Sta$s$ca per le applicazioni aziendali EGST A.A. 16/17. Descrizione Numerica dei Da$

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1 Sta$s$ca per le applicazioni aziendali EGST A.A. 16/17 Descrizione Numerica dei Da$

2 Argomen$ che verranno traaa$ Misure di tendenza centrale, variabilità, e forma Media, mediana, moda, media geometrica Quar$li Campo di variazione, differenza interquar$le, varianza e scarto quadra$co medio, coefficiente di variazione Distribuzioni simmetriche e asimmetriche Misure di sintesi per la popolazione Media, varianza, e scarto quadra$co medio La regola empirica e la disuguaglianza di Chebyshev Box Plot Covarianza e coefficiente di correlazione

3 Descrizione Numerica dei Da$

4 Media Aritme$ca La media aritme$ca (media) è la misura di tendenza centrale più comune

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6 Media Aritme$ca La misura di tendenza centrale più comune Media = somma dei valori diviso il numero di valori Influenzata da valori estremi (outlier)

7 Media aritme$ca Successione di modalità POPOLAZIONE CAMPIONE µ = 1 N N x i i=1! = 1!!!!!!!

8 La media aritme$ca

9 Media aritme$ca Distribuzioni di frequenza POPOLAZIONE CAMPIONE µ = 1 N k x n = i i i=1 k x f i i i=1! = 1!!!!!!!

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11 Media aritme$ca Distribuzioni in classi POPOLAZIONE CAMPIONE! = 1!!!!!!!!!! =!!!!!!!! = 1!!!!!!!

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13 μ

14 Mediana e Quar$li

15 Quan$li Valore che suddivide I da$ in 2 gruppi disgiun$ P1 Q1 Me Q3 0,50*n 0,50*n 0,25*n 0,75 *n 0,75 *n 0,25*n 0,10*n 0,90 *n

16 Quar$li I Quar$li dividono la sequenza ordinata dei da$ in 4 segmen$ contenen$ lo stesso numero di valori Il primo quar$le Q1 è il valore per il quale 25% delle, osservazioni sono minori e 75% sono maggiori di essoq2 coincide con la mediana (50% sono minori, 50% sono maggiori) Solo 25% delle osservazioni sono maggiori del terzo quar$le

17 Formule per i Quar$li Un quar$le si trova determinando il valore della sua posizione nella sequenza ordinata dei da$, dove

18 Quar$li

19 Mediana In una lista ordinata, la mediana è il valore centrale (50% prima, 50% dopo)

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21 Trovare la Mediana

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28 I percen$li I percen&li sono quegli elemen$ che dividono una distribuzione ordinata in par$ uguali, ciascuna delle quali con$ene l'x per cento della distribuzione. Se dividiamo la distribuzione ordinata in 10 par$ di uguale numerosità, ciascun elemento (modalità) separatore si chiamerà decile

29 I percen$li Il primo decile divide in due par$ la distribuzione ed è rappresentato dall'elemento che lascia alla sua sinistra il 10 per cento delle unità del colleivo con modalità più piccole o uguali e alla sua destra il 90 per cento delle unità che presentano modalità più grandi. Il secondo decile divide la distribuzione in due par$ con il 20 per cento e l'80 per cento rispeivamente, e così via

30 La Moda

31 Moda Una misura di tendenza centrale Valore che ricorre più frequentemente Non influenzata da valori estremi Usata sia per da$ numerici che categorici Può non esserci una moda Ci può essere più di una moda

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36 Esempio

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38 Esempio Riepiloga$vo: Misure di Sintesi

39 Misure di Tendenza Centrale

40 Quale misura di tendenza centrale è la migliore? La media è usata in generale, a meno che ci siano valori estremi (outlier) La mediana è usata spesso poiché non è influenzata da valori estremi. Esempio: Il prezzo mediano delle case può essere riportato per una regione meno sensibile agli outlier

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42 In sintesi

43 Variabilità e rela$vi indici

44 Variabilità La variabilità si definisce come l'aitudine di un fenomeno ad assumere modalità differen$. La variabilità può essere misurata in diversi modi.

45 Variabilità Un indice per la misura della variabilità deve avere le seguen$ caraaeris$che un indice di variabilità deve assumere valori maggiori o uguali a 0 un indice di variabilità calcolato su una distribuzione di costan$ è uguale a 0 aggiungendo una costante alla variabile osservata, il valore dell'indice non deve cambiare

46 Misure di Variabilità

47 Campo di Variazione La più semplice misura di variabilità Differenza tra il massimo e il minimo dei valori osserva$:

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50 Svantaggi del Campo di Variazione

51 Differenza Interquar$le Possiamo eliminare il problema degli outlier usando la differenza interquar$le Elimina i valori osserva$ più al$ e più bassi e calcola il campo di variazione del 50% centrale dei da$ Differenza Interquar$le = 3zo quar$le 1mo quar$le Si no$ come il primo quar$le è l osservazione di posizione 0.25(n+1) nella serie ordinata, mentre il terzo quar$le occupa la posizione 0.75(n+1) IQR = Q3 Q1

52 Differenza Interquar$le

53 Varianza

54 Varianza della Popolazione

55 Varianza Campionaria

56 Proprietà della varianza

57 Scarto Quadra$co Medio

58 Scarto Quadra$co Medio della Popolazione Misura di variabilità comunemente usata Mostra la variabilità rispeao alla media Ha la stessa unità di misura dei da$ originali Scarto Quadra$co Medio della Popolazione:

59 Scarto Quadra$co Medio Campionario

60 Esempio di Calcolo: Scarto Quadra$co Medio Campionario

61 Misurando la Variabilità

62 Confrontando lo Scarto Quadra$co Medio

63 Vantaggi della Varianza e dello Scarto Quadra$co Medio Sono calcola$ usando tui i valori nel set di da$ Valori lontani dalla media hanno più peso (poichè si usa il quadrato delle deviazioni dalla media)

64 Formule

65 Successione di modalità Popolazione Campione N

66 Distribuzioni di frequenza Popolazione!!!! = 1!!!! (!!!)!!! = (!!!)!!!!!!!! = 1! 1 Campione!!!! (!!!)!!! = (!!!)!!!!!!!

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68 Distribuzione in classi Popolazione!!!! = 1!!!! (!!!)!!! = (!!!)!!!!!!!! = 1! 1 Campione!!!! (!!!)!!! = (!!!)!!!!!!!

69 Scarto quadra$co medio Popolazione Campione! =!! 0! =!! 0

70 Teorema di Chebyshev

71 Teorema di Chebyshev Data una variabile X numerica, che presenta media aritme$ca pari a μ e scarto quadra$vo medio pari a σ, per ogni valore k>1 vale la seguente relazione: il numero di osservazioni appartenen$ all intervallo [μ-kσ;μ+kσ] sarà sempre non minore di (1-1/k 2 )

72 Teorema di Chebyshev x min μ-kσ μ μ+kσ x max 1-1/k 2

75 La Regola Empirica

76 La Regola Empirica

77 Coefficiente di variazione

78 Coefficiente di Variazione Misura la variabilità rela$va Sempre in percentuale (%) Mostra la variabilità rela$va rispeao alla media Può essere usato per confrontare due o più set di da$ misura$ con unità di misura diversa

79 Confronto fra Coefficien$ di Variazione

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82 Media pesata

83 Media Pesata

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85 Approssimazioni per Da$ Raggruppa$

86 Approssimazioni per Da$ Raggruppa$

87 Forma di una distribuzione

88 Forma della Distribuzione Descrive come i da$ sono distribui$ Misure della forma Simmetrica o asimmetrica

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93 Mo Me μ Mo=Me= μ μ Me Mo Q 3 -Me Me Q 1 Q 3 -Me = Me Q 1 Q 3 -Me Me Q 1

94 Indice di asimmetria di Fisher

97 Box plot

98 Box plot o grafico a scatola Il box-plot cos$tuisce una descrizione sinte$ca e abbastanza completa di una distribuzione di frequenza di una variabile quan$ta$va. Il grafico a scatola o box-plot è un par$colare $po di diagramma che permeae di rappresentare contemporaneamente la tendenza centrale, la variabilità e la forma di una distribuzione.

99 Box plot

100 Box plot o grafico a scatola È composto da un reaangolo centrale o scatola (box), i cui la$ inferiore e superiore sono rispeivamente Q1 e Q3; una linea orizzontale nella scatola in corrispondenza della mediana; due linee ver$cali che partono dai la$ inferiore e superiore della scatola e terminano con due segmen$ orizzontali.

101 Box plot 1. Ordinare i valori; 2. Calcolare i quar$li e disegnare la scatola; 3. Calcolare a, individuare α e disegnare il baffo di sinistra; 4. Calcolare b, individuare β e disegnare il baffo di destra; 5. Individuare e disegnare valori anomali (outliers)

102 Box plot Si costruisce nel modo seguente: Si traccia un asse orizzontale (scala del caraaere) al di sopra del quale viene disegnato il diagramma Si disegna un reaangolo (la scatola) che ha il primo e il terzo quar$le come estremi della base (cioè la base del reaangolo è uguale allo scarto interquar$le). L altezza del reaangolo è arbitraria. Si traccia, all interno del reaangolo, una linea ver$cale in corrispondenza della mediana. si tracciano due linee ver$cali (di altezza uguale o minore all altezza del reaangolo) in corrispondenza del valore massimo e del valore minimo. Ques$ due segmen$ni vengono deao baffi del box-plot. Infine si tracciano due linee orizzontali che collegano i baffi al reaangolo.

103 Box plot o grafico a scatola a=q 1-1,5(Q 3 -Q 1 ) b=q 3 +1,5(Q 3 -Q 1 )

104 Box plot! =!"#!!! α è il più piccolo tra i valori maggiori di a! =!"#!!! β è il più grande tra i valori più piccoli di b

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106 Variabile

107 Q3-Me Me Q1 Q3-Me Me Q1

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111 Per rappresentare una distribuzione in modo sinte$co, il box plot è un oima possibilità: con poche informazioni, si riesce a comprendere la sua forma, simmetrica o asimmetrica che sia.

112 il box plot dà una rappresentazione univoca d e l l a d i s t r i b u z i o n e, a d i ff e r e n z a dell istogramma che può dare rappresentazioni diverse a seconda degli estremi delle classi scelte.

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114 Tabelle a doppia entrata e relazioni sta$s$che

115 Relazioni sta$s$che Interdipendenza Dipendenza lineare Dipendenza in distribuzione ( connesione)

116 La Covarianza Campionaria

117 Interpretazione della Covarianza

118 Covarianza

119 Correlazione

120 Coefficiente di Correlazione di Bravais-Pearson

121 CaraAeris$che del Coefficiente di Correlazione, r Campo di variazione fra 1 e 1 Quanto più è vicino a 1, tanto più è forte la relazione lineare nega$va Quanto più è vicino a 1, tanto più è forte la relazione lineare posi$va Quanto più è vicino a 0, tanto più è debole la relazione lineare

122 CaraAeris$che del Coefficiente di Correlazione, r

123 Interpretazione dei Risulta$

124 Regressione lineare

125 Regressione lineare Le relazioni tra variabili importan$ nell analisi della realtà economico-aziendale possono essere matema$camente espresse come: Y=f(X) dove la funzione f può assumere varie forme, lineari o non lineari, e può non essere conosciuta in modo preciso. Consideriamo il caso più semplice quello lineare: regressione lineare semplice

126 Regressione lineare Il presidente di una diaa di materiali da costruzione ri$ene che la Quan$tà media annua di piastrelle, Q, venduta sia una funzione (lineare) del Valore complessivo dei permessi edilizi rilascia$, V, nell anno passato: Q=f(V). Un grossista di cereali vuole conoscere l effeao della produzione annua Complessiva, C, sul prezzo di vendita a tonnellata, P: Q=f(P). L area marke$ng di un azienda ha necessità di sapere come il prezzo della Benzina influenzi la quan$tà venduta: ricorrendo alla serie storica dei prezzi seimanali e dei da$ di vendita intendono sviluppare un modello (lineare) che indichi di quanto variano le vendite al variare del prezzo: Q=f(P).

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128 Relazioni Lineari

129 min Metodo dei minimi quadra$ n i=1 ( y i ŷ i ) 2 n i=1 ( ) = min y i ˆb 0 ˆb 1 x 2

130 Regressione lineare Nel caso della popolazione: y = β o + β 1 x ˆb o = µ y ˆb 1 µ x ˆb1 = σ xy σ 2 x

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133 In conclusione

134 Riepilogo Si sono descriae le misure di tendenza centrale Media, mediana, moda Illustrate la forma della distribuzione Simmetrica, asimmetrica DescriAe le misure di variabilità Campo di variazione, differenza interquar$le, varianza e scarto quadra$co medio, coefficiente di variazione Discusse le misure per da$ raggruppa$ Calcolate le misure delle relazioni tra variabili Covarianza e coefficiente di correlazione