Strumenti per il calcolo numerico Matlab/Octave. Informatica B Prof. A. Morzenti

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1 Strumenti per il calcolo numerico Matlab/Octave Informatica B Prof. A. Morzenti

2 Matlab Cos è Matlab: strumento (e corrispondente linguaggio) per elaborazioni di calcolo numerico NB: sta per MATrix LABoratory» centrato sulle matrici (ma include generiche funzionalità matematiche) usato nei successivi corsi di calcolo numerico MATLAB è uno strumento commerciale distribuito, su licenza NON gratuita, da The MathWorks Inc Student edition disponibile quando si è al Politecnico ( Esiste un altro strumento di nome Octave identico nella concezione, molto simile per gli aspetti operativi disponibile gratuitamente, vedi

3 Caratteristiche del linguaggio di Matlab/Octave (1) Linguaggio di alto livello simile a linguaggi di programmazione C, Java, Pascal possiede comandi sintetici per effettuare complesse elaborazioni numeriche Linguaggio interpretato, comandi e istruzioni NON tradotti in codice eseguibile dall hardware MA manipolati da un programma (l interprete) che li analizza ed esegue azioni da essi descritte Linguaggio dinamico NON occorre dichiarare le variabili risultano definite dal punto in cui vengono introdotte e vengono incluse in una struttura detta tabella dei simboli il tipo delle variabili è dinamico a una variabile si possono assegnare, successivamente, valori di tipo diverso (scalari, stringhe, vettori, matrici...) - 3 -

4 Caratteristiche del linguaggio di Matlab/Octave (2) In Matlab/Octave tutto è un array ci sono casi particolari significativi di array array 1x1 sono gli scalari array con una sola riga o colonna sono i vettori array con due dimensioni sono le matrici - 4 -

5 Screenshot dell ambiente MATLAB Mostra le variabili nel workspace Contenuto della directory corrente Finestra dei comandi Storia dei comandi Lancia i tool di MATLAB ed altro - 5 -

6 Comandi in Matlab Matlab accetta comandi che l utente scrive di seguito al prompt : >> es. >> a = 10; Assegna alla variabile a il valore 10 Esempio di alcuni comandi (analizzeremo quelli più importanti) Il prompt accetta i comandi del sistema operativo (DOS, UNIX ) Esempio: in ambiente dos, dir mostra il contenuto della directory corrente help richiama la guida in linea diary può essere utilizzato per salvare la sessione di lavoro who, whos e workspace mostrano l elenco delle variabili definite save permette di salvare in un file le variabili definite. Load le ricarica clear cancella tutte le variabili - 6 -

7 Esempi Input Output Commento 1234/6 ans = calcolo di un valore scalare a=1234/6 a = assegnamento alla variabile a del risultato di 1234/6 eps eps = e-16 variabile predefinita: il più piccolo valore possibile 2/5 ans = divisione destra 5/0 ans = Inf divisione per zero 5^2 ans = 25 potenza real(4+5j) ans = 4 real è una funzione predefinita che restituisce la parte reale di un numero complesso 1+1==2 1+1~=2 ans = 1 ans = = vero, 0 = falso, == uguale, ~= diverso

8 Esempi con gli array a=[1 2; 3 4] a = a a = x=[-1.3 sqrt(3) (1+2)/5] x = x(5)=abs(x(1)) x = b=a b = c=a+b c = x=[-1 0 2]; y=x' y = a ora è una matrice 2x2, ; separa le righe restituisce il valore della variabile a elementi possono essere espressioni Notazione con () per accedere a elementi di una matrice; abs valore assoluto; NB: vettore x esteso per includere nuovo elemento matrice trasposta (scambiate righe e colonne) somma di matrici, elemento per elemento (sottrazione con - simile) il ; blocca l output, ma non impedisce la valutazione

9 Altre operazioni con gli array x=1:5 x = y=0:pi/4:pi y = v=10:-4:-3 v = sin(y) ans = x=[0:pi/100:pi/2]'; [x sin(x)] ans = operatore : per produrre vettori di numeri operatore : con passo di incremento e valori non interi (pi è pigreco) valori negativi del passo e degli estremi funzioni predefinite si applicano ai vettori produce la tabella di sin(x), 0 x π/2-9 -

10 Diagrammi a due dimensioni Diagramma = insieme di coppie che rappresentano coordinate di punti Si usano vettori per contenere sequenze ordinate dei valori di ognuna delle coordinate plot(x,y) disegna digramma cartesiano dei punti che hanno valori delle ascisse in x, delle ordinate in y e li congiunge con una linea, per dare continuità al grafico funzioni xlabel per visualizzare nome asse ascisse, ylabel per cubica ordinate, title per il titolo ordinate ascisse

11 Un esempio di cinematica Due treni partono da due stazioni adiacenti, che distano 15km, viaggiando a velocità di 50m/s e 30m/s in direzione opposta Costruire un grafico che mostra il loro movimento, fino a quando il più veloce raggiunge la destinazione Il più veloce impiega 15000/50=300s DistanzaTreno1=50 t; DistranzaTreno2= t; (per mostrare la provenienza dalla direzione opposta)

12 Soluzione t=0:1:300; p1=50 * t; p2= * t; plot(t,p1); hold on %adesso è possibile inserire nuove curve sul grafico plot(t,p2) hold off

13 Risultati ottenuti con l esempio

14 Istruzioni e ; Le istruzioni possono essere seguite da ; ma non e` obbligatorio Il ; blocca la visualizzazione del valore delle variabili coinvolte nell istruzione Maggiore velocità di esecuzione Regola di buona programmazione Inserire sempre il ;, a meno che non si voglia ispezionare il valore di una variabile a scopo di debugging

15 Commenti Il simbolo di commento può essere messo in qualsiasi punto della linea. MATLAB ignorerà tutto quello che viene scritto alla destra del simbolo %. Per esempio: >>% This is a comment. >>x = 2+3 % So is this. x = 5

16 Variabili e array

17 Array e variabili L unità fondamentale di dati in MATLAB è l array Una variabile in MATLAB è una regione di memoria che contiene un array Ha un nome definito dall utente Per i nomi valgono regole simili a quelle del C C è un linguaggio a tipizzazione forte Le variabili vanno dichiarate prima dell uso MATLAB è un linguaggio a tipizzazione debole Le variabili vengono create assegnando ad esse dei valori Il loro tipo è determinato dal tipo dei valori assegnati

18 Tipo double Una variabile di tipo double contiene uno scalare o un array di numeri espressi in 64 bit con doppia precisione Questi numeri possono essere Reali, es var1 = -10.7; Immaginari, es var2 = 4i; var3 = 4j; Complessi, es var3 = i; Es: x = [ j 0] Le parti reali e immaginarie possono essere positive e negative nell intervallo di valori [10-308, ], con accuratezza di cifre decimali

19 Tipo char Una variabile di tipo char contiene uno scalare o un array di valori a 16 bit, ciascuno dei quali rappresenta un carattere Es: commento = questa e` una stringa ; Nome della variabile Array di 1x21 caratteri whos commento; Name Size Bytes Class Attributes commento 1x21 42 char

20 Creazione ed inizializzazione di una variabile Le variabili sono create al momento dell inizializzazione Modi di inizializzazione Assegnamento Lettura dati da tastiera Lettura da file

21 Assegnamento variabile = espressione Esempi a = [0 7+1]; b = [a(2) 5 a]; Risultato a = [0 8] b = [ ] Non tutti gli elementi devono essere specificati alla creazione c(2, 3) = 5; contenuto di a secondo elemento di a

22 Assegnamento (2) L array può essere esteso successivamente d = [2 5]; d(4)=2; d = [ ] Operatore di trasposizione g = d ; 2 Come evitare di enumerare esplicitamente tutti i valori, uso dell operatore : x = 1:2:10; x = [ ] l = 1:3; m = [l l ]

23 Assegnamento (3) funzioni predefinite Funzione zeros (n) zeros (m,n) zeros (size(arr)) ones(n) ones(m,n) ones(size(arr)) eye(n) eye(m,n) length(arr) size(arr) Significato Genera una matrice nxn di zeri Genera una matrice mxn di zeri Genera una matrice di zeri della stessa dimensione di arr Genera una matrice nxn di uno Genera una matrice mxn di uno Genera una matrice di uno della stessa dimensione di arr Genera la matrice identità nxn Genera la matrice identità mxn Ritorna la dimensione più lunga del vettore Ritorna il numero di righe e colonne dell array

24 Assegnamento (4) funzioni predefinite Esempi a = zeros(2); b = zeros(2,3); c = [1 2; 3 4]; d = zeros(size(c));

25 Assegnamento (5) uso di uno scalare per assegnare valori ad un array Esempio m(1:4, 1:3) = Regola: il modo con cui uno scalare viene assegnato ad un array dipende dalla forma dell array che viene specificata a sinistra dell assegnamento Esempio 2 m(1:2, 1:2) = la regola si applica anche ai sottoarray

26 Variabili predefinite Matlab definisce un insieme di variabili predefinite (es, pi) Queste variabili corrispondono in qualche caso a costanti Attenzione! Il valore di queste variabili può essere modificato, per esempio circ1=2*pi*10; pi = 3; circ2=2*pi*10; Il valore di circ2 non sarà più la circonferenza di un cerchio E` fortemente sconsigliato modificare il valore di una variabile predefinita

27 Variabili predefinite più comuni Variabile pi Scopo contiene 15 cifre significative di π i, j contiene il valore i ( 1) inf (o Inf) nan clock date eps ans rappresentazione dell infinito (ottenuto di solito come risultato di una divisione per 0) Not-A-Number è il risultato di una operazione matematica non definita, es 0/0 contiene la data e l orario corrente. E` un vettore di sei elementi (anno, mese, giorno, ora, minuti, secondi) contiene la data corrente sotto forma di stringa epsilon: la più piccola differenza rappresentabile tra due numeri Variabile speciale usata per immagazzinare risultati non assegnati ad altre variabili

28 Operazioni con scalari e array Operazioni per gli scalari: + - * / ^ elevamento a potenza Operazioni per gli array Array operation: viene eseguita sugli elementi degli array coinvolti (devono avere lo stesso numero di righe e colonne) a= 3 4 b= 5 7 a+b = 8 11 a.*b= Matrix operation: segue le regole dell algebra lineare (prodotto righe per colonne) a= 3 4 b= 5 7 a*b = ( * b) ij = a a * b k ik kj

29 Operazioni tipiche per gli array Operazione Sintassi Matlab Commenti Array addition a + b Array e matrix addition sono identiche Array subtraction a b Array e matrix subtraction sono identiche Array multiplication a.* b Ciascun elemento del risultato è pari al prodotto degli elementi corrispondenti nei due operandi Matrix multiplication a * b Prodotto di matrici Array right division a./ b risultato(i,j)=a(i,j)/b(i,j) Array left division a.\ b risultato(i,j)=b(i,j)/a(i,j) Matrix right division a / b a*inversa(b) Matrix left division a \ b inversa(a)*b Array exponentiation a.^ b risultato(i,j)=a(i,j)^b(i,j)

30 Matrix left division Serve per risolvere sistemi di equazioni lineari a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 =b 2 a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 =b 3 può essere espresso come Ax=B con a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 1 b 2 b 3 A = B= x = x 1 x 2 x 3 di conseguenza, x = A -1 B=inversa(A)*b=A\B

31 Altre funzioni Funzione ceil(x) floor(x) fix(x) max(x) min(x) Scopo approssima x all intero immediatamente maggiore approssima x all intero immediatamente minore approssima x all intero più vicino verso lo zero ritorna il valore massimo nel vettore x e, opzionalmente, la collocazione di questo valore in x ritorna il valore minimo nel vettore x e, opzionalmente, la collocazione di questo valore nel vettore mod(m,n) mod(x,y) è x - n.*y dove n = floor(x./y) se y ~= 0 round(x) rand(n) approssima x all intero più vicino genera una matrice di NxN numeri casuali

32 Input/output

33 Acquisizione dati da tastiera Funzione input valore = input( inserisci un valore ); Matlab stampa a video la stringa inserisci un valore ed aspetta di ricevere un dato Valore scalare Array racchiuso tra [] Stringa racchiusa tra Il dato inserito dall utente viene memorizzato in valore

34 Stampa dei risultati (1) I risultati di un operazione sono mostrati immediatamente se non si inserisce il ; Altri due modi disp accetta come parametro un array. Se questo array è di tipo char, lo stampa viene usato in congiunzione con num2str Esempio: str = [ il valore di pi e` num2str(pi)]; disp(str); Stampa: il valore di pi e`

35 Stampa dei risultati (2) altro modo fprintf fprintf( Il valore di pi e` %f \n, pi); stringhe di formato: %d (interi), %e (formato esponenziale), %f (virgola mobile), %g (il più corto tra il formato esponenziale e quello in virgola mobile) disp vs fprintf disp è in grado di stampare anche valori complessi x=2*(1-2*i)^3; str=[ disp: x = num2str(x)]; disp(str); fprintf ne stampa solo la parte reale disp: x = -22+4i fprintf( fprintf: x = %8.4f\n, x); fprintf: x =

36 Lettura e scrittura di dati su file Tipi di file gestiti ascii = file di testo.mat = file proprietari di Matlab Comandi più semplici da usare save load

37 Salvataggio dei dati su file (1) file.mat save filename: salva su filename.mat tutte le variabili contenute nello spazio di lavoro save filename array1 array2: salva su filename.mat le variabili array1 e array2 I file.mat hanno un formato compatto Contengono Nomi, tipi e valori di ogni variabile La dimensione degli array in generale, tutto ciò che serve per ripristinare lo stato dello spazio di lavoro Possono essere portati da un computer all altro, anche con sistemi operativi diversi

38 Salvataggio dei dati su file (2) Limitazione dei file.mat E` un formato proprietario di MATLAB. Non è utilizzabile per leggere/scrivere dati con un altro programma Soluzione Es, un editor di testi, excel, Uso dei file di testo (ascii), esempio x = [ ; ]; save ascii filename.dat x; Produce il file filename.dat organizzato come segue e e e e e e+000 o Nota: si può usare qualsiasi estensione per questi file, è buona norma distinguerli dai file.mat

39 Acquisizione dati da file load carica dati da file nello spazio di lavoro di MATLAB load filename: carica nello spazio di lavoro tutte le variabili nel file load filename x y: carica nello spazio di lavoro solo le variabili x ed y Se filename non ha estensione o ha estensione.mat, viene trattato come un file.mat File ascii load filename.dat: crea una variabile di nome filename che conterrà i dati in filename.dat Il file deve contenere dati separati da virgole o spazi

40 Acquisizione di dati da fogli di calcolo A = xlsread( filename ) importa il file di Microsoft Excel filename.xls nella matrice A Alcuni fogli di calcolo salvano i dati nel formato.wk1 M = wk1read( filename ) per importare questi dati nella matrice M

41 Script in MATLAB

42 Script (m-file) Uno script è un file di testo contenente una sequenza di comandi MATLAB non deve contenere caratteri di formattazione (solo testo puro) viene salvato con estensione.m I comandi all interno di uno script sono eseguiti sequenzialmente, come se fossero scritti nella finestra dei comandi Per eseguire Il file si digita il suo nome (senza.m) I risultati appaiono nella finestra dei comandi (se non usiamo il ; )

43 Vantaggi/Svantaggi Uno script può essere ri-eseguito essere facilmente modificato essere spedito a qualcuno Uno script NON accetta variabili di input genera variabili di output Uno script opera sulle variabili del workspace, che può essere arricchito introducendone di nuove 43 43

44 Come creare uno script Può essere creato utilizzando un qualsiasi editor di testo Ricordarsi di salvare il file come solo testo e di dare l estensione.m Il file di script deve essere presente nella directory corrente o il cammino (path) che identifica la directory in cui si trova lo script deve essere salvato tra i path di Matlab Matlab include un editor per creare o modificare script 44 44

45 Nomi degli script Il nome del file deve cominciare con una lettera e può contenere cifre e il carattere underscore, fino a 31 caratteri Non dare lo stesso nome al file di script e a una variabile Non chiamare uno script con lo stesso nome di un comando o funzione MATLAB. Per verificare se esiste già qualcosa che ha un certo nome si può utilizzare la funzione exist.

46 Suggerimenti per strutturare e documentare uno script 1. Sezione dei commenti: Il nome del programma e le parole chiave, nella prima riga La data di creazione e i nomi degli autori nella seconda riga La definizione dei nomi delle variabili per ogni variabile di input e di output Il nome di ogni funzione creata dall utente che viene usata nel programma Il comando help visualizza tutta la sezione dei commenti all inizio dello script 2. Sezione di Input: inserimento dei dati in input e/o uso di funzioni di input 3. Sezione di calcolo 4. Sezione di output: uso si funzioni per visualizzare i risultati del programma

47 Dati su cui opera uno script file Gli script non accettano argomenti d entrata e d uscita Usano variabili già presenti nel workspace variabili acquisite da tastiera o file nuove variabili introdotte nello script Le variabili interne allo script diventano variabili del workspace Permangono dopo l esecuzione dello script

48 Sezione di calcolo Calcoli matematici Assegnamenti Strutture di controllo Condizioni Cicli Comandi per la costruzione di grafici Chiamate a funzioni 48 48

49 Istruzioni della programmazione strutturata: if e while Hanno sintassi simile a quella di C, semantica uguale Vediamo due script che ne fanno uso %script nel file quadwhile.m quad=[]; i = 1; while (i <= x) quad (i) = i*i; i=i+1; end; quad >> x=3 x = 3 >> quadwhile quad = >> %script nel file divisible,m if (rem (x, 2) == 0) fprintf ('even\n'); elseif (rem (x, 3) == 0) fprintf ('divisible by 3\n'); elseif (rem(x,5)==0) fprintf ('divisible by 5\n'); else fprintf ('prime or divisible by x>5\n'); end >> x=8 x = 8 >> divisible even >> x=15 x = 15 >> divisible divisible by 3 >> x=17 x = 17 >> divisible prime or divisible by x>5