soluzioni del compito di Economia Industriale del 2/11/03 1. Esercizio. Le imprese Energia e Eléctricité des Alpes si suddividuono potenzialmente il mercato dell energia elettrica. La funzione di costo medio di entrambe le imprese è rappresentata dalla seguente espressione: AC(E) = 500 0E + E 2. dove E sono i milioni di KW/h di energia prodotta. Se entrambe le imprese decidessero di produrre, la funzione di costo medio del settore dell energia elettrica diventerebbe la seguente: AC 2 (E) = E + E2. Determinare: (a) l intervallo di E in cui esistono economie di scala se tutta l offerta viene realizzata dall impresa Energia ; (b) l intervallo di E in cui la funzione di costo è subadditiva; (c) se tale mercato costituisce un monopolio naturale in caso di funzione di domanda corrispondente all espressione p = 560 E. E se la domanda fosse p = 50 1E? 1. Soluzione. (a) Se esistesse una sola impresa il costo medio sarebbe Uguagliando a zero abbiamo AC(E) = 500 0E + E 2 dac de = 2E 0 2E 0 = 0 E = 20 Se E [0, 20] abbiamo economie di scala in quanto dac/de < 0. (b) Uguagliando i costi medi di una sola impresa a quelli dell industria AC(E) = AC 2 (E) 500 0E + E 2 = E + E2 3 E2 20E = 0 ( ) 3 E E 20 = 0 E = 80 3 = 26.7 Se E [0, 26.7] la funzione di costo è subadditiva, ossia C(E 1, E 2 ) < C(E 1 ) + C(E 2 ). 1

2 (c) P = 560 E interseca AC 2 (E) quando E E = E + E2 16E 60 = 0 E 1,2 = 16 ± [162 + (1/)60] 1/2 1/2 E 1 = 67.6, E 2 = 3.6. Prendiamo quindi la radice positiva. Pertanto essendo 67.6 > 26.7 il mercato non costituisce un monopolio naturale. Se la domanda fosse P = 50 1E avremo 50 1E = E + E2 E 2 6E = 0 E 1,2 = 6 ± [62 + (1/)] 1/2 1/2 E 1 = 2.6, E 2 = 0.6. Entrambe le soluzioni appartengono al tratto in cui la funzione di costo è subadditiva. Pertanto il mercato è un monopolio natuale. 2. Esercizio. L impresa Sound produce CD e CD-R. La sua funzione di costo è rappresentata dall espressione C( CD, CD R ) = 20 + CD + 8 CD R 2 CD CD R, dove CD-R e CD sono rispettivamente i dischi riscrivibili e non (in migliaia). La Sound sta considerando i seguenti mix produttivi: il primo prevede che il 50% della produzione totale di compact disc sia concentrata sui CD riscrivibili, il secondo che l 80% sia sui dischi non riscrivibili. La produzione totale dell impresa sarà comunque pari a dischi. Stabilire quale dei due mix produttivi è il più conveniente. 2. Soluzione. Indichiamo con λ 1 la proporzione di CD-R nel primo mix produttivo e con λ 2 la propozione di CD-R nel secondo mix produttivo. Possiamo quindi scrivere λ 1 = 0.5 (1 λ 1 ) = 0.5 λ 2 = 0.2 (1 λ 2 ) = 0.8, dove (1 λ 1 ) e (1 λ 2 ) sono rispettivamente le proporzioni di CD non riscrivibili nel primo e nel secondo mix produttivo. 2

3 Utilizzando le suindicate proporzioni possiamo riscrivere i livelli di produzione di CD e CD-R in funzione del livello complessivo di produzione come CD R(1) = 0.5 CD(1) = 0.5 CD R(2) = 0.2 CD(2) = 0.8 Sostituiamo ora CD R e CD nella funzione di costo totale per i due diversi mix produttivi I costi medi radiali sono C 1 () = 20 + (0.5) + 8(0.5) 2(0.5)(0.5) = ; C 2 () = 20 + (0.8) + 8(0.2) 2(0.8)(0.2) = ; RAC 1 = C(, λ 1) RAC 2 = C(, λ 2) = = , 32 Confrontando RAC 1 con RAC 2 abbiamo RAC 1 > RAC > (1) 1, 2 > ( ) < 1.2 = 6.67 (2) 0.18 Per livelli di produzione [0, 6.67] i costi medi radiali con un mix [λ 1, (1 λ 1 )] sono superiori ai costi medi radiali con mix [λ 2, (1 λ 2 )]. Poiché 6.67 < 10, per un livello di produzione pari a 10 converrá produrre con il mix [λ 1, (1 λ 1 )]. 3. Esercizio. Sia p = 50 2L la funzione di domanda inversa del mercato dei lucidi per stampate (L), con L = l t + l s che rappresenta l offerta dell industria costituita dalle due imprese Transparent (t) e Slide (s). Le imprese hanno la stessa funzione di costo data da CT = 2l i (i = t, s). Determinare: (a) l equilibrio di Cournot se le due imprese competono sulle quantità di lucidi offerti; (b) l equilibrio di Bertrand se le imprese attuano una competizione nei prezzi; (c) l equilibrio di Stackelberg se l impresa Transparent ha la leadership del mercato; 3

4 (d) il valore della perdita secca di benessere nei tre equilibri analizzati confrontando i risultati con il benessere collettivo. 3. Soluzione. (a) Equilibrio di Cournot. Risolviamo il problema di massimizzazione dei profitti di ciascuna impresa data la quantitá offerta dall altra impresa. Possiamo scrivere il problema come Sostituendo per p e per CT abbiamo max π t = pl t CT t max π s = pl s CT s max π t = [50 2(l t + l s )]l t 2l t max π s = [50 2(l t + l s )]l s 2l s Ricaviamo ora le condizioni del primo ordine per la massimizzazione e risolviamo simultaneamente le due equazioni π t l t = 50 l t 2l s 2 = 0 π s l s = 50 2l t l s 2 = 0 l t = 8 2l s l s = 8 2l t. Otteniamo quindi le funzioni di reazione delle due imprese Ponendo l t = l s = l abbiamo l t = l s l s = l t. l = l l = 8 e quindi lt = ls = 8.

5 Soltituendo l t e l s in L otteniamo L = l t + l s = = 16. Sostituendo L in P abbiamo P = 50 2L = = 18. I profitti sono: π t = pl t 2l t = = 128 π s = pl s 2l s = = 128 (b) Equilibrio di Bertrand. Uguagliamo al costo marginale i prezzi delle due imprese p t = p s = MC. Poichè MC = CT l = 2 abbiamo p t = p s = 2. L è dato da p = 50 2L 2 = 50 2L 2L = 8 L = 2. I profitti sono pari a zero. (c) Equilibrio si Stackelberg. Il leader massimizza con l s = l t e quindi π t = [50 2(l t + l s )]l t 2l t π t = [50 2(l t l t)]l t 2l t = 2l t l 2 t. La condizione del primo ordine è Per cui ricaviamo π t l t = 2 2l t = 0 La reazione del follower è l t = 12. 5

6 l s = l t = 12 6 ls = 6. Calcoliamo quindi il prezzo di equilibrio p = 50 2L = 50 2(l s + l t ) = 50 2(12 + 6)p = = 1. I profitti sono: π t = pl t 2l t = = 1 π s = pl s 2l s = = 72. (d) Perdita secca di benessere. Non c è perdita secca di benessere nell equilibrio di Bertrand. Negli equilibri di Cournot e di Stackelberg abbiamo: Cournot (18 2)(2 16) = = 6 2 Stackelberg (1 2)(2 18) = =