Esercizi tratti da temi d esame

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1 Gianluca Occhetta Esercizi tratti da temi d esame Geometria IV e V unità didattica Università di Trento Dipartimento di Matematica Via Sommarive ovo (TN)

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3 1 Topologia generale e algebrica 1) Sia Y la retta reale con la topologia euclidea, siano { } e { } due insiemi costituiti da un solo elemento e sia X = Y { } { } Sia τ la famiglia di sottoinsiemi di X costituita da, X, da tutti i sottoinsiemi di Y e dai sottoinsiemi di X che contengono o e hanno complementare finito. Si verifichi che τ è una topologia su X e si stabilisca se (X, τ) è compatto, connesso, di Hausdorff. 2) Sia (R, τ s ) la retta reale con la topologia i cui aperti non banali sono le semirette (, a) a R, sia (R, τ d ) la retta reale con la topologia i cui aperti non banali sono gli intervalli ( b, b) b R, e sia X = (R, τ s ) (R, τ d ). Siano Q = [0, 1] [0, 1] e D = {(x, y) X x 2 + y 2 1}. Si stabilisca se Q e D sono compatti, connessi, di Hausdorff. 3) Sia X l intervallo [ 1, 1] R e sia B = {[ 1, a), (b, a), (b, 1] a > 0, b < 0}. Si verifichi che B è la base per una topologia τ B su [ 1, 1] e si confronti τ B con la topologia euclidea. Si stabilisca se (X, τ B ) è compatto, connesso, di Hausdorff. 4) Sia X un insieme e U = {U i } i I una collezione di suoi sottoinsiemi; U si dice sottobase per una topologia τ se le intersezioni finite di elementi di U sono una base per la topologia τ. rovare che U è una sottobase se e solo se X U i. Trovare una sottobase della topologia euclidea su R. Sia U una sottobase per la topologia τ su X e sia (Y, σ) un altro spazio topologico. rovare che un applicazione f : Y X è continua se e solo se f 1 (U i ) σ per ogni i I. 5) Su R siano τ 1, τ 2, τ 3 e τ 4 la topologia euclidea, la topologia cofinita, la topologia delle semirette (, a) e la topologia dei dischi ( a, a). Sia X i l intervallo [ π, π] con la topologia indotta dalla topologia τ i, sia Y l insieme [ 1, 1] e si consideri l applicazione f : X Y, f(x) = sin(x).

4 2 1 Topologia generale e algebrica Si denotino con σ i le topologie quoziente su Y i e le si descrivano. 6) Sia I = [0, 1] l intervallo unitario e sia X = I { }; si considerino in X i sottoinsiemi U I tali che U è un aperto della topologia indotta su I dalla topologia euclidea e i sottoinsiemi V del tipo (a, 1) { } e sia τ la topologia da essi generata. Si stabilisca se (X, τ) è compatto, connesso, di Hausdorff. Si trovino due sottoinsiemi compatti di (X, τ) la cui intersezione non è compatta. 7) Sia (R, τ s ) la retta reale con la topologia i cui aperti non banali sono le semirette (, a) a R, sia (R, τ d ) la retta reale con la topologia i cui aperti non banali sono gli intervalli ( b, b) b R, e sia X = (R, τ s ) (R, τ d ). Siano Q = [0, 1] [0, 1] e D = {(x, y) X x 2 + y 2 1}. Si stabilisca se Q e D sono compatti, connessi, di Hausdorff. 8) Sulla retta reale R si consideri la famiglia di sottoinsiemi τ così definita: τ = {, R, U R t.c. U c è un insieme finito, oppure 0 U} Si verifichi che τ è una topologia su R. Si stabilisca se (R, τ) è compatto, connesso, di Hausdorff. 9) Sia R la retta reale con la topologia euclidea, e sia A R un sottoinsieme chiuso e non vuoto. Si dimostri che R/A è uno spazio di Hausdorff. Si dimostri che, se R/A è compatto, allora A non è compatto. Se A è illimitato, R/A è necessariamente compatto? 10) Sia D il disco chiuso di centro (0, 0) e raggio 1 in R 2, sia A D il disco chiuso di centro (0, 0) e raggio 1/2 e sia B D il disco aperto di centro (0, 0) e raggio 2/ D A B Si consideri su D la topologia τ i cui aperti sono: i sottoinsiemi di D che non tagliano A e i sottoinsiemi di D che contengono B.

5 1 Topologia generale e algebrica 3 (D, τ) è uno spazio compatto, connesso, di Hausdorff? il sottospazio D \ A con la topologia indotta da τ è uno spazio compatto, connesso, di Hausdorff? 11) Sia X = R {0, 1} lo spazio prodotto tra R con la topologia euclidea e {0, 1} con la topologia discreta. Sia la relazione che identifica (x, 0) con (x, 1) se x > 0 e sia Y lo spazio quoziente X/. Si provi che Y è localmente euclideo, ma non di Hausdorff. 12) Sia X l insieme dei numeri interi maggiori o uguali a due, e, per ogni n X sia U n = {x X x divide n}. Si provi che gli U n sono la base per una topologia τ su X. Lo spazio topologico (X, τ) è compatto? E di Hausdorff? 13) Sia X = R [0, 1] lo spazio prodotto tra R con la topologia euclidea e [0, 1] con la topologia euclidea. Si consideri su X la relazione di equivalenza così definita: (x, y) (x, y ) sse (x, y) = (x, y ) oppure y = y 0. Sia Y lo spazio quoziente X/. Si descrivano gli aperti saturi di X e si stabilisca se π([1, 2] [0, 1]) è un sottoinsieme chiuso di Y. Y con la topologia quoziente è di Hausdorff? Y \ π(0, 0) è uno spazio connesso? 14) Sia (X, τ) l intervallo [ 1, 1] con la topologia i cui aperti non banali sono i sottoinsiemi che contengono 0, sia (Y, σ) l intervallo [ 1, 1] con la topologia i cui aperti non banali sono i sottoinsiemi che NON contengono 0, e sia (X Y, τ σ) lo spazio topologico prodotto di (X, τ) e (Y, σ). Si stabilisca se X Y è compatto, connesso, di Hausdorff. Il disco chiuso centrato in (0, 0) di raggio 1/2, con la topologia indotta da quella di X Y è compatto? 15) Si forniscano esempi di spazi topologici X compatto e connesso, non di Hausdorff. Y compatto, non connesso, non di Hausdorff. Z connesso, non compatto, non di Hausdorff. T non compatto, non connesso, non di Hausdorff. 16) Sia (X, τ) uno spazio topologico, (Y, σ) la retta reale con la topologia euclidea e siano f, g : X Y applicazioni continue. Si provi che, se il sottoinsieme W = {x X f(x) = g(x)} è denso in X, allora f = g.

6 4 1 Topologia generale e algebrica 17) Sia Q = [0, 1] [0, 1] con la topologia euclidea, e sia X lo spazio quoziente di Q rispetto alla relazione di equivalenza che identifica il punto (0, y) con il punto (1, 1 y) per ogni y [0, 1]. Si determini se sono retratti e/o retratti di deformazione di X i seguenti sottospazi: A = {[0, 1] {1/2}}/. B = {{1/2} [0, 1]}/. C = {(x, y) R (x 1/2) 2 + (y 1/2) 2 = 1/16}/. 18) Si considerino il toro T R 3 ottenuto facendo ruotare la circonferenza di centro (2, 0) e raggio unitario nel piano xz attorno all asse z e la sfera S di centro nell origine e raggio tre, e sia X = T S. Si calcoli il gruppo fondamentale di X. 19) Siano S la sfera unitaria di R 3, Γ l equatore di S e A, B e C punti di S come in figura. Si stabilisca se Γ è un retratto e/o un retratto di deformazione di S\A, S\{A, B}, S\{A, C}. A A C A B 20) Si considerino il toro T R 3 ottenuto facendo ruotare la circonferenza di centro (2, 0) e raggio unitario nel piano xz attorno all asse z e la sfera S di centro nell origine e raggio unitario, e sia X = T S.

7 1 Topologia generale e algebrica 5 Si calcoli il gruppo fondamentale di X. 21) Sia X l unione di una semisfera e di due diametri dell equatore, come in figura, e sia Y il toro meno un punto. Si stabilisca se X e Y sono omeomorfi e se hanno lo stesso tipo di omotopia. 22) Sia R 2 il piano proiettivo reale e sia γ S 1 R 2 come in figura. a γ Si stabilisca se γ è un retratto e/o un retratto di deformazione di R 2. 23) Si considerino i seguenti spazi topologici: X è la lattina chiusa (vuota), Y è la lattina aperta (vuota), Z è la lattina aperta e bucata (vuota) a e se ne calcolino i gruppi fondamentali. X Y Z 24) Sul toro T si considerino due circonferenze α e β come in figura

8 6 1 Topologia generale e algebrica Q β α e sia A = α β. A è un retratto e/o un retratto di deformazione di T? A è un retratto e/o un retratto di deformazione di T \ Q? 25) Sia X lo spazio topologico ottenuto dal poligono piano effettuando le identificazioni indicate in figura: a a a Si calcoli il gruppo fondamentale di X. X è una superficie topologica? 26) Sia X il disco con due punti identificati e sia A X il bordo del disco con due punti identificati. Si stabilisca se A è un retratto e/o un retratto di deformazione di X ) Sia K la bottiglia di Klein, e a e b cammini su di essa come in figura. b a a b

9 1 Topologia generale e algebrica 7 Sia X lo spazio topologico ottenuto contraendo a un punto a e sia Y lo spazio topologico ottenuto contraendo ad un punto b. a) Si calcolino i gruppi fondamentali di X di Y. b) X e Y hanno lo stesso tipo di omotopia? Sono omeomorfi? 28) Sia R 2 il disco unitario con i punti antipodali del bordo identificati, e sia γ l immagine in R 2 di un diametro del disco. γ è un retratto e/o un retratto di deformazione di R 2? a γ 29) Sia S la sfera di centro (0, 0, 0) e raggio 1 in R 3, sia Γ = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 4 = 1/4, z = 0}, sia C = Γ [ 1, 1] e sia X = S C, con la topologia indotta da quella euclidea. Si calcoli il gruppo fondamentale di X. a

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11 2 Geometria differenziale 1) Sia f : R 3 R 3 l applicazione differenziabile definita da f(x, y, z) = (yz, xz, xy) Stabilire se è un immersione, un embedding e trovare gli eventuali punti in cui è un diffeomorfismo locale. 2) Dimostrare che l insieme S R 3 definito da è una sottovarietà di R 3. S = {(x, y, z) R 3 : x 3 + y 3 + z 3 + x 2 + yz 2 = 0} 3) Siano U = {(x, y) R 2, x > 0} e f : U R 2 : (x, y) (x cos y, x sin y). Dimostrare che f è un diffeomorfismo locale in ogni punto di U e determinare un aperto massimale V U tale che la restrizione f V sia un diffeomorfismo sull immagine. 4) Si considerino le applicazioni differenziabili così definite: F : 1 3, F ([x 0 : x 1 ]) = [x 3 0 : x 2 0x 1 : x 0 x 2 1 : x 3 1] G : 1 2, G([x 0 : x 1 ]) = [x 3 0 : x 2 0x 1 : x 3 1] e si stabilisca se sono immersioni e/o embedding. 5) Si verifichi che il sottoinsieme S di R 2 definito dall equazione è una sottovarietà di R 2. x 2 0 x x 2 2 = 0 6) rovare che l applicazione f : R 1 R 2 : (x 0 : x 1 ) ( 1 : x2 0 x 2 1 x x 2 1 : x 0 x 1 x x 2 1 ) è un applicazione differenziabile e stabilire se è un immersione. 7) Sia g l applicazione differenziabile

12 10 2 Geometria differenziale g : R 2 R 2 : (x, y) (x 2 y 2, y) a sia r la retta parallela all asse delle y passante per il punto (1, 0). rovare che g 1 (r) è una sottovarietà di R 2. 8) Si consideri la curva definita dall applicazione : R R 3 (t) = (sin t, cos(t), cosh t). Si verifichi che tale curva è fortemente regolare e se ne calcolino curvatura e torsione. 9) Si consideri la curva definita dall applicazione : R R 3 (t) = (exp(t) cos(t), exp(t) sin(t), exp(t)). Si calcoli la lunghezza della curva tra t = 0 e t = 1. Si calcolino curvatura e torsione di tale curva. 10) Si consideri la curva definita dall applicazione : R R 3 (t) = (3t, 5 cosh(t), 4t) e si calcolino curvatura e torsione di tale curva. 11) Si consideri la curva definita dall applicazione : (0, + ) R 3 (t) = Si calcolino curvatura e torsione della curva. Si trovi il piano osculatore nel punto (1). ( ) 2t, t 2, t ) Si consideri la curva definita dall applicazione : R R 3 (t) = (t a sin t, 1 cos t, t). Si determini per quale valore di a la curva è piana. Si calcolino curvatura e torsione della curva ottenuta ponendo a = 1. 13) Si consideri la curva definita dall applicazione : R R 3 (t) = (3 cosh(2t), 3 sinh(2t), 6t). Si calcoli la lunghezza della curva tra t = 0 e t = 1. Si calcolino curvatura e torsione di tale curva. 14) Si consideri la curve C h,k, dipendente dai parametri reali h e k, definita dall applicazione h,k : R R 3 h,k (t) = (t, 1 + kt 3, ht + (1 h)t 2 ).

13 2 Geometria differenziale 11 Si provi che C h,k è regolare e che, per h 1 è anche fortemente regolare. Si determinino poi gli eventuali valori per cui C 1,k è fortemente regolare. er i valori dei parametri per cui C h,k è fortemente regolare si determinino gli eventuali punti di C h,k per i quali il versore binormale è perpendicolare al vettore di coordinate (1, 1, h). 15) Si consideri la curva : I R 3, definita ponendo (t) = (t, e t, t) Si verifichi che la curva è fortemente regolare e si provi che è piana. Verificare che, presi due punti distinti della curva, le relative rette tangenti non sono mai parallele. Sia Q h la curva di equazioni ( 1 Q(t) = 2 (t 3e t ), 1 ) 2 ( 3t + he t ), t. Esistono valori di h per cui e Q hanno la stessa curvatura e la stessa torsione? 16) Si consideri la curva piana : [ π, π] R 2, definita ponendo (t) = (3 cos(t) cos(3t), 3 sin(t) sin(3t)). Si calcoli la curvatura di. Si scriva l equazione dell evoluta di. Si calcoli la lunghezza di. 17) Sia Γ l ellisse { x = a cos t y = b sin t Verificare che i centri delle circonferenze osculatrici nei vertici V 1 = (a, 0) e V 2 = (0, b) si trovano intersecando gli assi con la retta r perpendicolare al segmento V 1 V 2 passante per il punto (a, b)..

14 12 2 Geometria differenziale 18) Sia γ : ( 1, 1) R 3 una curva differenziabile C parametrizzata mediante il parametro lunghezza d arco s. a) Si consideri la superficie formata dal tubo che avvolge γ, parametrizzata da: (s, θ) = γ(s) + cos θ n(s) + sin θ b(s), dove s ( 1, 1), θ (0, 2π), n indica il versore normale e b il versore binormale lungo γ. Calcolare il versore normale della superficie e la prima forma quadratica fondamentale in funzione di θ, della curvatura e della torsione di γ. b) Dimostrare che la curva data da s = s 0 (s 0 è una costante) è una geodetica. 19) Sia : R R 3 una curva fortemente regolare con curvatura e torsione costanti e uguali a uno: κ τ 1. Si provi che è isometrica a un elica cilindrica. 20) Mostrare che la curvatura κ(s) 0 di una curva regolare : I R 3 è la curvatura della curva piana π, dove π è la proiezione ortogonale di sul piano osculatore. (Suggerimento: può essere utile considerare la forma canonica locale di ). 21) Sia : I R 3 una curva fortemente regolare. Mostrare che se = 0 allora la curva è piana. Dedurne che, se tutti i piani osculatori a una curva fortemente regolare passano per l origine, allora la curva è piana. 22) Sia : R R 3 una curva fortemente regolare parametrizzata con parametro arco tale che il rapporto κ(s) τ(s) sia costante al variare di s. Si provi che esiste un vettore fissato v tale che t(s) forma con v un angolo costante al variare di s. 23) Sia S la superficie elementare descritta dalla parametrizzazione : R 2 R 3 di equazioni (u, v) = (u, v, uv). a) Si determini la natura dei punti di S. b) Si determinino le curvature e le direzioni principali di S nel punto Q di coordinate (2, 2, 4). c) Le linee coordinate (u = cost., v = cost.) sono linee asintotiche? d) Si provi che S è una superficie rigata e si dica se è o meno sviluppabile. 24) Sia γ : R + R 3 la curva di equazioni ( γ(u) = u, 0, 1 ). u Sia S la superficie ottenuta ruotando γ intorno all asse z.

15 2 Geometria differenziale 13 a) La curvatura di Gauss di S è di segno costante? b) Si determinino le curvature e le direzioni principali di S nel punto Q di coordinate (1, 0, 1). c) Le direzioni principali in sono anche direzioni asintotiche? 25) Si consideri la superficie S di equazioni ) (u, v) = (u u3 3 + uv2, v v3 3 + vu2, u 2 v 2 e se ne calcolino la curvatura di Gauss e la curvatura media. Si verifichi inoltre che le linee coordinate sono linee di curvatura e che le curve u + v = cost., u v = cost. sono linee asintotiche. 26) Si consideri la superficie elementare : R 2 R 3 definita in questo modo: (u, v) = (u, v, u 2 + 2v 2 ). Si determini la natura dei punti di S. Si determinino le curvature e le direzioni principali di S nel punto Q = (0, 0, 0). Si determini la curvatura normale di S in Q lungo la direzione individuata dal vettore di T Q S di coordinate (1, 1). La curva su S di equazione v = 0 è una linea di curvatura? 27) Si consideri la superficie elementare : R 2 R 3 definita in questo modo: (u, v) = (2v u, v 2u, 2u 2 + 5uv 2v 2 ). Si determini la natura dei punti di S. Si determinino le direzioni asintotiche di S nel punto Q = (0, 0). Sia C la curva intersezione di S col piano x + y = 0; si determinino curvatura e torsione di C. Si dimostri che la direzione tangente a C in Q è una delle direzioni principali e si determini l altra. 28) Si consideri la superficie elementare : R 2 R 3 definita in questo modo: ) (u + v)3 (u, v) = (u,, v. 3 Si determinino i punti piatti di S. Si provi che per ogni punto non piatto di S esiste una sola direzione asintotica e la si determini. Sia C la curva su S di equazione v = 0. er ogni suo punto non piatto Q = Q(u) si determini il coseno dell angolo tra la direzione tangente a C in Q e la direzione asintotica in Q. C è una linea di curvatura?

16 14 2 Geometria differenziale 29) Si determini la natura dei punti della superficie : R 2 R 3 definita in questo modo: ) (u, v) = (u u3 3 + uv2, v v3 3 + vu2, u 2 v 2 e si provi che tale superficie è minimale. 30) Si consideri la superficie elementare : ( π, π) (0, 2) R 3 definita in questo modo: (u, v) = (sin u + v cos u, u + v, cos u v sin u). Si determini la natura dei punti di. Si provi che per ogni punto di S esiste una sola direzione asintotica e la si determini. Si provi che è una superficie rigata e si stabilisca se è sviluppabile. 31) Si consideri la seguente superficie: : (0, 2π) R R 3 (u, v) = (cos(u) sinh(v), sin(u) sinh(v), cosh(v)) Si stabilisca la natura dei punti di S. Si determini l angolo tra le curve u = π e v = 1 nel loro punto di intersezione. 32) Si consideri la seguente superficie: : R 2 R 3 (u, v) = (u 13 ) u3 + uv 2, v u 2 v + v3 3, u2 v 2 Si calcoli l area della porzione di superficie ([0, 1] [0, 1]). Si stabilisca la natura dei punti di S. Si determinino le curvature principali nel punto (0, 0, 0). 33) Si consideri la seguente superficie: : ( 1, 1) ( π, π) R 3 (u, v) = ((2 u 2 ) cos v, (2 u 2 ) sin v, u). Si stabilisca se la superficie è rigata e, in caso affermativo, se è sviluppabile. 34) Si consideri la seguente superficie: : R 2 R 3 (u, v) = ( 4uv + 2u, 5uv + u + 2v, uv + u + 2v) e la curva Γ di equazione u = v. Si provi che Γ è una curva piana passante per il punto Q = (0, 0, 0) e si determini il piano π cui appartiene. Si determini il piano tangente a S in Q. Si determinino le direzioni asintotiche in Q.

17 35) Si consideri la seguente superficie: : (0, 2π) (0, + ) R 3 (u, v) = (cos u v sin u, sin u + v cos u, u + v) 2 Geometria differenziale 15 Si stabilisca la natura dei punti di S. Si trovino curvature principali, curvatura di Gauss e direzioni asintotiche (se esistono) nel punto (1, 1) 36) Si consideri la seguente superficie: : R 2 R 3 (u, v) = (u sin v + cos v, u cos v sin v, v) Si calcoli la curvatura di Gauss di Si trovino curvature principali, direzioni principali e direzioni asintotiche (se esistono) nel punto (1, 1) 37) Sia Γ : [ 1, 1] R 3 la curva di equazioni γ(u) = (cosh u, 0, u); si calcoli l area della superficie ottenuta ruotando tale curva intorno alla retta x = y = 0. 38) Si consideri la seguente parametrizzazione di un toro: : (0, 2π) ( π, π) R 3 (u, v) = ((2 + cos u) cos v, (2 + cos u) sin v, sin u) e la curva Γ ottenuta intersecando la superficie con il piano di equazione x = 2. Si determinino curvatura e torsione di Γ nel punto (2, 0, 1) Si stabilisca se Γ è asintotica e se è una geodetica. 39) Sia S R 3 una superficie differenziabile, e sia γ S una curve su S. Si provi che, se γ è una linea asintotica e una geodetica, allora γ è una linea retta. 40) Sapendo che una condizione necessaria e sufficiente per una curva γ su una superficie S per essere una linea di curvatura di S è che Ṅ(t) sia parallelo a γ(t) mostrare che a) Se γ è sia una linea di curvatura che una geodetica, allora γ è piana. b) Se una geodetica γ (diversa da una linea retta) è una curva piana, allora è una linea di curvatura. c) Fornire un esempio di una linea di curvatura che è una curva piana e non è una geodetica. 41) Mostrare che, su una superficie rigata (u, v) = Q(u) + vl(u) le generatrici (γ(v) = Q(u 0 ) + vl(u 0 )) sono linee asintotiche. 42) Si dimostri che su una superficie rigata non esistono punti a curvatura positiva, senza usare la seconda forma fondamentale. 43) Sia : Ω R 2 R 3 una superficie elementare e 0 = (u 0, v 0 ) un suo punto. Si provi che H 2 (u 0, v 0 ) K(u 0, v 0 ) e che vale l uguale sse il punto è umbilico.

18 16 2 Geometria differenziale 44) Sia S R 3 una superficie compatta omeomorfa alla sfera, tale che in ogni punto la sua curvatura di Gauss è maggiore di una costante K 0. Qual è la massima area che può avere S? 45) Sulla sfera di raggio 2 si calcoli l area della regione delimitata dall equatore e da due meridiani che formano tra loro un angolo di π/4, come in figura π/ ) Sul semipiano iperbolico si calcoli l area della regione delimitata dalla semicirconferenza di centro (0, 0) e raggio 2 e dalle semicirconferenze di centri ( 1, 0) e (1, 0) e raggio uno ) Sia S una superficie compatta orientabile R 3 con curvatura di Gauss sempre positiva. Si provi che S è omeomorfa alla sfera S 2. Sia S una superficie R 3 con curvatura di Gauss sempre negativa; si provi che su S non possono esistere due geodetiche che sono il bordo di una regione semplice D come in figura γ 1 π/ D γ2 π/2