Equazioni differenziali di una rete. Lezione 9 1

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1 Equazioni differenziali di una rete Lezione 9 1

2 Storia SPICE 1/2 Simulatori numerici per soluzioni equazioni differenziali reti elettriche ECAP prodotto dalla IBM CANCE sviluppato all Università di California in Berkeley Lezione 9 2

3 Storia SPICE 2/2 SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis) sviluppato all Università di California in Berkeley SPICE2 evoluzione di SPICE SPICE3 prodotto come supporto ai programmi CAD sviluppati a Berkeley Lezione 9 3

4 Versioni per grossi calcolatori Famiglia SPICE: versioni per grossi calcolatori: HSPICE della Meta-Software IG-SPICE della A.B. Associates I-SPICE della NCSS Time Sharing PECISE della Electronic Engineering Software PSpice della Microsim Lezione 9 4

5 Versioni per PC Famiglia SPICE: versioni per PC: ALLSPICE della Acotech IS-SPICE della Intusoft Z-SPICE della Z-Tech SPICE-Plus della Analog Design Tools PSpice della Microsim WinSPICE della Ousetech Lezione 9 5

6 Editori di SPICE 1/2 Editori che si utilizzano per il programma SPICE: Scrittura diretta NETLIST in file ASCII Disegno con editore grafico (schematics editor) Lezione 9 6

7 Programmi in ambiente Windows scaricabili dalla rete gratuitamente: Si tratta pero' di un file di 924 MB! : versione 9.1 che funziona al Laib (solo 29 MB): oppure sul CD accluso al libretto di M.Biey su PSpice. Disegno con editore grafico (schematics editor) - MicroCap Evaluation 9 (editore di circuiti) Lezione 9 7

8 Testi su SPICE Alcuni testi di riferimento: - V.Daniele ed altri: Elettrotecnica, cap.9, Monduzzi Editore, Bologna, 2005 M.Biey: SPICE e PSPICE. CLUT Torino (Scrittura diretta NETLIST in file ASCII).Perfetti: Circuiti Elettrici. Zanichelli, Bologna, 2003 (Disegno con editore grafico (schematics editor)) Lezione 9 8

9 Equazioni differenziali di una rete Lezione 9 9

10 Svantaggi metodo nodi Il metodo dei nodi è alla base di SPICE e altri simulatori. svantaggio: dà luogo ad un sistema con un numero elevato di equazioni differenziali e algebriche. il sistema non si presenta in forma normale Lezione 9 10

11 Vantaggi equazioni stato Il metodo dell equazioni di stato è migliore da un punto di vista matematico le incognite sono le variabili di stato noto lo stato, qualsiasi uscita si determina con l equazioni di uscita Lezione 9 11

12 Esempio 1/3 ingressi: e,a variabili di stato : v C, i l uscite: v 4,i 1,i 2

13 Esempio 2/3 sostituire condensatori con generatori di tensione sostituire induttori con generatori di corrente

14 Esempio 3/3 La sovrapposizione degli effetti dovuti ai generatori equivalenti associati alle variabili di stato ed ai generatori associati agli ingressi porge le equazioni: C L C L C v i e i v i e i a v v = = = Le equazioni precedenti definiscono le equazioni dell uscita delle rete considerata:

15 Procedimento Procedimento per dedurre le Equazioni di stato di una rete non degenere: Esprimere le variabili coniugate allo stato in funzione degli ingressi e degli stati Esprimere le variabili coniugate con l equazioni costitutive che le legano alle di variabili di stato Il confronto delle due espressioni consente di eliminare le variabili coniugate e scrivere l equazioni differenziali che collegano le variabili di stato alle variabili di ingresso Lezione 9 12

16 Esempio 1/6 Dedurre l equazioni di stato della rete Ingressi: e, a Variabili di stato: v C, i l Variabili coniugate: i C, v l Lezione 9 13

17 Esempio 2/6 Esprimere le variabili coniugate in funzione degli ingressi e delle variabili di stato Lezione 9 14

18 Esempio 3/6 La sovrapposizione degli effetti porge: 1 1 i = v i + e+ a 1 4 C C L ( 1+ 2) ( 3 + 4) v = v i + e L C L Lezione 9 15

19 Esempio 4/6 Esprimere le variabili coniugate attraverso le relazioni costitutive che le legano alle variabili di stato dvc ic = C, vl = L dt Confronto tra le due espressioni: di dt dvc C = vc il + e+ a dt ( 1+ 2) ( 3 + 4) di L = v i + e L C L dt Lezione 9 16 L

20 Esempio 5/6 Equazioni di stato: dvc 1 1 = v i + e+ a dt C ( ) ( ) C ( ) C ( ) C ( ) 1 4 C L dil = v i + e dt L( ) L( ) L( ) C L Lezione 9 17

21 Esempio 6/6 Forma matriciale dell equazioni di stato: A dx dt vc e = Ax+ Bs, x=, s=, i a L C ( 1+ 2) ( 3+ 4) C ( 1+ 2) C ( 1+ 2) C ( 3+ 4) =, B= L ( + ) L ( + ) L ( + ) Lezione 9 18

22 Epressioni matriciali dell equazioni di stato e delle equazioni di uscita: dx = A x+ Bs equazioni di stato dt stato ingresso y = Cx+ Ds equazioni di uscita uscita Lezione 9 19

23 A, B, C, D: matrici strutturali che dipendono solo dai parametri della rete. Proprieta importante: Gli autovalori di A coincidono con i poli della rete. Soluzione nel caso di A costante: At 0 A( t t') xt () e x(0) e Bst (') dt' = + t risposta a ingresso nullo risposta a stato iniziale nullo Lezione 9 20

24 Se l ingresso e periodico s(t+t)=s(t), la soluzione puo essere riscritta: At xt () = e [ x(0) x (0)] + x () t p p dove x p (t) e il valore di regime (periodico) definito da: At ( t') x () t x ( t T) e Bs(') t dt' p = = + p t Lezione 9 21

25 Esempio Calcolo le grandezze coniugate i c1 e i c2 come uscite. Uso il metodo dei nodi modificando i lati C 1 e C 2. Si hanno le tre equazioni ai nodi : Lezione 9 22

26 Si hanno le seguenti equazioni dei due lati modificati: Il sistema di cinque equazioni ha come incognite i c1, i C2, v o,, v 3 e v 4. isolvendo rispetto le due variabili coniugate ic1, ic2 e l uscita vo, si ottengono l equazioni di stato e l equazione di uscita: Equazioni di stato vo = 1 3vc2+ 2H3vc1+ 1Hvc2 vill H1 + 2L 3 Hequazione di uscital Lezione 9 23

27 Forma matriciale: dx dt = Ax+ Bs y = Cx+ Ds x v c1 = i v c2 s = v i B= j k 2 C1 H1+2L 3 2 C2H L y z { y = v C= I 2 o 1+2, H1+2L 3 M D= 1 2 H1 + 2L 3 Lezione 9 24