Soluzioni esercizi. Politecnico di Milano. Soluzioni a cura degli studenti: Gabriele De Gregorio Rossella Blatt. Reti Radiomobili

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1 Politecnico di Milano Facoltà di Ingegneria dell Informazione Soluzioni esercizi Soluzioni a cura degli studenti: Gabriele De Gregorio Rossella Blatt Reti Radiomobili

2 Esercizio Si consideri una rete cellulare di tipo multicarrier-tdma che dispone di 4 portanti, ciascuna con canali a) Utilizzando il modello basato su cluster si dimensioni il cluster in modo da garantire un SIR minimo pari a 4 db nell ipotesi che il fattore di propagazione sia pari a b) Nelle celle del cluster il traffico offerto è pari a 5 Erlang. Quanto vale la probabilità di blocco? c) Ipotizzando che il traffico offerto sia composto da 8% di nuove chiamate e % di richieste di handover si calcoli la probabilità di blocco e quella di terminazione della chiamata

3 Esercizio numero a) Ricordiamo la formula del dimensionamento del cluster: ( 6* SIR η min ) K min K {,4,7,9,,,...} Per prima cosa trasformiamo il SIR min da db a unità lineari 4 4dB 5. e sapendo η K min 9.44 scelgo K

4 Esercizio numero - segue I METODO Usiamo direttamente la formula B(N,A) di Erlang. Il numero di canali N da inserire nella formula è 4 N * 6 dove 4 numero di canali per ogni portante numero totale di portanti dimensione del cluster A questo punto possiamo calcolare la probabilità B( N, A) N A N! N A k k! k che nel nostro caso è B(6,5). 4

5 Esercizio numero - segue II METODO E possibile usare direttamente il grafico di B(N,A) di Erlang e trovare molto velocemente un risultato qualitativo L intersezione tra la linea verde e la linea rosa, dà in ordinata il valore della probabilità di blocco 5

6 Esercizio numero segue c) In un collegamento privo di canali di guardia, il sistema non fa distinzione tra le richieste di handover e le richieste di nuova chiamata. Una richiesta di handover viene accolta solo se c è almeno un canale libero. Quindi la differenza tra handover e nuove chiamate non è rilevante proprio perchè non ci sono canali di guardia. Se invece ci fossero dei canali di guardia, la situazione sarebbe differente: P drop < P block Quindi, la probabilità che venga rifiutato un handover (P drop ) e quella che venga rifiutata una chiamata è identica Per il calcolo di tale probabilità si faccia riferimento al punto b di questo stesso esercizio P drop P block B(6,5). 6

7 Esercizio Si consideri una rete cellulare di tipo multicarrier-tdma che utilizza portanti, ciascuna con 5 canali a) Nell ipotesi che il traffico offerto a ciascuna cella sia pari a 5 Erlang si calcoli il numero minimo di portanti necessario a garantire una probabilità di blocco del % b) Nell ipotesi che il SIR minimo richiesto sia pari a db e che il fattore di propagazione sia pari a.8 si calcoli il numero totale di portanti necessarie al sistema 7

8 Esercizio numero a) Osservando la curva degli Erlang (pag. 6), scopro che il numero di canali necessari è ; pertanto, visto che ho 5 canali per portante, occorreranno portanti per ogni cella b) Per prima cosa trasformiamo il SIR min da db a unità lineari η.8 4 4dB Seguendo lo stesso procedimento dell esercizio ( 6* SIR K min 5. min ) η scelgo la dimensione del cluster K 9 Dal momento che ho bisogno di portanti per ogni cella e che ci sono 9 celle per ogni cluster, il sistema necessita in totale di 8 portanti 8

9 Esercizio Si consideri un collegamento tra terminali mobili ed una stazione radio base. La potenza ricevuta dalla stazione radio base dai due terminali mobile è pari a α p e α p, dove α e α sono due variabile indipendenti con densità esponenziale e media che tengono in conto dell effetto del fading da multipath. Si calcoli la probabilità che: α p α p t 9

10 Esercizio numero Ricordando che la funzione di densità di una variabile aleatoria esponenziale negativa di media unitaria è f α (x) e -x, x e che la funzione di densità congiunta di due variabili indipendenti identicamente distribuite è f α, α (x) e-x e -y, x, y P α tp α P + + dx tp x P e x e y dy... tp + P

11 Esercizio 4 Il contatore statistico di una centrale della rete radiomobile indica che una cella avente canali smaltisce un traffico pari a 7 Erlang. Si calcoli a) il traffico offerto b) la probabilità di blocco c) il fattore di utilizzo dei canali

12 Esercizio numero 4 a) Utilizzando il grafico traffico offerto/traffico smaltito si ricava che il traffico offerto è 8 Erlang 9 8 Traffico smaltito Traffico offerto - A (Erlang)

13 Esercizio numero 4 a) Utilizzando il grafico traffico offerto/traffico smaltito si ricava che il traffico offerto è 8 Erlang b) Per il calcolo della probabilità di blocco, si procede come negli esercizi precedenti, cioè utilizzando la formula B di Erlang oppure direttamente il grafico. Con i dati di questo problema si ricava che P blocco B(8,). % Possiamo verificare con la relazione: (traffico smaltito) (traffico offerto) * ( P blocco ) c) Per calcolare il fattore di utilizzo, basta fare il rapporto tra il traffico smaltito e il numero di canali a disposizione. Fatt. utilizzo A s / N.7

14 Esercizio 5 Si consideri una cella che riceve un traffico di nuovo chiamate pari a Erlang e un traffico di handover pari a Erlang. La cella dispone di 4 canali di cui uno è riservato come canale di guardia per le sole richieste di handover. Si calcoli la probabilità di blocco delle nuove chiamate e la probabilità di fallimento del handover 4

15 5 Esercizio numero 5 Richiamiamo inizialmente le formule che servono per la soluzione di questo esercizio probabilità che ci siano i canali occupati N Canali totali 4 T Canali non di guardia! *!! *! Π Ω + Π Ω Ω + i i T i N T h k h T t i t T i h T t i i t i k A A i A i A A i A π, i T,i > T fattore di normalizzazione

16 Esercizio numero 5 - segue A t 4 A h Traffico totale Traffico handover P drop Ω Π N π N P block N i T Ω Π i N i T π i Facendo i conti risulta: Π.7 π. π.8 π.9 π 4.8 P drop,8 P block,99 6

17 Esercizio 6 Un sistema radiomobile offre servizi dati a circuito. In ciascuna cella la frequenza media di arrivo delle chiamate è pari a chiamate/minuto e i dati trasferiti hanno una distribuzione: e 84, x 84 x [Kbit] a) Nell ipotesi che ciascun circuito abbia una velocità di 9.6 Kbit/s si calcoli il traffico medio offerto per cella b) Nell ipotesi che la cella disponga di canali si calcoli la probabilità di blocco delle chiamate dati 7

18 Esercizio numero 6 λ 6 chiamate/sec f X ( x ) x 84 e 84 distribuzione della lunghezza dei dati da trasferire v 9.6 kbit/s Calcoliamo per prima cosa la media E[ X ] 84 Kbit 8

19 Esercizio numero 6 - segue Scoperto che la media della lunghezza dei dati è 84 kbit, è semplice calcolare la durata media della chiamata in secondi. 84 Kbit 9.6 Kbit/s [ ] E T A questo punto possiamo calcolare il traffico: A λ E T La probabilità di rifiuto delle chiamate si ottiene con la formula B di Erlang: N e A 6.67 B(,6.67). 6 [ ] Erlang 9

20 Esercizio 7 Si consideri la rete wireless in figura. I terminali A e F trasmettono un pacchetto della lunghezza di bit all istante. La velocità del canale è pari a Mbit/s. Assumendo che la velocità di propagazione sia tale da far percorrere al segnale km in.5 µs, si dica a) quali terminali vedono i pacchetti sovrapposti b) quali sono gli istanti di inizio dei due pacchetti visti da ciascun terminale A B C D E F km km km km km

21 Esercizio numero 7 Disegnamo l andamento temporale dei pacchetti della rete esaminando i tempi di partenza e arrivo nei nodi. Si può calcolare la durata in secondi della trasmissione del pacchetto e il tempo impiegato a muoversi da un nodo ad un altro. bit/*^6 bit/s 5microsecondi km/ km/s,5microsecondi Dal grafico si nota che i pacchetti sono sovrapposti nei due nodi centrali C e D

22 Esercizio 8 Una rete wireless di tipo ad-hoc dispone di terminali che hanno un raggio di trasmissione di km. Si vuole utilizzare una multiplazione di tipo TDMA che abbia un efficienza almeno pari al 95%. Si calcoli a) il minimo tempo di guardia b) la dimensione minima dello slot

23 Soluzione esercizio 8 a) Trattandosi di una rete wireless di tipo ad-hoc, le stazioni non possono usare tecniche Timing Advance e compensare quindi i tempi di propagazione anticipando la trasmissione. Il tempo di guardia T g risultera essere: Tg max[ τ ] Sappiamo che il tempo di propagazione necessario per τ i percorrere Km risulta essere.5 µs i

24 Soluzione esercizio 8 - contiunua Quindi risulterà: T g max( τ i ).5 7µ s b) Sappiamo che l efficienza dipende dal rapporto tra il Tempo di Guardia e il Tempo necessario per inviare le informazioni,ossia: η T i Ti + T g T + T g i + T g C n i T i T T i g 4

25 Soluzione esercizio 8 - continua Sostituendo troviamo: ( T + T ) T i i g T η η g T µ s che è appunto il tempo minimo di slot che mi consente di rispettare le condioni poste. i 5

26 Esercizio 9 Si vuole progettare una sistema di multiplazione TDM con canali a differenti velocità. Il sistema dispone di un canale a Kbit/s e deve creare i seguenti sottocanali: 5 canali di tipo A a Kbit/s 5 canali di tipo B a Kbit/s canali di tipo C a 5 Kbit/s 5 canali di tipo D a Kbit/s Si suggerisca uno schema di multiplazione possibilmente utilizzando delle strutture gerarchiche di trame e multi-trame. 6

27 Soluzione esercizio 9 Le soluzioni possono essere molteplici: esse dipendono da come viene scelta la divisione dei timeslot. Per esempio, si può scegliere di creare una trama da slot e una multi-trama da trame: Utilizzando slot per trama (indipendentemente dal numero di trama nella multi-trama) si può ottenere un canale da Kbit/s (/), mentre usando uno slot di una sola trama della multitrama (un solo numero di multi-trama) si ottiene un canale da Kbit/s (/(*)) K 9 7

28 Soluzione esercizio 9 Per indicare graficamente lo schema visualizziamo l utilizzo di uno slot della trama per volta a seconda del numero di multi-trama Agli slot - 5 assegno il canale A qualsiasi sia il numero di trama K considerata. Per gli slot successivi, invece, assegno un solo slot per per il canale B, 5 slot per il canale C e due slot per il canale D. 8

29 Soluzione esercizio 9 slot... slot 5 A A A A A A A A A A... A5 A5 A5 A5 A5 A5 A5 A5 A5 A5 slot 6 B B B B4 B5 B6 B7 B8 B9 B slot 7 B B B B4 B5 B6 B7 B8 B9 B slot 8 B B B B4 B5 C C C C C slot 9 C C C C C C C C C C slot D D D D D D D4 D4 D5 D5 9

30 Esercizio Per un canale di un sistema di multiplazione CDM si utilizza il codice C: a) quanti altri codici mutuamente ortogonali è possibile trovare? b) se ne trovi uno e lo si indichi con C. c) si utilizzi il codice C per trasmettere il simbolo +. Qual è la sequenza trasmessa? d) si decodifichi la sequenza trasmessa usando C e) si decodifichi la sequenza utilizzando C f) si decodifichi la sequenza usando C con un errore di offset di chip.

31 Soluzione esercizio a) Essendo la lunghezza del codice C pari a N 8, il numero di ulteriori codici mutuamente ortogonali sarà N-7 b) Due codici sono ortogonali tra loro se la moltiplicazione dei loro elementi restituisce una sequenza la cui somma è uguale a. Ad esempio una sequenza ortogonale a C è: C

32 Soluzione esercizio - continua C X C Σ Quindi l ortogonalità dei codici è verificata.

33 Soluzione esercizio - contiunua c) Per trasmettere il simbolo +, dobbiamo moltiplicare il simbolo per la sequenza (ricordando che la durata del simbolo è pari a quella dell intera sequenza): La sequenza sara quindi C stesso:

34 Soluzione esercizio - contiunua d) La sequenza trasmessa e quella trovata al punto precedente.decodifichiamolo dunque con C moltiplicandola per tale codice: Sequenza X C Σ 8 normalizzando per il numero di chip della sequenza ottemiamo: 8/8 + che è proprio il simbolo trasmesso. 4

35 Soluzione esercizio - contiunua e) Procediamo come al punto precedente utilizzando pero il codice C Sequenza C Sommiamo gli elementi e troviamo 4-4 Cio significa che c e ASSENZA DI SEGNALE. X 5

36 Soluzione esercizio - continua f) La sequenza in presenza di errore di offset di chip risulta essere: Sequenza (con offset) C La somma e uguale a 4, quindi il risultato della decodifica sara : 4/8.5 Il livello del segnale è dimezzato. X 6

37 Esercizio Per due canali di un sistema di accesso multiplo CDMA si utilizzano i codici C e C: a) si utilizzi il codice C per trasmettere il simbolo -. Qual è la sequenza trasmessa? b) si decodifichi la sequenza trasmessa usando C c) si decodifichi la sequenza utilizzando C d) si decodifichi la sequenza usando C con un errore di offset di 5 chip. 7

38 Soluzione esercizio a) Basta come nell esercizio precedente moltiplicare il simbolo per la sequenza. Otteniamo: Sequenza

39 Soluzione esercizio continua b) Basterà moltiplicare la sequenza per C. Sequenza C Sommo e divido per 8: ottengo che è proprio il simbolo trasmesso. X 9

40 Soluzione esercizio continua c) Questa volta bisogna moltiplicare la sequenza per il codice C Sequenza X C Sommo e divido per 8: ottengo /8.5. Il codice non ortogonale lascia comunque un po di interferenza 4

41 Soluzione esercizio continua d) Creiamo l offset su C C X Sequenza Sommo e divido per 8: ottengo /8.5. Anche in presenza di offset, l utilizzo del codice C lascia un po di interferenza 4

42 Esercizio Si costruisca una famiglia di 8 codici ortogonali usando il metodo di Hadamart. 4

43 4 Soluzione esercizio Soluzione esercizio Ricordando che le matrici di Hadamart sono cosi definite: Costruiamo ricorsivamente la matrice H 8 n n n n n H H H H H H

44 44 Soluzione esercizio Soluzione esercizio - continua continua H H H H H Gli 8 codici sono le 8 righe della matrice H 8 4 H H H H H

45 45 Esercizio Esercizio Si consideri il seguente FAP. Si trovi una soluzione utilizzando l algoritmo greedy. { } { } { } { },...,,,,,,,,,, ij i c C F m M

46 46 Soluzione esercizio Soluzione esercizio { } ij c C Per prima cosa, calcoliamo la colonna dei pesi sommando gli elementi di ciascuna riga

47 47 Soluzione esercizio Soluzione esercizio - continua continua { } ij c C Partiamo ora da quello col peso più alto e iniziamo ad assegnare le frequenze (ordine di esplorazione:, 7,, 5, 4, 9,, 6, 8, ) Non era stata ancora assegnata alcuna frequenza, quindi scelgo di assegnare la frequenza numero

48 48 Soluzione esercizio Soluzione esercizio - continua continua { } ij c C Passo alla successiva riga e esamino le compatibilità Mi accorgo che c è incompatibilità con la frequenza, pertanto assegno la numero

49 49 Soluzione esercizio Soluzione esercizio - continua continua { } (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) ij c C Eseguo la stessa procedura per tutte le righe e assegno tutte le frequenze rispettando i vincoli di compatibilità. Nota: si poteva agevolmente risolvere l esercizio usando il grafo di compatibilità.

50 5 Esercizio 4 Esercizio 4 Si consideri il seguente FAP nel quale non è definito l insieme delle frequenze disponibili. Si trovi una soluzione, utilizzando l algoritmo greedy, che utilizzi il minor numero di frequenze. { } { } { },,,,,,,,, ij i c C m M

51 Soluzione esercizio 4 Fondamentalmente la soluzione è identica a quella dell esercizio precedente. La sola diversità sta nel fatto che non è noto il numero di frequenze disponibili. Quindi si procede come prima aggiungendo nuove frequenze ogni qual volta in uno step si trovano costi tutti maggiori di zero. Si noti inoltre che in questo caso ci sono coefficienti di compatibilità pari a. Tale tipo di coefficiente indica che non si possono usare le frequenze adiacenti alla frequenza con coefficiente. 5

52 5 Soluzione esercizio 4 Soluzione esercizio 4 { } () 5 (,,,,) 4 (,,,,) 4 (,,,,) 5 (,,,) (,,,) (,,,) (,,) (,,) (,) ij c C Anche in questo caso è possibile risolvere il problema usando il grafo.

53 Esercizio 5 Si consideri un sistema radiomobile con allocazione dei canali di tipo Geometric DCA. Il sistema dispone di 6 canali ed è vincolato dalla matrice di compatibilità riportata sotto. Al sistema, inizialmente scarico, arrivano le chiamate nell ordine specificato dalla sequenza S (nella sequenza l indice indica la cella in cui arriva la chiamata). Nell ipotesi che nessuna delle chiamate arrivate finisca nell intervallo di tempo considerato, si dica per ogni chiamate se viene accettata e quale canale le viene assegnato (tra i canali disponibili viene scelto quello con il minor indice). C S { c } ij [,,,,4,4,,,,, ] 5

54 Soluzione esercizio 5 Disegnamo una tabella per ogni cella Iniziamo dalla cella numero CELLA C C C8 C C7 C9 4 C5 C6 54

55 Cella numero Soluzione esercizio 5 - contiuna CELLA C C C8 C C7 C9 C4 4 55

56 Cella numero Soluzione esercizio 5 - contiuna CELLA C8 C C7 C9 C4 4 C5 C6 56

57 Cella numero 4 Soluzione esercizio 5 - contiuna CELLA C C C8 C4 4 C5 C6 57

58 Soluzione esercizio 5 - contiuna Osservando le tabelle e considerando che le chiamate arrivate non terminano, si evince che vengono rifiutate le chiamate numero e numero 58

59 59 Esercizio 6 Esercizio 6 Si consideri il seguente problema di copertura di un sistema radiomobile (8 siti candidati e 5 punti di test) dove v ij se il punto di test j è coperto dal sito i e vale altrimenti e c j è il costo di installazione del sito j. Si trovi una soluzione ammissibile usando l algoritmo greedy. C V

60 6 Soluzione 6 Soluzione 6 5 / 5 / / 4 8/ C V

61 6 Soluzione 6 Soluzione 6 4 / / 4 / 4 / C V

62 6 Soluzione 6 Soluzione 6 4 / / 4 / 4 / C V

63 6 Soluzione 6 Soluzione 6 4 / / / 4 / C V

64 64 Soluzione 6 Soluzione 6 4 / / / 4 / C V

65 65 Soluzione 6 Soluzione 6 / / C V

66 66 Soluzione 6 Soluzione 6 / / C V

67 67 Soluzione 6 Soluzione 6 / / C V

68 68 Soluzione 6 Soluzione 6 / / C V

69 69 Soluzione 6 Soluzione 6 C V STOP

70 Esercizio 7 Si calcoli la capacità in direzione uplink di un sistema cellulare CDMA con guadagno di processo pari a, Eb/No minimo pari a db nell ipotesi: a) di cella isolata e codificatore vocale senza soppressione dei silenzi b) di cella isolata e fattore di attività pari a.5 c) di scenario multi-cellulare e interferenza intercella pari al 6% di quella intra-cella. 7

71 Soluzione esercizio 7 a) Sapendo il guadagno di processo e il valore minimo di E b /N, è possibile applicare la formula per il calcolo della capacità dei sistemi CDMA a singola cella. Per prima cosa bisogna trasformare E b /N da db ad un valore lineare G η p + + max Eb ( ) min N 7

72 Soluzione esercizio 7 - continua b) Considerandoil fattore di utilizzo, si riesce ad ottimizzare la risorsa, ottenendo un η max maggiore rispetto al punto a η max + ν f E ( b G N p ) min

73 Soluzione esercizio 7 - continua c) Consideriamo lo stesso fattore di utilizzo del punto precedente, sapendo però che il sestema ora è di tipo multicella η max + ν f ( + f ) E ( b G N p ) min +.5*.6 5 7