EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE"

Transcript

1 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere e simboli di operazioni) che può essere vera o falsa a seconda dei valori attribuiti alle lettere, dette incognite dell equazione. ESEMPI: 2 x = 3 è un equazione in una incognita e cosí pure x 2 = 4 2 x + y non è un equazione perché non c è l uguale 2 3 = 6 non è un equazione perché non ci sono incognite 2 x + y = 0 è un equazione in due incognite x + y = z 1 è un equazione in tre incognite La parte che precede il segno di uguaglianza si dice primo membro, quella che lo segue si dice secondo membro dell equazione. I valori che rendono vera l uguaglianza sono detti soluzioni dell equazione. Se una uguaglianza non è mai verificata, diremo che l equazione è impossibile o che non ha soluzioni (per esempio l equazione x 2 = 1 non ha soluzioni reali, l equazione 2 x = 3 non ha soluzioni intere). Se un uguaglianza è sempre verificata diremo che l equazione è una identità. Esempi di identità sono i cosiddetti prodotti notevoli, quali: x 2 y 2 = (x y)(x + y) (x y) 2 = x 2 2 x y + y 2 (x + y) 2 = x x y + y 2 x 3 y 3 = (x y)(x 2 + xy + y 2 ) x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 xy + y 2 ) (x ± y) 3 = x 3 ± 3 x 2 y + 3 x y 2 ± y 3 (osserviamo che queste identità valgono perché vale la proprietà commutativa della moltiplicazione, cioè si usa che x y = y x, ma nel caso delle matrici ad esempio vedremo che tali identità non valgono). È un identità anche qualunque sviluppo di un prodotto: (x 2)(x 3) = x 2 5 x + 6 o qualunque fattorizzazione di un polinomio, come x 2 2 x x y + 2 y = (x 2)(x y) che si ottiene raccogliendo x tra i primi due addendi e y tra i secondi due.

2 ! Usando una o piú identità si possono trasformare equazioni complicate in equazioni piú semplici da risolvere. Per esempio, se si vuole risolvere l equazione x 2 2 x x y + 2 y = 0, usando l identità precedente la si trasforma in (x 2)(x y) = 0 ottenendo immediatamente le soluzioni x = 2 oppure x = y (sembrano due, in realtà sono infinite soluzioni, come vedremo tra poco). Infatti perché si annulli il prodotto deve essere nullo almeno uno dei due fattori (si vedrà nei corsi, col prodotto di funzioni o col prodotto di matrici, che questa proprietà non è vera in generale, ma nel caso dei numeri reali o dei polinomi a coefficienti reali essa vale). La strategia per le equazioni polinomiali è trasformare un polinomio nel prodotto di polinomi di grado piú basso (possibilmente di primo grado). Invece una strategia tipica, ma stupida perché fa solo perder tempo (e se le equazioni sono di grado piú alto di due fa anche perdere di vista le soluzioni), è di trasformare e- quazioni già in forma di prodotto, come (x 2)(x 3) = 0, in una somma (in questo caso x 2 5 x + 6 = 0 ) per poi usare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado ax 2 +bx +c = 0 " x = "b ± b2 " 4ac 2a e quindi riottenere dopo un po di calcoli i valori che si trovavano immediatamente u- guagliando a zero i fattori. Nel nostro caso x = 5 ± 25 " 24 2 # % 6 = $ 2 = 3 4 &% 2 = 2 2 e cioè le soluzioni x = 2 o x = 3 (uso la congiunzione o e non e perché e indica che le due cose avvengono contemporaneamente, mentre o vuol dire che avviene una delle due). Oppure usare la formula risolutiva quando manca il termine noto, invece di vedere che si può raccogliere x, o quando manca il termine di primo grado. Esempi : data x 2 2x = 0 si raccoglie x e si ottiene x(x 2) = 0 da cui si ha subito x = 0 oppure x = 2. Se invece si ha un equazione del tipo x 2 = a essa ha soluzioni reali se e solo se a 0. Se a = 0 c è solo la soluzione nulla, mentre se a > 0 ha due soluzioni: a e a intendiamo solo la radice positiva di a. a. A questo proposito ricordo che col simbolo Un altro esempio di grado piú alto, ma riducibile in prodotto di fattori di primo o secondo! grado (come tutte le equazioni polinomiali a coefficienti! reali) è: x 7 64x = 0. Si ha x 7 64x = x (x 6 64) = x (x 3 8) (x 3 + 8) = x (x 2) (x 2 + 2x + 4) (x + 2) (x 2 2x + 4) da cui si ottengono come uniche soluzioni x= 0 oppure x= 2 o x = 2. Infatti le due equazioni di secondo grado non hanno soluzioni reali (vedremo quando studieremo i numeri complessi come fattorizzare x 7 64x in polinomi di primo grado).

3 3 Definizione: Due equazioni si dicono equivalenti se e solo se hanno esattamente le stesse soluzioni (tutte e sole). OSSERVAZIONE: per ricavare le soluzioni delle equazioni si usa il fatto che sottraendo o sommando una stessa espressione (purché sempre definita) le soluzioni non cambiano cioè le due equazioni sono equivalenti. Grazie a questo principio è possibile trasportare da un membro all altro qualsiasi quantità cambiandole il segno. Se un equazione è equivalente a un altra e questa seconda è equivalente a una terza, allora la prima sarà equivalente alla terza (transitività). Se si moltiplicano o dividono i due membri dell equazione per uno stesso numero diverso da 0 si ottiene un equazione equivalente. Se si somma o si sottrae una stessa espressione (ben definita) ad ambo i membri si ottiene un equazione equivalente. Invece spesso sono usati dei metodi che alterano le soluzioni dell equazione per cui bisogna stare attenti ed eliminare le soluzioni in piú o aggiungere soluzioni perse. Se non si sta attenti si può arrivare a equazioni che non hanno nulla in comune con quella di partenza. ESEMPIO: Partiamo da x 1 = 0 (che ha soluzione x=1). Moltiplichiamo per x ambo i membri: x 2 x = 0 Sommiamo x 1 ad ambo i membri: x 2 1 = x 1 Scomponiamo il primo membro in fattori: (x 1)(x+1)= x 1 Dividiamo per x 1 ambo i membri: x+1 = 1 Sottraiamo 1 ad ambo i membri: x = 0. Abbiamo certamente fatto errori perche abbiamo trovato una soluzione completamente diversa da quella di partenza. Quali? Le trasformazioni che creano problemi sono la moltiplicazione o divisione per espressioni non numeriche (che quindi possono annullarsi per certi valori), l elevamento a potenza pari (che può aggiungere soluzioni), l estrazione di radice pari (che può far perdere soluzioni). Nell esempio sopra per moltiplicare per x dovevamo escludere x = 0, per dividere per x 1 dovevamo escludere x = 1 che invece era proprio la nostra soluzione di partenza. Vediamo alcuni altri esempi:

4 4 x 2 4 = 3x 6. Se dividiamo per il fattore comune x 2 otteniamo x + 2 = 3, ossia x = 1, ma in tal modo perdiamo la soluzione x = 2, questo perché abbiamo diviso per qualcosa che per x = 2 si annulla. È quindi importante controllare sempre gli zeri di ciò per cui si moltiplica o si divide e togliere o aggiungere tali soluzioni. 2x 1 = 3 ha l unica soluzione x = 2. Se eleviamo al quadrato otteniamo 4x 2 4x +1 = 9 che oltre alla soluzione x = 2 ha anche x = 1 che non risolve l equazione iniziale. Se invece abbiamo (x + 3) 2 = 4 non possiamo estrarre la radice e ridurla a x + 3 = 2 perché perderemmo la soluzione x = 5, ma dobbiamo distinguere due casi: x + 3 = 2 e x + 3 = 2. Analoga attenzione occorre nelle equazioni con radici come x! 3 = x 2! 6x + 9. Se eleviamo al quadrato diventa una identità, ma la radice è un numero non negativo (se non mettiamo davanti il meno), per cui l equazione è soddisfatta solo se x 3 0, cioè ogni x 3 è soluzione e non ce ne sono altre. ATTENZIONE: Se c è una sola incognita ogni soluzione è costituita da un numero; per esempio l unica soluzione razionale di 2 x = 3 è x = 3 2. L equazione x2 = 4 ha due soluzioni 2 e! 2, ciascuna costituita da un solo numero. Se ci sono due incognite ogni soluzione è data da una coppia ordinata di numeri, se ce ne sono tre da una terna ordinata di numeri e cosí via. Per esempio le soluzioni di 2 x + y = 0 sono infinite e si ottengono ricavando un incognita in funzione dell altra. L equazione è infatti equivalente a y = 2 x e quindi ciascuna soluzione è una coppia di numeri del tipo (a, 2 a ) dove ad a possiamo dare qualsiasi valore reale (la lettera a si dice in tal caso parametro). O si ricava y in funzione di x come sopra, oppure si ricava x in funzione di y ottenendo x = " y # e quindi ciascuna soluzione è una coppia di numeri del tipo " b 2 2, b & % ( al variare $ ' # del parametro b. Non ha senso scrivere " y 2, " 2x & % (, infatti se variano sia x che y queste $ ' coppie rappresentano tutte le coppie di numeri reali! e non solo le soluzioni dell equazione.!

5 5 PRECISAZIONE: chiamiamo parametro una lettera che può assumere qualsiasi valore nell insieme di numeri che consideriamo, mentre chiamiamo incognita una lettera di cui cerchiamo valori da sostituirle in modo da soddisfare l equazione. Oppure le soluzioni dell equazione vista prima x 2 2 x x y + 2 y = 0 che avevamo espresso brevemente scrivendo x = 2 o x = y sono tutte le coppie del tipo (2,a) e tutte quelle del tipo (b,b) al variare dei parametri a,b nei numeri reali. Faccio notare per inciso che se avessi scritto x = 2 e x = y avrei inteso le soluzioni del sistema # " $ x = 2 % $ e cioè x = y soltanto la coppia (2,2). Non sempre però per avere un unica soluzione in due variabili occorre un sistema. Per esempio x 2 + y 2 = 0, pur essendo un equazione sola, ha nell insieme dei numeri reali soltanto la soluzione nulla, cioè la coppia (0,0). Analogamente x 2 + y 2 + z 2 = 0 ha solo la soluzione nulla, mentre le soluzioni di x + y = z 1 sono date dalle terne del tipo (a, b, a + b + 1), dove a e b variano a piacere. La terna (1,0,2) è una soluzione, cosí come la terna (0, 1, 2) o la terna (7, 2, 10). Ce ne sono infinite dipendenti dai 2 parametri a e b. Invece affermare che x = 7 è una soluzione o chiedersi se y = 3 lo è non ha alcun senso. Infatti tutte le terne del tipo (7,b,b+8) sono soluzione ma ci sono terne con x=7 che non sono soluzione, per esempio (7,7,7). È importare anche osservare che la terna deve essere ordinata infatti (7, 2, 10) è una soluzione, ma (10, 7, 2) non lo è perché È importante anche chiedersi in quale ambiente cerchiamo le soluzioni. Se nei numeri reali, nei razionali, negli interi, nei naturali. Questo dipende dal tipo di situazione che cerchiamo di matematizzare. Se le equazioni nascono da problemi concreti non si possono accettare tutte le soluzioni che vengono dal calcolo puramente teorico.! Se per esempio si vuole prendere un caffé che costa 30 centesimi di euro da una macchinetta che non dà resto usando monete da 10, 5, 2 centesimi di euro occorre risolvere l equazione: 10 x + 5 y + 2 z = 30. Se le cerchiamo nei numeri reali, sia (2,2,0) sia (1, 2, 5) sia ( 1, 4, 10) sia (1, 3, 5 ) sia (π, -2π, 15) sono terne soluzione 2 dell equazione (ce ne sono infinite altre), ma tra le cinque qui elencate per il nostro problema concreto solo le prime due sono accettabili, la terza no perché la macchinetta non dà resto e nemmeno la quarta perché non possiamo spezzare le monetine (ci darebbe informazioni se la macchinetta accettasse anche le monete da 1 centesimo, ma solo con la convenzione che 5 della moneta da 2 centesimi equivale a 5 monete da un centesimo), 2 la quinta poi non riusciamo neanche a capire che cosa significa concretamente.

6 In linguaggio matematico potremmo riassumere il discorso dicendo che in questo caso ha senso cercare soluzioni solo nell insieme dei numeri naturali. 6 In alcuni casi il problema ha incognite nascoste. Per esempio se cerchiamo i punti del piano cartesiamo che stanno sulla retta di equazione x = 4, dobbiamo introdurre anche l incognita y che potrà variare a piacere. Allora le coppie (4,1), (4, π), (4, 2 ) e piú in generale (4, b) sono soluzioni dell equazione della retta. Digressione geometrica: EQUAZIONE DELLA RETTA NEL PIANO Un sistema di riferimento cartesiano del piano è costituito da una coppia di rette orientate, dette asse x o asse delle ascisse e asse y o asse delle ordinate, perpendicolari tra loro (in realtà non sarebbe necessario, ma semplifica le cose), e da una unità di misura, che si sceglie in genere uguale sui due assi. Il punto O in cui i due assi si intersecano viene detta origine del riferimento cartesiano. È possibile assegnare a ogni punto P del piano una coppia di numeri, detti coordinate, proiettando il punto perpendicolarmente sui due assi. Il primo numero della coppia si chiama ascissa ed è il numero che si ottiene come intersezione dell'asse x e della retta per P parallela all'asse y (ricordiamo che vi è corrispondenza biunivoca tra punti di una retta e numeri reali), il secondo numero della coppia si chiama ordinata ed è il numero che si ottiene come intersezione dell'asse y e della retta per P parallela all'asse x. Viceversa, data una coppia (a, b) di numeri reali, possiamo segnare i due numeri sui due assi del riferimento e ottenere il punto P come intersezione delle due rette perpendicolari agli assi e passanti per a e b. Allora possiamo ricavare l'equazione della retta nel piano, distinguendo i vari casi: - retta parallela all'asse x: è il luogo dei punti del piano aventi ordinata costante. Questa definizione diventa l'equazione y = k, dove k è un numero reale fissato (osserviamo che possiamo considerarla un equazione in due incognite in cui x non compare, il che vuol dire che può assumere qualunque valore). In particolare, l'asse x ha equazione y = 0. - retta parallela all'asse y: è il luogo dei punti del piano aventi ascissa costante. Questa definizione diventa l'equazione x = k, dove k è un numero reale fissato. In particolare, l'asse y ha equazione x = 0. - retta passante per l'origine e non parallela ad uno degli assi. Sulla retta r consideriamo i punti A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ), C(x 3 ; y 3 ),... e i triangoli OAA OBB, OCC....Tutti questi triangoli sono simili, avendo i tre angoli uguali, e quindi hanno i lati in proporzione. Indicando con m il valore del rapporto tra i cateti opposti e quelli adiacenti all'angolo " formato tra l'asse x e la retta, si ha: y 1 = y 2 = y 3 =... = m (vedrete facendo trigonometria che m è la tangente dell angolo " e perciò si x 1 x 2 x 3 dice coefficiente angolare della retta). La retta r è definita come il luogo dei punti P(x; y) del piano per i quali è costante il rapporto tra ordinata y e ascissa x, il che si traduce nell'equazione y = mx.

7 7 - retta non passante per l'origine e non parallela ad uno degli assi. Se consideriamo la parallela a r per l origine di equazione y = mx possiamo osservare che a parità di ascisse le ordinate variano per una costante q che è l ordinata del punto di r corrispondente a x=0. L equazione di r è dunque y=mx+q. Tutti i casi esaminati si riassumono dicendo che l equazione di una retta è della forma: ax+by+c=0 con a,b non entrambi nulli e viceversa ogni equazione di questo tipo rappresenta una retta nel piano. Se moltiplichiamo tutti i coefficienti per una costante otteniamo sempre la stessa retta Allora un equazione di primo grado in due variabili ha infinite soluzioni date dai punti della retta. Risolvere invece ax+c=0 in una variabile equivale a vedere dove la retta incontra l asse x cioè a risolvere il sistema " $ ax +by +c = 0 # % $. y = 0

8 2. DISEQUAZIONI 8 Definizione: una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere e simboli di operazioni) che può essere vera o falsa a seconda dei valori attribuiti alle lettere, dette incognite della disequazione. I simboli di disuguaglianza sono <,, >,. Risolvere una disequazione significa trovare i valori che sostituiti alle incognite rendono vera la disuguaglianza. Come per le equazioni ogni soluzione sarà costituita da singoli numeri (naturali, interi, razionali, reali ) o da una coppia o terna o n-upla di numeri a seconda di quante sono le incognite. Risolvere la disequazione significa trovarle tutte. ESEMPI: x 2 < 0 non ha soluzioni reali; x 2 0 ha solo la soluzione nulla; x 2 (x-1) 2 0 ha due soluzioni 0 e 1; (x 2) 2 > 0 ha come soluzione tutti i numeri reali escluso 2; (x 2) 2 0 ha come soluzione tutti i numeri reali. Se cerchiamo le soluzioni di una disequazione a un incognita nei reali spesso sono intervalli o unione di intervalli. INTERVALLI Fissati a, b!r (il simbolo " significa appartiene ) si definiscono: intervallo aperto l insieme ( a, b) = { x!r a < x < b}; intervallo chiuso l insieme [ a, b] = { x!r a " x " b}; intervallo semiaperto a sinistra l insieme ( a, b] = { x!r a < x " b}; intervallo semiaperto a destra l insieme [ a, b) = { x!r a " x < b}. In particolare si denotano gli intervalli illimitati (semirette) usando il simbolo che significa infinito : a, +! ( ) = { x "R x > a} ; [ a,+" ) = { x # R x $ a} ("#,b) = { x $ R x < b} ; ("#,b] = { x $ R x % b} Per trovare le soluzioni si può trasformare la disequazione mediante alcune operazioni. Non altera la disequazione sommare o sottrarre una stessa espressione ad ambo i membri. Quando si moltiplica (per espressioni non nulle) si deve tener conto che se si moltiplica per numeri positivi la disequazione non cambia, mentre se si moltiplica per numeri negativi si deve invertire il simbolo di diseguaglianza. Riguardo poi all elevamento a potenza o all estrazione di radice occorre prudenza come per le equazioni.

9 9 ESEMPI: 2 x 7 < 5 x 4 Sottraendo 5x e sommando 7 ad ambo i membri si ottiene 3 x < 3 e dividendo per 3 la disuguaglianza si inverte e si ottiene x > 1 ( e non come fanno molti x < 1!). Questa disuguaglianza si poteva anche dedurre geometricamente considerando le due rette y = 2 x 7 e y = 5 x 4 e guardando quando la prima stava sotto la seconda y=2x-7 y=5x-4 x 2 > 4 L errore tipico è osservare che x 2 = 4 se x = ± 2 ededurre x > ± 2! Se portiamo 4 a primo membro si ottiene x 2 4 > 0 ossia (x 2)(x+2)>0. Ora per le regole dei segni un prodotto di due fattori è positivo se essi hanno lo stesso segno. Il primo fattore è positivo per x > 2, l altro per x > 2, quindi per x > 2, sono entrambi positivi, per x < 2 sono entrambi negativi. Le soluzioni sono quindi ("#,"2 ) $ ( 2,+# ). La soluzione si poteva vedere anche geometricamente intersecando la parabola y = x 2 con la retta y = 4 e prendendo sull asse x gli intervalli che corrispondono ai punti della parabola che stanno sopra alla retta.

10 Oppure si poteva portare 4 a primo membro e confrontare la parabola y = x 2 4 con l asse x. 10 Digressione geometrica: CENNI SULLA PARABOLA La parabola luogo dei punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice. La sua equazione si può scrivere nella forma y = a x 2 se si sceglie come asse y la perpendicolare alla direttrice per il fuoco (che è l asse di simmetria della parabola) e come origine il vertice, cioè il punto di intersezione dell asse y con la parabola. Se a > 0 la parabola è rivolta verso l alto se a < 0 la parabola è rivolta verso il basso Ovviamente traslando l origine lungo l asse y l equazione diventa y = a x 2 + c e se ci si sposta anche orizzontalmente si ottiene y = a x 2 + b x + c (se si fanno anche ruotare gli assi, l equazione diventa della forma piú generale ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 ed è difficile distinguerla dalle altre coniche (ellisse, iperbole, coppia di rette incidenti o parallele). Ogni equazione del tipo y = a x 2 + b x + c rappresenta una parabola e se ne può determinare il vertice " # 2a b,c " b2 & % ( $ 4a infatti completando i quadrati: si ottiene y = a ' ( x + 2a b ) 2 " b2 + c da cui ponendo * # 4a 2 ) + X = x + 2a b Y = y " % c " $ b2 & l equazione diventa Y = a X 2. + (, 4a'! Viceversa la parabola con asse parallela all asse y e vertice (p,q) ha equazione y q = a (x p) 2. Il coefficiente a si determina imponendo il passaggio per un altro punto

11 11 Ogni volta che si ha una disequazione di secondo grado quindi la si può risolvere o fattorizzando il polinomio di secondo grado nel prodotto di due di primo, oppure ragionando geometricamente. infatti portando tutto a primo membro ci si trova a confrontare l asse x con una parabola y = a x 2 + b x + c. Le mutue posizioni possono essere le seguenti: a > 0 " > 0 " = 0 " < 0 a < 0 Quindi la disequazione a x 2 + b x + c > 0 ha soluzione rispettivamente " > 0 " = 0 " < 0 se a > 0 se a < 0 per i valori esterni sempre tranne nel vertice sempre per i valori interni mai mai a x 2 + b x + c 0 ha soluzione rispettivamente " > 0 " = 0 " < 0 se a > 0 per i valori esterni compresi gli estremi sempre sempre se a < 0 per i valori interni compresi gli estremi solo nel vertice mai Le due righe si scambiano quando si scambia la disuguaglianza.

0. Piano cartesiano 1

0. Piano cartesiano 1 0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine

Dettagli

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica a.a. 2006/2007 Docente Ing. Andrea Ghedi Lezione 2 IL PIANO CARTESIANO 1 Il piano cartesiano In un piano

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0.

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Le uguaglianze fra espressioni numeriche si chiamano equazioni. Cercare le soluzioni dell equazione vuol dire cercare quelle combinazioni delle lettere che vi compaiono che la

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Sistemi di primo grado

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica CAPITOLO 1 LE FUNZIONI Exercise 1.0.1. Risolvere le seguenti disuguaglianze: (1) x 1 < 3 () x + 1 > (3) x + 1 < 1 (4) x 1 < x + 1 x 1 < 3 x + 1 < 3 x < 4 Caso: (a): x 1

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

Scheda I. 3 La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso.

Scheda I. 3 La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso. Scheda I. La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso. Dopo Menecmo, Archita, Eratostene molti altri, sfidando gli dei hanno trovato interessante dedicare il loro tempo per trovare una

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA (Classe 7) Corso di Matematica per l Economia (Prof. F. Eugeni) TEST DI INGRESSO Teramo, ottobre 00 SEZIONE

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag. SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

LA RETTA. b) se l equazione si presente y=mx+q (dove q è un qualsiasi numero reale) si ha una retta generica del piano.

LA RETTA. b) se l equazione si presente y=mx+q (dove q è un qualsiasi numero reale) si ha una retta generica del piano. LA RETTA DESCRIZIONE GENERALE Nella GEOMETRIA ANALITICA si fa sempre un riferimento rispetto al piano cartesiano Oxy; questa riguarda lo studio della retta, delle trasformazioni lineari piane e delle coniche.

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

Pre Test 2008... Matematica

Pre Test 2008... Matematica Pre Test 2008... Matematica INSIEMI NUMERICI Gli insiemi numerici (di numeri) sono: numeri naturali N: insieme dei numeri interi e positivi {1; 2; 3; 4;...} numeri interi relativi Z: insieme dei numeri

Dettagli

I sistemi lineari. 1. I sistemi di due equazioni in due incognite CAPITOLO

I sistemi lineari. 1. I sistemi di due equazioni in due incognite CAPITOLO I sistemi lineari CAPITOLO 0 TEORIA Internet Più della metà delle famiglie in Italia dispone di una connessione ADSL e il numero è in continua crescita. L offerta di tariffe e tecnologie dei gestori telefonici

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

Generalità sulle funzioni

Generalità sulle funzioni Capitolo Concetto di funzione Generalità sulle funzioni Definizione di funzione Definizione Dato un sottoinsieme non vuoto D di R, si chiama funzione reale di variabile reale, una relazione che ad ogni

Dettagli

Prof. Silvio Reato Valcavasia Ricerche. Il piano cartesiano

Prof. Silvio Reato Valcavasia Ricerche. Il piano cartesiano Il piano cartesiano Per la rappresentazione di grafici su di un piano si utilizza un sistema di riferimento cartesiano. Su questo piano si rappresentano due rette orientate (con delle frecce all estremità

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Elenco Ordinato per Materia Chimica

Elenco Ordinato per Materia Chimica ( [B,25404] Perché le ossa degli uccelli sono pneumatiche, cioè ripiene di aria? C (A) per consentire i movimenti angolari (B) per immagazzinare come riserva di ossigeno X(C) per essere più leggere onde

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1 LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Funzioni Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

DOMINIO = R INTERSEZIONI CON ASSI

DOMINIO = R INTERSEZIONI CON ASSI STUDIO DELLA FUNZIONE CUBICA a cura di Maria Teresa Bianchi La funzione è razionale intera ed è espressa in forma normale da: #1: y = a x + b x + c x + d I coefficienti del polinomio di grado a secondo

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI

4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI 119 4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI Indice degli Argomenti: TEMA N. 1 : INSIEMI NUMERICI E CALCOLO

Dettagli

Funzioni reali di più variabili reali

Funzioni reali di più variabili reali Funzioni reali di più variabili reali Generalità. Indichiamo con R n il prodotto cartesiano di R per sé stesso, n volte: R n = {(, 2,, n ) ;! R,, n!r}. Quando n = 2 oppure n = 3 indicheremo le coordinate

Dettagli

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : ' = y y' = Consideriamo il punto P(,5) se eseguiamo tra trasformazione

Dettagli

Le derivate versione 4

Le derivate versione 4 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta

Dettagli

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011 1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni

Dettagli

MODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree

MODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree MODULO DI MATEMATICA di accesso al triennio Abilità interessate Utilizzare terminologia specifica. Essere consapevoli della necessità di un linguaggio condiviso. Utilizzare il disegno geometrico, per assimilare

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Aritmetica: operazioni ed espressioni

Aritmetica: operazioni ed espressioni / A SCUOLA DI MATEMATICA Lezioni di matematica a cura di Eugenio Amitrano Argomento n. : operazioni ed espressioni Ricostruzione di un abaco dell epoca romana - Museo RGZ di Magonza (Germania) Libero da

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli

Le funzioni elementari. La struttura di R. Sottrazione e divisione

Le funzioni elementari. La struttura di R. Sottrazione e divisione Le funzioni elementari La struttura di R La struttura di R è definita dalle operazioni Addizione e moltiplicazione. Proprietà: Commutativa Associativa Distributiva dell addizione rispetto alla moltiplicazione

Dettagli

ESERCIZI DI PREPARAZIONE E

ESERCIZI DI PREPARAZIONE E ESERCIZI DI PREPARAZIONE E CONSOLIDAMENTO PER I FUTURI STUDENTI DEL PRIMO LEVI si campa anche senza sapere che cos è un equazione, senza sapere suonare uno strumento musicale, senza conoscere il nome del

Dettagli

Anno 4 Grafico di funzione

Anno 4 Grafico di funzione Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3 livello A1 modulo A1.1 modulo A1.2 matematica livello A2 modulo A2.1 modulo A2.2 livello A insiemi e appartenenza interpretazione grafica nel piano traslazioni proprietà commutatività associatività elemento

Dettagli

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni 2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi

Dettagli

Studio di una funzione ad una variabile

Studio di una funzione ad una variabile Studio di una funzione ad una variabile Lo studio di una funzione ad una variabile ha come scopo ultimo quello di pervenire a un grafico della funzione assegnata. Questo grafico non dovrà essere preciso

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Docente: DI LISCIA F. Materia: MATEMATICA CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Insiemi numerici: numeri naturali, proprietà delle operazioni aritmetiche; Potenze e loro proprietà; Criteri di divisibilità;

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma. Addizione: PROPRIETA' COMMUTATIVA Cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. 1) a + b = b + a PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si

Dettagli

4. Funzioni elementari algebriche

4. Funzioni elementari algebriche ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 4. Funzioni elementari algebriche A. A. 2013-2014 1 Funzioni elementari Sono dette elementari un insieme di funzioni dalle quali si ottengono, mediante

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ANALISI MATEMATICA I - A.A. 0/0 FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ESERCIZIO. Data la funzione f () = determinare l insieme f (( +)). Svolgimento. Poiché f (( +)) = { dom f : f () ( +)} = { dom f : f () > } si

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 00 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Se il polinomio

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2011

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2011 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A

LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 6/7 SIMULAZIONE DI II PROVA - A Tempo a disposizione: cinque ore E consentito l uso della calcolatrice non programmabile. Non è consentito uscire dall aula

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA Istituto Istruzione Superiore A. Venturi Modena Liceo artistico - Istituto Professionale Grafica Via Rainusso, 66-41124 MODENA Sede di riferimento (Via de Servi, 21-41121 MODENA) tel. 059-222156 / 245330

Dettagli

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette: FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente

Dettagli

VERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE.

VERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE. VERIFIC DI MTEMTIC CLSSI TERZE (S, BS, CS, DS, ES) settembre COGNOME E NOME.. CLSSE. Esercizio In un piano cartesiano ortogonale determinare: a) l equazione della parabola con asse parallelo all asse,

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 Sessione straordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 3 Sessione straordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA È assegnata

Dettagli

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI In matematica, per semplificare la stesura di un testo, si fa ricorso ad un linguaggio specifico. In questo capitolo vengono fornite in maniera sintetica le nozioni

Dettagli

LA RETTA. Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali

LA RETTA. Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali LA RETTA Abbiamo visto che l'equazione generica di una retta è del tipo Y = mx + q, dove m ne rappresenta la pendenza e q il punto in cui la retta incrocia

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE. Corsi di Laurea in Ingegneria. A cura di Jung Kyu CANCI e Domenico FRENI. Con la collaborazione di

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE. Corsi di Laurea in Ingegneria. A cura di Jung Kyu CANCI e Domenico FRENI. Con la collaborazione di UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE Corsi di Laurea in Ingegneria A cura di Jung Kyu CANCI e Domenico FRENI Con la collaborazione di Luciano BATTAIA e Pier Carlo CRAIGHERO MATEMATICA DI BASE TEMI D ESAME 9

Dettagli

MATEMATICA. PRIMO ANNO (Liceo Classico e Liceo delle Scienze Umane)

MATEMATICA. PRIMO ANNO (Liceo Classico e Liceo delle Scienze Umane) 1/7 PRIMO ANNO Testo consigliato: BERGAMINI TRIFONE BAROZZI, Matematica.azzurro, vol. 1, Zanichelli Obiettivi minimi. Acquisire il linguaggio specifico della disciplina; sviluppare espressioni algebriche

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#

Dettagli

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

Liceo G.B. Vico Corsico

Liceo G.B. Vico Corsico Liceo G.B. Vico Corsico Classe: 3A Materia: MATEMATICA Insegnante: Nicola Moriello Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu.0 di Matematica Moduli S, L, O, Q, Beta ed. Zanichelli 1) Programma

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA. 2. Insiemi numerici. A. A. 2014-2015 L.Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA. 2. Insiemi numerici. A. A. 2014-2015 L.Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 2. Insiemi numerici A. A. 2014-2015 L.Doretti 1 INSIEMI NUMERICI rappresentano la base su cui la matematica si è sviluppata costituiscono le tappe

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Capitolo 9 Esponenziali e logaritmi... Capitolo 0 Funzioni circolari 0. Descrizione di fenomeni periodici Tra le funzioni elementari ne esistono due atte a descrivere fenomeni che si ripetono periodicamente

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

PROBLEMI DI SCELTA. Problemi di. Scelta. Modello Matematico. Effetti Differiti. A Carattere Continuo. A più variabili d azione (Programmazione

PROBLEMI DI SCELTA. Problemi di. Scelta. Modello Matematico. Effetti Differiti. A Carattere Continuo. A più variabili d azione (Programmazione 1 PROBLEMI DI SCELTA Problemi di Scelta Campo di Scelta Funzione Obiettivo Modello Matematico Scelte in condizioni di Certezza Scelte in condizioni di Incertezza Effetti Immediati Effetti Differiti Effetti

Dettagli

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA PER LA CLASSE QUINTA T.G.A. (5^B) E LA CLASSE QUINTA T.I.T. (5^C) a.s. 2003/2004 a cura di prof.ssa Mina Maria Letizia

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA PER LA CLASSE QUINTA T.G.A. (5^B) E LA CLASSE QUINTA T.I.T. (5^C) a.s. 2003/2004 a cura di prof.ssa Mina Maria Letizia \ I[ è la scrittura matematica che esprime un legame tra la variabile y e la variabile x; tale legame consiste in una serie di operazioni da eseguirsi su x per ottenere y (f indica l insieme delle operazioni

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli