Modellistica Ambientale/Modelli Matematici Ambientali - A.A. 2014/2015 Seconda prova scritta, Appello estivo 29 Giugno 2015

Transcript

1 Modellistica Ambientale/Modelli Matematici Ambientali - A.A. 2014/2015 Seconda prova scritta, Appello estivo 29 Giugno 2015 Parte comune a Modellistica Ambientale e Modelli Matematici Ambientali Schema di soluzione Il testo che segue contiene a grandi linee le soluzioni degli esercizi contenuti nella parte comune a Modellistica Ambientale e Modelli Matematici Ambientali della prova scritta del 29 Giugno Di tutti gli esercizi si forniscono solo tracce, quasi sempre incomplete, di soluzione mentre i dettagli sono lasciati alla iniziativa e intelligenza individuali. Esercizio 1, 5 punti [ ] Si abbiano le seguenti equazioni differenziali: { ẋ = 3x xy ẏ = x 2 y 3 (1) Quesito A, 2 punti Si determinino i punti di equilibrio di tali equazioni differenziali. Imponendo ẋ = 0 e ẏ = 0 dalla prima equazione differenziale si ottiene x = 0 e y = 3. Si vede subito che x = 0 non può essere di equilibrio per la seconda equazione differenziale mentre da y = 3 si ricava facilmente x = ±1 in modo che i punti di equilibrio sono: (1) (1,3) (2) ( 1,3) Quesito B, 3 punti Di ciascun punto di equilibrio se ne studi la stabilità. La matrice A delle derivate parziali ha la struttura seguente: ( ) 3 y x A = 2xy x 2 (2) 1

2 Valutandola in ciascuno dei punti di equilibrio si può risolvere la seguente equazione: det(a λi) = 0 (3) dalla quale si ricava facilmente che entrambi i punti di equilibrio sono di tipo instabile. Esercizio 2, 6 punti [ ] Si consideri la seguente equazione differenziale del secondo ordine: ü+a u+bu = 0 (4) con a e b costanti indipendenti da u e da t. Quesito A, 2 punti Si dica quali vincoli si devono imporre sulle costanti a e b perché la u(t) soluzione della (4) abbia un andamento decrescente nel tempo ma senza oscillazioni. Dai requisiti si ha che gli autovalori soluzioni dell equazione caratteristica associata all equazione differenziale data devono soddisfare i seguenti requisiti: - devono essere reali, - devono essere negativi. L equazione caratteristica associata alla (4) è la seguente: Dato che voglio radici reali negative deve essere: a > 0 b > 0 = a 2 4b > 0 λ 2 +aλ+b = 0 (5) I primi due requisiti mi garantiscono che le radici sono negative o di parte reale negativa(perché mi garantiscono che la(5) ha due permanenze in segno) mentre il terzo mi assicura che sono reali. Si noti che se è b > 0 si ha: = a 2 4b < a (6) I vincoli da porre sui coefficienti ae b sono pertanto i seguenti: 2

3 a > 0 b > 0 b < a2 4 Quesito B, 2 punti Sotto tali vincoli si fissino due valori a piacere per a e per b e si risolva la (4) con le seguenti condizioni iniziali: u(0) = 2 u(0) = 0 Si può porre, ad esempio: a = 4 b = 3 in modo che gli autovalori siano: λ 1 = 1 λ 2 = 3 in modo da ottenere: u(t) = C 1 e t +C 2 e 3t (7) con C 1 e C 2 costanti i cui valori sono facilmente ricavabili dalle condizioni iniziali note. Quesito C, 2 punti Si disegni il modello Vensim corrispondente alla (4) con a e b senza vincoli particolari (a parte quello di essere non nulli) e per il modello proposto si specifichino le relazioni matematiche fra le variabili e, per queste ultime, le necessarie unità di misura. Se si pone w = u si ha ẇ = ü in modo che l equazione differenziale data si trasformi nella seguente coppia di equazioni differenziali lineari del primo ordine: { u = w (8) ẇ = aw bu dalle quali è immediato ricavare sia il modello Vensim sia le unità di misura richieste. 3

4 Esercizio 3, 5 punti [ ] Si consideri il seguente andamento nel tempo di una variabile: P(t) = 2e t cos(2t) (9) Quesito A, 3 punti Si ricavi l equazione differenziale di cui la (9) è soluzione e nella quale non deve comparire in modo esplicito il parametro t ovvero si vuole il sistema dinamico che ha la (9) come soluzione. Dalla forma della P si ha che gli autovalori sono i seguenti valori complessi coniugati: λ 1 = 1+2i λ 2 = 1 2i in modo che sia: λ 1 λ 2 = 5 λ 1 +λ 2 = 2 da cui si ricava la struttura dell equazione caratteristica: e, infine, quella dell equazione differenziale cercata: λ 2 +2λ+5 = 0 (10) P +2 P +5P = 0 (11) Quesito B, 2 punti Una volta ricavata l equazione differenziale la si trasformi in modo da potervi associare un modello Vensim per il quale è necessario specificare esplicitamente tutte le relazioni matematiche fra le varie variabili (flussi e livelli). Se si pone w = P si ha ẇ = P in modo che l equazione differenziale data si trasformi nella seguente coppia di equazioni differenziali lineari del primo ordine: { P = w ẇ = 2w 5P (12) dalle quali è immediato ricavare sia il modello Vensim sia le relazioni richieste. 4

5 Esercizio 4, 4 punti [ ] Si abbiano le seguenti equazioni differenziali: { ẋ = ax+by ẏ = cx+dy (13) (con a,b,c,d costanti non nulle) e si sappia che gli autovalori corrispondenti sono entrambi nulli. Quesito A, 2 punti Si determinino i conseguenti vincoli fra le costanti a,b,c,d. I vincoli non devono riguardare il segno delle singole costanti. L equazione caratteristica associata alle (13) è la seguente: λ 2 (a+d)λ+ad bc = 0 (14) Dato che si sa che gli autovalori sono nulli ovvero: si ha: λ 1 = 0 λ 2 = 0 λ 1 +λ 2 = a+d = 0 λ 1 λ 2 = ad bc = 0 per cui i vincoli richiesti sono i seguenti: a = d a b = c d ovvero c a = d b vincoli che possono essere scritti anche nella forma seguente: a = d bc = d 2 Quesito B, 2 punti Si determinino le conseguenze che derivano da tali vincoli sul numero degli equilibri delle (13). All equilibrio ho: 5

6 y = a b x = d b x y = c d x = c a x in modo che le due rette sono coincidenti ovvero si hanno infiniti punti di equilibrio. Si noti che dalla ad bc = 0 si ha che la matrice A dei coefficienti del nostro sistema di equazioni differenziali non è invertibile. Esercizio 5, 10 punti [ ] Si consideri una sostanza S (con [S] = moli) che si può trovare in tre stati distinti che diremo S 1, S 2 e S 3. Per motivi legati alla sua natura tale sostanza è soggetta a delle trasformazioni che comportano: - il passaggio dallo stato S 1 allo stato S 2 ; - il passaggio dallo stato S 2 allo stato S 3 ; - il passaggio dallo stato S 3 allo stato S 1. Nel nostro sistema si assume che non ci sia né creazione né distruzione della sostanza S che subisce soltanto le trasformazioni suddette. Da studi teorici si sa che: - la trasformazione da S 1 a S 2 è di tipo push secondo una costante a > 0 [a] = 1/t - la trasformazione da S 2 a S 3 è di tipo push secondo una costante b > 0 [b] = 1/t - la trasformazione da S 3 a S 1 è di tipo misto secondo una costante c > 0 [c] = 1/(t moli) Quesito A, 2 punti Si disegni il modello Vensim corrispondente specificando esplicitamente le equazioni dei flussi. Il disegno del modello Vensim deriva banalmente dalle equazioni differenziali per cui è lasciato come esercizio insieme alla specifica delle espressioni dei flussi. Quesito B, 2 punti Si scrivano le equazioni differenziali corrispondenti. Le equazioni differenziali cercate sono le seguenti: Ṡ 1 = cs 1 S 3 as 1 Ṡ 2 = as 1 bs 2 Ṡ 3 = bs 2 cs 1 S 3 (15) 6

7 Quesito C, 4 punti Se ne ricavino le condizioni di equilibrio e di ciascuna famiglia se ne fornisca una giustificazione sulla base della struttura del modello. Le condizioni di equilibrio sono ricavabili dalle seguenti relazioni: S 1 (cs 3 a) = 0 as 1 bs 2 = 0 bs 2 cs 1 S 3 = 0 (16) Dalla prima relazione si ottiene S 1 = 0 e dalla seconda, come conseguenza, si ha S 2 = 0 per cui, dalla terza relazione, S 3 può assumere un valorequalunque che si può determinare dalla Ṡ3 = 0 da cui si ha S 3 = k = S 3 (0). Si hanno pertanto infiniti punti di equilibrio, uno per ogni valore iniziale del livello S 3. In questa famiglia di condizioni di equilibrio si ha che il livello S 1 è vuoto e lo stesso dicasi per il livello S 2 per cui il livello S 3 rimane al suo valore iniziale perché non viene né incrementato né decrementato dato che i flussi ad esso associati sono nulli. Dalla prima relazione si ottiene anche S 3 = a/c mentre dalle altre due si ottiene: S 2 = a b S 1 (17) in modo che, anche in questo caso, si hanno infiniti equilibri. Se si considera S 1 si hanno i flussi seguenti, con ovvio significato per i simboli usati: f S1 S 2 = as 1 f S2 S 3 = bs 2 = as 1 f S3 S 1 = cs 1 S 3 = as 1 (18) in modo che per ogni valore iniziale di S 1 si hanno i flussi e i valori degli altri livelli che garantiscono l equilibrio. Quesito D, 2 punti Conoscendo i valori iniziali S 1 (0) > 0, S 2 (0) > 0 e S 3 (0) > 0 si ricavi il valore di S 1 (t)+s 2 (t)+s 3 (t) e si giustifichi la risposta data. Dato che il sistema è chiuso ovvero non si ha né creazione né distruzione di materia si può dedurre che si ha: S 1 (t)+s 2 (t)+s 3 (t) = S 1 (0)+S 2 (0)+S 3 (0) = k (19) In modo più formale, sommando membro a membro le equazioni differenziali date si ha: Ṡ +Ṡ2 +Ṡ3 = 0 (20) 7

8 dalla quale, integrando fra S i (0) e S i (t), si ottiene la relazione precedente. Esercizio 6, 10 punti [ ] Ed Clinker ha scovato nelle Montagne Uggiose un grosso giacimento del rarissimo Urbidio. Ad una stima attendibile il materiale estraibile dal giacimento ammonta a U(0) = 1000 Ton. Senza perdersi in dettagli e per spiazzare i cercatori concorrenti Ed mette su un impianto di pretrattamento P che ha una capacità massima P max = 250Ton ed è in grado di immagazzinare il materiale mano a mano che viene estratto prima che questo venga spedito agli impianti di raffinazione. L estrazione (e il conseguente immagazzinamento nell impianto P) dipendono dalla capacità residua dell impianto secondo un coefficiente a [0, 1] con [a] = 1/Month. La spedizione, a causa di difficoltà logistiche che non dipendono dalla volontà di Ed, riguarda solo una frazione b per unità di tempo (ovvero [b] = 1/Month) del materiale immagazzinato nell impianto di pretrattamento P. Quesito A, 2 punti Si disegni il modello Vensim corrispondente specificando le espressioni dei flussi. Il modello ha due livelli: - il primo U (di valore iniziale U(0)) per l Urbidio; - il secondo P (di valore iniziale P(0)) per l impianto di pretrattamento. Dal livello U si ha un solo flusso in uscita la cui definizione è la seguente: UtoP=IF THEN ELSE(U>0, a*(pmax-p), 0 ) Tale flusso è in ingresso al livello P che ha in uscita il flusso b P. Quesito B, 2 punti Si scrivano le equazioni differenziali corrispondenti. Le equazioni differenziali richieste sono le seguenti: { U = a(p max P) P = a(p max P) bp (21) Quesito C, 4 punti Si risolvano le equazioni differenziali ricavate al punto precedente assumendo P(0) = 0. 8

9 Dalla seconda equazione differenziale si ricava facilmente la P come somma della soluzione dell equazione omogenea associata e della soluzione particolare: P(t) = P o (t)+p p (t) = a a+b P max +he (a+b)t (22) Usando la condizione iniziale per ricavare il valore di h si ha: in modo che sia: P(0) = 0 P( ) = a a+b P max P(t) = a a+b P max(1 e (a+b)t ) (23) Dalla prima equazione differenziale per integrazione diretta si ricava la U(t) che il valore seguente: U(t) = U(0) a a+b P maxt+ a2 (a+b) 2P max(e (a+b)t 1) (24) Da tale espressione si vede come si ha: per t = 0 U(0) > 0 per t = U( ) = per cui, essendo la U(t) continua, esiste un valore di t che diremo t tale che U(t ) = 0 che rappresenta il valore richiesto dl quesito seguente ovvero l istante in cui il giacimento di Urbidio si esaurisce. Quesito D, 2 punti Dato che Ed ha tutto l interesse a sfruttare il giacimento di Urbidio il più velocemente che può si può assumere che sia a = 1 mentre le difficoltà logistiche per lui insormontabili impongono che sia b = In tali condizioni si calcoli approssimativamente in quanti mesi Ed riesce ad estrarre tutto l Urbidio svuotando così il giacimento da lui scoperto nelle Montagne Uggiose. Suggerimento Per quest ultimo quesito si può procedere in uno dei modi seguenti (mutuamente esclusivi): - si assuma che sia passato un tempo sufficiente perché la P(t) sia all equilibrio e si usi tale valore per risolvere la U prendendo come valore iniziale il valore U(0) = 777T on e non il valore precedentemente fornito; 9

10 - si ricavi la U(t) e nel fare i calcoli necessari si separi la parte lineare da quella esponenziale. A questo punto si valuti quando la parte lineare incontra l asse delle ascisse e che valore assume un unità di tempo dopo e poi si determini il valore della parte esponenziale nel secondo istante di tempo e si traggano le necessarie conseguenze. Usando il primo suggerimento si ha: e quindi: P = a a+b P max (25) U = a(p max P) = ap max + a2 a+b P max = ab a+b P max (26) Integrando tale equazione differenziale si ha: U(t) = U (0) ab a+b P maxt (27) con U (0) = 777. Si vuole t tale che U(t ) = 0 per cui dalla relazione precedente si ha: t = U (0) a+b 42 (28) P max ab Usando il secondo suggerimento e i valori numerici noti si impone U(t) = 0 e, separando la parte lineare da quella esponenziale, si ottiene la seguente uguaglianza: 18.52t = e 1.0t8t (29) Il termine a primo membro si annulla per t 41 mentre per t = 42 assume il valore Il termine a secondo membro per t = 41 ha un valore piccolo ma strettamente positivo mentre per t = 42 assume un valore ancora minore e di sicuro minore di 1 per cui, in base alla continuità delle due curve in questione, si ha l eguaglianza fra i due membri per un valore t [41,42]. 10