Andamenti di tipo oscillatorio

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Leonora Marchese
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1 Mastroeni/Cioni (Dipartimento di Informatica/Scuola Normale Superiore) 1 di 16 Lezione 27/03 A.A. 2014/2015 Andamenti di tipo oscillatorio Si parla di andamenti di tipo oscillatorio quando una o più variabili endogene mostrano variazioni nel tempo attorno a volori medi (sia nulli sia diversi da zero) che sono di tipo continuo, periodico, assimilabili alle funzioni seno o coseno o a loro combinazioni lineari. Si hanno i casi seguenti: (1) se l'ampiezza è costante si parla di andamenti oscillatori puri; (2) se l'ampiezza è crescente si parla di andamenti oscillatori che si autoesaltano (fisicamente non plausibili); (3) se l'ampiezza è decrescente si parla di andamenti oscillatori smorzati. Lo smorzamento dipende dalla presenza di attriti, di inerzie o di altri fenomeni dissipativi nei sistemi (e nel modo reale). Perché in un sistema compaiano andamenti di tipo oscillatorio un sistema/modello deve essere caratterizzato da almeno due livelli/equazioni differenziali la cui soluzione sia caratterizzata dalla presenza di radici complesse coniugate del tipo z±iw. Se z=0 si hanno andamenti oscillatori puri. Se z<0 si hanno andamenti oscillatori smorzati (con termini del tipo e zt che ne determinano l'inviluppo decrescente). Se z>0 si hanno andamenti oscillatori ad ampiezza crescente (con termini del tipo e zt che ne determinano l'inviluppo crescente). Un livello può essere presente sia in modo esplicito (mediante una variabile endogena) sia in modo implicito tramite un ritardo presente nel sistema.

2 Oscillazione con un livello (e un ritardo, livello "nascoto"): il modello 2 di 16

3 Oscillazione con un livello (e un ritardo): i grafici 3 di 16

4 Oscillazione con un livello (e un ritardo): le equazioni (01) delaytime=8 Units: Month [0,100,1] (02) FINAL TIME = 100 Units: Month [10,200,1] The final time for the simulation. (03) flusso=lambda0*frazres*l Units: unit/month (04) frazres=(lmax-ldelayed)/lmax Units: Dmnl (Lmax-L)/Lmax (05) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation (06) k=22 Units: Dmnl [1,100,1] 4 di 16 (07) L= INTEG (flusso,l0) Units: unit (08) L0=1 Units: unit [1,100,1] (09) lambda0=0.2 Units: 1/Month [0,1,0.01] (10) Ldelayed=DELAY FIXED(L, delaytime, L0 ) Units: unit (11) Lmax=k*L0 Units: unit (12) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (13) TIME STEP = 1 Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation.

5 Oscillazione con due livelli: primo esempio, il modello 5 di 16

6 Oscillazione con due livelli: primo esempio, i grafici 6 di 16

7 Oscillazione con due livelli: secondo esempio, il modello 7 di 16

8 Oscillazione con due livelli: secondo esempio, i grafici 8 di 16

9 Oscillazione con due livelli: primi due esempi, analisi formale (cenni) In questo caso le equazioni differenziali hanno la forma seguente: 9 di 16 dl/dt=am con valore iniziale L(0)>0 e a [0,1] dm/dt=-bl con valore iniziale M(0)>0 e b [0,1] Gli autovalori sono i due valori complessi coniugati l1,2=±i*sqrt(ab)=±i cui corrispondono due autovettori v1=w1+iw2 e v2=w1-iw2 con w1=(1,0)t e w2=(0,m)t dove si è posto m=sqrt(b/a). Tutto questo per arrivare a due soluzioni reali e non complesse. Gli autovettori v 1 e v2 sono tali da soddisfare le equazioni Av 1=l1v1 e Av2=l2v2 nelle quali A è la matrice dei coefficienti delle equazioni differenziali date. La soluzione delle due equazioni diferenziali date ha la forma seguente: (L,M)T=C1(w1cos t-w2sen t)+c2(w1sen t+w2cos t) Facendo le opportune sostituzioni si arriva alle seguenti espressioni finali: L(t)=C1cos t+c2sen t e M(t)=-C1msen t+c2mcos t

10 Oscillazione con due livelli: primi due esempi, analisi formale (cenni) Le soluzioni cercate hanno pertanto la forma seguente: 10 di 16 L(t)=C1cos t+c2sen t e M(t)=-C1msen t+c2mcos t Nelle relazioni suddette compaiono le costanti C 1 e C2 che dipendono dalle condizioni iniziali L(0) e M(0). Si hanno i seguenti casi particolari: (1) L(0) 0 M(0)=0 per cui C1 0 e C2=0 ovvero L varia come cos t e M come -sen t, (2) L(0)=0 M(0) 0 per cui C1=0 e C2 0 ovvero L varia come sen t e M come cos t, (3) L(0) 0 M(0) 0 per cui C1 0 e C2 0 in modo che L e M siano una combinazione lineare di sen t e cos t.

11 Oscillazione con due livelli: terzo esempio, il modello 11 di 16

12 Oscillazione con due livelli: terzo esempio, i grafici 12 di 16

13 13 di 16 Oscillazione con due livelli: terzo esempio, analisi formale (cenni) In questo caso le equazioni differenziali hanno la forma seguente: dl/dt=-cl+am e dm/dt=-bl+dm con a, b, c, d [0,1]. In questo caso la det(a-li)=0 (nella quale A è la matrice dei coefficienti) definisce la seguente equazione caratteristica: l2+l(c-d)+ab-cd=0 (A) in modo che sia: (1) Somma=l1+l2=-(c-d) (2) Prodotto=l1l2=ab-cd (3) D=(c+d)2-4ab Premessa: se le radici della (A) sono complesse coniugate hanno la forma l1=z+iw e l1=z-iw in modo che sia l1+l2=2z e l1l2=z2+w2 per cui se si ha l1l2<0 le due radici non possono essere complesse coniugate.

14 Oscillazione con due livelli: terzo esempio, analisi formale (cenni) Si hanno pertanto i casi seguenti: 14 di 16 (1) Somma Prodotto - autovalori discordi in segno con quello negativo in modulo maggiore di quello positivo; (2) Somma + Prodotto - autovalori discordi in segno con quello positivo in modulo maggiore di quello negativo; (3) Somma Prodotto + autovalori concordi in segno e negativi (se reali) oppure di parte reale negativa se complessi coniugati; (4) Somma + Prodotto + autovalori concordi in segno e positivi (se reali) oppure di parte reale positiva se complessi coniugati. Se Prodotto = 0 allora uno dei due autovalori è nullo mentre l'altro ha il segno di Somma ( 0).

15 15 di 16 Oscillazione con due livelli: terzo esempio, analisi formale (cenni) Se gli autovalori sono reali allora si può direttamente scrivere: (B) (L, M)T=C1el1tv1+C2el2tv2 Nella (B) v1 e v2 sono soluzioni delle equazioni Av 1=l1v1 e Av2=l2v2. Tali equazioni hanno sempre per soluzioni vettori non nulli dato cjhe le matrici A-l1I e A-l2I sono non invertibili per costruzione. Nella (B) C1 e C2dipendono dalle condizioni iniziali L(0) e M(0). Si hanno i casi seguenti: (1) autovalori discordi in segno: si ha un punto di sella ovvero crescita nella direzione di un autovettore e decrescita nella direzione dell'altro; (2) autovalori positivi: punto instabile; (3) autovalori negativi: punto stabile. Se la matrice A ha elementi (nell'ordine da sinistra a destra, dall'alto in basso) a, b, c, d allora l'autovettore v1 associato all'autovalore l1 ha la forma (-b a-l1)t. In modo analogo si calcola v2.

16 16 di 16 Oscillazione con due livelli: terzo esempio, analisi formale (cenni) Se gli autovalori sono complessi coniugati l1.2=z±iw allora si può ancora scrivere: (C) (L, M)T=C1el1tv1+C2el2tv2 Nella (C) si ha che sia le costanti, sia gli autovalori sia gli autovettori sono o contengono numeri complessi mentre a noi interessano soluzioni reali. Con la procedura mostrata a lezione (ma reperibile su qualunque testo di Analisi Matematica) si arriva a scrivere le seguenti espressioni che coinvolgono solo grandezze reali e non complesse: y1=ezt(vrcoswt-visenwt) y2=ezt(vrsenwt-vicoswt) (L, M)T=C1y1+C2y2 Nelle espressioni suddette si usa il fatto che è v 1=vr+ivi e si usa la formula di Eulero: eiwt=coswt+isenwt e-iwt=coswt-isenwt

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