Marco Golla

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1 e teorema di Gompf

2 Un po di storia XIX secolo: Formalismo Hamiltoniano Geometria simplettica (dimensione pari). Dimensione 4: esistenza di un infinita più che numerabile di R 4 esotici; esistenza di infinite strutture lisce su topologiche; non esistenza di strutture lisce su topologiche; h-cobordismo topologico ma non liscio; utilizzo di strutture complesse.

3 Un po di storia XIX secolo: Formalismo Hamiltoniano Geometria simplettica (dimensione pari). Dimensione 4: esistenza di un infinita più che numerabile di R 4 esotici; esistenza di infinite strutture lisce su topologiche; non esistenza di strutture lisce su topologiche; h-cobordismo topologico ma non liscio; utilizzo di strutture complesse. Kähler simplettico; simplettico? Kähler. 1976: Controesempio di Thurston. 1995: Tecniche di Gompf.

4 Varietà Varietà Varietà complesse Varietà di Kähler Sotto Esempi Definizione Una simplettica è una coppia (M, ω), con M differenziabile e ω Ω 2 (M) è una 2-forma su TM con le seguenti proprietà: ω è chiusa, cioè dω = 0; ω x è non degenere in ogni punto x M, cioè per ogni v T x M esiste w T x M tale che ω(v, w) 0. Su R 2n, con coordinate (x 1,..., x n, y 1,..., y n ), la forma ω 0 = dx 1 dy dx n dy n è la forma simplettica standard.

5 Strutture a confronto Varietà Varietà complesse Varietà di Kähler Sotto Esempi Definizione Data M differenziabile, ω 0, ω 1 forme su M, un diffeomorfismo ψ : M M si dice simplettomorfismo se ψ ω 1 = ω 0. I simplettomorfismi sono troppo rigidi: Definizione Data M liscia, due forme ω 0, ω 1 si dicono: isotope se esiste una famiglia di forme {ω t } t I che le collega; fortemente isotope se esiste un isotopia {ψ t } t I di M tale che ψ 1 ω 1 = ω 0.

6 Varietà complesse e quasi-complesse Varietà Varietà complesse Varietà di Kähler Sotto Esempi Definizione Una quasi-complessa è una coppia (M, J), con M differenziabile e J : TM TM tale che J 2 = 1. Una complessa è una M differenziabile con un atlante {(U, φ)} tale che le carte φ : U C n e i cambi di carte siano olomorfi. Complessa quasi-complessa; quasi-complessa complessa. C n e gli spazi proiettivi P n = CP n sono complesse. P 2 #P 2 #P 2 ha una struttura quasi-complessa ma non complesse.

7 Varietà di Kähler e quasi-kähler Varietà Varietà complesse Varietà di Kähler Sotto Esempi Definizione Una di Kähler (risp. quasi-kähler) è una terna (M, J, ω) dove (M, ω) è una simplettica, (M, J) è una complessa (risp. quasi-complessa) e valgono le seguenti proprietà: ω x (J x u, J x v) = ω x (u, v) per ogni x M, u, v T x M; ω x (u, J x u) > 0 per ogni x M, u T x M. In questo caso g = ω x (, J x ) è un prodotto scalare simmetrico su T x M definito positivo. Due tra J, ω, g determinano univocamente la terza.

8 Convenzioni sulle sotto Varietà Varietà complesse Varietà di Kähler Sotto Esempi Tutte le saranno chiuse. Una sotto X M è un embedding j : X M e TX TM sarà j (TX ) TM. Di solito, X M sarà chiuso nella topologia di M.

9 Convenzioni sulle sotto Varietà Varietà complesse Varietà di Kähler Sotto Esempi Tutte le saranno chiuse. Una sotto X M è un embedding j : X M e TX TM sarà j (TX ) TM. Di solito, X M sarà chiuso nella topologia di M. Sotto di tipo speciale nelle : Definizione Una sotto X m (M 2n, ω) si dice: simplettica se ω X è una forma simplettica; lagrangiana se m = n e ω X 0.

10 Alcuni esempi Varietà Varietà complesse Varietà di Kähler Sotto Esempi Ogni superficie compatta orientabile ammette strutture. Data X n differenziabile, definiamo una forma su T X : una carta x : U R n X dà coordinate locali (x, ξ) : U R n T X sul cotangente; ω can = dξ dx = d(ξdx): forma simplettica canonica; la sezione 0 X 0 T X e gli spazi cotangenti T x X sono sotto lagrangiane di T X. Ogni sotto complessa di una di Kähler è una sotto simplettica. Proiettiva Kähler: (P n, ω FS ) è di Kähler con la forma di Fubini-Study, e ogni sotto complessa è di Kähler.

11 Risultati preliminari Ostruzioni Il teorema di Darboux I teoremi di Weinstein Varietà di Kähler Nelle prossime slide faremo una carrellata di risultati standard sulle e di Kähler, in particolare: orientabilità di ; teorema di Darboux; teorema di Weinstein sugli intorni lagrangiani; principio soft-hard in geometria simplettica; teorema di Weinstein sugli intorni simplettici; applicazioni della teoria di Hodge alle di Kähler.

12 Ostruzioni all esistenza di strutture Ostruzioni Il teorema di Darboux I teoremi di Weinstein Varietà di Kähler Spazio vettoriale simplettico dimensione pari; simplettica dimensione pari. (M 2n, ω) simplettica ω n non si annulla mai: esistenza di basi {ei x, f j x } (cioè tale che ω(ei x, f j x ) = δ ij ) per ogni spazio tangente. (M 2n, ω) simplettica chiusa HdR 2 (M) non banale: se ω = dλ, allora d(λ ω n 1 ) = ω n ; per il teorema di Stokes, 0 = X λ ωn = X ωn, ma ω n è una forma di volume. (Gromov) Su ogni non compatta, senza bordo e di dimensione pari c è una forma simplettica.

13 Il teorema di Darboux Ostruzioni Il teorema di Darboux I teoremi di Weinstein Varietà di Kähler Intorni dei punti: Teorema (Darboux) Sia (M, ω) una simplettica, x M. Allora c è un intorno aperto V di x con un diffeomorfismo ψ : V R 2n tale che ψ ω 0 = ω. L unico invariante locale delle è la dimensione. Rigidità locale simile alla condizione curvatura nulla.

14 Sotto lagrangiane Ostruzioni Il teorema di Darboux I teoremi di Weinstein Varietà di Kähler Intorni delle sotto lagrangiane: Teorema (Weinstein) Data una sotto lagrangiana X n M 2n di una simplettica (M, ω), allora esiste un simplettomorfismo (U, ω U ) (U 0, ω can ) U0 di un intorno aperto U M di X con un intorno aperto U 0 della sezione 0 in T X. Principio soft-hard Forti condizioni di rigidità sulle : non toglie ricchezza alle.

15 Sotto Ostruzioni Il teorema di Darboux I teoremi di Weinstein Varietà di Kähler Intorni delle sotto : Teorema (Weinstein) Siano X i M i sotto di due (M i, ω i ) (i = 1, 2). Se c è un isomorfismo Φ : ν 1 ν 2 dei fibrati normali che estende un simplettomorfismo (X 1, ω 1 X1 ) (X 2, ω 2 X2 ), allora c è un simplettomorfismo Ψ : (U 1, ω 1 X1 ) (U 2, ω 2 X2 ) di intorni aperti di X i in M i che preserva le fibre, nel senso che se exp : E(ν i ) U i è un diffeomorfismo, allora Ψ exp = exp Φ. Fondamentale per la costruzione

16 La coomologia delle di Kähler Ostruzioni Il teorema di Darboux I teoremi di Weinstein Varietà di Kähler Invarianti topologici Teoria di Hodge: Coomologia di Dolbeaut di M coomologia di de Rham di M. b 2k+1 (M) pari per ogni k. H 1 (M; Z) è l abelianizzato di π 1 (M): forti restrizioni sul π 1 delle di Kähler.

17 La coomologia delle di Kähler Ostruzioni Il teorema di Darboux I teoremi di Weinstein Varietà di Kähler Invarianti topologici Teoria di Hodge: Coomologia di Dolbeaut di M coomologia di de Rham di M. b 2k+1 (M) pari per ogni k. H 1 (M; Z) è l abelianizzato di π 1 (M): forti restrizioni sul π 1 delle di Kähler. Invarianti più fini Gompf: invarianti di Seiberg-Witten per distinguere da Kähler. Costruzione di infinite omeomorfe a K 3, con strutture ma non di Kähler.

18 Setting differenziale e algebrico/complesso Somma connessa Somma lungo superfici Blow-up Trasporto di costruzioni dalla topologia differenziale e dalla geometria algebrica alla geometria simplettica: Somma connessa: X 1, X 2 differenziabili di dimensione n; φ i : (2B n, 0) (X i, x i ) embedding che preservano orientazione; X 1 #X 2 = i X i \ {x i }/, con x 1 x 2 sse φ 1 1 (x 1) = φ 1 2 (x 2) B n. X 1 #X 2 ammette un unica struttura differenziabile compatibile con le immersioni X i \ {x i } X 1 #X 2 indipendente dalle scelte fatte. Scoppiamento: rimpiazzare un punto con tutte le rette passanti per quel punto ; si usa per eliminare singolarità.

19 Il setting simplettico Somma connessa Somma lungo superfici Blow-up Lemma (Audin) Se (X n i, ω i ) sono due con n 2, 6 allora la somma connessa X 1 #X 2 non ammette forme compatibili con le forme ω i date. Precisazione: compatibili = ω i Xi \{x i } e ι i ω sono isotope. Idea della dimostrazione: per n 2, 6, su S n non ci sono strutture quasi-complesse. Come costruire nuove?

20 L idea di Gompf Somma connessa: incollamento di due attraverso il fibrato normale di una sotto connessa di dimensione 0. Somma connessa Somma lungo superfici Blow-up

21 L idea di Gompf Somma connessa Somma lungo superfici Blow-up Somma connessa: incollamento di due attraverso il fibrato normale di una sotto connessa di dimensione 0. Idea: costruire φ r simplettomorfismo dell anello B r = rb 2 \ {0} R 2 (con la forma simplettica standard) in sè, che scambi l interno con l esterno ; usare φ r per indentificare simpletticamente intorni di sotto di codimensione 2 diffeomorfe e con fibrato normale isomorfo; incollare simpletticamente lungo i fibrati normali. Osservazione: φ r preserva area e orientazione.

22 Un paio di dettagli Somma connessa Somma lungo superfici Blow-up La mappa φ r : r φ r (x, y) = x 2 r x 2 1, y 2 + y 2 x 2 + y 2 1. Ponendo ρ 2 = x 2 + y 2 Si verifica 1 Jφ r = ρ 3 r 2 ρ 2 ( r 2 y 2 ρ 4 r 2 xy r 2 xy ρ 4 r 2 x 2 φ ω 0 = ω 0. )

23 La formalizzazione della costruzione Somma connessa Somma lungo superfici Blow-up La somma simplettica di Gompf: (Q 2n, ω) simplettica chiusa, ι j : (Q 2n, ω) (M 2n+2 j, η j ) due immersioni, ψ : ν 1 ν 2 isomorfismo dei fibrati normali; per Weinstein, ψ dà un simplettomorfismo di intorni U j M j compatibili fibra per fibra : incolliamo fibra per fibra tramite φ r (r 1); somma simplettica di M 1 ed M 2 lungo Q: (M, η r ) = (M 1 # Q M 2, η r ). Queste strutture sono compatibili con le strutture η j su M j, e differiscono tra loro per il volume M η r.

24 Scoppiamenti Somma connessa Somma lungo superfici Blow-up Scoppiamento di una complessa Z di dimensione (complessa) 2 in un punto: intuitivamente sostituiamo un punto con il fascio delle rette tangenti passanti per quel punto. Z = C 2 (coordinate z): C2 C 2 P 1 sotto definita dai polinomi z j y k z k y j (j, k = 1, 2), (y coordinate su P 1 ); c è un diffeomorfismo π : C2 \ ({0} P 1 ) C 2 \ {0}. Z complessa: si prende un intorno biolomorfo ad un aperto intorno a 0, C 2, e si ripete la costruzione localmente, usando π come mappa d incollamento.

25 Alcune osservazioni Topologicamente: scoppiare fare la somma connessa con P 2 : infatti scoppiare togliere una palla immersa e mettere lo spazio totale del fibrato tautologico su P 1. Somma connessa Somma lungo superfici Blow-up

26 Alcune osservazioni Somma connessa Somma lungo superfici Blow-up Topologicamente: scoppiare fare la somma connessa con P 2 : infatti scoppiare togliere una palla immersa e mettere lo spazio totale del fibrato tautologico su P 1. Van Kampen π 1 (Z) = π 1 ( Z).

27 Alcune osservazioni Somma connessa Somma lungo superfici Blow-up Topologicamente: scoppiare fare la somma connessa con P 2 : infatti scoppiare togliere una palla immersa e mettere lo spazio totale del fibrato tautologico su P 1. Van Kampen π 1 (Z) = π 1 ( Z). Z proiettiva Z proiettiva Z di Kähler Z simplettica. Si può definire uno scoppiamento simplettico (tagli simplettici).

28 Il teorema di Gompf Cuore del colloquio: applicazione delle costruzioni precedenti verso: Teorema (Gompf) Per ogni gruppo G finitamente presentato esiste una simplettica chiusa (M, ω) tale che π 1 (M) = G. Un altro esempio Un lemma La dimostrazione

29 Il teorema di Gompf Un altro esempio Un lemma La dimostrazione Cuore del colloquio: applicazione delle costruzioni precedenti verso: Teorema (Gompf) Per ogni gruppo G finitamente presentato esiste una simplettica chiusa (M, ω) tale che π 1 (M) = G. Corollario Non tutte le sono di Kähler. Corollario Per ogni gruppo finitamente presentato G esiste una che abbia G come gruppo fondamentale.

30 In dimensione bassa Un altro esempio Un lemma La dimostrazione Panoramica di quel che succede in dimensione inferiore: l unica 1- chiusa è S 1, e π 1 (S 1 ) = Z; M g superficie chiusa orientabile π 1 (M g ) = α 1,..., α g, β 1,..., β g [α j, β j ] ; b 1 (M g ) = 2g. non esistono 3- il cui gruppo fondamentale sia Z 4 ; Idea alternativa: il gruppo fondamentale di un CW complesso è determinato dal 2-scheletro e ogni complesso cellulare di dimensione 2 si immerge in R 4.

31 Il controesempio di Thurston Un altro esempio Un lemma La dimostrazione Adattamento della costruzione di Thurston (1976): G Diff R 4 generato da p p + e j, per j = 1, 2, 3 e da (x 1, y 1, x 2, y 2 ) (x 1 + y 1, y 1, x 2, y 2 + 1). G agisce in maniera libera e propriamente discontinua su R 4 :il quoziente X = R 4 /G è una il cui gruppo fondamentale è G. Inoltre g ω 0 = ω 0 per ogni generatore: G Symp R 4, quindi X è simplettica. G/[G, G] Z Z Z, quindi X non ha strutture di Kähler.

32 Il mattone fondamentale Un altro esempio Un lemma La dimostrazione Costruiamo V una simplettica, con cui faremo somme lungo tori. P, Q polinomi omogenei di terzo grado in C[x, y, z], tali che V (P), V (Q) in P 2 si intersechino trasversalmente in B, insieme di 9 punti. x P 2 \ B passa la cubica λ x P + µ x Q ((λ x : µ x ) ben definito come elemento di P 1 ). Definiamo π : P 2 \ B P 1, x (λ x : µ x ). Scoppiamo P 2 nei punti di B: chiamiamo V lo scoppiamento. V ha dimensione complessa 2, e una fibrazione (singolare) π su P 1 : le fibre generiche di π sono tori (fibrazione ellittica).

33 Somma simplettica e gruppi Un altro esempio Un lemma La dimostrazione V è una proiettiva di Kähler simplettica. Sia ω V la forma simplettica su V data da ω FS. Sia F una fibra generica di π: al di fuori dei punti singolari π : V P 1 è un fibrato vettoriale: esiste π(f ) U P 1 aperto tale che π 1 (U) F U: F ha fibrato normale banale in V. (X, ω) simplettica con un toro simplettico T X con fibrato normale banale in X : riscaliamo ω se necessario, e chiamiamo M = X # T V. Van Kampen π 1 (M) = π 1 (X )/ι π 1 (F ).

34 Un lemma omologico Un altro esempio Un lemma La dimostrazione Σ una superficie di Riemann di genere g, Γ grafo orientato immerso in Σ. Ogni ciclo γ C(Γ) nel grafo rappresenta un ciclo in H 1 (Σ; Z). Lemma Esiste una 1-forma ρ HdR 1 (Σ) tale che e ρ > 0 per ogni arco e di Γ se e solo se 0 non appartiene al convessificato di C(Γ) in H 1 (Σ; R). Dimostrazione: per i teoremi di de Rham e dei coefficienti universali, H 1 dr (Σ) = H 1(Σ; R). 0 conv C(Γ) C(Γ) è contenuto in un semispazio. C è un funzionale che è positivo su ogni ciclo di Γ.

35 Una precisazione sul lemma Nel caso che ci interessa c è di più: a meno di cobordi la forma ρ è una forma di volume (positiva, per la tesi del lemma) sugli archi di Γ. Ipotesi: Supponiamo quindi che Γ sia determinato da una famiglia generica di curve chiuse. Un altro esempio Un lemma La dimostrazione

36 Una precisazione sul lemma Un altro esempio Un lemma La dimostrazione Nel caso che ci interessa c è di più: a meno di cobordi la forma ρ è una forma di volume (positiva, per la tesi del lemma) sugli archi di Γ. Ipotesi: Supponiamo quindi che Γ sia determinato da una famiglia generica di curve chiuse. Dimostrazione: Siano e un arco parametrizzato da e : I Σ, l e = 1 0 ρ(ė)dt > 0, λ e la forma di volume λ e (ė) = l e. I è contrattile, ρ e λ e è chiusa esatta esiste f e differenziabile definita su Im e tale che ρ e + df e = λ e, e f e (0) = f e (1) = 0. Via partizioni dell unità e genericità di Γ, estendiamo le f e ad f : Σ R: ρ + df soddisfa le richieste fatte.

37 I preliminari Un altro esempio Un lemma La dimostrazione Σ superficie chiusa orientabile di genere k: una curva chiusa in Σ rappresenta una classe in H 1 (Σ; Z) ed una classe in π 1 (Σ, x 0 ). Siano G = g 1,..., g k r 1,..., r l gruppo finitamente presentato, α 1, β 1,..., α k, β k curve chiuse che danno i generatori standard di π 1 (Σ, x 0 ); generano anche H 1 (Σ; Z). L = π 1 (Σ)/ β 1,..., β k è libero su α 1,..., α k. Fissiamo {γ 1,..., γ l } famiglia generica di curve chiuse con punto base x 0 che rappresentano r 1,..., r l in L; poniamo γ l+i = β i ; Γ il grafo associato a {γ 1,..., γ l+k }. Claim: a meno somme connesse con tori (e allargamenti della famiglia) possiamo supporre che conv C(Γ) 0.

38 La dimostrazione del claim - 1 Un altro esempio Un lemma La dimostrazione Dimostrazione: Sia C(Γ) λ c[c] una combinazione convessa nulla in H 1 (Σ; R). Fissiamo un toro bucato T \ B, α k+1, β k+1, c T curve tali che: 1. α k+1, β k+1 sono curve chiuse in T \ B, e i [α k+1 ], i [β k+1 ] generano H 1 (T ; Z); 2. c T sia la restrizione c T I di una curva chiusa c T : [0, 1 + d] T tale che [ c T ] = [β k+1 ] H 1 (T ; Z); 3. c T (t) B per ogni t (1, 1 + d), e c T (0) c T (1). Siano c C(Γ) con λ c 0, D Σ un disco intorno ad un punto di γ j che interseca un solo arco di Γ, e incolliamo T \ B di modo che c si concateni con c T ; siano c il nuovo ciclo del grafo Γ, γ j la concatenazione di γ j e c T e Σ la nuova superficie. Allora λ d [d] + λ c [c ] = λ c [β k+1 ] 0 H 1 (Σ, R). C(Γ)\{c}

39 La dimostrazione del claim - 2 Un altro esempio Un lemma La dimostrazione

40 La dimostrazione del claim - 2 Un altro esempio Un lemma La dimostrazione Dalle condizioni 1-4 la dimensione dello spazio delle combinazioni convesse nulle diminuisce. Dalla condizione 2, π 1 (Σ )/ γ j, γ i è isomorfo a G, perché [γ i] ha un rappresentante γ i disgiunto da D, e γ i β k+1 = γ i. Questo conclude la dimostrazione del claim.

41 La dimostrazione del teorema - 1 Un altro esempio Un lemma La dimostrazione Abbiamo fissato G = g i r j, Σ superficie e α i, β i cammini che generano H 1 (Σ, Z), γ i cammini che rappresentano r i, ρ 1-forma di volume su γ i. Poniamo γ l+i = β i. Siano T = S 1 S 1 e α curva chiusa semplice non banale in H 1 (T, Z), θ 1-forma su T e forma di volume positiva su α. Sia X = Σ T con ω = π 1 ω 1 π 2 ω 2, e T i = γ i α. T i è lagrangiano rispetto alla forma ω, simplettico rispetto alla 2-forma ρ θ. Per ε > 0 sufficientemente piccolo, la 2-forma ω ε = ω + ε(ρ θ) è simplettica su X.

42 La dimostrazione del teorema - 2 Il toro T è α S 1, perché α è chiusa e semplice: perturbiamo i T i in maniera simplettica, e otteniamo tori simplettici disgiunti T i. Un altro esempio Un lemma La dimostrazione Sia poi p 0 Σ tale che T 0 = {p 0 } T X sia disgiunto da T i : T 0 è simplettico e ha fibrato normale banale in X.

43 La dimostrazione del teorema - 3 Un altro esempio Un lemma La dimostrazione Per i > 0, il fibrato normale di T i è isomorfo a quello di T i : questo è il prodotto dei fibrati normali a α in T e a γ i in Σ, banali per orientabilità. Incolliamo ora una copia di V lungo una fibra generica F e un T i per ogni indice i, e chiamiamo M = X # l+k+1 T V la ottenuta: su M c è una forma simplettica compatibile con ω ε e con la forma ω V su V.

44 La dimostrazione del teorema - 3 Un altro esempio Un lemma La dimostrazione Per i > 0, il fibrato normale di T i è isomorfo a quello di T i : questo è il prodotto dei fibrati normali a α in T e a γ i in Σ, banali per orientabilità. Incolliamo ora una copia di V lungo una fibra generica F e un T i per ogni indice i, e chiamiamo M = X # l+k+1 T V la ottenuta: su M c è una forma simplettica compatibile con ω ε e con la forma ω V su V. Raccogliamo le informazioni sui gruppi : π 1 (X ) = π 1 (T ) π 1 (Σ); (ι 0 ) π 1 (T 0 ) = π 1 (T ); (ι j ) π 1 (T j ) = α γ j. Dai lemmi sui gruppi segue π 1 (M) = G.

45 Bibliografia Gompf, A new construction of symplectic manifolds, Annals of Mathematics, McDuff, Salamon, Introduction to symplectic topology, Clarendon Press, Oxford, Thurston, Some simple examples of symplectic manifolds, Proceedings of the American Mathematical Society, 1976.