Dinamica dei Sistemi. La realtà è vista come un sistema, cioè come un insieme di elementi/parti fra di loro interconnesse.

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1 Dinamica dei Sistemi La realtà è vista come un sistema, cioè come un insieme di elementi/parti fra di loro interconnesse. I sistemi che consideremo sono caratterizzati dal fatto che evolvono nel tempo, come effetto di stimoli esterni e della interdipendenza delle loro parti: sono sistemi dinamici.

2 Nella Dinamica dei Sistemi i modelli non sono intesi usualmente come modelli predittivi, o almeno non è questo il loro principale scopo. Non hanno come obiettivo la previsione accurata di ciò che avverrà nel futuro in un dato sistema, come accade ad esempio per i modelli per le previsioni atmosferiche. Si propongono invece di essere di aiuto nel prendere decisioni, cioè sono strumenti che servono per individuare linee di azione per risolvere problemi.

3 Il sistema e i suoi confini Confini del Sistema Realtà esterna Sistema

4 Andamenti Crescita Decrescita Oscillazioni

5 Passi della modellazione Individuazione delle variabili chiave ed analisi del loro andamento (si tratta delle variabili, spesso una sola, da cui è partita la presa di coscienza dell esistenza di un problema) Individuazione degli elementi più rilevanti del sistema in esame e delle variabili che li rappresentano, o comunque ad essi associate. Individuazione delle relazioni fra le diverse variabili, con particolare riferimento a relazioni causali. Individuazione delle principali catene, o anelli, causali.

6 Dinamica dei Sistemi Livelli o variabili di stato Flussi Variabili ausiliarie

7 Un semplice esempio: la dinamica di una popolazione livello: popolazione (numerosità) flussi: numero di nascite e di morti nell unità di tempo (ad esempio all anno) variabili ausiliarie: (tasso di nascita e tasso di mortalità)

8 Livelli e Flussi Livello(t + t) = Livello(t)+ (F lussoinput(t) F lussooutput(t)) t

9 Livelli e flussi Nascite Popolazione Morti Popolazione: Natalità: Mortalità: Nascite: Morti: P(t) N M NxP(t) MxP(t)

10 dp (t) dt dp (t) dt e (N M)t = N P (t) M P (t) = (N M) P (t) (N M) P (t) = 0 dp (t) dt d dt (P (t) e (N M)t ) = 0 (N M) e (N M)t P (t) = 0 t o d ds (P (s) e (N M)s )ds = 0

11 t o d ds (P (s) e (N M)s )ds = 0 P (t) e (N M)t P (0) = 0 P (t) = P (0) e (N M)t N > M N < M

12 Crescita esponenziale Crescita lineare Crescita esponenziale (+.02) tasso del

13 Crescita esponenziale Crescita esponenziale Crescita lineare Con un tasso di crescita del 2% annuo, si ha un raddoppio ogni 35 anni

14 Discretizzazione: dp (t) dt (N M) P (t) = 0 P (t + t) P (t) t = (N M)P (t) P (t + t) = P (t) + P (t)(n M) t Crescita della popolazione =B4+B4*($C$4-$D$4)/1000 5,000 4,500 4,000 3,500 3,000 2,500 2,000 1,500 1,

15 P (t + 1) = P (t) + P (t)(n M) = P (t)(1 + N M) ( t = 1) P (t + 0.5) = P (t) + P (t)(n M)0.5 = P (t)( (N M)) P (t + 1) = P (t + 0.5)( (N M)) = P (t)( (N M)) 2 P (t + 0.5) P (t + 1) P (t + 1) P (t)

16 t = 1 t = 0.5

17 Crescita limitata Consideriamo la crescita di una popolazione, assumendo che ci siano limiti alle risorse utilizzabili.

18 Dinamiche di crescita (1) x 0 λ 0 popolazione al tempo 0 massimo tasso di crescita (nel caso di risorse illimitate) λ(x) tasso di crescita in funzione della popolazione m massima popolazione sostenibile, date le risorse

19 Dinamiche di crescita (2) λ(x) = λ 0 m x m λ(x) λ 0 m x

20 Dinamiche di crescita (3) dx dt = xλ(x) = xλ m x 0 m x(t) = x 0 e λ 0t 1 + x 0 m (eλ 0t 1) Logistica

21 Dinamiche di crescita (4) x(t + t) = x(t) + [λ(t)x(t) µx(t)] t Tasso di mortalità Crescita Popolazione Decrescita Lambda0 Lambda Disponibilità Risorse Risorse totali Tasso di mortalità

22 Dinamiche di crescita (5) Popolazione + Popolazione Crescita + <Decrescita> Crescita + <Decrescita> Lambda + Disponibilità Risorse Lambda + Disponibilità Risorse <Lambda0> <Lambda0> <Risorse totali> <Risorse totali>

23 Dinamiche di crescita (6) Condizioni di equilibrio x(t + t) = x(t) + [λ(t)x(t) µx(t)] t λ 0 m x m = µ λ 0 m λ 0 x = µm x λ 0 m = λ 0 µ x = m λ 0 µ λ 0 Valore di equilibrio della popolazione

24 Dinamiche di crescita (7) x(t + t) = x(t) + [λ(t)x(t) µx(t)] t µ = 0.2 λ 0 = 0.5 x = = 600 1,500 Crescita popolazioni 1, Time (Month) Lambda0 = 0.5 popolazione

25 Dinamiche di crescita (8) x(t + t) = x(t) + [λ(t)x(t) µx(t)] t µ = 0.2 λ 0 = 1 x = = 800 1,500 Crescita popolazioni 1, Time (Month) Lambda0 = 1 popolazione

26 Dinamiche di crescita (9) x(t + t) = x(t) + [λ(t)x(t) µx(t)] t µ = 0.2 λ 0 = 2 x = = 900 1,500 Crescita popolazioni 1, Time (Month) Lambda0 = 2 popolazione

27 Dinamiche di crescita (10) x(t + t) = x(t) + [λ(t)x(t) µx(t)] t µ = 0.2 λ 0 = 3 x = = ,500 Crescita popolazioni 1, Time (Month) Lambda0 = 3 popolazione

28 Dinamiche di crescita (11) x(t + t) = x(t) + [λ(t)x(t) µx(t)] t 1,500 Crescita popolazioni 1, Time (Month) Lambda0 = 0.5 Lambda0 = 1 Lambda0 = 2 Lambda0 = 3 popolazione popolazione popolazione popolazione

29 Dinamiche di crescita (12) Per i valori 2 e 3, abbiamo usato un valore di t pari a Se avessimo usato il valore 1 avremmo avuto andamenti caotici del tipo di quello riportato sotto: µ = 0.2 λ 0 = 3 t = 1 1,500 1, Crescita popolazioni Time (Month) Lambda0 = 3 popolazione

30 Diffusione di tecnologie Consideriamo il processo attraverso cui una nuova tecnologia si diffonde. Abbiamo una popolazione di partenza, potenzialmente disponibile ad adottare la tecnologia, ed alcuni individui (gli innovatori) che la hanno già adottata. Possiamo assumere che l adozione avvenga con un processo di contagio. Quando un adottatore potenziale incontra un individuo che ha già adottato, allora viene a conoscenza della tecnologia e dei suoi vantaggi, e con una certa probabilità decide anche lui di adottarla.

31 Il modello Potenziali adottanti Nuovi adottanti Adottanti Numero iniziale di adottanti Tasso Incontri c Probabilità di adozione i Populazione totale N

32 Andamento delle adozioni della nuova tecnologia 1, Time (Day) Adottanti : Current People

33 Un altro modello di crescita di una popolazione Popolazione totale Tasso di crescita Tasso di invecchiamento Giovani Adulti Vecchi Nascite Crescita Invecchiamento Morti Fertilità Donne adulte Mortalità Frazione Femmine

34 Giovani: da 0 a 16 anni Adulti: da 17 a 42 Ipotesi Vecchi: da 42 in poi, con una età media della popolazione di 72 anni Le morti avvengono solo fra la popolazione vecchia Il numero di nati è determinato dal numero di donne adulte e dal tasso di fertilità

35 Il numero di giovani che ogni anno diventano adulti è pari ad 1/16 dei giovani presenti. Si tratta di una semplificazione accettabile se la popolazione non varia velocemente. Crescita(t) = Giovani(t) x Tasso_di_crescita Tasso_di_crescita = 1/16

36 Invecchiamento(t) = Adulti(t) x Tasso_di_invecchiamento Tasso_di_invecchiamento = 1/25 Morti(t) = Vecchi(t) x Mortalità Mortalità = 1/30

37 200 2 figli per donna adulta Time (Month) Giovani Adulti Vecchi

38 600 3 figli per donna adulta Time (Month) Giovani Adulti Vecchi

39 2,000 4 Figli per donna adulta 1,500 1, Time (Month) Giovani Adulti Vecchi

40 4,000 5 Figli per donna adulta 3,000 2,000 1, Time (Month) Giovani Adulti Vecchi

41 Ciclo positivo Ciclo negativo Tasso di crescita Giovani + Crescita + Adulti + Vecchi Morti + - Invecchiamento Mortalità Nascite + + Tasso di invecchiamento Fertilità Donne adulte Frazione Femmine

42 Nel modello abbiamo assunto che le morti avvengano solamente fra la popolazione vecchia. Si tratta di una ipotesi semplificativa. In realtà c è un tasso di mortalità non nullo anche tra i giovani e gli adulti. Si modifichi il modello inserendo un tasso di mortalità di valore 0.02 per i giovani e di valore 0.03 per gli adulti. Si ripetano poi gli esperimenti in questa nuova situazione.

43 Il modello Preda-Predatore Il modello Preda-Predatore è stato sviluppato dal matematico italiano Vito Volterra ( ) per studiare un fenomeno che era stato evidenziato dallo zoologo Umberto D'Ancona. Analizzando le statistiche relative alla pesca nel nord dell'adriatico, D Ancona aveva osservato che durante gli ultimi anni della prima guerra mondiale e negli anni immediatamente seguenti si era verificato un sostanziale aumento della percentuale dei predatori (Selaci) pescati. L unica circostanza che appariva collegabile a questo incremento era la diminuzione dell'attività di pesca causata dalle attività belliche.

44 Le variabili di livello P rede(t + t) = P rede(t) + (Nascite P rede(t) Morti P rede(t)) t P redatori(t + t) = P redatori(t)+ (N ascite P redatori(t) M orti P redatori(t)) t Nascite Prede Prede Morti Prede Nascite Predatori Predatori Morti Predatori

45 Le variabili di flusso Nascite P rede(t) = A P rede(t) Morti P rede(t) = P rede Catturate(t) + P rede P escate(t) Morti P redatori(t) = C P redatori(t) + P redatori P escati(t) Nascite P redatori(t) = D Incontri P rede P redatori(t)

46 Le variabili ausiliarie P rede Catturate(t) = B Incontri P rede P redatori(t) Incontri P rede P redatori(t) = P rede(t) P redatori(t) P rede P escate(t) = ε P rede(t) P redatori P escati(t) = ε P redatori(t)

47 Il modello completo A Nascite Prede Prede Morti Prede Prede Catturate B Prede Pescate Incontri Prede Predatori epsilon D Predatori Pescati Nascite Predatori Predatori Morti Predatori C

48 Andamento delle popolazioni 400, , , , Time (Week) Prede : Predatori1RK Predatori : Predatori1RK