Simulazione. Quando il sistema da studiare è molto complesso si usano modelli di Simulazione (logico-matematici).

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1 Simulazione S.1 Simulazione Quando il sistema da studiare è molto complesso si usano modelli di Simulazione (logico-matematici). SIMULAZIONE: tecnica che consente di eseguire esperimenti su un modello spesso applicata a problemi di code La simulazione di un sistema fisico prevede la rappresentazione cronologica degli stati attraverso cui passa il sistema durante un intervallo di tempo prefissato. Un modello di simulazione: Suddivide il Sistema in un insieme di elementi aventi vita indipendente (Entità), dotati di particolari caratteristiche (Attributi) ed interagenti secondo particolari regole e relazioni allo scopo di svolgere attività. Ne descrive il funzionamento in termini di: a) attività che producono variazioni nello stato del sistema (Eventi); b) percorsi seguiti dalle Entità nel transito all interno del Sistema (Processi). La simulazione consente la verifica di possibili ipotesi sul funzionamento del sistema

2 Simulazione S.2 Sistema di Calcolo Memoria di massa Unità Centrale (C.P.U.) dispositivi di I/O Programmi Dati Risultati Entità : Unità Centrale, Memoria di massa, Video, Tastiera, Programmi, Dati... Attributi : (Dimensioni della memoria centrale, Numero di istruzioni elementari al secondo,...), (Dimensioni della memoria di massa, Velocità di accesso,...), (Numero di pixel del video,...), (Occupazione di memoria di un programma, Numero di istruzioni elementari da eseguire,...) Relazioni : Code di attesa per l accesso all Unità Centrale e per il trasferimento dei dati. Attività : Richiesta di esecuzione di un programma, Trasferimento di programma e dati da M.M. a C.P.U., Esecuzione del programma, Trasferimento dati e programmi da C.P.U. a M.M. ed I/O,... Attività Esogene (esterne) ed Endogene (interne) Attività Deterministiche e Stocastiche Eventi: Inizio esecuzione programma, Termine stampa...

3 Simulazione S.3 Stazione di servizio (dotata di una sola pompa di benzina) stazione di servizio CODA Arrivo auto: Distribuzione di Poisson di v.m. λ Durata servizio: Distribuzione Uniforme in [T 1, T 2] Se ci sono NMAX auto in coda, le auto in arrivo non si fermano. Esperimento: dati λ, T 1, T 2, NMAX, determinare: Tempo medio di permanenza di un auto in coda Numero di auto che non si fermano La simulazione può essere arrestata: dopo aver simulato un certo numero N di auto dopo che è trascorso un certo tempo T dall inizio

4 Simulazione S.4 Sistemi di File di Attesa Sistema di Fila di Attesa processo di input CODA servizio clienti serviti Processo di arrivo. dimensioni popolazione: finita, infinita. distribuzione stocastica tempi di interarrivo: esponenziale, uniforme,... Caratteristiche fila di attesa. lunghezza: finita, infinita. gestione coda: FIFO, LIFO, RANDOM, PRIORI- TARIA,...). regola di uscita: solo verso il servizio, senza servizio (dopo un certo tempo),... input input input input servizio servizio servizi servizi singola coda, singolo servizio coda multipla, singolo servizio singola coda, servizi multipli coda mutipla, servizi multipli

5 Simulazione S.5 Costruzione del Modello Richiede un elevato grado di conoscenza del sistema da simulare riduzione del sistema ad un diagramma di flusso che ne descriva l evoluzione e le relazioni causa-effetto; individuazione delle componenti fondamentali (descrizione statica); collegamenti tra le componenti (descrizione dinamica); definizione delle regole operative che determinano il comportamento delle componenti ed il verificarsi degli eventi; definizione delle distribuzioni di probabilità che governano i fenomeni casuali presenti nel sistema (arrivi di entità, tempi di lavorazione...); Non sempre un modello estremamente dettagliato consente di ottenere un maggiore grado di informazione sul sistema (programma complesso ed elevato tempo di calcolo necessario per la simulazione). Se il comportamento di un elemento non può essere descritto in modo deterministico, è meglio rappresentarlo servendosi di un fenomeno casuale piuttosto che di valori medi. Il modello può essere formalizzato ottenendo un Programma di Simulazione eseguibile su calcolatore.

6 Simulazione S.6 Il Programma viene attivato usando numeri casuali per generare eventi simulati nel tempo secondo appropriate distribuzioni di probabilità. Ripetendo più volte l esperimento è possibile ottenere informazioni statistiche sul comportamento del sistema. Ripetendo per diverse configurazioni possibili del sistema, si può identificare per confronto quella più promettente. Caratteristiche dei linguaggi di simulazione: Separazione tra modello ed esperimento (dati); Rappresentazione di strutture dati complesse (insiemi, liste, code...); Riproduzione dell evoluzione nel tempo del sistema; Struttura gerarchica: 1) programma per il controllo della simulazione; 2) sottoprogrammi per la gestione delle attività; 3) sottoprogrammi per la raccolta dei dati statistici, generazione di sequenze di numeri a caso... Analisi dei risultati: raccolta dei dati statistici (osservazioni); calcolo di quantità statistiche (v. medio, min., max., var.,...); stampa delle quantità statistiche (grafici, istogrammi);

7 Simulazione S.7 Descrizione statica del sistema Configurazioni di dati stato del sistema I processi dinamici alterano lo stato alterano i valori dei dati Oggetto Terminologia Esempio Classi Entità Auto, Stazione Caratteristiche Attributi Stato della Stazione Istante di ingresso in coda Relazioni Insiemi Coda (FIFO) Inserisci l auto in coda Estrai la prima auto dalla coda Generazione di oggetti: ingresso nel sistema Distruzione di oggetti: uscita dal sistema

8 Simulazione S.8 Descrizione dinamica del sistema Tempo simulato Primi linguaggi: contatore Linguaggi moderni: si considerano solo gli istanti in cui avviene un cambiamento dello stato del sistema (arrivo di un auto, fine del servizio...) Esempio: stazione di servizio (NMAX = 2) A 1 I 1 A 2 I 2 A 3 A 5 I 3 I 4 A 6 I 6 F 1 A 4 prosegue F 2 F 3 F 4 F 6 t I due principali approcci proposti per la definizione di modelli sono: Programmazione degli Eventi Interazione dei Processi, o Flusso di Entità Esistono in commercio numerosi linguaggi di simulazione basati su uno o entrambi questi approcci (GPSS, SIMSCRIPT, SIMULA, SIMAN...)

9 Simulazione S.9 Programmazione degli Eventi EVENTO := istante in cui avviene una modifica dello stato (arrivo di un auto...) sottoprogramma contente le istruzioni da eseguire nell istante in cui l evento avviene quando si verifica un evento si considerano tutte le sue possibili implicazioni sul sistema (modifica dello stato) ogni evento determina quali eventi debbano avvenire nel futuro ed in quale istante (li innesca ) il comportamento dinamico del sistema è sintetizzato nel diagramma degli inneschi C è coda INIZIO ARRIVO AUTO INIZIO SERVIZIO FINE SERVIZIO Non c è coda Al termine dell esecuzione di un evento, il sistema determina il prossimo evento da eseguire (coda del tempo) ed aggiorna il tempo simulato

10 Simulazione S.10 Interazione dei processi PROCESSO := insieme di eventi (ordinati cronologicamente) relativi ad una parte del comportamento del sistema Il comportamento complessivo del sistema può essere descritto mediante più processi che interagiscono tra loro. I processi realizzano più azioni di durata maggiore di zero e possono interagire in più punti con altri processi (sequenza di fasi attive e passive; punti di riattivazione). Istruzioni: attiva, ritarda di..., aspetta fino a... Il sistema viene rappresentato da un diagramma di flusso lineare che descrive il transito delle entità nel sistema stesso: 1. Crea le auto ad intervalli distribuiti esponenzialmente con v.m. λ 2. Se la stazione è occupata inserisci l auto in coda (di capacità NMAX) 3. Occupa la stazione Ritarda di un tempo distr. unif. in [T 1, T 2] 4. Libera la stazione; se c è un auto in coda, attivala (3.) 5. Esci dal sistema.

11 Simulazione S.11 Generazione di Numeri Casuali Metodi congruenziali x i+1 = (ax i + b) mod m Generano sequenze pseudo-casuali: la sequenza è lunga al più m e si ripete identica a, b ed m devono essere scelti per generare numeri uniformi in {0, 1, 2,..., m 1} e tali che la sequenza sia di massima lunghezza (idealmente m) metodo usato per le funzioni dei calcolatori (rand(), ran(),...) Esempio : a = 1234, b = 6789, m = 1000 inizializziamo x 0 = 0 (seme, seed) x 1 = ( ) mod 1000 = 6789 mod 1000 = 789 x 2 = ( ) mod 1000 = mod 1000 = 415 x 3 = ( ) mod 1000 = mod 1000 = 899 x 4 = ( ) mod 1000 = mod 1000 = Un generatore di buona qualità deve essere uniforme: ogni intero in 0,..., m 1 è ugualmente probabile ogni valore della sequenza è indipendente dai precedenti

12 Simulazione S.12 x = variabile aleatoria t = evento di x Richiami di statistica Pr(x t x + x) f(x) = lim x 0 x densità di probabilità f(x)dx = Pr(x t x + dx) b a f(x)dx = Pr(a t b) f(x)dx = 1 µ = f(x)xdx normalizzazione valor medio σ 2 = f(x)(x µ)2 dx varianza F (x) = x f(ξ)dξ = Pr(t x) distribuzione cumulativa 0 F (x) 1

13 Simulazione S.13 Generazione di valori casuali secondo una funzione predefinita I generatori producono numeri (pseudo)casuali distribuiti uniformemente in [0, m] (o in [0, 1]) spesso è necessario ottenere numeri casuali con distribuzioni diverse 1 F (x) r F 1 (r) x Se si generano valori r uniformi in [0, 1], i corrispondenti valori F 1 (r) hanno densità di probabilità f(x) Dim. y variabile aleatoria uniforme in [0, 1] (U(0, 1)) densità di probabilità g(y) = 1 if 0 y 1 0 if y < 0 or y > 1 Pr(r y) = y g(ξ)dξ = y Pr(r F (x)) = F (x) Dal grafico: Pr(r F (x)) = Pr(F 1 (r) x) F (x) = Pr(F 1 (x) x) F 1 (r) ha distribuzione cumulativa F (x) e d.d.p. f(x)

14 Simulazione S.14 Distribuzione uniforme in [a, b] 1 b a f(x) a b x f(x) = 1 b a, a x b 0 altrimenti F (x) = x a 1 b a dξ = 1 ξ b a x a = x a b a r = x a b a x = F 1 (r) = a + (b a)r f(x) = 8x, 0 x altrimenti F (x) = x 8ξdξ = 8 ξ x 0 = 4x 2 r = 4x 2 x = F 1 (r) = r 2

15 Simulazione S.15 Distribuzione esponenziale f(x) = αe αx, x 0 µ = 1 α, σ2 = 1 α 2 F (x) = x 0 αe α ξdξ = α e αξ x α 0 = 1 e αx r = 1 e αx 1 r = e αx r = e αx log r = αx x = 1 α log r Distribuzione empirica Quantità Numero Percentuale Cumulativa ordinata ordini f(x) F(x) F (x) x r F 1 (r) 0 r < r < r < r < r < r <

16 Simulazione S.16 Distribuzione Normale (Gaussiana) f(x) = x N(0, 1) = z 1 σ 2π e 1 2 (x µ)2/σ2 dx = N(µ, σ 2 ) 1 e ξ2 2 dξ z = x µ 2π σ Teorema del limite centrale Siano r 1,..., r n variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite, con media η e varianza σ 2 la variabile aleatoria somma : r = n i=1 r i ha media µ = nη ha varianza σ 2 (r) = nσ 2 lim Pr(a < r µ n σ(r) < b) = b a cioè z = r µ σ(r) 1 2π e z2 2 dz N(0, 1) per n 1) Genera n numeri r 1,..., r n U(0, 1) (µ = 1/2; σ 2 = 1/12) 2) z = n i=1 r i n/2 n/ 12 la variabile z è distribuita come una N(0, 1) È sufficiente calcolare n > 10 numeri; con n = 12 si ottiene z = 12 i=1 r i 6

17 Simulazione S.17 Processo di Poisson N(t): numero di arrivi sino all istante t (non decrescente in t) N(t) N(s) (t > s): numero di arrivi nell intervallo [s, t] il valore di N(t) N(s) dipende solo dalla lunghezza dell intervallo [s, t] e non dalla sua posizione Pr(N(t + s) N(s) = n) = 1 n! ((λt)n e λt ) Pr(N(1 + s) N(s) = n) λ = λ = n n Esponenziale: f(x) = λe λx Unica distribuzione con perdita della memoria: Pr(t > a + b t > a) = Pr(t > b) La distribuzione dei tempi di interarrivo di un processo di Poisson con parametro λ è esponenziale con parametro λ Dim. x 1, x 2,..., x n = istanti degli eventi arrivo Pr(x 1 > t) = Pr(N(t) = 0) = e λt Pr(x 2 > t x 1 = s) = Pr(N(t) N(s) = 0 x 1 = s) = Pr(N(t) N(s) = 0) = e λt

18 Simulazione S.18 Stazione di Servizio Modello a programmazione degli eventi (più difficile) Diagramma degli inneschi: INIZIO ARRIVO INIZIO SERVIZIO FINE SERVIZIO Diagramma di flusso (non dettagliato): I leggi i parametri di ingresso; inizializza lo stato del sistema; innesca il primo evento ARRIVO subito U INIZIO

19 Simulazione S.19 I ARRIVO T := valore casuale con distribuzione esponenziale di valor medio 1 λ ; innesca il prossimo ARRIVO con ritardo T ci sono NMAX auto in CODA? No genera l auto Sì raccogli le statistiche considerate tutte le auto? Sì stampa le statistiche No U F la stazione è libera? No Sì occupa la stazione; innesca un evento INIZIO SERVIZIO per l auto con ritardo 0 inserisci l auto nell insieme CODA U I INIZIO SERVIZIO T := valore casuale con distribuzione uniforme in [T1,T2]; innesca un evento FINE SERVIZIO per l auto con ritardo T U

20 Simulazione S.20 I raccogli le statistiche; distruggi l auto FINE SERVIZIO considerate tutte le auto? No insieme CODA vuoto? No Sì Sì stampa le statistiche libera la stazione F estrai la prima auto da CODA; innesca un evento INIZIO SERVIZIO per l auto estratta con ritardo 0 U L evento INIZIO SERVIZIO avviene sempre in coincidenza con un evento ARRIVO, oppure un evento FINE SERVIZIO L innesco di eventi comporta l uso di procedure interne molto gravose computazionalmente si cerca di limitarlo eliminando eventi inutili (ulteriore vantaggio: modello concettualmente più semplice).

21 Simulazione S.21 INIZIO ARRIVO FINE SERVIZIO I leggi i parametri di ingresso; inizializza lo stato del sistema; innesca il primo evento ARRIVO subito U INIZIO I ARRIVO T := valore casuale con distribuzione esponenziale di valor medio 1 λ ; innesca il prossimo ARRIVO con ritardo T ci sono NMAX auto in CODA? No genera l auto Sì raccogli le statistiche considerate tutte le auto? Sì stampa le statistiche No U F la stazione è libera? No Sì occupa la stazione; T := valore casuale con distribuzione uniforme in [T1,T2]; innesca un evento FINE SERVIZIO per l auto con ritardo T inserisci l auto nell insieme CODA U

22 Simulazione S.22 I raccogli le statistiche; distruggi l auto FINE SERVIZIO considerate tutte le auto? No insieme CODA vuoto? No Sì Sì stampa le statistiche libera la stazione F estrai la prima auto da CODA; T := valore casuale con distribuzione uniforme in [T1,T2]; innesca un evento FINE SERVIZIO per l auto estratta con ritardo T U

23 Simulazione S.23 Diagrammi di flusso ispirati al SIMSCRIPT II.5 Entità e richieste di esecuzione di Eventi (event notices) possono essere presenti in molti esemplari identificati mediante puntatori 1. Descrizione statica Entità temporanee: es. AUTO crea AUTO, crea AUTO chiamata UNOBIANCA : riserva un area di memoria per una nuova entità della classe AUTO e ne memorizza il puntatore nella variabile (locale) AUTO (o UNOBIANCA) distruggi AUTO, distruggi AUTO chiamata UNOBIANCA : rilascia l area di memoria puntata da AUTO (o UNOBIANCA) Attributi: (descrittivi, dati per statistiche...) es. TARGA(AUTO), TIC(AUTO)... Entità permanenti (es. il Sistema ) Attributi: variabili globali (stato, accumulatori...) Parti del sistema presenti in più esemplari: attributi e code con indice (STATO(I), CODA(I)) Insiemi (Code): quali entità contengono e regola di uscita (FIFO, LIFO...) inserisci AUTO in CODA, estrai (la prima) AUTO da CODA le code memorizzano i puntatori alle entità contenute

24 Simulazione S Descrizione dinamica Evento:= procedura che viene mandata in esecuzione in base all evoluzione dinamica del sistema Richiesta di esecuzione di un evento event notice: area di memoria che ne contiene gli attributi crea FSER, crea FSER chiamata CIAO : riserva un area di memoria per una event notice della classe FSER e ne memorizza il puntatore nella variabile (locale) FSER (o CIAO) innesca FSER con ritardo T : inserisce nella coda del tempo il puntatore all event notice di classe FSER, che sarà eseguito tra T unità di tempo cancella FSER, cancella FSER chiamato CIAO : rimuove dalla coda del tempo l event notice il cui puntatore è in FSER (o CIAO) distruggi FSER, crea FSER chiamata CIAO : rilascia l area di memoria dell event notice il cui puntatore è in FSER (o CIAO) Gli eventi possono avere attributi (es. puntatore all AUTO che termina il servizio: AUTO(FSER)) Eventi interni : innescati da altri eventi (ARRIVO, FSER...) Eventi esterni : innescati dall esterno (INIZIO) Procedure: per isolare parti di codice comuni a più eventi (con parametri di ingresso)

25 Simulazione S.25 Esecuzione della simulazione 1. Inizializzazione sistema Coda del tempo (vuota): struttura che memorizza i puntatori alle event notices degli eventi da eseguire in ordine crescente d istante di innesco TIME.V := 0 variabile globale contenente l istante attuale di tempo simulato Creazione delle entità permanenti: code (vuote), attributi 2. Innesco eventi esterni Evento INIZIO: inizializza variabili di stato ed accumulatori crea ed innesca uno o più eventi interni (es. ARRIVO) 3. Esecuzione eventi interni (all istante di innesco) programma di gestione della simulazione: while coda del tempo non vuota do 3.1 estrae dalla coda il puntatore alla prossima event notice 3.2 pone TIME.V := istante di innesco 3.3 definisce una variabile locale con lo stesso nome dell evento e vi memorizza il puntatore all event notice corrente 3.4 Esegue le istruzioni associate all evento Fine F : termina la simulazione, Uscita U : prosegue Al termine della simulazione si stampano i risultati delle osservazioni statistiche effettuate nel corso della simulazione

26 Simulazione S.26 Stazione di servizio Determinare, relativamente ad NA auto uscite dal sistema: 1) percentuale di auto che non si fermano 2) tempo medio trascorso in coda dalle auto servite Entità temporanee: Attributi: AUTO Entità permanenti: Attributi: Sistema TIC (istante di ingresso in coda); TC (tempo trascorso in coda); λ, T1, T2, NMAX; NA = numero auto da simulare, NAS = numero auto simulate, NAR = numero auto che non si fermano, TTC = tempo totale in coda, NAC = numero auto in coda, 0 (stazione libera) STATO = 1 (stazione impegnata) Insiemi: Ordinamento: Entità membre: Entità proprietaria: CODA FIFO AUTO Sistema Eventi: Tipo: Attributi: INIZIO esterno ARRIVO interno FSER interno AUT

27 Simulazione S.27 INIZIO ARRIVO FSER I leggi λ, T1, T2, NMAX, NA; azzera: NAS, NAR, NAC, TTC, STATO; crea ARRIVO; innesca ARRIVO subito U INIZIO I T := valore casuale con distribuzione esponenziale di valor medio 1 λ ; innesca ARRIVO con ritardo T ARRIVO NAC = NMAX No crea AUTO; TC(AUTO) := 0 Sì NAR := NAR + 1; NAS := NAS + 1 FINE U STATO = 0 No inserisci AUTO in CODA; NAC := NAC + 1; TIC(AUTO) := TIME.V Sì STATO := 1; crea FSER; AUT(FSER) := AUTO; T := valore casuale con distribuzione uniforme in [T1,T2]; innesca FSER con ritardo T U

28 Simulazione S.28 I AUTO := AUT(FSER); NAS := NAS + 1; TTC := TTC + TC(AUTO); distruggi AUTO FSER FINE CODA vuota? No Sì STATO := 0; distruggi FSER estrai prima AUTO da CODA; NAC := NAC 1; TC(AUTO) := TIME.V TIC(AUTO); AUT(FSER) := AUTO; T := valore casuale con distribuzione uniforme in [T1,T2]; innesca FSER con ritardo T U FINE No NAS = NA R Sì TTC/(NAS NAR) NAR/NAS F

29 Simulazione S.29 Trasmissione di informazioni tra gli eventi 1) Attributi permanenti (variabili globali): es. TTC azzerato in INIZIO, aggiornato in FSER, utilizzato in FINE. 2) Attributi di event notice: es. AUT(FSER) definito in ARRIVO, utilizzato in FSER. 3) Attributi di entità temporanee inserite e rimosse da insiemi: es. AUTO inserita in CODA in ARRIVO, rimossa da CODA in FSER, dove si può utilizzare TIC(AUTO) Non esistono altri meccanismi di trasmissione di informazioni tra eventi tutte le variabili usate negli eventi sono locali anche le variabili che si chiamano come le classi di entità ed eventi (AUTO, UNOBIANCA, FSER, ARRIVO...)

30 Simulazione S.30 Esempio stazione di servizio; ogni AUTO ha due attributi: TIC, TC (istante di ingresso e tempo totale in coda) FSER ha l attributo AUT (puntatore all auto) A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 t F S 1 F S 2 In A 1 : Dopo A 1 : In F S 1 : AUTO 550 AUTO AUTO FSER 800 FSER FSER nella coda degli eventi innescati: FSER AUTO:=AUT(FSER) AUTO estrai AUTO (punt. 575) AUTO AUT(FSER):=AUTO

31 Simulazione S.31 Sistema ospedaliero RIFIUTATI MALATI GRAVI NORMALI ATTESA ACCETTATI GUARIBILI DECEDUTI REPARTO GRAVI ACCETTATI REPARTO NORMALI GUARITI Numero letti: rep. gravi: NLG; rep. normali: NLN Arrivo malati: distr. di Poisson con v. medio λ Grave con probabilità PG, normale con prob. 1 PG Grave rifiutato se non ci sono letti liberi nel reparto Durata cura grave: distr. unif. in [DMIG,DMAG] normale: distr. unif. in [DMIN,DMAN] Esito cura gravi: positivo con probabilità PS, se positivo, passa al reparto normali Determinare, relativamente ad NT malati usciti dal sistema: tempo medio in coda per i malati che hanno atteso tempo medio nel sistema per i malati gravi e normali percentuale di gravi rifiutati rispetto agli arrivati

32 Simulazione S.32 Ipotesi: NLG = NLN = 1, sistema inizialmente in riposo: A 1 IDG 1 A 3 A 5 IDG 5 G rifiutato F DG 1 deceduto t F DG 5 A 2 IDN 2 IDN 1 A 4 IDN 4 A 6 IDN 6 N t F DN 2 F DN 1 F DN 4 F DN 6 INIZIO ARRIVO INIZIO DEGENZA GRAVE FINE DEGENZA GRAVE INIZIO DEGENZA NORMALE FINE DEGENZA NORMALE IDG coincide sempre con ARRIVO IDN coincide sempre con ARRIVO o con FDG o con FDN.

33 Simulazione S.33 Entità temporanee: Attributi: MALATO Entità permanenti: Sistema TIS (istante di ingresso nel sistema); TIC (istante di ingresso in coda); 1 (normale) TIPO = 2 (grave) Insiemi: Ordinamento: Entità membre: Entità proprietaria: CODA FIFO MALATO Sistema Eventi: Tipo: Attributi: INIZIO esterno ARRIVO interno FDG interno MAL FDN interno MAL INIZIO ARRIVO FDG FDN

34 Simulazione S.34 Attributi del sistema: λ = numero medio di arrivi nell unità di tempo NLG = numero letti nel reparto malati gravi NLN = numero letti nel reparto malati normali PG = probabilità che un malato sia grave PS = probabilità che un malato grave guarisca DMIG = durata minima di una degenza grave DMAG = durata massima di una degenza grave DMIN = durata minima di una degenza normale DMAN = durata massima di una degenza normale NT = numero di malati da simulare NLOG = numero letti occupati nel reparto malati gravi NLON = numero letti occupati nel reparto malati gravi NMR = numero di malati gravi rifiutati NMD = numero di malati gravi deceduti NMG = numero di malati gravi guariti NMN = numero di malati normali guariti NMA = numero di malati che hanno atteso in coda NTOT = numero totale di malati simulati TTG = tempo totale trascorso dai malati gravi nel sistema TTN = tempo totale trascorso dai malati normali nel sistema TTA = tempo totale trascorso dai malati in coda

35 Simulazione S.35 I INIZIO leggi λ, NLG, NLN, PG, PS, DMIG, DMAG, DMIN, DMAN, NT; azzera: NLOG, NLON, NMR, NMD, NMG, NMN, NMA, NTOT, TTG, TTN, TTA; crea ARRIVO; innesca ARRIVO subito U I ARRIVO T := valore casuale con distribuzione esponenziale di valor medio 1 λ ; innesca ARRIVO con ritardo T; crea MALATO; TIS(MALATO) := TIME.V; TIC(MALATO) := 0; P := valore casuale con distribuzione uniforme in [0,1] P PG Sì NLOG < NLG Sì TIPO(MALATO) := 2; NLOG := NLOG + 1; crea FDG; MAL(FDG) := MALATO; No TIPO(MALATO) := 1 DEGN(MALATO) No T := valore casuale con distribuzione uniforme in [DMIG,DMAG]; innesca FDG con ritardo T NMR := NMR + 1; distruggi MALATO FINE U U

36 Simulazione S.36 DEGN(MA) NLON < NLN No Sì NLON := NLON + 1; crea FDN; MAL(FDN) := MA; T := valore casuale con distribuzione uniforme in [DMIN,DMAN]; innesca FDN con ritardo T inserisci MA in CODA; TIC(MA) := TIME.V R FINE NTOT := NTOT + 1 NTOT < NT Sì R No TMA := TTA/NMA; TMG := TTG/(NMG+NMD); TMN := TTN/NMN; PR := NMR/(NMG+NMD+NMR) TMA,TMG,TMN,PR F MALATO := MAL(FDG); NLOG := NLOG 1; I distruggi FDG; P := valore casuale con distribuzione uniforme in [0,1] FDG P PS Sì DEGN(MALATO) U No TTG := TTG + (TIME.V TIS(MALATO)); NMD := NMD + 1; distruggi MALATO FINE

37 Simulazione S.37 I FDN MALATO := MAL(FDN) TIC(MALATO)>0 No Sì NMA := NMA + 1; TTA := TTA + TIC(MALATO) NMN := NMN + 1; TIPO(MALATO)=1 Sì TTN := TTN + (TIME.V TIS(MALATO)) No NMG := NMG + 1; TTG := TTG + (TIME.V TIS(MALATO)) distruggi MALATO CODA vuota? No Sì NLON := NLON 1; distruggi FDN estrai il primo MALATO da CODA; TIC(MALATO) := TIME.V TIC(MALATO); MAL(FDN) := MALATO; T := valore casuale con distribuzione uniforme in [DMIN,DMAN]; innesca FDN con ritardo T FINE U

38 Simulazione S.38 Ottimizzazione e simulazione Esempio : Dimensionamento reparti sistema ospedaliero Determinazione numero letti dei reparti (NLN, NLG) in modo da: minimizzare i costi (proporzionali a NLN, NLG) massimizzare la qualità del servizio (min. tempi di attesa, permanenza e gravi rifiutati) obiettivi in contrasto fra loro (compromesso) Modello di simulazione (programma): dati NLN ed NLG calcola indicatori sulla qualità del servizio Processo iterativo di ottimizzazione di NLN e NLG Prima esecuzione: NLG = 10, NLN = 20 NLG = 10 NLN = 20 NA = 300 LAM = PG = PS = DMIG = 48 DMAG = 120 DMIN = 72 DMAN = 240 NCE = 0 NT = NMR = 370 NMG = 2900 NMD = 971 NMN = 5759 NMA = 8659 TMG = TMN = TMA = molti malati gravi rifiutati tutti i malati debbono attendere in coda tempi di attesa assurdamente elevati

39 Simulazione S.39 Seconda esecuzione: NLG = 10, NLN = 40 variazione di un solo parametro per verificare la sensibilità del modello NLG = 10 NLN = 40 NA = 300 LAM = PG = PS = DMIG = 48 DMAG = 120 DMIN = 72 DMAN = 240 NCE = 0 NT = NMR = 281 NMG = 2977 NMD = 775 NMN = 5967 NMA = 223 TMG = TMN = TMA = molti malati gravi rifiutati pochi malati debbono attendere in coda tempi di attesa accettabili Terza esecuzione: NLG = 20, NLN = 20 variazione di un solo parametro rispetto alla prima: NLG = 20 NLN = 20 NA = 300 LAM = PG = PS = DMIG = 48 DMAG = 120 DMIN = 72 DMAN = 240 NCE = 0 NT = NMR = 0 NMG = 3129 NMD = 1130 NMN = 5741 NMA = 8870 TMG = TMN = TMA = nessun malato grave rifiutato tutti i malati debbono attendere in coda tempi di attesa elevatissimi

40 Simulazione S.40 Quarta esecuzione: NLG = 15, NLN = 40 modifica di entrambi i parametri NLG = 15 NLN = 40 NA = 300 LAM = PG = PS = DMIG = 48 DMAG = 120 DMIN = 72 DMAN = 240 NCE = 0 NT = NMR = 17 NMG = 3252 NMD = 784 NMN = 5947 NMA = 329 TMG = TMN = TMA = pochi malati gravi rifiutati pochi malati debbono attendere in coda tempi di attesa modesti Numero di malati che debbono attendere in coda aumentato rispetto alla seconda esecuzione più malati gravi. Quinta esecuzione: NLG = 16, NLN = 45 aggiustamento finale dei parametri NLG = 16 NLN = 45 NA = 300 LAM = PG = PS = DMIG = 48 DMAG = 120 DMIN = 72 DMAN = 240 NCE = 0 NT = NMR = 8 NMG = 3194 NMD = 779 NMN = 6019 NMA = 74 TMG = TMN = TMA = pochissimi malati gravi rifiutati pochi malati debbono attendere in coda tempi di attesa molto modesti Dimensionamento accettabile