Fisica 2 per biotecnologie: Prova in itinere 8 Aprile 2013

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1 Fisica per biotecnologie: Prova in itinere 8 Aprile 03 Scrivere immediatamente, ED IN EVIDENZA, sui due fogli protocollo consegnati ed eventuali altri fogli richiesti) la seguente tabella: NOME :... Numero lettere del nome NN =... COGNOME :... Numero lettere del Cognome NC =... NUMEO DI MATICOLA :... = NM [esempio: Mario NN = 5) Careri NC = 6) matricola 345 NM = 345) ] per superare la prova è necessario accumulare almeno 8 punti tempo a disposizione ore circa, da precisare dopo la presentazione del testo) nb: prima di sostituirvi i valori numerici, scrivere coerentemente con il testo del problema) le formule utilizzate e giustificarle brevemente. Laddove necessario o richiesto, illustrare con semplici figure il procedimento usato. NON si devono usare LIBI O APPUNTI. Tenere a disposizione sul banco un documento di identità..) Calcolare il lavoro necessario per trasportare due cariche praticamente puntiformi) di valore Q = NN 0 6 Coulomb e Q = NC 0 6 Coulomb, in due punti r = x, y, z ) e r = x, y, z ) nei seguenti casi specifici: distanze in centimetri) i) x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ; x = ; y = 0 ; z = 0. ii) x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ; x = 0 ; y = ; z = 0. iii) x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ; x = ; y = ; z =. Si ricorda che il potenziale V r) generato da una carica puntiforme q posta all origine delle coordinate, vale V r) = k e q/r dove r = r ). punti 5).) Un circuito è formato da una batteria che eroga una ddp = NC Volt, una resistenza con in serie una capacità C = NC nf. I due elementi sono in serie a due resistenze e 3 ) poste in parallelo tra loro vedi figura alla lavagna). Sia: = = 3 = NN 0 6 Ohm. icordando che durante la carica di un condensatore C attraverso un unica resistenza, la tensione ai capi del condensatore segue la legge: V C t) = e t/τ ) dove τ = C e è la ddp erogata dalla batteria, trovare nel caso del circuito di figura: ) il valore di τ ora che sono presenti tre resistenze; punti ) ) il valore della tensione V C t) ai capi del condensatore dopo tempi t = τ, t = 3τ, t 3 = 5τ dalla chiusura del circuito; punti 3)

2 3) la tensione V t)) ai capi della resistenza e V 3 t)) ai capi della resistenza 3, in funzione del tempo; punti 3) 4) il valore, in funzione del tempo, del campo elettrico Et) che si instaura all interno del condensatore se le sue armature piane sono separate da una distanza d = 0. mm; in particolare trovare il valore finale asintotico) E 0 del campo elettrico presente tra le armature; fare una figura di Et) facendo attenzione alle unità di misura; punti 4) 5) una volta che il condensatore è carico completamente, un elettrone lo attraversa spinto dal campo elettrico asintotico presente. Quanto il lavoro fatto dalle forze elettriche in Joule ed in ev) nel passare da un armatura all altra? punti 4) 3.) Se si sostituisce la batteria dell esercizio precedente con un generatore di tensione alternata di tipo V t) = cosωt) con = NC Volt) si verifica sperimentalmente che la corrente che circola nel circuito segue la legge it) = i 0 cosωt + φ), dove i 0 = eq + /ω C ) tan φ = + ω eq C ; dove eq è la resistenza equivalente del circuito e la frequenza è fissata a f = NM Hz. Che dimensioni ha il prodotto ω C? Quanto vale? Quanto vale eq? Quanto i 0? Quanto φ? Dopo quanto tempo minimo) dall istante t = 0 la tensione V t) riacquista il valore?punti 5) In queste condizioni quanto risulta il valore massimo V della tensione ai capi della resistenza? Quale il rapporto V /? Commentare il risultato... punti 4). bonus) Scrivere un espressione per la differenza di potenziale V C t) ai capi del condensatore in funzione del tempo. sarà un espressione complicata, ma fatta da tutti e soli contributi noti quindi calcolabile per ogni valore del tempo t...) punti 6). 4.) In una certa zona dello spazio è presente un campo magnetico B = B x, B y, B z ) = 0, 0, B 0 = Tesla). Un elettrone che ha velocità v 0 = v x, v y, v z ) = NN 0 5 m/sec, 0, 0) entra nella zona di campo magnetico. Quanto varrà la forza in Newton) esercitata su di esso dal campo magnetico? In che direzione e verso sarà diretta sapendo che vale la relazione: F B = q v q B? punti 3) Se si pensa che questa forza sia piccola, si provi a casa...) a calcolare il raggio dell orbita circolare che essa impone all elettrone, risulterà un orbita di raggio = cm!!!) Valori utili: - valore della carica elementare q e = Coulomb; - 4πɛ 0 = k e.998) 0 9 Newton m / Coulomb ;

3 Fisica per biotecnologie Prova in itinere: 8 Aprile 03 Soluzione Testo unico [soluzioni numeriche per i valori dell esempio: Mario NN = 5) Careri NC = 6) matricola 345 NM = 345) ].) Calcolare il lavoro necessario per trasportare due cariche praticamente puntiformi) di valore Q = NN 0 6 Coulomb e Q = NC 0 6 Coulomb, in due punti r = x, y, z ) e r = x, y, z ) nei seguenti casi specifici: distanze in centimetri) i) x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ; x = ; y = 0 ; z = 0. Il lavoro fatto per portare in r la carica Q quando sia presente la carica Q in r è dato dal valore del potenziale elettrico in r dovuto alla carica Q, moltiplicato per Q, quindi dato che la carica Q è collocata nell origine delle coordinate) Q L = Q V r ) = Q k e r = k Q Q e r dove d, è la distanza tra la carica Q e la carica Q. isultato: = k e Q Q d Q Q L = k e.998) 9 Newton m NN NC 0 Coulomb 0 d Coulomb 0 m =.998) NN NC 0 Joule = 6.96 Joule. ii) x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ; x = 0 ; y = ; z = 0. = Q Q L = k e.998) 9 Newton m NN NC 0 Coulomb 0 d Coulomb 0 m =.998) NN NC 0 Joule = 6.96 Joule. la distanza d, è la stessa del punto i); iii) x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ; x = ; y = ; z =. = Q Q L = k e.998) 9 Newton m NN NC 0 Coulomb 0 d Coulomb 3 0 m =.998) 3 NN NC 0 Joule 5.57 Joule. dato che la distanza d ora vale + + = 3. 3 =

4 .) Un circuito è formato da una batteria che eroga una ddp = NC Volt, una resistenza con in serie una capacità C = NC nf. I due elementi sono in serie a due resistenze e 3 ) poste in parallelo tra loro vedi figura alla lavagna). sia: = = 3 = NN 0 6 Ohm. icordando che durante la carica di un condensatore C attraverso un unica resistenza, la tensione ai capi del condensatore segue la legge: V C t) = e t/τ ) dove τ = C e è la ddp erogata dalla batteria, trovare nel caso del circuito di figura: ) il valore di τ ora che sono presenti tre resistenze; Il circuito può essere ridotto ad un circuito equivalente con una sola resistenza equivalente eq ed una capacità in serie. La resistenza equivalente sarà la resistenza equivalente 3 delle due resistenze in parallelo, ed 3, e della resistenza in serie alle precedenti, ; dunque eq = + 3 = =.5 NN 0 6 = 7.5 M Ohm. Quindi τ = eq C = sec. ) il valore della tensione V C t) ai capi del condensatore dopo tempi t = τ, t = 3τ, t 3 = 5τ dalla chiusura del circuito; V C t = τ = sec) = e τ/τ ) = e ) = 7.59 V olt V C t = 3τ = sec) = e 3τ/τ ) = e 3 ) =.40 V olt V C t = 5τ = 0.05 sec) = e 5τ/τ ) = e 5 ) =.9 V olt ; 3) la tensione V t)) ai capi della resistenza e V 3 t)) ai capi della resistenza 3, in funzione del tempo; Le due resistenze sono in parallelo, quindi V t) = V 3 t), inoltre 3 = 3 + 3, ed in 3 circola la corrente it) che circola in ed in C, it) = eq e t/τ = e t/τ Ampere, quindi V t) = V 3 t) = 3 it) = 3 eq e t/τ = 4 e t/τ V olt. 4) il valore, in funzione del tempo, del campo elettrico Et) che si instaura all interno del condensatore se le sue armature piane sono separate da una distanza d = 0. mm; in particolare trovare E 0 il valore finale asintotico) del campo elettrico presente tra le armature; fare una figura di Et) facendo attenzione alle unità di misura; 4

5 Il campo elettrico è determinato dalla differenza di potenziale ai capi del condensatore e dalla distanza d delle armature: Et) = V Ct) d = d e t/τ ) =. 0 4 Volt/metri, quindi il valore asintotico massimo) del campo elettrico vale Et τ) = V Ct τ) d = d = E 0 =. 0 4 Volt/metri. 5) una volta che il condensatore è carico completamente, un elettrone lo attraversa spinto dal campo elettrico asintotico presente. Quanto il lavoro fatto dalle forze elettriche in Joule ed in ev) nel passare da un armatura all altra? Il lavoro sull elettrone in valore assoluto) è pari a L e = F E d = q e E 0 d = q e Joule = ev. 3.) Se si sostituisce la batteria dell esercizio precedente con un generatore di tensione alternata di tipo V t) = cosω t) = cosπf t) con = NC Volt) si verifica sperimentalmente che la corrente che circola nel circuito segue la legge it) = i 0 cosωt+ φ), dove i 0 = eq + /ω C ) tan φ = + ω eq C ; dove eq è la resistenza equivalente del circuito e la frequenza è fissata a f = NM Hz. Che dimensioni ha il prodotto ω C? Quanto vale? La capacità C = Q/V, si misura in Farad, ovvero F arad = Coulomb V olt = Ampere sec = V olt sec Ohm, ed è la ragione per cui il prodotto eq C è esprimibile in secondi! Inoltre il prodotto ωc presente nell espressione per la tangente della fase φ risulterà così adimensionale. ωc = πf C = πnm sec NC 0 9 F arad Ohm. ovvero Quanto vale eq? ωc.5 03 Ohm. 5

6 eq = + 3 = =.5 NN 0 6 = 7.5 M Ohm, vedi esercizio ). Quanto i 0? Quanto φ? i 0 = eq + /ω C ) Ampere, φ = arctan ω eq C radianti. Dopo quanto tempo minimo) dall istante t = 0 la tensione V t) riacquista il valore? Evidentemente dopo un intero periodo di oscillazione della tensione V t), ovvero T = f sec. In queste condizioni quanto vale il valore massimo della tensione ai capi della resistenza, V? Quale il rapporto V /? Commentare il risultato... V = eq i 0.0 V olt. V!!! Lo strano risultato dipende dal fatto che con questi valori di capacità e resistenza siamo molto sopra il valore di taglio della frequenza di taglio del filtro passa-alto eq, C data dalla condizione ω eq C =, ovvero f taglio = π eq C 3.54 Hz!! e tutta l ampiezza in ingresso è riportata in uscita sulla resistenza. bonus) Scrivere un espressione per la differenza di potenziale V C t) ai capi del condensatore in funzione del tempo. sarà un espressione complicata, ma fatta da tutti e soli contributi noti quindi calcolabile per ogni valore del tempo t...). Il circuito è stato ridotto ad un generatore che alimenta la resistenza equivalente delle tre ed un condensatore in serie a tale resistenza. Si ha: ovvero V t) = V C t) + eq it), V C t) = V t) eq it) = cosω t) eq cosω t + φ). eq + /ω C ) Da questa espressione, visto che tutte le quantità e coefficienti sono noti, si può trovare V C t) ad ogni istante t fissato. 6

7 4.) In una certa zona dello spazio è presente un campo magnetico B = B x, B y, B z ) = 0, 0, B 0 = Tesla). Un elettrone che ha velocità v 0 = v x, v y, v z ) = NN 0 5 m/sec, 0, 0) entra nella zona di campo magnetico. Quanto varrà la forza in Newton) esercitata su di esso da campo magnetico? in che direzione e verso sarà diretta sapendo che vale la relazione: F B = q v q B? La forza in modulo) vale F B = q e v 0 B 0 = Coulomb NN 0 5 m/sec T esla = Newton. dato che la velocità v 0 ed il campo magnetico B sono ortogonali tra loro. Direzione e verso della forza sono determinate dalla regola della mano destra, ricordando che la carica dell elettrone è negativa, quindi alla fine risulterà diretta lungo l asse positivo ŷ, come si può dedurre anche dal seguente calcolo: F B = q v q B = q e v 0 B 0 ˆx ẑ = q e v 0 B 0 ẑ ˆx = F B ŷ. Se si pensa che questa forza sia piccola, si provi a casa...) a calcolare il raggio dell orbita circolare che essa impone all elettrone, risulterà un orbita di raggio = cm!!! Infatti = m ev 0 q e B metri. 7