EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

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1 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere e simboli di operazioni) che può essere vera o falsa a seconda dei valori attribuiti alle lettere, dette incognite dell equazione. ESEMPI: 2 x = 3 è un equazione in una incognita e cosí pure x 2 = 4 2 x + y non è un equazione perché non c è l uguale 2 3 = 6 non è un equazione perché non ci sono incognite 2 x + y = 0 è un equazione in due incognite x + y = z 1 è un equazione in tre incognite La parte che precede il segno di uguaglianza si dice primo membro, quella che lo segue si dice secondo membro dell equazione. I valori che rendono vera l uguaglianza sono detti soluzioni dell equazione. Se una uguaglianza non è mai verificata, diremo che l equazione è impossibile o che non ha soluzioni (per esempio l equazione x 2 = 1 non ha soluzioni reali, l equazione 2 x = 3 non ha soluzioni intere). Se un uguaglianza è sempre verificata diremo che l equazione è una identità. Esempi di identità sono i cosiddetti prodotti notevoli, quali: x 2 y 2 = (x y)(x + y) (x y) 2 = x 2 2 x y + y 2 (x + y) 2 = x x y + y 2 x 3 y 3 = (x y)(x 2 + xy + y 2 ) x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 xy + y 2 ) (x ± y) 3 = x 3 ± 3 x 2 y + 3 x y 2 ± y 3 (osserviamo che queste identità valgono perché vale la proprietà commutativa della moltiplicazione, cioè si usa che x y = y x, ma nel caso delle matrici ad esempio vedremo che tali identità non valgono). È un identità anche qualunque sviluppo di un prodotto: (x 2)(x 3) = x 2 5 x + 6 o qualunque fattorizzazione di un polinomio, come x 2 2 x x y + 2 y = (x 2)(x y) che si ottiene raccogliendo x tra i primi due addendi e y tra i secondi due.

2 ! Usando una o piú identità si possono trasformare equazioni complicate in equazioni piú semplici da risolvere. Per esempio, se si vuole risolvere l equazione x 2 2 x x y + 2 y = 0, usando l identità precedente la si trasforma in (x 2)(x y) = 0 ottenendo immediatamente le soluzioni x = 2 oppure x = y (sembrano due, in realtà sono infinite soluzioni, come vedremo tra poco). Infatti perché si annulli il prodotto deve essere nullo almeno uno dei due fattori (si vedrà nei corsi, col prodotto di funzioni o col prodotto di matrici, che questa proprietà non è vera in generale, ma nel caso dei numeri reali o dei polinomi a coefficienti reali essa vale). La strategia per le equazioni polinomiali è trasformare un polinomio nel prodotto di polinomi di grado piú basso (possibilmente di primo grado). Invece una strategia tipica, ma stupida perché fa solo perder tempo (e se le equazioni sono di grado piú alto di due fa anche perdere di vista le soluzioni), è di trasformare e- quazioni già in forma di prodotto, come (x 2)(x 3) = 0, in una somma (in questo caso x 2 5 x + 6 = 0 ) per poi usare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado ax 2 +bx +c = 0 " x = "b ± b2 " 4ac 2a e quindi riottenere dopo un po di calcoli i valori che si trovavano immediatamente u- guagliando a zero i fattori. Nel nostro caso x = 5 ± 25 " 24 2 # % 6 = $ 2 = 3 4 &% 2 = 2 2 e cioè le soluzioni x = 2 o x = 3 (uso la congiunzione o e non e perché e indica che le due cose avvengono contemporaneamente, mentre o vuol dire che avviene una delle due). Oppure usare la formula risolutiva quando manca il termine noto, invece di vedere che si può raccogliere x, o quando manca il termine di primo grado. Esempi : data x 2 2x = 0 si raccoglie x e si ottiene x(x 2) = 0 da cui si ha subito x = 0 oppure x = 2. Se invece si ha un equazione del tipo x 2 = a essa ha soluzioni reali se e solo se a 0. Se a = 0 c è solo la soluzione nulla, mentre se a > 0 ha due soluzioni: a e a intendiamo solo la radice positiva di a. a. A questo proposito ricordo che col simbolo Un altro esempio di grado piú alto, ma riducibile in prodotto di fattori di primo o secondo! grado (come tutte le equazioni polinomiali a coefficienti! reali) è: x 7 64x = 0. Si ha x 7 64x = x (x 6 64) = x (x 3 8) (x 3 + 8) = x (x 2) (x 2 + 2x + 4) (x + 2) (x 2 2x + 4) da cui si ottengono come uniche soluzioni x= 0 oppure x= 2 o x = 2. Infatti le due equazioni di secondo grado non hanno soluzioni reali (vedremo quando studieremo i numeri complessi come fattorizzare x 7 64x in polinomi di primo grado).

3 3 Definizione: Due equazioni si dicono equivalenti se e solo se hanno esattamente le stesse soluzioni (tutte e sole). OSSERVAZIONE: per ricavare le soluzioni delle equazioni si usa il fatto che sottraendo o sommando una stessa espressione (purché sempre definita) le soluzioni non cambiano cioè le due equazioni sono equivalenti. Grazie a questo principio è possibile trasportare da un membro all altro qualsiasi quantità cambiandole il segno. Se un equazione è equivalente a un altra e questa seconda è equivalente a una terza, allora la prima sarà equivalente alla terza (transitività). Se si moltiplicano o dividono i due membri dell equazione per uno stesso numero diverso da 0 si ottiene un equazione equivalente. Se si somma o si sottrae una stessa espressione (ben definita) ad ambo i membri si ottiene un equazione equivalente. Invece spesso sono usati dei metodi che alterano le soluzioni dell equazione per cui bisogna stare attenti ed eliminare le soluzioni in piú o aggiungere soluzioni perse. Se non si sta attenti si può arrivare a equazioni che non hanno nulla in comune con quella di partenza. ESEMPIO: Partiamo da x 1 = 0 (che ha soluzione x=1). Moltiplichiamo per x ambo i membri: x 2 x = 0 Sommiamo x 1 ad ambo i membri: x 2 1 = x 1 Scomponiamo il primo membro in fattori: (x 1)(x+1)= x 1 Dividiamo per x 1 ambo i membri: x+1 = 1 Sottraiamo 1 ad ambo i membri: x = 0. Abbiamo certamente fatto errori perche abbiamo trovato una soluzione completamente diversa da quella di partenza. Quali? Le trasformazioni che creano problemi sono la moltiplicazione o divisione per espressioni non numeriche (che quindi possono annullarsi per certi valori), l elevamento a potenza pari (che può aggiungere soluzioni), l estrazione di radice pari (che può far perdere soluzioni). Nell esempio sopra per moltiplicare per x dovevamo escludere x = 0, per dividere per x 1 dovevamo escludere x = 1 che invece era proprio la nostra soluzione di partenza. Vediamo alcuni altri esempi:

4 4 x 2 4 = 3x 6. Se dividiamo per il fattore comune x 2 otteniamo x + 2 = 3, ossia x = 1, ma in tal modo perdiamo la soluzione x = 2, questo perché abbiamo diviso per qualcosa che per x = 2 si annulla. È quindi importante controllare sempre gli zeri di ciò per cui si moltiplica o si divide e togliere o aggiungere tali soluzioni. 2x 1 = 3 ha l unica soluzione x = 2. Se eleviamo al quadrato otteniamo 4x 2 4x +1 = 9 che oltre alla soluzione x = 2 ha anche x = 1 che non risolve l equazione iniziale. Se invece abbiamo (x + 3) 2 = 4 non possiamo estrarre la radice e ridurla a x + 3 = 2 perché perderemmo la soluzione x = 5, ma dobbiamo distinguere due casi: x + 3 = 2 e x + 3 = 2. Analoga attenzione occorre nelle equazioni con radici come x! 3 = x 2! 6x + 9. Se eleviamo al quadrato diventa una identità, ma la radice è un numero non negativo (se non mettiamo davanti il meno), per cui l equazione è soddisfatta solo se x 3 0, cioè ogni x 3 è soluzione e non ce ne sono altre. ATTENZIONE: Se c è una sola incognita ogni soluzione è costituita da un numero; per esempio l unica soluzione razionale di 2 x = 3 è x = 3 2. L equazione x2 = 4 ha due soluzioni 2 e! 2, ciascuna costituita da un solo numero. Se ci sono due incognite ogni soluzione è data da una coppia ordinata di numeri, se ce ne sono tre da una terna ordinata di numeri e cosí via. Per esempio le soluzioni di 2 x + y = 0 sono infinite e si ottengono ricavando un incognita in funzione dell altra. L equazione è infatti equivalente a y = 2 x e quindi ciascuna soluzione è una coppia di numeri del tipo (a, 2 a ) dove ad a possiamo dare qualsiasi valore reale (la lettera a si dice in tal caso parametro). O si ricava y in funzione di x come sopra, oppure si ricava x in funzione di y ottenendo x = " y # e quindi ciascuna soluzione è una coppia di numeri del tipo " b 2 2, b & % ( al variare $ ' # del parametro b. Non ha senso scrivere " y 2, " 2x & % (, infatti se variano sia x che y queste $ ' coppie rappresentano tutte le coppie di numeri reali! e non solo le soluzioni dell equazione.!

5 5 PRECISAZIONE: chiamiamo parametro una lettera che può assumere qualsiasi valore nell insieme di numeri che consideriamo, mentre chiamiamo incognita una lettera di cui cerchiamo valori da sostituirle in modo da soddisfare l equazione. Oppure le soluzioni dell equazione vista prima x 2 2 x x y + 2 y = 0 che avevamo espresso brevemente scrivendo x = 2 o x = y sono tutte le coppie del tipo (2,a) e tutte quelle del tipo (b,b) al variare dei parametri a,b nei numeri reali. Faccio notare per inciso che se avessi scritto x = 2 e x = y avrei inteso le soluzioni del sistema # " $ x = 2 % $ e cioè x = y soltanto la coppia (2,2). Non sempre però per avere un unica soluzione in due variabili occorre un sistema. Per esempio x 2 + y 2 = 0, pur essendo un equazione sola, ha nell insieme dei numeri reali soltanto la soluzione nulla, cioè la coppia (0,0). Analogamente x 2 + y 2 + z 2 = 0 ha solo la soluzione nulla, mentre le soluzioni di x + y = z 1 sono date dalle terne del tipo (a, b, a + b + 1), dove a e b variano a piacere. La terna (1,0,2) è una soluzione, cosí come la terna (0, 1, 2) o la terna (7, 2, 10). Ce ne sono infinite dipendenti dai 2 parametri a e b. Invece affermare che x = 7 è una soluzione o chiedersi se y = 3 lo è non ha alcun senso. Infatti tutte le terne del tipo (7,b,b+8) sono soluzione ma ci sono terne con x=7 che non sono soluzione, per esempio (7,7,7). È importare anche osservare che la terna deve essere ordinata infatti (7, 2, 10) è una soluzione, ma (10, 7, 2) non lo è perché È importante anche chiedersi in quale ambiente cerchiamo le soluzioni. Se nei numeri reali, nei razionali, negli interi, nei naturali. Questo dipende dal tipo di situazione che cerchiamo di matematizzare. Se le equazioni nascono da problemi concreti non si possono accettare tutte le soluzioni che vengono dal calcolo puramente teorico.! Se per esempio si vuole prendere un caffé che costa 30 centesimi di euro da una macchinetta che non dà resto usando monete da 10, 5, 2 centesimi di euro occorre risolvere l equazione: 10 x + 5 y + 2 z = 30. Se le cerchiamo nei numeri reali, sia (2,2,0) sia (1, 2, 5) sia ( 1, 4, 10) sia (1, 3, 5 ) sia (π, -2π, 15) sono terne soluzione 2 dell equazione (ce ne sono infinite altre), ma tra le cinque qui elencate per il nostro problema concreto solo le prime due sono accettabili, la terza no perché la macchinetta non dà resto e nemmeno la quarta perché non possiamo spezzare le monetine (ci darebbe informazioni se la macchinetta accettasse anche le monete da 1 centesimo, ma solo con la convenzione che 5 della moneta da 2 centesimi equivale a 5 monete da un centesimo), 2 la quinta poi non riusciamo neanche a capire che cosa significa concretamente.

6 In linguaggio matematico potremmo riassumere il discorso dicendo che in questo caso ha senso cercare soluzioni solo nell insieme dei numeri naturali. 6 In alcuni casi il problema ha incognite nascoste. Per esempio se cerchiamo i punti del piano cartesiamo che stanno sulla retta di equazione x = 4, dobbiamo introdurre anche l incognita y che potrà variare a piacere. Allora le coppie (4,1), (4, π), (4, 2 ) e piú in generale (4, b) sono soluzioni dell equazione della retta. Digressione geometrica: EQUAZIONE DELLA RETTA NEL PIANO Un sistema di riferimento cartesiano del piano è costituito da una coppia di rette orientate, dette asse x o asse delle ascisse e asse y o asse delle ordinate, perpendicolari tra loro (in realtà non sarebbe necessario, ma semplifica le cose), e da una unità di misura, che si sceglie in genere uguale sui due assi. Il punto O in cui i due assi si intersecano viene detta origine del riferimento cartesiano. È possibile assegnare a ogni punto P del piano una coppia di numeri, detti coordinate, proiettando il punto perpendicolarmente sui due assi. Il primo numero della coppia si chiama ascissa ed è il numero che si ottiene come intersezione dell'asse x e della retta per P parallela all'asse y (ricordiamo che vi è corrispondenza biunivoca tra punti di una retta e numeri reali), il secondo numero della coppia si chiama ordinata ed è il numero che si ottiene come intersezione dell'asse y e della retta per P parallela all'asse x. Viceversa, data una coppia (a, b) di numeri reali, possiamo segnare i due numeri sui due assi del riferimento e ottenere il punto P come intersezione delle due rette perpendicolari agli assi e passanti per a e b. Allora possiamo ricavare l'equazione della retta nel piano, distinguendo i vari casi: - retta parallela all'asse x: è il luogo dei punti del piano aventi ordinata costante. Questa definizione diventa l'equazione y = k, dove k è un numero reale fissato (osserviamo che possiamo considerarla un equazione in due incognite in cui x non compare, il che vuol dire che può assumere qualunque valore). In particolare, l'asse x ha equazione y = 0. - retta parallela all'asse y: è il luogo dei punti del piano aventi ascissa costante. Questa definizione diventa l'equazione x = k, dove k è un numero reale fissato. In particolare, l'asse y ha equazione x = 0. - retta passante per l'origine e non parallela ad uno degli assi. Sulla retta r consideriamo i punti A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ), C(x 3 ; y 3 ),... e i triangoli OAA OBB, OCC....Tutti questi triangoli sono simili, avendo i tre angoli uguali, e quindi hanno i lati in proporzione. Indicando con m il valore del rapporto tra i cateti opposti e quelli adiacenti all'angolo " formato tra l'asse x e la retta, si ha: y 1 = y 2 = y 3 =... = m (vedrete facendo trigonometria che m è la tangente dell angolo " e perciò si x 1 x 2 x 3 dice coefficiente angolare della retta). La retta r è definita come il luogo dei punti P(x; y) del piano per i quali è costante il rapporto tra ordinata y e ascissa x, il che si traduce nell'equazione y = mx.

7 7 - retta non passante per l'origine e non parallela ad uno degli assi. Se consideriamo la parallela a r per l origine di equazione y = mx possiamo osservare che a parità di ascisse le ordinate variano per una costante q che è l ordinata del punto di r corrispondente a x=0. L equazione di r è dunque y=mx+q. Tutti i casi esaminati si riassumono dicendo che l equazione di una retta è della forma: ax+by+c=0 con a,b non entrambi nulli e viceversa ogni equazione di questo tipo rappresenta una retta nel piano. Se moltiplichiamo tutti i coefficienti per una costante otteniamo sempre la stessa retta Allora un equazione di primo grado in due variabili ha infinite soluzioni date dai punti della retta. Risolvere invece ax+c=0 in una variabile equivale a vedere dove la retta incontra l asse x cioè a risolvere il sistema " $ ax +by +c = 0 # % $. y = 0

8 2. DISEQUAZIONI 8 Definizione: una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere e simboli di operazioni) che può essere vera o falsa a seconda dei valori attribuiti alle lettere, dette incognite della disequazione. I simboli di disuguaglianza sono <,, >,. Risolvere una disequazione significa trovare i valori che sostituiti alle incognite rendono vera la disuguaglianza. Come per le equazioni ogni soluzione sarà costituita da singoli numeri (naturali, interi, razionali, reali ) o da una coppia o terna o n-upla di numeri a seconda di quante sono le incognite. Risolvere la disequazione significa trovarle tutte. ESEMPI: x 2 < 0 non ha soluzioni reali; x 2 0 ha solo la soluzione nulla; x 2 (x-1) 2 0 ha due soluzioni 0 e 1; (x 2) 2 > 0 ha come soluzione tutti i numeri reali escluso 2; (x 2) 2 0 ha come soluzione tutti i numeri reali. Se cerchiamo le soluzioni di una disequazione a un incognita nei reali spesso sono intervalli o unione di intervalli. INTERVALLI Fissati a, b!r (il simbolo " significa appartiene ) si definiscono: intervallo aperto l insieme ( a, b) = { x!r a < x < b}; intervallo chiuso l insieme [ a, b] = { x!r a " x " b}; intervallo semiaperto a sinistra l insieme ( a, b] = { x!r a < x " b}; intervallo semiaperto a destra l insieme [ a, b) = { x!r a " x < b}. In particolare si denotano gli intervalli illimitati (semirette) usando il simbolo che significa infinito : a, +! ( ) = { x "R x > a} ; [ a,+" ) = { x # R x $ a} ("#,b) = { x $ R x < b} ; ("#,b] = { x $ R x % b} Per trovare le soluzioni si può trasformare la disequazione mediante alcune operazioni. Non altera la disequazione sommare o sottrarre una stessa espressione ad ambo i membri. Quando si moltiplica (per espressioni non nulle) si deve tener conto che se si moltiplica per numeri positivi la disequazione non cambia, mentre se si moltiplica per numeri negativi si deve invertire il simbolo di diseguaglianza. Riguardo poi all elevamento a potenza o all estrazione di radice occorre prudenza come per le equazioni.

9 9 ESEMPI: 2 x 7 < 5 x 4 Sottraendo 5x e sommando 7 ad ambo i membri si ottiene 3 x < 3 e dividendo per 3 la disuguaglianza si inverte e si ottiene x > 1 ( e non come fanno molti x < 1!). Questa disuguaglianza si poteva anche dedurre geometricamente considerando le due rette y = 2 x 7 e y = 5 x 4 e guardando quando la prima stava sotto la seconda y=2x-7 y=5x-4 x 2 > 4 L errore tipico è osservare che x 2 = 4 se x = ± 2 ededurre x > ± 2! Se portiamo 4 a primo membro si ottiene x 2 4 > 0 ossia (x 2)(x+2)>0. Ora per le regole dei segni un prodotto di due fattori è positivo se essi hanno lo stesso segno. Il primo fattore è positivo per x > 2, l altro per x > 2, quindi per x > 2, sono entrambi positivi, per x < 2 sono entrambi negativi. Le soluzioni sono quindi ("#,"2 ) $ ( 2,+# ). La soluzione si poteva vedere anche geometricamente intersecando la parabola y = x 2 con la retta y = 4 e prendendo sull asse x gli intervalli che corrispondono ai punti della parabola che stanno sopra alla retta.

10 Oppure si poteva portare 4 a primo membro e confrontare la parabola y = x 2 4 con l asse x. 10 Digressione geometrica: CENNI SULLA PARABOLA La parabola luogo dei punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice. La sua equazione si può scrivere nella forma y = a x 2 se si sceglie come asse y la perpendicolare alla direttrice per il fuoco (che è l asse di simmetria della parabola) e come origine il vertice, cioè il punto di intersezione dell asse y con la parabola. Se a > 0 la parabola è rivolta verso l alto se a < 0 la parabola è rivolta verso il basso Ovviamente traslando l origine lungo l asse y l equazione diventa y = a x 2 + c e se ci si sposta anche orizzontalmente si ottiene y = a x 2 + b x + c (se si fanno anche ruotare gli assi, l equazione diventa della forma piú generale ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 ed è difficile distinguerla dalle altre coniche (ellisse, iperbole, coppia di rette incidenti o parallele). Ogni equazione del tipo y = a x 2 + b x + c rappresenta una parabola e se ne può determinare il vertice " # 2a b,c " b2 & % ( $ 4a infatti completando i quadrati: si ottiene y = a ' ( x + 2a b ) 2 " b2 + c da cui ponendo * # 4a 2 ) + X = x + 2a b Y = y " % c " $ b2 & l equazione diventa Y = a X 2. + (, 4a'! Viceversa la parabola con asse parallela all asse y e vertice (p,q) ha equazione y q = a (x p) 2. Il coefficiente a si determina imponendo il passaggio per un altro punto

11 11 Ogni volta che si ha una disequazione di secondo grado quindi la si può risolvere o fattorizzando il polinomio di secondo grado nel prodotto di due di primo, oppure ragionando geometricamente. infatti portando tutto a primo membro ci si trova a confrontare l asse x con una parabola y = a x 2 + b x + c. Le mutue posizioni possono essere le seguenti: a > 0 " > 0 " = 0 " < 0 a < 0 Quindi la disequazione a x 2 + b x + c > 0 ha soluzione rispettivamente " > 0 " = 0 " < 0 se a > 0 se a < 0 per i valori esterni sempre tranne nel vertice sempre per i valori interni mai mai a x 2 + b x + c 0 ha soluzione rispettivamente " > 0 " = 0 " < 0 se a > 0 per i valori esterni compresi gli estremi sempre sempre se a < 0 per i valori interni compresi gli estremi solo nel vertice mai Le due righe si scambiano quando si scambia la disuguaglianza.

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