Figura 1.8: Apparecchiatura sperimentale utilizzata da Joule.

Transcript

1 40 Capitolo. Richiami di termodinamica Figura.8: Apparecchiatura sperimentale utilizzata da Joule. Ne risultava quindi in modo evidente l equivalenza del lavoro meccanico fornito nel primo esperimento e del calore fornito nel secondo: il concetto di equivalenza si traduce nell espressione (.0) già discussa in precedenza. Risulta di grande interesse, pertanto, andare ad analizzare dei casi pratici che sono alla base della modellizzazione preliminare di sistemi tecnici e che vanno a dare un significato fisico a quanto visto solamente dal punto di vista analitico. È importante precisare che, siccome l oggetto della trattazione del primo principio della termodinamica è l energia interna, non si considera nei seguenti esempi la variazione di energia complessiva del fluido in un determinato istante..7.3 Applicazioni del principio di equivalenza Si analizzi, in prima battuta, il caso più elementare, ovvero quello in cui si ha un sistema chiuso (una porzione di fluido delimitata da una frontiera) che, quindi, ha volume costante (pareti indeformabili, dv = 0). Si ipotizzi di fornire calore al sistema tra lo stato termodinamico iniziale (all istante t ) e lo stato finale (t ), il quale attraversa pertanto la frontiera del sistema stesso. Supponendo di trascurare le variazioni di energia meccanica (sia cinetica che potenziale), allora, applicando il primo principio ad un gas perfetto, si osserva macroscopicamente la variazione di energia interna, per cui U = Q = c v T (.48) dove c v è il calore specifico a volume costante medio, introdotto in seguito ad una approssimazione dovuta ad una contenuta variazione del calore specifico stesso nell intervallo considerato: ipotizzando, ad esempio, che il calore specifico a volume costante sia funzione della sola temperatura (gas ideale), allora c v può essere espresso come c v = c v(t ) + c v (T ) (.49) Propriamente si dovrebbe andare a considerare cosa avviene in un arco temporale infinitesimo, ovvero una variazione infinitesima di energia interna, tale per cui la variazione macroscopica U risulterebbe U = U U du = T T c v dt = dove Q è il calore che è stato sommistrato al sistema. dq = Q (.50) Termodinamica e Fluidodinamica applicate alle Macchine

2 .7 Principi della termodinamica 4 Si supponga di avere un sistema adiabatico 8 chiuso che racchiude un fluido (gas perfetto), la cui frontiera coincide con le pareti del cilindro e la superficie della testa di un pistone mobile (in direzione assiale, Fig..9). x F x 0 x Figura.9: Pistone e cilindro. Per ipotesi, si suppone l uniformità delle grandezze di stato che denotano il sistema istante per istante (condizioni di quasi-permanenza per una trasformazione reversibile), così come si trascurano gli attriti tra il pistone e le pareti del cilindro. Muovendo molto lentamente il pistone dalla posizione che assume all istante iniziale (ovvero x 0 ) fino ad arrivare alla posizione (tratteggiata in figura) tale per cui il pistone ha subito uno spostamento x, l equazione di equivalenza per il sistema diventa U = L (.5) la quale, in forma differenziale, è pari a du = dl, dove dl è il lavoro meccanico di compressione dovuto allo spostamento del pistone, come già accennato nella (.35). In particolare, considerando che la trasformazione adiabatica avvenga per stati intermedi di equilibrio (non c è l effetto d onda di pressione), è possibile affermare che la pressione p provocata dalla superficie A del pistone sarà pari ad una pressione media calcolabile come p = F A (.5) dove F è la forza esercitata sullo stantuffo stesso. La quantità infinitesima di volume specifico interessato dal movimento del pistone, invece, sarà pari a dv = Adx (.53) per cui il lavoro totale compiuto sul sistema può essere ricavato come L = dl = pdv = F x (.54) Per convenzione, si considera il lavoro positivo quando è entrante nel sistema, ovvero quando incrementa l energia interna del sistema, tale da comprimere il fluido che è all interno del sistema (dl > 0 dv < 0). Si consideri, ora, un recipiente aperto con pareti indeformabili (costituenti la frontiera del sistema) che viene rifornito di fluido dall esterno (Fig..0). Si supponga il sistema adiabatico e che l unico scambio di lavoro derivi dall immissione del fluido nel recipiente stesso. Nel processo di introduzione del fluido, il sistema opera a massa variabile (si tratta di un sistema aperto) e quindi l energia interna al contenitore va valutata in misura totale (non più riferita al kg di fluido come in precedenza): l energia interna totale del sistema sarà indicata con Û. All ingresso della massa elementare dm (di volume dv ) nel sistema, l energia interna dello stesso si arricchisce sia dell energia interna posseduta dalla massa entrante, denominata con û 9, sia del lavoro meccanico necessario per introdurla. Pertanto, 8 Per adiabatico si intende un sistema che non permette scambi di calore con l ambiente esterno circostante. 9 Ci si riferisce, invece, in questo caso, a quella specifica. D. Franco

3 4 Capitolo. Richiami di termodinamica la variazione infinitesima dell energia interna globale del sistema dovuta all introduzione di un pacchetto di fluido di massa dm è pari a dû = û dm + pdv (.55) da cui, dividendo per dm entrambi i membri, si può ottenere dû dm = û + p dv dm = û + p ρ (.56) la quale risulta tale sapendo che dm dv = ρ, ovvero la densità del fluido. dm Figura.0: Recipiente riempito in continuo con del fluido. Tenendo conto della (.44) e della (.4), la (.56) può essere riscritta come dû = ĥ dm (.57) ove ĥ è l entalpia specifica del volume di fluido infinitesimo introdotto. In caso di rifornimento di fluido dall esterno, dunque, l energia interna al recipiente considerato si arricchisce dell entalpia del fluido introdottovi. C è da precisare che, in realtà, il lavoro effettuato nell immissione del pacchetto di fluido non è un lavoro di compressione o di espansione in senso stretto (non si stanno deformando le pareti della frontiera per cui non c è aumento di volume del fluido), ma un lavoro speso al fine di inserire il fluido nel serbatoio. Questo tipo di approccio è utile nel caso di sistemi a massa variabile e quando si ha a che fare con sistemi aperti. Generalizzando il concetto appena espresso, si consideri un sistema aperto costituito da un recipiente a pareti indeformabili (Fig..) che funziona con continuità, ovvero con un inserimento costante di una certa portata (ad esempio nella sezione, detta di ingresso) associato ad una espulsione di fluido, anch essa costante, di un altra portata (non necessariamente coincidente con quella di ingresso). Vi sia la possibilità di fornire sia calore che lavoro al sistema in questione. Si ipotizzi che in base alla continuità, non ci siano né arricchimenti né depauperamenti di massa fluida all interno del sistema (non esistono pozzi o sorgenti di massa): è possibile supporre che, in un certo intervallo di tempo, tanta massa sta entrando quanta ne sta uscendo, per cui si parlerà dell equazione di continuità come costanza di portata massica. Si supponga, inoltre, un regime permanente di moto, ovvero un moto tale per cui le condizioni termodinamiche del fluido che sta transitando all interno del serbatoio sono sempre le stesse nel tempo (non si considerano le variazioni nel tempo, ovvero le derivate temporali). Si analizzeranno, in base alle ipotesi fin qui introdotte, due casi principali di sistema aperto, ovvero il caso adiabatico e il caso anergico 0. 0 Per anergico si intende un sistema che non permette scambi di lavoro con l ambiente circostante. Termodinamica e Fluidodinamica applicate alle Macchine

4 .7 Principi della termodinamica 43 dm Q L dm Figura.: Recipiente aperto che lavora in continuità. Se si presuppone che le quote delle due masse infinitesime dm siano uguali (così come le loro velocità), il primo principio della termodinamica diventa [ dû = 0 = dm û + p ] [ dm û + p ] + δ ρ ρ ˆQ + δ ˆL (.58) dove la variazione di energia interna globale è nulla in quanto l informazione energetica del pacchetto di fluido che entra è pari a quella del pacchetto di fluido uscente: in altre parole, deve essere dû = 0 poiché il regime di funzionamento ipotizzato è permanente. Sfruttando la condizione di regime di continuità, per cui dm = dm = dm, allora la (.58) può essere riscritta, con riferimento all unità di massa [ û + p ] [ û + p ] = Q L (.59) ρ ρ la quale, cambiando i segni di entrambi i membri, diventa û û + p ρ p ρ = Q + L (.60) dove û û = U è la variazione di energia interna specifica (e non la differenza, stando sotto l ipotesi di permanenza) tra due sezioni (e non tra due istanti); il termine p ρ p ρ è legato al pacchetto energetico che si deve spendere per poter inserire il fluido nel recipiente; a destra dell uguale, invece, ci sono le quantità energetiche che si devono fornire al sistema per mantenere il regime di permanenza. La (.58) può essere a sua volta espressa in funzione del contenuto entalpico del sistema tenendo conto della (.4), ossia la quale, in termini infinitesimi, appare come h h = Q + L (.6) dh = δq + δl (.6) Ricapitolando, per un sistema aperto, da un punto di vista concettuale il lavoro esplicitato nella (.6) differisce da quello presente nella relazione (.0) valida per i sistemi chiusi Si utilizza la convenzione per la quale ciò che entra è positivo e ciò che esce è negativo. Inoltre, se si considera la variazione infinitesima dell energia interna dell intero sistema, allora lo stesso sarà per il lavoro e il calore somministrati (che non saranno, pertanto, specifici), denominati in prima istanza con δ ˆQ e δ ˆL. D. Franco

5 44 Capitolo. Richiami di termodinamica poiché nel primo si considera, oltre che il lavoro di compressione o espansione, anche il lavoro di pulsione necessario a far entrare il fluido nel sistema (oltre che per farlo uscire dallo stesso). Per gli apparecchi a scambio di calore con portata continua di fluido (scambiatori di calore, caso anergico) si può scrivere dunque sulla base della (.6), in regime permanente: h h = Q (.63) Per gli apparecchi a scambio di lavoro (macchine per la compressione o l espansione dei fluidi, caso adiabatico), si può invece scrivere, nelle medesime condizione di continuità di portata e di permanenza termodinamica: h h = L (.64) È opportuno concludere il paragrafo con una riflessione riassuntiva di ciò che è stato fatto: fino ad ora è stato esposto il primo principio della termodinamica per un sistema chiuso semplice, ovvero in cui il volume viene considerato in una posizione spaziale ben definita, non considerando la quota parte di energia cinetica e potenziale. Successivamente è stata riscritta l equazione di conservazione dell energia per un sistema aperto in un caso molto particolare, poiché sono state utilizzate le ipotesi di conservazione della portata massica (utilizzando l equazione di continuità) e di assenza sia di pozzi sia di sorgenti di massa all interno del sistema. Tutto questo è stato discusso rispettando la condizione di permanenza fluidodinamica del sistema stesso: proprio tale ipotesi riduce il problema in quanto permette di analizzare il sistema non considerando le integrazioni che riguardano il tempo. Le due equazioni (.0) e (.6) riportate hanno un significato molto diverso: la prima relazione non può prescindere dall evoluzione temporale delle trasformazioni che avvengono sul sistema in questione e quindi, quando si va a considerare il U, questo deve risultare essere una variazione di energia interna, che quantifica il cambiamento dell energia interna del sistema fluido tra due istanti, relativi alla fine della trasformazione e all inizio della stessa. Quando, invece, si utilizza una relazione che coinvolge non solo l energia interna, ma anche una grandezza di stato come l entalpia, e la si applica ad un sistema aperto permanente, si integra l equazione del primo principio della termodinamica in termini infinitesimi non nel tempo (perché ogni porzione del volume considerato avrà del fluido che mantiene, per quel volume, sempre le stesse condizioni termodinamiche) ma nello spazio, in quanto si analizza come si presenta il fluido in due sezioni di passaggio appartenenti alla frontiera del sistema (per questo si parla di variazione di energia interna e di differenza di entalpia). Queste due relazioni sono sempre valide, sotto le ipotesi introdotte fino ad ora, sia per le trasformazioni reversibili, ovvero quelle trasformazioni prese come successioni di stati di equilibrio termodinamico, sia per quelle irreversibili. Esprimere il lavoro di compressione o di espansione alla maniera della (.35) è lecito solo in caso di trasformazioni reversibili per sistemi chiusi, perché esso è legato solamente alla variazione del volume specifico e quindi è legato a sua volta a grandezze di stato del fluido. Per quanto riguarda invece il lavoro dl, per un sistema aperto (sempre nel caso di trasformazione reversibile), questo non può essere solamente il lavoro di compressione o di espansione esercitato sul fluido, ma deve tener conto anche del lavoro che serve per inserire il fluido all interno del sistema, essendo quest ultima un azione che avviene attraverso la frontiera del sistema: in altre parole è quello che si deve compiere per immettere ed espellere una certa quantità di fluido nel sistema. Proprio per questi motivi, è opportuno parlare di lavoro totale L TOT (o tecnico) come la somma del lavoro di compressione e del lavoro di pulsione (anche detto di travaso), la Termodinamica e Fluidodinamica applicate alle Macchine

6 .7 Principi della termodinamica 45 cui variazione infinitesima è pari a: dl T OT = pdv + d(pv) = pdv + pdv + vdp = vdp = dp ρ (.65) Sostituendo la (.65) nell equazione (.6) relativa alla variazione infinitesima di entalpia in seguito ad una trasformazione reversibile (per un sistema aperto), si ottiene dh = dq + dl T OT = dq + vdp (.66) Si analizzi ora il seguente sistema aperto (schematizzato in figura.), ipotizzando la condizione di permanenza e la conservazione della portata: C Q z L z C Figura.: Schema di un sistema aperto. per tale sistema, si può integrare la relazione (.66) tra la flangia di ingresso (corrispondente alla sezione, tratteggiata in figura) e la flangia di uscita del fluido (alla sezione ), per cui si ottiene dh = dq + vdp = h = h h = Q + L T OT (.67) Anche in condizioni di permanenza e reversibilità, la relazione non è completa perché, nella maggior parte dei casi, la flangia d ingresso e quella d uscita si trovano a due quote differenti (z ed z ). Inoltre, è possibile che la velocità posseduta dal fluido quando si trova nella flangia d ingresso (C ) sia diversa dalla velocità che possiede lo stesso all uscita (C ). Dalla fisica generale, si apprende che la velocità è legata al contenuto energetico posseduto dal fluido, chiamato energia cinetica, e che la quota alla quale si presenta il fluido fornisce un altro contributo energetico da considerare, detto energia potenziale: entrambe rappresentano delle energie di tipo meccanico. Pertanto, nell applicazione del primo principio bisogna tener conto della variazione di queste due grandezze: in particolare, lo si fa introducendo il concetto di entalpia totale, dato dalla relazione h = h + gz (.68) dove la quantità viene detta entalpia di ristagno. h = h + C (.69) D. Franco