Modelli Matematici Ambientali. Mastroeni/Cioni (Dipartimento di Informatica/Scuola Normale Superiore)

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1 Mastroeni/Cioni (Dipartimento di Informatica/Scuola Normale Superiore) 1 di 17 Lezione, 25/03 A.A. 2014/2015 Decima lezione piano di lavoro [Ri]vedremo alcuni andamenti "tipici" o "paradigmatici" (modelli di comportamento) noti per un livello ovvero per la soluzione di una equazione differenziale, con i relativi modelli: (1) lineare, crescente o decrescente; (2) esponenziale, crescente o decrescente; (3) crescente "a saturazione"; (4) logistico. Introdurremo due andamenti di tipo "nuovo" (1) overshot (o sovracrescita) con conseguente collasso; (2) oscillatorio puro o con smorzamento o esaltazione. I due andamenti di tipo "nuovo" richiedono l'introduzione di un secondo livello o in modo esplicito o in modo implicito (mediante un ritardo).

2 2 di 17 Andamento lineare Un livello L ha un andamento lineare se lo si può descrivere con la seguente relazione: (1) L(t)=k*t+h=k*t+L(0) a cui corrisponde la seguente equazione differenziale (priva di feedback) (2) dl/dt=k In genereale si ha: (3) dl/dt=fin-fout= k per cui si hanno i casi seguenti: (1) Fin-Fout= k > 0 crescita lineare (2) Fin-Fout= k < 0 decrescita lineare (3) Fin-Fout= k = 0 stato stazionario

3 3 di 17 Andamento lineare Se k < 0 dalla (1) L(t)=k*t+L(0) si ottiene che esiste un valore di t (sia t*) tale che L(t*)=0 e t > t* L(t)<0. Tale andamento del livello non è realistico se non in casi molto particolari. Se k > 0 e se il livello (come accade in tutti i sistemi fisici) ha una capacità massima Lmax dalla (1) L(t)=k*t+L(0) si ottiene che esiste un valore di t (sia t*) tale che L(t*)=Lmax e t > t* L(t)>Lmax per cui il livello "trabocca". Se ciò non deve o non può accadere è necessario modificare il modello introducendo gli opportuni vincoli (in genere di tipo implicito). Nelle tre pagine che seguono si presentano: due possibili andamenti del livello L; un modello Vensim per la crescita lineare; un modello Vensim per la descrescita lineare con un vincolo di tipo implicito per impedire che il livello assuma valori negativi.

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7 7 di 17 Equazioni del modello Vensim di pagina precedente: (07) L0=100 Units: unit [50,1000,1] (01) controllo=if THEN ELSE(L>0, 1, 0 ) (08) SAVEPER = TIME STEP Units: Dmnl Units: Month [0,?] (02) FINAL TIME = 100 (09) TIME STEP = 1 Units: Month [10,200,1] Units: Month [ ,1, ] (03) flusso=controllo*fout Units: unit/month (04) fout=1 Units: unit/month [1,10,0.5] (05) INITIAL TIME = 0 Units: Month (06) L= INTEG (-flusso,l0) Units: unit La variabile controllo assume il valore 0 se il livello è vuoto in modo da mettere a 0 il flusso effettivamente in uscita dal livello e da impedire che il livello assuma valori negativi. Una soluzione simile può essere adottata per impedire che il livello trabocchi (fare come esercizio).

8 8 di 17 Andamento esponenziale Esponenziale crescente: la velocità di crescita di un livello è proporzionale al valore corrente del livello in modo che sia: (1) dl/dt=k*l con k>0 costante di proporzionalità e [k]=1/t Esponenziale decrescente: la velocità di decrescita di un livello è proporzionale al valore corrente del livello in modo che sia: (2) dl/dt=k*l con k<0 costante di proporzionalità e [k]=1/t Si parla di crescita se dl/dt>0. Si parla di decrescita se dl/dt<0. La soluzione della (1) e della (2) (in cui è presente un anello di feedback o positivo o negativo) è la seguente: (3) L(t)=L(0)ekt in modo che tanto maggiore è k tanto più ripide sono la crescita o la decrescita.

9 Andamento esponenziale Dalla (3) L(t)=L(0)ekt si ottiene: 9 di 17 L(t+1)=L(0)ek(t+1)=L(0)ektek ovvero: L(t+1)=L(t)ek in modo che sia: L(t+1)/L(t)=ek ek è il rapporto di incremento (se k>0) o di decremento (se k<0). Se k=0 dalla (1) si ha dl/dt=0 da cui L(t)=L(0) per cui si parla di equilibrio indifferente. Si abbia L(t)=L(0)e-t/T e si voglia t* tale che L(t*)=L(0)/2. Si vede facilmente che deve essere e-t*/t =1/2 ovvero -t*/t =ln(1/2) per cui se è noto T (tempo medio di permanenza nel livello) si ricava t* (tempo di dimezzamento o di emivita) mentre se è noto t* si ricava T.

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12 12 di 17 Meticciati: combinazione di lineare crescente ed esponenziale decrescente (ovvero crescente a saturazione)

13 Equazioni Vensim del modello di pagina precedente: (01) a=0.1 Units: 1/Month [0,1,0.01] (02) fin=0 Units: unit/month [0,100,1] (03) FINAL TIME = 100 Units: Month [10,200,1] The final time for the simulation. (04) flusso=a*l Units: unit/month (05) flussoin=fin Units: unit/month 13 di 17 (06)INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation (07)L= INTEG (flussoin-flusso,l0) Units: unit (08)L0=1 Units: unit [1,100,1] (09)SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (10) TIME STEP = 1 Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation.

14 Meticciati: combinazione di lineare decrescente ed esponenziale crescente 14 di 17

15 Andamento di tipo logistico poche aggiunte Una variabile P(t) può mostrare una andamento a "S" o di tipo logistico se esistono due valori m e m'<m tali che: (1) P<m dp/dt>0 e (1) d2p/dt2 > 0 per P<m' (2) d2p/dt2 < 0 per P> m' (3) d2p/dt2 = 0 per P=m' (*) (2) P=m dp/dt = 0 e d2p/dt2 = 0 (3) P>m dp/dt < 0 e d2p/dt2 > 0 I valori di equilibrio sono due. In genere sono P=0 e P=m. Il valore m' individua il punto di massima velocità di crescita (vedi la (*)). 15 di 17

16 Andamento di tipo logistico altre poche aggiunte Si parla propriamente di logistica se si ha P(0) << m o almeno P(0)<m' In questo caso si ha: 16 di 17 dp/dt=feedback positivo (1) -feedback negativo (2) (1) domina per bassi valori di P (P<<m) e imprime la crescita esponenziale; (2) entra tanto più in gioco quanto più P m fino a che per P = m (1) e (2) si equilibrano in modo che sia dp/dt = 0 Se P(0) (m',m) non si ha una vera logistica perché non si ha il cambio di concavità legato al cambio di segno della derivata seconda. Se P(0)>m si ha una decrescita di tipo esponenziale fino al valore m, come abbiamo visto analizzando la tipologia di questa condizione di equilibrio e il relativo bacino di attrazione. In questo caso si ha da subito una stretta dominanza di (2).

17 Overshot e collasso Si parla di overshot e collasso in tutti i casi in cui un livello (popolazione P) dipende da un altro livello (risorsa R, non rinnovabile o rinnovabile molto lentamente). Il livello P è caratterizzato da: un flusso in ingresso (nascite) dipendente da un tasso di natalità costante; un flusso in uscita (morti) dipendente da un tasso di mortalità che cresce da 0 a 1 (in prima approssimazione, in modo lineare) man mano che la risosrsa viene consumata. Il livello R è caratterizzato da: 17 di 17 un flusso di consumo che dipende da una domanda individuale di unità di risorsa per unità di tempo (costante) e dalla numerosità della popolazione P; un flusso di rigenerazione dipendente dalla risorsa presente e da un tasso di rigenerazione (assunto prossimo a 0 e costante). Nel modello si possono individuare tre anelli di retroazione: uno positivo che interessa il livello P e il flusso nascite; uno negativo che interessa il livello P e il flusso morti; uno negativo che interessa il livello P e il livello R.

18 1 di 5 Overshot e collasso senza rigenerazione: il modello

19 2 di 5 Overshot e collasso senza rigenerazione: i grafici

20 3 di 5 Overshot e collasso senza rigenerazione: le equazioni (01) consumo=if THEN ELSE(R/T>=consumoProCapite*P, consumoprocapite*p, R/T ) Units: resource/month (02) consumoprocapite=2 Units: resource/(month*unit) [0,10,0.1] (03) FINAL TIME = 40 Units: Month [10,100,1] The final time for the simulation. (04) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (05) morti=tdm*p Units: unit/month (06) nascite=tdn*p Units: unit/month (07) P= INTEG (nascite-morti,p0) Units: unit (08) P0=10 Units: unit [1,100,1] (09) R= INTEG (-consumo,r0) Units: resource (10) R0=10000 Units: resource [100,100000,1] (11) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (12) T=1 Units: Month (13) TdM=(1-R/R0)*TdM0 Units: 1/Month (14) TdM0=1 Units: 1/Month [0,1,0.01] (15) TdN=0.5 Units: 1/Month [0,1,0.01] (16) TIME STEP = 1 Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation.

21 4 di 5 Overshot e collasso con rigenerazione: il modello

22 5 di 5 Overshot e collasso con rigenerazione: i grafici