SUPERFICI DI RIEMANN (settima parte) anno acc. 2008/2009

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1 (settima parte) anno acc. 2008/2009

2 Divisori molto ampi Sia X una superficie di Riemann compatta, D Div(X) un divisore su X e Φ D l applicazione associata. Si dice che D è molto ampio se Φ = Φ D è un immersione chiusa (embedding). Si noti che la condizione di molto ampiezza non dipende dalla base di L(D) scelta per definire Φ. TEOREMA (condizione sufficiente per la molto ampiezza) - Se p, q X (eventualmente anche p = q) si ha l(d p q) = l(d) 2, allora D è molto ampio.

3 dimostrazione - Sia D = n x x con le ipotesi del teorema. Occorre dimostrare che 1) Φ è immersiva in ogni punto 2) Φ è iniettiva Mostriamo anzitutto la 1). Fissiamo un punto p X e, per mostrare che Φ è immersiva in p, consideriamo le inclusioni tra i seguenti spazi di Riemann Roch ( ) L(D 2p) L(D p) L(D). Per ipotesi sappiamo che l(d 2p) = l(d) 2, inoltre, nella dimostrazione del primo teorema di finitezza, abbiamo visto che, per ogni divisore D e per ogni punto q X, si ha l(d q) = l(d) oppure l(d q) = l(d) 1. Di conseguenza le due inclusioni nella ( ) sono strette. Poniamo N = l(d) 1. Possiamo costruire una base f 0,..., f N di L(D), prendendo una base f 2,..., f N di L(D 2p) insieme a f 1 L(D p) \ L(D 2p) e a f 0 L(D) \ L(D p).

4 In una carta locale centrata in p si ha f j = 1 z np 2 (a j0 + a j1 z +... ), j = 2,..., N; f 1 = 1 z np 1 (b 0 + b 1 z +... ); f 0 = 1 z np (c 0 + c 1 z +... ); con b 0, c 0 0. Ricordando come è stata definita Φ, in un intorno di p si ha allora Φ(x) = (z 0 : : z N ) = (z np f 0 : : z np f N ) = ((c 0 + c 1 z +... ) : z(b 0 + b 1 z +... ) : z 2 (... ) : : z 2 (... )). Un espressione affine di Φ nella carta z 0 0 è allora x (z(d ), z 2 (... ),..., z 2 (... ), con d 0 0, che ha in p gradiente (1, 0,..., 0) non nullo.

5 Mostriamo ora la 2). Fissiamo due punti distinti p, q X e consideriamo le inclusioni tra i seguenti spazi di Riemann Roch e ( ) L(D p q) L(D p) L(D), ( ) L(D p q) L(D q) L(D). Con ragionamento analogo a quello visto in precedenza, si ricava che tutte le inclusioni riportate in ( ) e in ( ) sono strette. Inoltre nelle nostre ipotesi non può essere L(D p) = L(D q), altrimenti si avrebbe L(D p) = L(D q) = L(D p q). Poniamo anche in questo caso N = l(d) 1. Si può prendere una base f 0,..., f N di L(D), fissando una base f 2,..., f N di L(D p q) insieme a f 1 L(D p) \ L(D q) e a f 0 L(D q) \ L(D p).

6 In una carta locale z centrata in p si ha f j = 1 z np 1 (a j0 + a j1 z +... ), j = 2,..., N; f 1 = 1 z np 1 (b 0 + b 1 z +... ), f 0 = 1 z np (c 0 + c 1 z +... ), con c 0 0. In una carta locale w centrata in q si ha f j = 1 w nq 1 (ã j0 + ã j1 w +... ), j = 2,..., N; f 1 = 1 w nq ( b 0 + b 1 w +... ); f 0 = con b w nq 1 ( c 0 + c 1 z +... );

7 Ricordando che, in un intorno di p, si ha Φ(x) = (z np f 0 : : z np f N ), risulta allora Φ(p) = (c 0 : 0 : : 0) = (1 : 0 : : 0). Vicino a q invece Φ(x) = (w nq f 0 : : w nq f N ), per cui Φ(q) = (0 : b 0 : 0 : : 0) = (0 : 1 : 0 : : 0). Quindi Φ(p) Φ(q). COROLLARIO - Sia X una superficie di Riemann compatta di genere g. Se D Div(X) è un divisore tale che deg(d) 2g + 1 allora D è molto ampio. dimostrazione - Siano p, q X. Si ha deg(d p q) = deg(d) 2 2g 1, quindi sia D che D p q sono non speciali. Allora, per il teorema di Riemann Roch si ha l(d) = deg(d) + 1 g, e l(d p q) = deg(d p q) + 1 g, da cui l(d p q) = l(d) 2.

8 ESEMPIO 1. Sia g = 0, p X e D = 1p Allora deg(d) 2g + 1, quindi D è molto ampio. Si ha l(d) = deg(d) + 1 g = 2, per cui Φ : X (P) 1 è un embedding (e Φ è suriettiva, poichè diversamente sarebbe costante), ovvero Φ è un biolomorfismo. ESEMPIO 2. Sia g = 1, p X e D = 3p Allora deg(d) 2g + 1, quindi D è molto ampio. Si ha l(d) = deg(d) + 1 g = 3, per cui Φ : X P 2 è un embedding. Vogliamo descrivere Φ(X). Per farlo, consideriamo gli spazi di Riemann Roch dei divisori unipuntuali np, con n = 0, 1, Si ha L(0p) C, spazio vettoriale generato, su C, dalla funzione costante 1. Anche nel caso di 1p, si ha L(1p) C, spazio vettoriale generato, su C, dalla funzione costante 1. Infatti sappiamo che diversamente sarebbe g(x) = 0.

9 Per quanto riguarda L(2p) osserviamo che il divisore 2p è non speciale (deg(2p) = 2 2g 1 = 1) e pertanto l(2p) = deg(2p) + 1 g = 2. Allora L(2p) C C generato da 1 e da una funzione meromorfa f con solo un polo di ordine (esattamente) 2 in p. Analogamente si calcolano l(3p), l(4p).... Lo spazio vettoriale L(3p) ha dimensione 3 ed è essere generato da 1, f e da una funzione meromorfa g con solo un polo di ordine (esattamente) 3 in p. Lo spazio vettoriale L(4p) ha dimensione 4 e può essere generato da 1, f, g ed f 2 (che ha un polo di ordine 4 in p.) Lo spazio vettoriale L(5p) ha dimensione 5 e può essere generato da 1, f, g, f 2, e fg (che ha un polo di ordine 5 in p.) Lo spazio vettoriale L(6p) ha dimensione 6. Ad esso appartengono 1, f, g, f 2, fg, f 3 e g 2 (hanno tutte al più un polo di ordine 6 in p).

10 Pertanto queste 7 funzioni meromorfe non possono essere linearmente indipendenti. Deve cioè sussistere una relazione di dipendenza lineare a 0 + a 1 f + a 2 g + a 3 f 2 + a 4 fg + a 5 f 3 + a 6 g 2 = 0, con (a 0,..., a 6 ) (0,..., 0). Più precisamente sappiamo che sia a 5 che a 6 sono diversi da 0, poichè diversamente f 3 o g 2 sarebbero combinazione lineare di funzioni con un polo al più di ordine 5 in p. Consideriamo allora l applicazione associata al divisore D = 3p, definita utilizzando la base {1, f, g}. Φ : X P 2, x (1 : z : w) = (1 : f (x) : g(x)). I punti di Φ(X) hanno coordinate legate dalla relazione ( ) a 0 + a 1 z + a 2 w + a 3 z 2 + a 4 zw + a 5 z 3 + a 6 w 2 = 0. Pertanto Φ(X) è una cubica piana (non può essere una retta o una conica contenuta nella cubica di equazione ( ) perchè è g = 1.). Ogni superficie di Riemann di genere 1 ha un modello proiettivo che è una cubica piana (che, con un cambiamento del sistema di riferimento può essere posta nella forma di Weierstrass w 2 = P 3 (z)).

11 Divisori effettivi e applicazioni associate Sia D un divisore su una superficie di Riemann X. OSSERVAZIONE - Se L(D) {0}, D 0 linearmente equivalente a D. dimostrazione - Sia f L(D) \ {0}, cioè tale che (f ) + D 0. Posto D = (f ) + D, risulta D D = (f ), principale. OSSERVAZIONE - Abbiamo visto che, se D e D sono linermente equivalenti allora gli spazi di Riemann Roch L(D) ed L(D ) sono isomorfi, e l isomorfismo è dato dalla moltiplicazione per una funzione meromorfa g. In tale isomorfismo una base {f 0,..., f N } di L(D) corrisponde a una base {gf 0,..., gf N } di L(D ) e quindi Φ D = Φ D. Pertanto per studiare le applicazioni associate ai divisori, ci si può limitare a considerare divisori effettivi.

12 TEOREMA - Sia D = i=1,...,k n i p i n i > 0, i = 1,..., k un divisore effettivo su una superficie di Riemann X e si supponga che x X si abbia l(d x) = l(d) 1. Allora esiste almeno una funzione meromorfa f L(D) tale che i = 1,..., k si abbia ν pi (f ) = n i. In altri termini, esiste una funzione meromorfa che ha esattamente i poli assegnati dal divisore D. Tale funzione avrà quindi n i = deg(d) poli e deg(d) zeri. dimostrazione - Anzitutto mostriamo che i = 1,..., k, f i L(D) tale che ν pi (f i ) = n i. Infatti se così non fosse, esisterebbe un j {1,..., k}, tale che, g L(D), ν pj (g) > n j. Ma in tal caso si avrebbe L(D) = L(D p j ). Siano allora f i, con i = 1,..., k, funzioni di L(D) con poli di ordine n i in p i.

13 La generica combinazione lineare α 1 f 1 + α 2 f α k f k, ha un polo di ordine n 1 in p 1, un polo di ordine n 2 in p 2,... un polo di ordine n k in p k. OSSERVAZIONE - Dalla dimostrazione si deduce che, nelle ipotesi del teorema, la generica funzione di L(D) ha esattamente deg(d) zeri e deg(d) poli.

14 Modelli proiettivi di superfici di Riemann compatte TEOREMA - Sia D un divisore effettivo su una superficie di Riemann X, e si supponga che p, q X si abbia l(d p q) = l(d) 2. Si consideri l applicazione Φ : X P N, associata a D, con N = l(d) 1. Si ha i) Φ(X) è una curva algebrica ii) Φ(X) non è iperpiana ii) Φ(X) ha grado deg(d). dimostrazione i) - Per ipotesi D è molto ampio, quindi Φ è un embedding. Allora Φ(X) è una sottovarietà liscia di P N e quindi, per il lemma di Chow, una curva algebrica. ii) - Φ(X) non è iperpiana. Infatti, indicate con f 0,..., f N le funzioni di L(D) tramite cui si definisce Φ, se esistesse un iperpiano di equazione ai z i = 0 contenente Φ(X), si avrebbe anche a i f i = 0, e ciò non è possibile in quanto f 0,..., f N costituiscono una base di L(D).

15 iii) - Il grado di Φ(X) è il numero di intersezioni che Φ(X) ha con il generico iperpiano a i z i = 0 di P N, ovvero il numero degli zeri della funzione meromorfa a i f i. L ipotesi l(d p q) = l(d) 2 implica in particolare che, x X si abbia l(d x) = l(d) 1. Pertanto siamo nelle condizioni di applicare il teorema precedente, ed ottenere deg(φ(x)) = deg(d). COROLLARIO - Ogni superficie di Riemann compatta ha un modello proiettivo.

16 Modelli proiettivi di superfici di Riemann compatte in P 3 Siano P ed H rispettivamente un punto e un iperpiano di P N, con P / H. La proiezione da P su H è l applicazione pr P,H : P N \ {P} H che associa ad un punto Q il punto di intersezione della retta < P, Q > con H. Ad esempio, se P (0 : 1 : 0 : : 0) e H ha equazione x 1 = 0, si ha pr P,H (x 0 : x 1 : : x N ) = (x 0 : 0 : x 2 : : x N ), ovvero, in coordinate affini y i = x i /x 0, pr P,H (y 1, y 2,..., y N ) = (0, y 2,..., y N ) (y 2,..., y N ). Sia C P N un modello di superficie di Riemann compatta. Siano poi P ed H come sopra, con P / H. L applicazione pr : C H ottenuta retringendo a C la proiezione pr P,H è olomorfa. Ci chiediamo quando pr sia un embedding.

17 OSSERVAZIONE 1. - Siano A, B C. Si ha pr(a) = pr(b) se e solo se la retta < A, B > passa per P. Pertanto pr non è iniettiva se e solo se esiste una corda (secante) di C passante per P. OSSERVAZIONE 2. - Siano A C. Lo spazio tangente a C in A viene mandato nel vettore nullo se e solo se la retta tangente a C in A passa per P. Pertanto pr non è immersiva se e solo se esiste una retta tangente a C passante per P.

18 TEOREMA - Sia C P N un modello di superficie di Riemann compatta. Se N 4, allora esistono in P N un punto P e un iperpiano H (con P / H C) tali che la proiezione di C da P su H sia un embedding. cenno di dimostrazione - Si tratta di dimostrare che P P N che non appartiene a nessuna corda e a nessuna tangente di C. Si deve cioè provare che le rette secanti o tangenti non riempiono P N. Consideriamo l insieme I C C P N, definito da I = {(A, B, Q) A, B C, A B, Q < A, B >}. La chiusura I = I di I nella topologia usuale (complessa) di C C P N, viene detta varietà di incidenza ed è dotata di un applicazione π : I P N data dalla restrizione a I della proiezione sul terzo fattore del prodotto. I contiene anche terne del tipo (A, A, Q) che sono limite di succesioni {(A, B n, Q)}, con B n A (ovvero con Q sulla retta tangente a C in A).

19 L immagine π(i) = Sec(C) viene detta varietà delle secanti di C, e contiene le corde e le tangenti di C. Si dimostra che Sec(C) è una sottovarietà algebrica di P N, di dimensione 3 (i parametri da cui dipende il generico punto di Sec(C) sono 3 : uno per A C, uno per B C ed uno per Q < A, B >). Ne segue che, se N 4, allora Sec(C) P N. COROLLARIO - Ogni superficie di Riemann compatta ammette un modello proiettivo in P 3. dimostrazione - Abbiamo visto che X ha un modello in P N. Se N 4, si può proiettare C in P N 1, e così via, fino a che non si ottiene un modello in P 3. OSSERVAZIONE - In generale non sarà invece possibile ottenere un modello in P 2 poichè, per la formula di Clebsch, non tutti i valori di g sono ammissibili per una curva piana.