I modelli matematici. Il rapporto tra la realtà concreta e la realtà astratta. 2 incontro

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1 I modelli matematici Il rapporto tra la realtà concreta e la realtà astratta 2 incontro

2 Il passaggio cruciale Scienza antica Descrizioni qualitative concrete, enpiriche espresse con discorsi, motivazioni finalistiche Esempio un sasso tende sempre alla terra, le bolle d'aria che si liberano nell'acqua tendono a ricongiungersi all'aria. Ogni elemento tende al suo ambiente naturale. Scienza moderna Descrizioni quantitative astratte espresse con simboli matematici, motivazioni causali Esempi s = s 0 + vt F = ma Il percorso intellettuale della scienza moderna è paradossale: per avvicinarsi di più alla realtà, alla natura, deve farsi più astratta!

3 I protagonisti principali del cambiamento Tycho Brahe, astronomo danese Galileo Galilei, fisico italiano Isaac Newton, fisico e matematico inglese Jahannes Kepler, matematico tedesco Rene Descartes, filosofo francese. Gottfried Wilhelm von Leibniz Matematico e filosofo tedesco

4 Il passaggio cruciale nell astronomia Nel 1500 il «modello» del sistema solare era ancora quello aristotelico, diviso in regno terreste (sotto il concavo lunare) e regno celeste (oltre il concavo lunare). Il regno terrestre era il luogo della mutabilità mentre il regno celeste era il luogo dell eterna immutabilità. I pianeti conosciuti erano 5: Mercurio, Venere, Marte, Giove e Saturno. Ognuno si muoveva, insieme al sole, su orbite circolari, concentriche alla Terra, che era sospesa al centro dell universo. Tutto l universo era racchiuso da un ultima sfera, maggiore: quella delle stelle fisse, che a sua volta riceveva il moto dal PRIMO MOBILE.

5 Tycho Brahe Nacque nel dicembre del 1546 in un paesino della Danimarca. Nel 1563 osservò la congiunzione di Giove con Saturno e notò che la predizione di questo evento sulle Tavole Tolemaiche (dell Almagesto) era sbagliata di 1 mese (!!). Nel 1572 comparve in cielo una nuova stella Nel 1577, comparve nel cielo europeo una cometa luminosissima. Tycho la osservò, ne misurò l altezza e fu certo che doveva appartenere al Regno Celeste.

6 La decisione di Tycho «Tacciano tutti i filosofi, moderni e antichi, tacciano i teologi, interpreti dei misteri divini!» esclamò. Non sono tipo da sedermi comodamente accanto al fuoco e imparare l astronomia dalle carte! Pubblicò 200 pagine di osservazioni e misurazioni sulla cometa, ma soprattutto capì che ormai era tempo di riformare sia la strumentazione, sia le tecniche di osservazione del cielo.

7 L isola di Hven Solo un anno dopo, Tycho ottenne dal re di Danimarca, Federico II, la signoria dell isola di Hven, nello stretto braccio di mare tra la Svezia e Danimarca. Svezia Danimarca E sull isola di Hven, Ideò e costruì il primo osservatorio fisso della storia; erano gli ultimi decenni del 1500

8 L eredità di Tycho Esito delle osservazioni di Tycho Brahe, che durarono fino al 1597 (quasi 20 anni) furono decine e decine di volumi contenenti rilevazioni accuratissime (con l approssimazione di 2 ) sulle posizioni di pianeti e stelle. Fu l eredita che Tycho lasciò alla storia E che raccolse un suo giovane (28 anni) assistente tedesco: Giovanni Keplero

9 Il modello di Keplero

10 N.B. Geometria e algebra: 2 livelli di astrazione 3 Modello algebrico 2 Modello geometrico 1 osservazione del cielo

11 Verso il concetto di modello (Letture pg. 4-8) Nel testo di Galileo (Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo pubblicato nel 1632) Salviati (Galileo) sostiene che quando il filosofo geometra vuol riconoscere in concreto gli effetti dimostrati in astratto bisogna che difalchi gli impedimenti della materia. In questa operazione di «difalcare gli impedimenti» consiste il primo nucleo dell idea di modello matematico. Dietro un piano materiale inclinato su cui rotola una sfera materiale imperfetta si può vedere il modello matematico del piano inclinato, senza attrito (perfettamente liscio) su cui rotola una sferetta materiale (perfetta).

12 Newton: la seconda legge della dinamica F F = ma = m dv = m d2 s dt dt 2 Per la prima volta un problema fondamentale della meccanica (il legame tra forza e movimento di un corpo) si traduce in un problema matematico; ovvero la matematica (nella forma di una equazione - differenziale) diviene modello di un problema pratico.

13 Newton: unificazione del il regno celeste e il regno terrestre Newton riunificò la fisica celeste e quella terrestre con la legge di gravitazione universale

14 Newton e Leibnitz Newton e Leibnitz scrissero il calcolo differenziale, per trattare matematicamente i problemi dell infinitamente piccolo e dell infinitamente grande.

15 Una nuova fisica una nuova matematica (Lettura pg. 8) «Abbiamo a che fare qui [nella fisica di Newton] con un moto che non ha rapporto col tempo o, cosa ancor più strana, con un moto che si svolge in un tempo intemporale, nozione altrettanto paradossale di quella di un cambiamento senza cambiamento. E tuttavia è soltanto facendo procedere in un tempo intemporale un cambiamento che non cambia, che noi possiamo trattare di fatto oltre che intellettualmente delle realtà come la velocità, l accelerazione o la direzione di un mobile in un punto qualunque della sua traiettoria o, viceversa, a un istante qualsiasi del moto che descrive questa traiettoria.» Con Newton il sogno di sostituire alla fisica qualitativa aristotelica una fisica quantitativa si avvera concretamente, anche attraverso la creazione di una matematica appropriata. Da descrizioni qualitative e cause finali dei fenomeni si passa a descrizioni quantitative, con nuovi concetti e metodi matematici (lim-equazioni differenziali) e cause (semplici).

16 Determinismo e meccanicismo Nella legge/modello f = ma si afferma che la conoscenza dello stato meccanico presente di un punto materiale, cioè della sua posizione e della sua velocità e delle forze che agiscono su di esso, determina in modo unico tutti i suoi stati futuri. Ovvero il suo moto è governato, determinato, da un inflessibile necessità. E questo il principio alla base della meccanica classica.

17 Determinismo e meccanicismo L idea che i fenomeni meccanici fossero retti da un principio deterministico e cioè non dal caso ma da una legge di rigorosa causalità (per cui ogni effetto si deve a una causa determinata) era un idea, un principio generale suggerito e confermato dall esperienza.

18 Determinismo e meccanicismo (Lettura pg. 9) «La regolarità che l Astronomia ci mostra nel moto delle comete, ha luogo, senza dubbio, in tutti i fenomeni. La curva descritta da una semplice molecola d aria o di vapori, è determinata in modo altrettanto certo delle orbite planetarie: non vi è altra differenza tra esse che quella dovuta alla nostra ignoranza.» (Laplace, 1825) E proprio così? E così per tutti i fenomeni della meccanica? E per gli altri? 3