Modellistica Ambientale/Modelli Matematici Ambientali - A.A. 2014/2015 Seconda prova intermedia 29 maggio 2015

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1 Modellistica Ambientale/Modelli Matematici Ambientali - A.A. 204/205 Seconda prova intermedia 29 maggio 205 Il testo che segue contiene a grandi linee le soluzioni degli esercizi contenuti nella prova scritta del 29 Maggio 205. Di tutti gli esercizi si forniscono solo tracce, quasi sempre incomplete, di soluzione mentre i dettagli sono lasciati alla iniziativa e intelligenza individuali. Esercizio, 5 punti [ ] Si determinino i punti di equilibrio del seguente sistema di equazioni differenziali e se ne studi la stabilità: ẋ = xy x 2 () ẏ = xy + (2) Se si nota che, all equilibrio, dalla seconda equazione differenziale si ha xy = è immediato vedere che i punti di equilibrio sono i seguenti: () (x,y) = (,) (2) (x,y) = (, ) mentre la matrice A delle derivate parziali ha la struttura seguente: ( ) y 2x x A = y x Se si calcola la matrice A nel punto () si ottiene: ( ) A = (3) (4) per la quale si ricava la seguente equazione caratteristica: λ 2 +2λ+2 = 0 (5) A questo punto si possono calcolare le soluzioni di tale equazione (gli autovalori λ e λ 2 ) in modo da vedere come questo punto di equilibrio sia asintoticamente stabile.

2 In altro modo si può notare come nella (5) si hanno due permanenze di segno ovvero le soluzioni sono negative, se reali, o hanno parte reale negativa, se sono complesse coniugate, in modo da arrivare alle stesse conclusioni. Un ulteriore modo, infine, è il seguente. Se si nota che si ha: si ha che: λ λ 2 = 2 λ +λ 2 = 2 - se gli autovalori sono reali sono concordi in segno e negativi; - se gli autovalori sono complessi coniugati hanno parte reale negativa in modo da arrivare alle stesse conclusioni. Se si calcola la matrice A nel punto (2) si ottiene: ( ) A 2 = (6) per la quale si ricava la seguente equazione caratteristica: λ 2 2λ+2 = 0 (7) Usando uno dei tre metodi suddetti si vede come questo punto di equilibrio sia di tipo instabile. Esercizio 2, 5 punti [ ] Si considerino due popolazioni X (prede) e Y (predatori) nelle seguenti ipotesi (ove U = unit, T = Year): (a) in assenza di predatori, la popolazione delle prede X si evolva secondo una funzione logistica ove 00 U è il valore massimo sostenibile della popolazione X e a = 0.5 (con [a] = /T) è il massimo tasso di crescita di X o tasso di crescita intrinseco; (b) in assenza di prede la popolazione Y dei predatori abbia un tasso di mortalità costante pari a c = 0.7 con [c] = /T; (c) b = con [b] = /(T U) è il tasso di mortalità delle prede X dovuto alla presenza di un singolo predatore; (d) d = 0.0 con [d] = /(T U) è il tasso di natalità dei predatori Y dovuto alla presenza di una singola preda. 2

3 Quesito A (2 punti) Si determini il sistema di equazioni differenziali che caratterizza il comportamento delle due popolazioni. Se si pone m = 00 le equazioni differenziali cercate, in forma parametrica, sono le seguenti: { Ẋ = a( m X)X bxy m (8) Ẏ = cy +dxy oppure: ovvero: { Ẋ = (a( m X m ) by)x Ẏ = ( c+dx)y { Ẋ = ax a m X2 bxy Ẏ = cy +dxy (9) (0) Quesito B (3 punti) Si determini il punto di equilibrio asintoticamente stabile del sistema. Se si usano le equazioni differenziali nella forma (0) la matrice A delle derivate parziali ha la struttura seguente: ( a 2 a A = X by bx ) m () dy c+dx mentre le condizioni di equilibrio ricavate dalle equazioni differenziali nella forma (9) sono le seguenti: () (2) (X,Y) = (0,0) (2) (X,Y) = (m,0) (3) (3) Nel punto () si ha: (X,Y) = ( c d, a b ( c )) (4) md A = ( a 0 0 c ) (5) per cui questo punto di equilibrio non può essere asintoticamente stabile. Nel punto (2) si ha: ( ) a bm A 2 = (6) 0 c+dm 3

4 Poiché si ha c + dm = > 0 questo punto di equilibrio non può essere asintoticamente stabile. Nel punto (3) si ha: ( A 3 = ac md a d( c b b c d md ) 0 a cui corrisponde la seguente equazione caratteristica: ) (7) λ 2 + ac md λ+ac( c md ) = 0 (8) Perché almeno questo punto sia di tipo asintoticamente stabile le radici della (8) devono essere: - o reali e negative; - o complesse coniugate di parte reale negativa. Nel secondo caso dato che si ha: λ +λ 2 = ac md < 0 (9) la condizione è soddisfatta poiché la parte reale delle radici coincide con: Nel primo caso bisogna che sia anche: ac 2md < 0 (20) ac( c md ) > 0 (2) ovvero: ( c md ) > 0 (22) in modo che le radici siano concordi in segno e di somma negativa ovvero siano negative. Dato che, con i dati del problema, si ha: c md = 0.7 (23) la relazione precedente è soddisfatta per cui le radici della (8) se reali sono negative e quindi il terzo punto di equilibrio è di tipo asintoticamente stabile. Esercizio 3, 8 punti [ ] Larry Handgrip gestisce un impianto composto da una vasca collegata ad un serbatoio. La vasca riceve un flusso di acqua in ingresso sia da un 4

5 pozzo artesiano a portata costante nel tempo sia da una condotta di riciclo collegata al serbatoio. Il passaggio dalla vasca V al serbatoio avviene per filtraggio e richiede un tempo medio pari a T [Hour]. Parte del contenuto del serbatoio S viene riavviato al riciclo mentre la parte residua viene dispersa nell ambiente. Sia α [0,] la frazione per unità di tempo del contenuto del serbatoio S che viene avviata al riciclo. Quesito A ( punto) Si disegni il modello Vensim. Il modello lo si ricava facilmente dalle equazioni differenziali qui di seguito specificate. Quesito B ( punto) Si scrivano le equazioni differenziali associate ai livelli presenti nel modello. Le equazioni cercate sono le seguenti: { V = in+αs V T Ṡ = V T S (24) Quesito C (2 punti) Sotto l ipotesi che il flusso di acqua in ingresso al pozzo artesiano sia pari ad una costante k mc/hour si determinino gli equilibri del sistema. Dalla struttura delle equazioni differenziali si vede come si abbia il solo punto di equilibrio seguente: S = k α V = kt α Tali relazioni sono valide se α <. Se è α = si ha un equilibrio solo se k = 0. Quesito D (2 punti) Sapendo che k = 0mc/Hour e T = 2Hour Larry vuole calcolare la frazione da avviare al riciclo perché all equilibrio la vasca contenga 40mc di acqua e il serbatoio ne contenga 20mc. Dai valori ricavati al quesito precedente si ottengono facilmente le seguenti relazioni: S = 0 α = 20 5

6 V = 20 α = 40 dalle quali si ricava α = /2. Quesito E (2 punti) In previsione di una interruzione dell approvvigionamento esterno Larry, partendo dalla condizione di equilibrio del punto precedente e assumendo sia k = 0 sia T = 2, vuole sapere a quanto deve ammontare la frazione di riciclo dal serbatoio alla vasca perché la condizione di equilibrio di cui al quesito precedente possa essere mantenuta per un tempo indeterminato. Si descrivano qualitativamente gli andamenti nel tempo del contenuto della vasca e del serbatoio nel caso in cui Larry non riesca a ottenere questo risultato ottimale. In questo caso le equazioni differenziali assumono la forma seguente: { V = αs V T Ṡ = V T S (25) con le condizioni iniziali S,V. Per mantenere tale condizione di equilibrio Larry deve imporre che sia Ṡ = 0 e V = 0 ovvero deve imporre: αs V T = 0 (26) e: V S = 0 (27) T da cui si ricava α = ovvero l unica possibilitè è che Larry realizzi un riciclo totale fra il serbatoio e le vasca. Se non ci riesce ovvero se è α < si può vedere come la matrice A abbia la struttura seguente: ( ) 0.5 α A = (28) 0.5 alla quale corrispondono due autovalori negativi che determinano degli andamenti di tipo esponenziale decrescente per le variabili S e V. Esercizio 4, 6 punti [ ] Apprentice Sorcerer, John per gli amici, pretende di avere inventato un sistema composto da una vasca contenente una certa quantità di liquido che vaporizza e successivamente condensa in modo che il livello del liquido nella vasca oscilli attorno ad un valore medio come viene testimoniato dall alzarsi e abbassarsi di una bandierina montata su una boa galleggiante nella vasca 6

7 del liquido. John pretende di essere il solo a conoscere i valori magici del tempo medio di condensazione T (in minuti) e della frazione α [0,] di liquido che vaporizza per unità di tempo che rendono possibile questo prodigio. Quesito A ( punti) Si disegni il modello Vensim corrispondente. Il modello lo si ricava facilmente dalle equazioni differenziali qui di seguito specificate. Quesito B ( punti) Si scrivano le equazioni differenziali associate ai livelli presenti nel modello. In questo caso le equazioni cercate sono le seguenti: { V = αl V T L = V T αl (29) Quesito C (2 punti) Si dimostri che l asserito prodigio è impossibile dato che i pretesi valori magici non esistono e che il livello del liquido nella vasca non può mostrare il preteso andamento oscillatorio. Si può vedere come la matrice A abbia la struttura seguente: ( ) A = T T α α per la quale si ricava la seguente equazione caratteristica: (30) λ 2 +( T +α)λ = 0 (3) che ha come soluzioni: () λ = 0 (2) λ 2 = ( T +α) dato che tali radici non sono complesse coniugate l asserito prodigio è irrealizzabile. Quesito D (2 punti) Assumendo che inizialmente la vasca contenga 00l di liquido e che il vapore sia assente risolvere le equazioni differenziali determinando le espressioni degli andamenti della quantità di liquido e di vapore nel tempo utilizzando i seguenti valori: 7

8 α = 0.5 T = 2 In questo caso le equazioni cercate sono le seguenti: { V = 0,5V +0.5L L = 0.5V 0.5L (32) con V(0) = 0 e L(0 = 00. Gli autovalori sono: () λ = 0 (2) λ 2 = mentre la matrice A è la seguente: ( ) A = (33) Risolvendo le seguenti equazioni: Av = 0 Av 2 = v 2 si ricavano gli autovettori: in modo da ottenere: ( V L ( ) v = ( ) v 2 = ) ( ) = C +C 2 ( (34) (35) ) e t (36) con C e C 2 che dipendono dalle condizioni iniziali. Con semplici calcoli si ottiene: C = 50 C 2 = 50 8

9 e infine: dalle quali si ricava: V(t) = 50( e t ) (37) L(t) = 50(+e t ) (38) V(0) = 0 e L(0) = 00 come deve essere; V( ) = 50 e L( ) = 50 come atteso; V(t)+L(t) = 00 come atteso data la struttura del sistema. Esercizio 5, 8 punti [ ] Si consideri la seguente equazione differenziale: ẍ+aẋ+bx = 0 (39) Quesito A, 2 punti Si determinino dei vincoli sulle costanti a e b che garantiscono che la x soluzione della (39) abbia un andamento oscillatorio puro. L equazione caratteristica corrispondente è la seguente: λ 2 +aλ+b = 0 (40) per cui perché la x soluzione della (39) abbia un andamento oscillatorio puro le radici della (40) devono essere numeri immaginari puri coniugati ovvero deve essere a = 0 e b > 0. Quesito B, 2 punti Si determinino dei vincoli sulle costanti a e b che garantiscono che la x soluzione della (39) abbia un andamento oscillatorio smorzato. Perché ciò sia possibile le radici della (40) devono essere numeri complessi coniugati di parte reale negativa per cui, ad esempio, dalla: si ha che deve essere: a > 0 b > a2 4 λ,2 = a± a 2 4b 2 (4) 9

10 Quesito C, 2 punti Si fissino i valori delle costanti a e b in modo che soddisfino i vincoli posti al quesito precedente, si risolva la (39) (con le condizioni iniziali x(0) = x(0) = ) e si verifichi che la soluzione rispecchia quanto richiesto al quesito precedente. Come valori si possono scegliere i seguenti: a = 2 b = 2 in modo da ottenere: e quindi ottenere: λ,2 = ±2i (42) x(t) = C e t cos(2t)+c 2 e t sen(2t) (43) IlcalcolodeivaloridellecostantiC ec 2 infunzionedei valoriinizialirichiede il calcolo della ẋ ma non presenta difficoltà ed è, pertanto, lasciato come esercizio. Quesito D, 2 punti Si riscriva la (39) in modo che ad essa si possa far corrispondere un modello Vensim. Se si ricorda che nei modelli in Vensim si hanno solo equazioni differenziali del primo ordine si vede subio come sia necessario introdurre una variabile in più y che rappresenta un livello ed è definita come segue: y = ẋ y(0) = ẋ(0) In questo modo si ha ẍ = ẏ in modo che la (39) possa essere riscritta come il seguente sistema di due equazioni differenziali a cui è immediato associare un modello Vensim: { ẏ = ay bx (44) ẋ = y Esercizio 6, 6 punti [ ] La Ditta Best cans, il cui motto è Inscatoliamo tutto, anche i vostri incubi, produce lattine (e relativi coperchi) di tutti i tipi nel suo impianto 0

11 modello di Gabicce sur la mer. L impianto è alimentato da un flusso in continuo di q tonnellate al mese di alluminio in barre che alimentano una parte L0 dell impianto dove sono prodotte lattine di un solo tipo. L0 produce un flusso di lattine che, in peso, è una percentuale per unità di tempo α (0,) dell alluminio presente in L0 mentre la percentuale residua (composta da sfridi e altri scarti di lavorazione) viene avviata ad un impianto di rigenerazione nel quale viene recuperata (per essere riavviata come un ingresso aggiuntivo a L0) una frazione per unità di tempo pari a β [0,] della percentuale residua mentre la parte rimanente viene definitivamente scartata. Il flusso di lattine one size alimenta un macchinario particolare, vanto della Best cans, dove le lattine vengono customizzate per assumere forma e dimensioni variabili in funzione delle richieste dei committenti. In questo impianto le lattine stanno per un tempo medio pari a T > unità di tempo, tempo necessario per il loro ricondizionamento individuale. Il flusso di alluminio, sotto forma di lattine ricondizionate e pronte all uso, in uscita da questo impianto viene avviato alla spedizione e fuoriesce dal nostro sistema. Quesito A (2 punti) Si disegni il modello Vensim dell impianto della Best cans. Il modello lo si ricava facilmente dalle equazioni differenziali qui di seguito specificate. Quesito B (2 punti) Si scrivano le equazioni differenziali associate ai livelli presenti nel modello. Le equazioni differenziali cercate sono le seguenti: L0 = in+βr L0 Ċ = αl0 C T Ṙ = ( α)l0 R (45) Quesito C (2 punti) All equilibrio si ricavi il rapporto fra il flusso di lattine in uscita dall impianto e il flusso in in funzione dei parametri α > 0 e β > 0, una sorta di misura di efficienza dell impianto nel suo complesso. Si indichi il valore di β che massimizza il valore di questo parametro qualunque sia il valore di α > 0 e si argomenti nel modo più formale possibile la correttezza del valore indicato. Se si pone: out = C T (46)

12 le equazioni differenziali all equilibrio hanno la forma seguente: in+βr L0 = 0 αl0 out ( α)l0 R = 0 (47) Quello che si vuole è il rapporto out/in. Per ottenerlo si ricava out = αl0 ovvero L0 = out/α dalla seconda condizione di equilibrio e R = ( α)l0 dalla terza. Sostituendo tali valori nella prima condizione di equilibrio si ha: ovvero: in+β( α) out α out α = 0 (48) in = β( α) out (49) α e infine: out in = α (50) β( α) Se si vuole massimizzare tale rapporto e renderlo indipendente da α si deve agire sul denominatore ovvero sulla seguente espressione: β( α) (5) Dato che ( α) 0 si ha che tale espressione ha il massimo per β = 0 e il minimo per β = in modo che sia: β( α) = α (52) e quindi: out in = α α = (53) Dalle struttura del modello si vede che a β = corrisponde il fatto che non ci sia nessuno scarto dall impianto di rigenerazione in modo che tutto l alluminio in ingresso all impianto viene trasformato in scatolette con il conseguente rendimento unitario dell impianto della Ditta Best cans. Un altro modo di procedere è il seguente. Si consideri che si ha: out in (54) per cui tale rapporto al massimo può valere in modo che sia: α β( α) = (55) ovvero: α = β +βα (56) se si applica il principio di identità dei polinomi si ottiene β =. 2