Modellistica Ambientale - A.A. 2013/2014 Sesta prova scritta, Appello estivo 15 Settembre 2014 Schema di soluzione

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1 Modellistica Ambientale - A.A. 2013/2014 Sesta prova scritta, Appello estivo 15 Settembre 2014 Schema di soluzione Il testo che segue contiene a grandi linee le soluzioni degli esercizi contenuti nella prova scritta del 15 Settembre Per gli esercizi 5, 6 e 7 in un file compresso separato sono forniti i relativi modelli Vensim. Di tutti gli esercizi si forniscono solo tracce, non sempre complete, di soluzione mentre i dettagli sono lasciati alla iniziativa e intelligenza individuali. Esercizio 1, 10 punti [ ] Si considerino le seguenti espressioni: { X(t) = C1 e t +C 2 e 2t Y(t) = C 1 e t +C 2 e 2t (1) con C 1 e C 2 costanti dipendenti dalle condizioni iniziali. Quesito A, 1 punto Si ricavino i valori delle costanti C 1 e C 2 sapendo che X(0) = 4 e Y(0) = 2. Sostituendo i valori iniziali nelle (1) si ottiene: { 4 = C1 +C 2 2 = C 1 +C 2 (2) Sommando membro a membro tali equazioni si ottiene C 2 = 3 e dalla prima delle due C 1 = 1 in modo che sia: { X(t) = e t +3e 2t Y(t) = e t +3e 2t (3) Quesito B, 2 punti Si determinino gli autovalori e gli autovettori associati al sistema di due equazioni differenziali lineari del primo ordine di cui le (1) (con i valori delle costanti C 1 e C 2 ricavati al punto precedente) sono le soluzioni. Dalla forma di tali equazioni si ha che gli autovalori sono λ 1 = 1 e λ 1 = 2 ai quali corrispondono rispettivamente gli autovettori v 1 = (1, 1) T e v 2 = 1

2 (1,1) T. Quesito C, 4 punti Si ricavi la matrice A dei coefficienti del sistema di equazioni differenziali lineari di cui al punto precedente. Si pone: ( ) a b A = (4) c d Risolvendo, con i dati noti, i due sistemi lineari Av 1 = λ 1 v 1 e Av 2 = λ 2 v 2 (utilizzando tecniche di somma membro a membro di coppie di equazioni individuate in modo opportuno) si ottiene: ( ) 3/2 1/2 A = (5) 1/2 3/2 Per vedere se si è fatto bene è possibile verificare se tale matrice individua o meno i due autovalori noti utilizzando tecniche consuete. Quesito D, 3 punti Si scrivano le equazioni differenziali lineari usando la matrice A ricavata al passo precedente, se ne ricavi la condizione di equilibrio si dica di che tipo è. Le equazioni differenziali cercate sono le seguenti: { Ẋ = 3/2X 1/2Y (6) Ẏ = 1/2X 3/2Y È immediato vedere come l unica condizione di equilibrio sia X = 0 e Y = 0 che è di tipo stabile dati i segni (noti, insieme ai valori) degli autovalori. Esercizio 2, 4 punti [ ] Si risolva la seguente equazione differenziale non omogenea del secondo ordine: Ẍ +3Ẋ +2X = 4 (7) sapendo che si ha Ẋ(0) = 1 e X(0) = 0. La (7) è di tipo non omogeneo per cui la sua soluzione X(t) è ottenuta come somma della soluzione X o (t) dell equazione omogenea associata ovvero della: Ẍ +3Ẋ +2X = 0 (8) 2

3 e di una soluzione particolare della (7). È immediato vedere che si ha: e: in modo che sia: X o (t) = C 1 e t +C 2t e (9) X p (t) = 2 (10) X(t) = C 1 e t +C 2t e +2 (11) nella quale i valori delle costanti C 1 e C 2 sono ricavati dalle condizioni iniziali note. Esercizio 3, 4 punti [ ] Si consideri il seguente sistema di equazioni differenziali del primo ordine: { Ẋ = ax bxy (12) Ẏ = cxy dy con a,b,c,d costanti non nulle. Quesito A, 1 punto Se ne determinino i punti di equilibrio. Le condizioni di equilibrio sono le seguenti: (1) X = 0, Y = 0 (2) X = d/c, Y = a/b Quesito B, 3 punti Una volta ricavati i punti di equilibrio si determinino i segni delle costanti perché: - almeno uno dei punti di equilibrio sia asintoticamente stabile; - tutti i punti di equilibrio non siano asintoticamente stabili. Per rispondere a questo quesito è necessario ricavare la matrice A delle derivate parziali, valutarla in ciascuna delle condizioni di equilibrio e, per ciascun caso, determinare gli autovalori. Nel caso (1) si ha: λ 1 = a λ 2 = d 3

4 Nel caso (2) si ha: λ 1 = ad λ 2 = ad Tutto dipende dai segni dei parametri a e b. Si hanno quattro combinazioni possibili ed è facile vedere che: - almeno uno dei punti di equilibrio è asintoticamente stabile se è a < 0 e b > 0; - negli altri tre casi nessuno dei due punti di equilibrio è asintoticamente stabile. Esercizio 4, 6 punti [ ] Quesito A, 2 punti Si scrivano le equazioni differenziali che descrivono le interazioni fra due specie simbiotiche X e Y caratterizzate dai seguenti comportamenti: (1) in assenza della popolazione Y la popolazione X mostra una decrescita di tipo esponenziale dal valore iniziale X(0) > 0 con un tasso di mortalità pari ad α > 0; (2) in assenza della popolazione X la popolazione Y mostra una decrescita di tipo esponenziale dal valore iniziale Y(0) > 0 con un tasso di mortalità pari a β > 0; (3) in presenza della popolazione Y la popolazione X mostra anche una crescita proporzionale al numero di incontri fra le due popolazioni secondo un coefficiente di natalità a > 0; (4) in presenza della popolazione X la popolazione Y mostra anche una crescita proporzionale al numero di incontri fra le due popolazioni secondo un coefficiente di natalità b > 0. Le equazioni differenziali cercate hanno la struttura seguente: { Ẋ = αx +axy Ẏ = βy +bxy (13) Quesito B, 4 punti Una volta scritte le equazioni differenziali se ne ricavino le condizioni di equilibrio e di ciascuna se ne dica il tipo. Per prima cosa da fare è calcolare le condizioni di equilibrio: 4

5 (1) X = 0, Y = 0 (2) X = β/b, Y = α/a Per valutarne il tipo si determina la matrice A delle derivate parziali e la si valuta in ciascuna delle due condizioni di equilibrio per poi usarla per calcolare gli autovalori di cui individuare i segni, tenendo presenti i segni dei vari parametri. Nella condizione (1) si ha: λ 1 = α < 0 λ 2 = β < 0 per cui la condizione di equilibrio è asintoticamente stabile. Nella condizione (2) si ha: λ 1 = αβ > 0 λ 2 = αβ < 0 per cui la condizione di equilibrio non è asintoticamente stabile. Esercizio 5, 7 punti [ ] Dick Dolt ha progettato per le sue culture idroponiche un sistema composto da due vasche L1 e L2 collegate fra di loro in un circuito chiuso che nelle sue intenzioni non dovrebbe richiedere nessun rifornimento di acqua dall esterno a parte il contenuto iniziale pari a L1(0) + L2(0). Nelle intenzioni di Dick il passaggio da L1 a L2 dovrebbe avvenire mediante un filtro in un tempo medio pari a T f > 1 mentre il passaggio inverso dovrebbe avvenire tramite una pompa con un tempo medio unitario. A causa di errori di progettazione e costruttivi Dick in breve tempo scopre che la pompa riesce a trasferire dalla vasca L2 alla vasca L1 una frazione fr < 1 mentre la frazione complementare va dispersa nell ambiente. Per ovviare a questo inconveniente Dick non trova di meglio che aggiungere un collegamento all acquedotto che gli consente di ottenere la necessaria quantità di acqua. Per il modello Vensim vedi il file m1.mdl a parte. Quesito A, 1 punto Si disegni il modello Vensim che descrive il funzionamento del sistema di cultura idroponica che Dick è costretto ad implementare a causa della sua imperizia. Quesito B, 1 punto Si scrivano le equazioni differenziali che descrivono la variazione nel tempo del contenuto delle due vasche. 5

6 Le equazioni differenziali cercate hanno la forma seguente: { L1 = in+ L 2 T m f r L 1 T f L 2 = L 1 T f L (14) 2 T m con T m = 1. Quesito C, 3 punti In condizioni di equilibrio Dick vuole che il contenuto della prima vasca sia pari a quattro volte il contenuto della seconda. Dire come è possibile per Dick ottenere quanto voluto. All equilibrio si ha: { in+ L 2 T m f r L 1 T f = 0 L 1 T f L (15) 2 T m = 0 Dalla seconda delle (15) ho (con T m = 1): L 1 = T f L 2 (16) Poiché deve essere L 1 = 4L 2 si ha T f = 4. Quesito D, 2 punti Sotto le condizioni di cui al punto precedente, si scriva e si discuta brevemente la relazione che esiste all equilibrio fra le grandezze L2, fr e in. Dalla prima delle (15) si ottiene facilmente la seguente relazione (con T m = 1): L 2 (1 f r ) = in (17) Come deve essere se f r = 1 si ha in = 0 mentre se f r [0,1) si ha che il flusso in compensa le perdite dal serbatoio L 2. Esercizio 6, 14 punti [ ] Joe Poplar ha deciso di dedicarsi alla coltivazione dei funghi. Allo scopo ha costruito una fungaia nella quale semina le spore e dalla quale raccoglie i funghi della famosa e prelibata specie Boletus sopraffinus sballans. Le spore maturano in funghi in un tempo medio pari a > 1 mentre i funghi sono pronti ad essere raccolti e inviati alla vendita in un tempo medio pari a T mf > 1. Prima di una nuova semina di spore Joe raccoglie tutti i funghi e lascia passare un po di empo in modo da essere sicuro che non ci siano spore ancora da maturare. Per il modello Vensim vedi i file m2.mdl e m2b.mdl a parte. 6

7 Quesito A, 1 punto Si disegni il modello Vensim della fungaia di Joe. Suggerimento: si inseriscano le spore seminate da Joe come il valore iniziale di un livello. Quesito B, 1 punto Si scrivano le equazioni differenziali corrispondenti. Le equazioni differenziali cercate sono le seguenti: Ṡ = S (18) F = S F (19) T mf con S(0) > 0 e F(0) = 0. Quesito C, 4 punti Si risolvano le equazioni differenziali del punto precedente, si ricavi il valore del tempo di dimezzamento del numero di spore e si ricavi dopo quanto tempo Joe può dirsi sicuro dell assenza di spore dato che il loro numero sarebbe inferiore allo del valore iniziale. La soluzione della (18) è la seguente: S(t) = S(0)e t (20) Utilizzando la tecnica del fattoreintegrale (con e t T mf come fattoreintegrale) si ottiene la soluzione della (19): T mf F(t) = S(0) (e t e t T mf ) (21) T mf Per il tempo di dimezzamento delle spore si deve risolvere la seguente equazione: S(0) = S(0)e t (22) 2 dalla quale si ha il tempo di dimezzamento cercato: t = ln(2) (23) Per il calcolo del tempo di sicurezza si deve risolvere la seguente equazione: S(0) = S(0)e t (24) 7

8 ovvero: t = 7 (25) Quesito D, 4 punti Per quanta cura Joe metta nella conduzione della sua fungaia non può impedire che parte delle spore e parte dei funghi muoiano per varie cause indipendenti dalla sua volontà. Le percentuali di perdita per unità di tempo sono rispettivamente pari a p s 1 per le spore e p f 1 per i funghi. Si modifichino in modo opportuno il modello Vensim e le equazioni differenziali corrispondenti e le si risolva. Le equazioni differenziali cercate sono le seguenti: con α = 1 +p s con β = 1 T mf +p f Per la (26) si ottiene: Ṡ = S Sp s = αs (26) F = S F Fp f = S βf (27) T mf S(t) = S(0)e αt (28) mentre per la (27) si procede come nel caso precedente. Quesito E, 4 punti Per quanti sforzi metta nella cura della fungaia Joe non è soddisfatto del raccolto. Dopo lunghi studi si accorge che fra i tassi di perdita esiste la seguente relazione: p s +p f = 0.3 (29) Si discuta se, allo scopo di ottimizzare il quantitativo di funghi raccolti, per Joe è meglio agire sul valore di p s o sul valore di p f sotto il vincolo rappresentato dalla relazione(29) tenendo presente che deve comunque essere p s > 0 e p f > 0. Suggerimento: per l ultimo quesito si considerino i casi > T mf, = T mf e < T mf e si tenga conto del fatto che massimizzare k/f(x) in funzione di x su un intervallo [a,b] equivale a minimizzare f(x) se k è una costante positiva. Per questo quesito è sufficiente svolgere considerazioni di tipo qualitativo. Volendo eseguire una analisi fine si dovrebbero calcolare: 8

9 - il numero totale di spore maturate come integrale da 0 a + del flusso in uscita da S e in ingresso a F; - il numero totale di funghi maturati ovvero l integrale da 0 a + del flusso in uscita da F e governato dal tempo T mf. In tali espressioni si dovrebbe considerare il vincolo p s +p f = 0.3 nella forma (ad esempio) p f = 0.3 p s e si dovrebbe tener conto del suggerimento dato. Limitandoci ad una analisi grossolana, sempre utilizzando il suggerimento dato, si può affermare che: - se = T mf è indifferente ridurre quanto più possibile o p s o p f per la simmetria della situazione - se > T mf conviene ridurre il più possibile p s e quindi alzare p f in modo che comunque il vincolo sia soddisfatto; - se < T mf conviene ridurre il più possibile p f e quindi alzare p s in modo che comunque il vincolo sia soddisfatto. Esercizio 7, 10 punti [ ] Fizzy Walter possiede un terreno attraverso il quale scorre un canale artificiale di acqua dolce pulita di portata costante pari a k mc/h. Contando sul fatto di non essere scoperto Walter decide di intercettare il canale, a scopi ricreativi, con un serbatoio scoperto dal quale lasciar fluire nel canale solo una frazione 0 < α < 1 del flusso in ingresso in modo da avere il serbatoio, nelle sue intenzioni, il più pieno possibile. Per il modello Vensim vedi i file m3.mdl, m3simple.mdl e m3bypass.mdl a parte. Quesito A, 3 punti Si disegni il modello Vensim del serbatoio S, se ne determini l equazione differenziale risolvendola con la condizione iniziale S(0) = 0 L equazione differenziale cercata è la seguente: la cui soluzione è: Ṡ = in αin = k(1 α) (30) S(t) = k(1 α)t (31) Quesito B, 1 punto Poiché il serbatoio, per quanto capiente possa essere, ha una capacità massima pari a S max Walter si accorge a sue spese che prima o poi il serbatoio si riempie per poi tracimare sul suo terreno. Determinare l istante in cui questo 9

10 accade in funzione dei parametri α, k e S max. Imponendo S(t) = S max si ottiene facilmente: t = S max k(1 α) (32) Quesito C, 4 punti Per impedire l allagamento indesiderato dei suo terreni Walter è costretto, pertanto, a progettare e implementare un sistema di controllo del suo serbatoio in modo che questo non trabocchi. Walter decide di agire sul flusso in ingresso riducendolo proporzionalmente alla frazione di capacità residua del serbatoio in modo da dover trasferire con un bypass il flusso che lui non intercetta a valle del suo serbatoio. Si modifichi il modello Vensim di cui al punto A limitatamente al serbatoio (ovvero trascurando il bypass). Si modifichi anche l equazione differenziale corrispondente e la si risolva verificando se il marchingegno progettato e implementato da Walter funziona o meno. L equazione differenziale corrispondente al modello modificato come dalle specifiche ha la forma seguente: Ṡ = S max S in αin = in αin S in = β bs (33) S max S max con le ovvie corrispondenze. Si deve pertanto risolvere la seguente equazione differenziale: Ṡ +bs = β (34) Utilizzando il metodo del fattore integrale (come fattore integrale si usi il termine e bt ), con pochi semplici passaggi, si ottiene: S(t) = β b (1 e bt ) = (1 α)s max (1 e bt ) (35) per cui tanto più α 0 quanto più S( ) S max sebbene sia meglio avere α 0 per garantire un minimo di ricambio al contenuto del serbatoio. Quesito D, 2 punti Dire (e se possibile formalizzare) in che modo semplice Walter avrebbe potuto risolvere il suo problema agendo solo sul flusso in uscita al serbatoio senza bisogno di alcun controllo sull ingresso e, pertanto, senza dover usare un bypass. In questo caso si assuma 0 α 1. Quando il serbatoio è vuoto si intercetta tutto il flusso in ingresso e si inizia il 10

11 rilascio mano a mano che il serbatoio si riempie in modo che, a serbatoio pieno, il flusso in uscita coincida con quello in ingresso. Come effetto collaterale positivo si ha che in questo modo si ha un rinnovo continuo del contenuto del serbatoio. In formule si ha: Ṡ = in out = in αin = in in S max S = in as (36) con le ovvie corrispondenze. Usando il fattore integrale e at si ottiene: In questo modo si ha: (1) S( ) = S max (2) per t α 1 S(t) = in a (1 eat ) = S max (1 e at ) (37) Dalla condizione (2) a regime (ovvero, in teoria, dopo un tempo infinito) si ha out = in per cui, a serbatoio pieno, si ha un ricambio del suo contenuto di una quantità per unità di tempo pari al valore del flusso in ingresso. In questo modo, inoltre, non c è alcuna necessità di usare un bypass. 11